离散数学 第五章 函数

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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念 4.1.1 函数的定义 1)定义 定义：设X，Y为任意集合，如果f为X到Y的关 系 （f X×Y），且对每一x∈X，都有 唯一的 y∈Y，使〈x,y〉∈f，称 f 为X到 Y的函数，记为 f：X→Y。
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第四章
函数
4.2 复合函数与逆函数
复合函数的图示
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第四章
函数
4.2 复合函数与逆函数
例：设A={1,2, 3, 4}B={1, 2, 3, 4, 5},C={1, 2, 3}。 f : A→B，f={〈1,2〉,〈2,1〉,〈3,3〉,〈4,5〉} g : B→C，g={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉, 〈4,3〉,〈5,2〉} 求g*f 。 解: g*f ={〈1,2〉,〈2,1〉,〈3,3〉,〈4,2〉}。
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
换言之，函数是特殊的关系，它满足 （1）函数的定义域是X，而不能是X的某个真子集
(即dom(f )=X)。
（2）若〈x,y〉∈f，〈x,y′〉∈f，则y＝y′（单值
性）。
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
说明：由于函数的第二个特性，常把〈x,y〉∈f 或 xfy 这两种关系表示形式，在 f 为函数时改为 y =f(x)。这时称x为自变量，y为函数在x处的 值；也称y为x在 f 作用下的像，x为y的像源。 一个自变量只能有唯一的像，但不同的自变量 允许有共同的像。（函数的上述表示形式不适 用于一般关系。因为一般关系不具有单值性。）
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第四章
YX
函数
4.1 函数的基本概念
单射
双射
满射
既非单射又非满射
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函数
4.1 函数的基本概念
例：对于给定的 f 和集合A，判断 f的性质(类型)；并 求A在 f 下的像f(A)。 (1) f : R→R，f(x)=x，A={8} (2) f : N→N×N，f(x)=〈x, x+1〉，A={2,5} (3) f : Z→N，f(x)=|x|，A={-1,2} 1 f (4) f : S→R， ( x ) ,S=［0,+∞)，A=［0,7) x 1 (5) f : [0,1]→[a,b], a ≠b, f (x)=(b-a) x +a, A=[0,1/2)
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
2)函数的相等 定义：设 f : A→B，g : C→D，如果A=C，B＝D， 且对每一x∈A，有f(x)＝g(x)，称函数 f 等 于g，记为 f=g。
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
3)函数的个数
思考：设A={a,b}, B={1,2,3}，由A→B能生成多
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第四章
函数
4.1 函数的基本概念
说明: （1）设 f:X→Y，如果存在c∈Y，使得对所有 的x∈X都有f(x)=c，则称f:X→Y是常函数。 （2）任意集合A上的恒等关系IA为一函数，常 称为恒等函数，因为对任意x∈A都有IA(x)=x 。
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第四章
函数

：
4.1 函数的基本概念
(3)设A为集合，对于任意的A′A，A′的特征函数 xA→{0，1} 定义为 A
少个不同的函数？由B→A能生成多少个
不同的函数？
解: 设 fi : A→B (i=1,2,…，9)，
gi : B→A (i=1,2,…，8)，
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
f1={〈a,1〉,〈b,1〉} f2={〈a,1〉,〈b,2〉} f3={〈a,1〉,〈b,3〉} f4={〈a,2〉,〈b,1〉} f5={〈a,2〉,〈b,2〉} f6={〈a,2〉,〈b,3〉} f7={〈a,3〉,〈b,1〉} f8={〈a,3〉,〈b,2〉} f9={〈a,3〉,〈b,3〉}
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第四章
4.2.1 复合函数 4.2.2 逆函数
函数
4.2 复合函数与逆函数
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第四章
函数
4.2 复合函数与逆函数 4.2.1 复合函数 定理：设 f: A→B，g: B→C，则复合关系f g为 A到C的函数，称为函数 f 和 g 的复合函数。 证明：首先证明 Dom (f g)=A。 对任一x∈A，有y∈B，使〈x,y〉∈ f； 对这一y，有z∈C，使得〈y,z〉∈g， 因此〈x,z〉∈f g。故x∈ Dom (f g)。 Dom (f g)=A得证。
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念 定理：设|A|=m，|B|=n，那么{f | f:A→B}的基 数为 nm，即共有nm个A到B的函数。 因此，当A、B是有限集合时，我们以B A记 所有A到B的全体函数的集合，即： B A={f | f: A→B} 则|B A|=|B| |A|。
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第四章 函数
第四章
函数
4.1 函数的基本概念 4.2 复合函数与逆函数
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第四章
函数
函数是最基本的数学概念之一，也 是最重要的数学工具。初等数学中函数 定义为“对自变量每一确定值都有一确 定的值与之对应的因变量”；高等数学 中函数又被定义为两集合元素之间的映 射。
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第四章
函数
现在，我们要把后一个定义作进一步的深化， 用一个特殊关系来具体规定这一映射，称这个特 殊关系为函数，因为关系是一个集合，从而又将 函数作为集合来研究。离散结构之间的函数关系 在计算机科学研究中也已显示出极其重要的意义。 我们在讨论函数的一般特征时，总把注意力集中 在离散结构之间的函数关系上，但这并不意味着 这些讨论不适用于其它函数关系。
f*f(x)=f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3
g*g(x)=g(g(x))=(x 2+1) 2+1=x 4+2x 2+2
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第四章

函数
4.2 复合函数与逆函数
所以 g*f ={〈x,4x 2+4x+2〉|x R}
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
例1：设A={a,b}，B={1,2,3}，判断下列集合是否 是A到B的函数。 F1={〈a,1〉,〈b,2〉}， F2={〈a,1〉,〈b,1〉}， F3={〈a,1〉,〈a,2〉}, F4={〈a,3〉}
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
例2：下列关系中哪些能构成函数？ （1）{〈x,y〉|x,y∈ N, x+y<10} （2）{〈x,y〉|x,y∈ N, x+y=10} （3）{〈x,y〉|x,y∈ R, |x|=y} （4）{〈x,y〉|x,y∈ R, x=|y|} （5）{〈x,y〉|x,y∈ R, |x|=|y|}
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第四章
函数
4.2 复合函数与逆函数
我们注意到，〈x,z〉∈f g是指存在y使〈x,y〉∈f 且〈y,z〉∈g，即y=f(x)，z=g(y)=g(f(x))，因而 f g(x)=g(f(x))。
这就是说，当 f, g为函数时，它们的复合作用于 自变量的次序刚好与合成的原始记号的顺序相反。故 我们约定把两个函数 f 和 g 的复合记为g * f(简记为gf)。
4.1 函数的基本概念 该定理当A或B中至少有一个集合是空集 时，可分成下面两种情况： (1)当A＝B= 时，B A={}。 (2)当A= 且B≠ 时，B A={}。 (3)当A≠ 且B= 时，B A=。
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
4.1.2 特殊函数类 定义: 给定函数 f : X→Y， (1)如果函数 f 的值域 Ran f=Y，即Y的每一个元 素都有像源，则称 f : X→Y为满射函数。 (2)对于任意 x1, x2∈X,若 x1≠x2，则有f(x1)≠f(x2)， （或者当 f(x1)=f(x2)时必有x1=x2）, 则称 f 为单射函 数。
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
说明：对于函数 f：X→Y，f 的前域dom(f )=X就是函 数 y= f(x)的定义域，有时也记为 D f ；f 的值 域ran(f ) Y , 有时也记为R f 。 对于Df=X，f(X)也可用来表示f的值域，即 f(X)={y|y∈Y∧x(x∈X∧y=f(x))}。并称f(X) 为函数f的像。 注意：区别函数值和像两个不同的概念。函数值f(x) ∈Y，而像f(A) Y。
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第四章
函数
4.2 复合函数与逆函数
再证f g的单值性。 设对任意x∈A有z1、z2，使〈x,z1〉∈f g且〈x,z2〉 ∈f g。那么存在y1、y2，使〈x,y1〉∈f且〈y1,z1〉 ∈ g，〈x,y2〉∈f且〈y2, z2 〉∈g。 由 f 为函数可知y1=y2；又由g为函数可知z1=z2。 f g为A到C的函数得证。
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第四章 函数
4.1 函数的基本概念
g1={〈1,a〉,〈2,a〉,〈3,a〉} g2={〈1,a〉,〈2,a〉,〈3,b〉} g3={〈1,a〉,〈2,b〉,〈3,a〉} g4={〈1,a〉,〈2,b〉,〈3,b〉} g5={〈1,b〉,〈2,a〉,〈3,a〉} g6={〈1,a〉,〈2,a〉,〈3,b〉} g7={〈1,b〉,〈2,a〉,〈3,b〉} g8={〈1,b〉,〈2,b〉,〈3,b〉}
第明： (1) 关于集合的特征函数：设A为集合，A的每 一个子集A′都对应于一个特征函数，不同的子 集则对应于不同的特征函数。 (2) 自然映射g给定集合A和A上的等价关系R， 就可以确定一个自然映射g:A→A/R。