(完整word版)高中数学专题训练(教师版)—线性回归

高中数学专题训练（教师版）—线性回归一、选择题1．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A.y ^＝x ＋1B.y ^＝x ＋2C.y ^＝2x ＋1D.y ^＝x －1答案 A解析 画出散点图，四点都在直线y ^＝x ＋1.2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是( )A ．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度B ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大C ．|r |≤1，且|r |越接近0，相关程度越小D ．|r |≥1，且|r |越接近1，相关程度越小答案 D3．由一组样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^＝a ＋bx ，下面有四种关于回归直线方程的论述：(1)直线y ^＝a ＋bx至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点； (2)直线y ^＝a ＋bx 的斜率是∑n i ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2； (3)直线y ^＝a ＋bx 必过(x ，y )点；(4)直线y ^＝a ＋bx 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑n i ＝1 (y i －a －bx i )2是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线．其中正确的论述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 D解析 线性回归直线不一定过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的任何一点；b ＝∑n i ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2就是线性回归直线的斜率，也就是回归系数；线性回归直线过点(x ，y )；线性回归直线是平面上所有直线中偏差∑n i ＝1 (y i －a －bx i )2取得最小的那一条．故有三种论述是正确的，选D.4．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有( )A ．b 与r 的符号相同B ．a 与r 的符号相同C ．b 与r 的符号相反D ．a 与r 的符号相反答案 A5．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R 2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是( )A ．甲B ．乙C ．甲、乙相同D ．不确定答案 A6．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑8 i ＝1x i ＝52，∑8 i ＝1y i ＝228，∑8 i ＝1x 2i ＝478，∑8 i ＝1x i y i ＝1849，则其线性回归方程为( )A.y ^＝11.47＋2.62xB.y ^＝－11.47＋2.62xC.y ^＝2.62＋11.47xD.y ^＝11.47－2.62x答案 A解析 利用回归系数公式计算可得a ＝11.47，b ＝2.62，故y ^＝11.47＋2.62x .二、填空题7．下表是某厂1由散点图可知，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于______．解析x ＝2.5，y ＝3.5，∵回归直线方程过定点(x ，y )，∴3.5＝－0.7×2.5＋a .∴a ＝5.25.8．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件． (参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1n x 2i －n x 2，a ＝y －b x )答案 46解析 由所提供数据可计算得出x ＝10，y ＝38，又b ≈－2代入公式a ＝y －b x 可得a ＝58，即线性回归方程y ^＝－2x ＋58，将x ＝6代入可得．9．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别．________.答案 392×(39×167－29×157)268×324×196×196≈1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 解析 提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K 2＝392×(39×167－29×157)268×324×196×196≈1.78. 当H 0成立时K 2≈1.78，而K 2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H 0.也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．三、解答题10．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2010年12月1日至12月5日的每天昼夜温差据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠？解析 (1)设抽到不相邻的两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)其中数据为12月份的日期数．每种情况都是可能出现的，事件A 包括的基本事件有6种：所以P (A )＝610＝35.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是35.(2)由数据，求得x ＝12，y ＝27.由公式，求得b ＝52，a ＝y －b x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)当x ＝10，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|＜2； 同样，当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|＜2； 所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x (个)2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5 3 4 4.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？ (注：b ＝∑n i ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x )解析 (1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑4 i ＝1x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑4 i ＝1x 2i ＝54，∴b ＝0.7， ∴a ＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05.回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时 )． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．12．(2010·辽宁卷)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2) 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80) 频数30402010 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85) 频数1025203015(ⅰ)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；(ⅱ)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9% 的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝合计n＝附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解析(ⅰ)可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．(ⅱ)表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物A a＝70b＝30100注射药物B c＝35d＝65100K 2＝200×(70×65－35×30)2100×100×105×95≈24.56. 由于K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．。