多重比较及方差齐性检验
单因素方差分析(3)
是固随（（Ⅲ随当当，定机34（、N机））等FF对不模模<>3若效=方FF计 判于）等型型00拒..应差i00算断不判方=a：：551，，绝模时统假等断n差当PPiH当当当型：计设重，假时><0FS00时FFF：进量复设：..S>00><<进TFH55行FFF的T， ，0a=0行00.0L0...平m0005S接拒555:，i平，D，，h=a方1a受绝检P均PPPn2j和<n=<假假e>>验1数=0’000，sx.设设或...00成i0T002j5总5255；，D，对，等，，的uHx同N拒n检拒检接接.2.观cA时绝a，验绝验受受n测:进H等SH。HH次S0行2000检、A、、、数成=验接接拒 拒不0对1n；受受绝绝再ti=n检1是HHHHx验AAAAai2.n::::。次ii22xN，.2. 而0000。；；。
计之前就要明确关于模型的基本假设。对于单因素方差分析 来说，两种模型无多大区别。
10
第八章 单因素方差分析
三、单因素方差分析的检验及例题验算
（样固本一定的）效方方应式差模不型分同与，析随致的机使检效所验应得模程结型论序方不差同分。析随的机程效序应完模全型一适样用，于但水由平于的获总得体， 而1固、定正效规应检模验型只程适序用于所选定的α个水平。也就是说，随机效应模型 可2推、Ⅰ断单总方因体差素状齐方况性，差而检分固验析定的效实应模战型检不验能程推序断总体状况。 （1Ⅱ（）方1零）差假假分设设析：检假验设样本间平均数差异不显著；
11
第八章 单因素方差分析
三、单因素方差分析的检验及例题验算
方差分析之多重比较
方差分析之多重比较目前对于均数的多重比较的方法较多，例如SPSS软件共提供18种均数的多重比较的方法。
对于均数多重比较，当资料满足正态性方差齐性时，可采用的比较方法有LSD法、Bonferroni法、Sidak法、Scheffe法、R-E-G-W F法、R-E-G-W Q法、S-N-K法、Tukey法、Tukey-b法、Duncan法、Hochberg GT2法、Gabriel法、Waller Duncan法、Dunnett法；当资料满足正态性但不符合方差齐性时，可采用Tamhane T2法、Dunnett T3、Games-Howell法、Dunnett C法。
1.常见的多重比较方法介绍1.1 LSD法原理：LSD与独立样本t检验非常相近，主要差别在于LSD法在首先满足F检验达到显著的基础上，将F检验的误差均方作为合并方差。
优点：在ANOVA中F检验显著时，LSD方法是检验效率最高的多重比较方法.缺点：①涉及过多的要比较均数对；②犯I型错误的概率较高；③这种方法只控制了每次比较犯I型错误概率，没有对总犯I型错误概率进行控制。
1.2 Bonferroni法原理：利用Bonferroni不等式来控制多次比较的总I型错误，Bonferroni不等式是指一个或多个事件发生的总概率不高于这些事件各自发生概率的加和。
通过将每次检验的α设置为总α除以检验次数，从而控制总α。
优点：用途最广，几乎可用于任何多重比较的情形，包括组间例数相等或不等、成对两两比较或综合多重比较等。
缺点：会增加犯Ⅱ型错误的概率。
1.3 Sidak法原理：基本思路与Bonferroni法接近，只是在调整仅值时采用不同的策略。
若控制单次比较犯I型错误的概率为αpc，一次比较不犯I型错误的概率为1-αpc，n次比较均不犯I型错误的概率为(1-αpc)n，则n次比较总的犯I型错误的概率为1-(1-αpc)n。
优点：调整多重比较的显著性水平，提供比Bonferroni 更严密的边界。
多组间比较检验方法
多组间比较检验方法
首先，方差分析（ANOVA）是用来比较两个以上组别的均值是否
存在显著差异的统计方法。
当方差齐性假设成立时，可以使用单因
素方差分析；当方差齐性假设不成立时，可以使用Welch修正的ANOVA方法。
其次，Kruskal-Wallis检验是一种非参数检验方法，用于比较
两个以上独立组别的中位数是否存在显著差异。
它适用于数据不满
足正态分布或方差齐性的情况。
另外，Friedman检验是用于比较三个以上相关样本的非参数检
验方法，适用于重复测量设计或配对设计的数据。
此外，多重比较方法用于解决多组间比较时产生的问题，如误
差率的调整和多重比较校正。
常见的多重比较方法包括Bonferroni
校正、Tukey-Kramer校正、False Discovery Rate（FDR）校正等。
在选择多组间比较检验方法时，需要考虑数据的分布特征、方
差齐性、样本的独立性以及实验设计等因素。
不同的方法适用于不
同的数据类型和研究设计，选择合适的方法对于得出准确的统计结
论至关重要。
最后，需要注意在进行多组间比较时，应该进行适当的多重比较校正，以控制整体的显著性水平，避免产生误导性的统计结论。
方差分析中的方差齐性检验
⽅差分析中的⽅差齐性检验⽅差分析中的⽅差齐性检验_⽅差齐性检验结果分析_⽅差分析齐性检验⽅差分析时的⽅差齐性检验是⽅差分析的前提条件，还是只是后⾯进⾏均值的多重⽐较时选择分析⽅法的依据？看过⼏本书，这两种观点都有。
我看⽅差分析的假设中就有⼀条是要求⽅差齐性的，所以⽐较倾向第⼀种观点。
讨论下观点》》⽅差分析时的⽅差齐性检验观点1⽅差分析的条件之⼀为各总体⽅差相等。
因此在⽅差分析之前，应⾸先检验各样本的⽅差是否具有齐性。
常⽤⽅差齐性检验（test for homogeneity of variance）推断各总体⽅差是否相等。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点2⽅差分析可以对若⼲平均值是否相等同时进⾏检验，看它们之间是否存在显著的区别。
如果检验结果拒绝原假设，仅仅表明接受检验的这⼏个均值不全相等。
⾄于是哪个或哪⼏个与其他不等，就需要采⽤多重⽐较⽅法了。
⽅差分析时的⽅差齐性检验是⽅差分析的前提条件，若⾮齐性，可⽤异⽅差，否则，⽤等⽅差假设。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点3我觉得应该是说我们希望达到的⽬的是各个⼩总体是来⾃同⼀个总体的，那么⾃然考虑的是这些总体是同⼀个分布，我们遇到最多的是正态分布，那么正态分布的特征值期望和⽅差就很关键，我们希望检验期望是否相等，那么就要假设⽅差是相等的，这就是⽅差齐性检验。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点4⽅差分析的前提条件是正态分布和⽅差齐性，其中对正态性要求不⾼，但对⽅差齐性要求较⾼。
若⽅差不齐，不能⽤⽅差分析，可⽤⾮常数⽅法检验均值或中位数是否相等。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点5实际上，⽅差奇性检验并⾮进⾏⽅差分析的前提条件，只是选择⽬前所⽤的⼀般的⽅差分析⽅法（也就是进⾏均值⽐较⽅法）的前提条件。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点6⽅差分析的⽬的是要⽐较组间误差是否具有统计意义，具体是⽐较各单元格的均值是否存在差异，因此⽅差齐性检验就是针对各单元格的⽅差进⾏检验，如果单元格的⽅差不齐，则单元格的均值⽐较就不能⽤简单的加减法运算得出，⽽应该⽤其他⽅差不齐情况的算法。
统计推断中方差分析实现过程的细节注意事项
统计推断中方差分析实现过程的细节注意事项方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个总体均值是否存在差异。
在统计推断中进行方差分析时，有一些细节和注意事项需要注意。
本文将介绍方差分析的实现过程中需要特别关注的细节。
1. 数据的正态性检验在进行方差分析之前，需要先检验数据是否符合正态分布假设。
常用的正态性检验方法包括Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等。
如果数据不符合正态分布假设，可能需要进行数据转换或者考虑使用非参数方法。
2. 方差齐性检验方差齐性是指不同样本之间的方差是否相等。
方差分析是建立在方差齐性的基础上进行的，因此需要进行方差齐性检验。
通常使用Levene检验或Bartlett检验进行方差齐性检验。
如果方差齐性检验结果不显著，说明样本方差不等，可能会影响方差分析的结果，此时需要选择适合的非参数方法。
3. 组间平方和(SSB)和组内平方和(SSW)的计算方差分析的基本思想是将总体的方差分解为组间平方和和组内平方和。
组间平方和反映了不同组之间的差异程度，组内平方和反映了组内个体之间的差异程度。
需要注意的是，计算SSB和SSW时要根据方差齐性的检验结果选择适当的方法。
4. 计算统计量(F值或P值)在方差分析中，常常使用F值或P值来进行假设检验。
F值是组间平方和（SSB）与组内平方和（SSW）的比值，因此可以通过计算F值来判断组间的差异是否显著。
P值是指F值在给定自由度下的概率，通过与显著性水平比较来做出决策。
需要注意的是，在进行多个组间比较时，需要进行适当的多重比较校正。
5. 后续分析如果方差分析结果显示组间存在显著差异，通常需要进行后续分析来确定具体哪些组之间存在差异。
Tukey's HSD检验、Bonferroni法和Duncan多重范围检验等是常用的后续分析方法。
后续分析的目的是通过两两比较来确定特定组之间的差异情况。
多重比较方法
多重⽐较⽅法前篇讲的是两个总体样本之间的⽐较⽅法，如果有多个处理⽔平，通常使⽤三种常见的⽅法，最⼩显著差数法（LSD法）、复极差法（q 法）和Duncan⽒新复极差法（SSR法）。
本质上都属于t检验法。
因此，使⽤这三种⽅法必须满⾜⽅差齐性。
如果通过F检验p>0.05，⽅差具有齐次性。
具体操作⽅法可参考：例如，⼀个试验中k个处理平均数间可能有k(k-1)/2个⽐较，因⽽这种⽐较是复式⽐较亦称为多重⽐较（multiple comparisons)。
进⾏⽅差分析时需要满⾜独⽴样本、⽅差齐性、正态分布等条件，如果⽅差不具备齐性（F检验），可⾸先进⾏数据转换，如通过对数变换、平⽅根变换、倒数变换、平⽅根反正弦变换等⽅法变换后再进⾏⽅差齐性检验,若还不⾏只能进⾏⾮参数检验。
1：最⼩显著差数法（least significant difference，简称LSD法），LSD 法实质上是t测验。
其程序是：在处理间的F测验为显著的前提下，计算出显著⽔平为α的最⼩显著差数；任何两个平均数的差数如其绝对值≥，即为在α⽔平上显著；反之则为不显著。
举例：试以LSD法测验各种药剂处理的苗⾼平均数之间的差异显著性。
下⾯⽤字母标记法对各种药剂处理的苗⾼平均数之间的差异显著性进⾏⽐较。
⾸先约定：（1）5%⽔平的差异显著性⽤⼩写英⽂字母标记，1%⽔平的差异显著性⽤⼤写英⽂字母标记；（2）若两平均数之间差异显著⽤不同字母标记，若两平均数之间差异不显著⽤相同字母标记。
2：复极差法（q法）LSD法的t测验是根据两个样本平均数差数（k＝2）的抽样分布提出来的，但是⼀组处理(k>2）是同时抽取k个样本的结果。
抽样理论提出k=2时与k>2时，例如k=10时其随机极差是不同的，随着k的增⼤⽽增⼤，因⽽⽤k=2时的t测验有可能夸⼤k=10时最⼤与最⼩两个样本平均数差数的显著性。
基于极差的抽样分布理论，Student-Newman-Keul提出了q测验或称复极差测验，有时⼜称SNK测验（SAS软件中就是这种叫法）或NK测验。
方差齐性检验
LXK的结论：齐性检验时F越小（p越大），就证明没有差异，就说明齐，比如F=1.27，p>0.05则齐，这与方差分析均数时F越大约好相反。
LXK注：方差(MS或s2)=离均差平方和/自由度（即离均差平方和的均数）标准差=方差的平方根（s)F=MS组间/MS误差=（处理因素的影响+个体差异带来的误差）/个体差异带来的误差=================F检验为什么要求各比较组的方差齐性？——之所以需要这些前提条件，是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布，而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。
在方差分析的F检验中，是以各个实验组内总体方差齐性为前提的，因此，按理应该在方差分析之前，要对各个实验组内的总体方差先进行齐性检验。
如果各个实验组内总体方差为齐性，而且经过F检验所得多个样本所属总体平均数差异显著，这时才可以将多个样本所属总体平均数的差异归因于各种实验处理的不同所致；如果各个总体方差不齐，那么经过F检验所得多个样本所属总体平均数差异显著的结果，可能有一部分归因于各个实验组内总体方差不同所致。
简单地说就是在进行两组或多组数据进行比较时，先要使各组数据符合正态分布，另外就是要使各组数据的方差相等（齐性）。
-----------------在SPSS中，如果进行方差齐性检验呢？命令是什么？方差分析(Anaylsis of Variance, ANOVA)要求各组方差整齐，不过一般认为，如果各组人数相若，就算未能通过方差整齐检验，问题也不大。
One-Way ANOVA对话方块中，点击Options…(选项…)按扭，勾Homogeneity-of-variance即可。
它会产生Levene、Cochran C、Bartlett-Box F等检验值及其显著性水平P值，若P值<于0.05，便拒绝方差整齐的假设。
顺带一提，Cochran和Bartlett检定对非正态性相当敏感，若出现「拒绝方差整齐」的检测结果，或因这原因而做成。
方差分析
单因素方差分析（一）单因素方差分析概念理解步骤：是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。
这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。
这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。
单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。
方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。
据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（二）单因素方差分析原理总结容易理解：在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（三）单因素方差分析基本步骤1、提出原假设：H0——无差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：方差分析采用的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性水平，并作出决策（四）单因素方差分析的进一步分析在完成上述单因素方差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他几个重要分析，主要包括方差齐性检验、多重比较检验。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
由于 ，故
第2页
由此给出i - j的置信水平为1-的置信区间为 (8.2.1)
其中
是 2的无偏估计。
这里的置信区间与第六章中的两样本的t区间基本一致，区别在 于这里 2的估计使用了全部样本而不仅仅是两个水平Ai, Aj下的 观测值。
8 November 2018
这说明它们同时发生的概率可能比1 小很多。 为了使它们同时发生的概率不低于1，一个办法是把每个事件发生 的概率提高到1 /k. 这将导致每个置信区间过长，联合置信区间 的精度很差，一般人们不采用这种方法。
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第5页
在方差分析中，如果经过F检验拒绝原假设， 表明因子A是显著的，即r个水平对应的水平均 值不全相等，此时，我们还需要进一步确认哪 些水平均值间是确有差异的，哪些水平均值间 无显著差异。
第八章 方差分析与回归分析
第9页
重复数相同时多重比较可总结如下：对给定的的显 著性水平 ，查多重比较的分位数q(r,fe)表，计 算 ，比较诸 与c的大小，若 则认为水平Ai与水平Aj间有显著差异，反之，则认为 水平Ai与水平Aj间无明显差别。这一方法最早由 Turkey提出，因此称为T法。
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第8页
于是当 (8.2.2) 成立时，1== r = ，可推出
其中 ，称为t化极差统计 量，其分布可由随机模拟方法得到。 于是 , 其中q1(r, fe)表示q(r, fe)的 1 分位数，其值在附表8中给出。
8 November 2018
嘉兴学院
诸临界值应在（8.2.2）成立时由P(W)= 确定。下 面分重复数相等和不等分别介绍临界值的确定。
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第7页
8.2.3 重复数相等场合的T法
在重复数相等时，由对称性自然可以要求诸cij 相等，记为c. 记 ，则由给定条件不难 有
8 November 2018
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
8.2.2 多重比较问题
第4页
对每一组(i, j)， (8.2.1) 给出的区间的置信水平都是1 ，但对多个 这样的区间，要求其同时成立，其联合置信水平就不再是1 了。 譬如，设E1 , …, Ek是k个随机事件，且有 P(Ei)=1，i=1 ,…,k ，则其同时发生的概率
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第10页
8.2.4 重复数不等场合的S法 在重复数不等时，若假设 (8.2.2) 成立，则
或
从而可以要求
，在此要求下可推出
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第11页
可以证明 从而
，
亦即
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第16页
8.3.1 Hartley检验
当各水平下试验重复次数相等时，即 m1=m2==mr=m,Hartley提出检验方差相等的检 验统计量： （8.3.2） 这个统计量的分布无明显的表达式，但在诸方差 相等条件下，可通过随机模拟方法获得H分布的 分位数，该分布依赖于水平数r 和样本方差的自 由度f=m1，因此该分布可记为H (r，f)，其分位 数表列于附表10上。
8 November 2018
（8.3.1）
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第15页
很多统计学家提出了一些很好的检验方法， 这里介绍几个最常用的检验，它们是：
Hartley检验，仅适用于样本量相等的场合； Bartlett检验，可用于样本量相等或不等 的场合，但是每个样本量不得低于5； 修正的Bartlett检验，在样本量较小或较 大、相等或不等场合均可使用。
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第14页
§8.3 方差齐性检验
在进行方差分析时要求r个方差相等，这称为方差齐性。 理论研究表明，当正态性假定不满足时对F检验影响较 小,即F检验对正态性的偏离具有一定的稳健性，而F检 验对方差齐性的偏离较为敏感。所以r个方差的齐性检 验就显得十分必要。 所谓方差齐性检验是对如下一对假设作出检验：
第12页
例8.2.3 在例8.1.4中，我们指出包装方式对食品销量 有明显的影响，此处r=4, fe =6, ，若取 =0.05 ，则F0.95(3,6)=4.76。注意到m1= m4=2，m2= m3=3，故
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与明A1 , A2 , A3间无显著差异，A1 , A2与A4有 显著差异，但 A4与A3 的差异却尚未达到显著水 平。综合上述，包装A4销售量最佳。
第八章 方差分析与回归分析
第1页
§8.2 多重比较
8.2.1 效应差的置信区间
如果方差分析的结果因子A显著，则等于说 有充分理由认为因子A各水平的效应不全相 同，但这并不是说它们中一定没有相同的。 就指定的一对水平Ai与Aj，我们可通过求i j的区间估计来进行比较。
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
第3页
例8.2.1
继续例8.1.2， 则t1-/2( fe )= t0.975(21)=2.0796，
，fe=21，取＝0.05 ，
于是可算出各个置信区间为
可见第一个区间在0的左边，所以我们可以概率95%断言认为1 小于2，其它二个区间包含0点，虽然从点估计角度看水平均值估 计有差别，但这种差异在0.05水平上是不显著的。
同时比较任意两个水平均值间有无明显差异的 问题称为多重比较，多重比较即要以显著性水 平同时检验如下r(r1)/2个假设：
（8.2.2）
8 November 2018
嘉兴学院
第八章 方差分析与回归分析
ij
第6页
直观地看，当H0 成立时， 不应过大，因此， 关于假设(8.2.2)的拒绝域应有如下形式