高斯公式
高斯公式
高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式是∫∫（(əQ/əx)-(əP/əy)）dxdy。
散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
散度定理经常应用于矢量分析中。
矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。
在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。
然而，它可以推广到任意维数。
在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。
从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。
高斯定律的公式
高斯定律的公式高斯定律是电磁学中的一个重要定律，它的公式为：∮E·dS =Q/ε₀。
这个公式看起来可能有点复杂，但其实理解起来也没有那么难啦。
先来说说这个公式里的各个部分。
“∮”表示的是闭合曲面的面积分，简单说就是对一个封闭的曲面进行某种计算。
“E”呢，代表电场强度。
“dS”表示面积元，想象一下把一个曲面切成一小块一小块的，每一小块就是一个面积元。
“Q”表示封闭曲面内包含的电荷量，而“ε₀”是真空介电常数，这是一个固定的值。
咱们来想象一个有趣的场景，就像一个装满了小球（电荷）的大箱子。
箱子的表面就好比是那个闭合曲面。
电场就像是从这些小球向外发射的“力量线”。
高斯定律说的就是，通过计算箱子表面上这些“力量线”的总和，就能知道箱子里面到底有多少小球。
那高斯定律在实际中有啥用呢？比如说，在设计电容器的时候就派上大用场啦。
电容器就是能够储存电荷的器件。
通过高斯定律，工程师们可以算出电容器内部电场的分布情况，从而优化电容器的设计，让它能储存更多的电荷，或者在更小的体积内实现相同的储存效果。
再比如，在研究带电粒子在电场中的运动时，高斯定律能帮助我们更好地理解电场对粒子的作用。
想象一下一个带电的小粒子在电场中飘来飘去，就像一只迷路的小蜜蜂。
高斯定律可以告诉我们，周围的电场是怎么影响它的飞行轨迹的。
给大家讲个我曾经的经历吧。
有一次，我给学生们讲解高斯定律，他们一个个都皱着眉头，满脸困惑。
我就想啊，得找个形象的例子让他们明白。
于是我拿出了一堆小磁珠，还有一块大板子，模拟电场和电荷。
当我用这个简单的道具演示了一遍之后，孩子们的眼睛突然亮了起来，纷纷说：“老师，我懂啦！”那一刻，我真的特别有成就感。
学习高斯定律，就像是打开了一扇通往电磁世界的神秘大门。
虽然一开始可能会觉得有点难，但只要耐心琢磨，多联系实际，就能发现其中的乐趣和奇妙之处。
回到公式本身，大家可别被它的外表吓到。
只要我们一步一步来，先理解每个符号的含义，再通过实际的例子去感受，掌握高斯定律并不是遥不可及的梦想。
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
高斯公式的表达式
高斯公式的表达式
高斯公式是18世纪德国数学家卡尔·马克思·高斯发明的一个知名的数学理论，用来求解多项式次方，如二次多项式的极值、四边形的面积等复杂问题。
其公式体现在各种数学、物理中，在用法亦十分广泛，即它可以口头表达，也可以用代数和几何等等各种数学形式表达。
高斯公式定义为：((x-a)(x-b))ⁿ=C(x-a)(x-b)¹¹⁰¹⁰...,(1)
其中a和b是多项式的系数，n是次方，C是常数项。
可以看出，高斯公式中包含了三个变量，通过这三个变量的变化，可以求出多种不同的数学结果。
高斯公式的广泛用途反映在多个领域中。
它经常用于分析二次多项式的极大值和极小值的位置。
此外，它还被用于数学归纳法，计算面积、计算积分和密度函数等方面，也可以用来解决有关组合数学和概率统计的问题。
在数学、物理学以及其他学科领域中，高斯公式是不可或缺的重要工具，它可以帮助我们解决复杂的数学问题。
其优秀的计算性能以及准确的结果被广泛应用于不同学科，从而极大地推动了科学发展。
高斯公式
高斯公式（Gauss Formula ）(一) 高斯公式：1st 导论：格林公式表达了平面闭区域D 上的二重积分与D的边界曲线的曲线积分的关系，而gauss formula 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲线上的曲面积分之间的关系。
2nd 定理1：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面组成，函数∑(,,)P x y z ，，(,,)Q x y z (,,)R x y z 在上具有一阶连续偏导数，则： ∑()(P Q R dv Pd )ydz Qdxdz Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫ 或者： ……gauss formula ()(cos cos co P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫ s )这里，是整个边界区域的外侧，∑(cos ,cos ,cos )αβγ是上点∑(,,)x y z 处的法向量的方向余弦。
(二) 沿任意闭区曲面的曲面积分等于0的条件：A. 二维单连通区域：对空间区域G ，如果G 内任意闭曲面所围成的闭曲面总是属于G ，则称空间区域G 是二维单连通区域。
B. 设G 是空间而为单连通区域，，，(,,)P x y z (,,)Q x y z (,,)R x y z 在G 内具有一阶连续偏导数，则曲面积分：(P Q R dv x y z )Ω∂∂∂++∂∂∂∫∫∫在G 上与所取曲面∑无关，而只取决于∑的边界曲线（或者沿G 内任一闭曲面的曲面积分为0）的充要条件是：0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂；、(三)通量与散度总结：一般地，设某向量场由：(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q i j x y A z R x y z =++u r k r r r给出，其中 PQR 具有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，是上一点n r ∑(,,)x y z 处的单位法向量，则A n dS ∑⋅⋅∫∫u r r 叫做向量场A u r 通过曲面指定侧的通量（或者流量），而∑P Q R x y ∂∂∂++∂∂∂z 称作向量场A u r 的散度：P Q R x v zdi A y ∂∂∂++∂∂∂=u r GAUSS FORMULA 可以写成：()(nP Q R dv Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z div AdS A dSΩ∑Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂==∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫r u r u r )其中是空间闭区域的边界曲面，而∑Ωcos cos cos n A P Q R αβγ=++r表示向量A u r 在曲面外侧法向量上的投影。
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
高斯定理等差数列求和公式
高斯定理等差数列求和公式
高斯定理，又称高斯求和公式，是指对于等差数列的前n项和
的求和公式。
设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S_n。
高斯定理给出了S_n的计算公式：
S_n = n/2 (2a + (n 1)d)。
其中，n为项数，a为首项，d为公差。
这个公式的推导可以通过多种方法，其中一种常见的方法是利
用等差数列的性质，将数列的前n项和S_n与数列的倒序排列的前
n项和相加，得到一个常数，再通过这个常数的求和公式进行推导。
这个公式在数学和物理等领域有着广泛的应用，可以用来快速计算
等差数列的前n项和，从而简化问题的求解过程。
除了高斯定理，还有其他方法可以求解等差数列的前n项和，
比如利用数学归纳法、通项公式等。
在实际问题中，根据具体情况
选择合适的方法进行求解，可以提高计算效率和准确性。
总之，高斯定理是求解等差数列前n项和的一种常用公式，通
过这个公式可以快速、准确地计算等差数列的和，对于数学和实际问题的求解都具有重要意义。
高斯公式
(
u x
v x
u v y y
u v )dv z z
二、通量与散度
定义1 给了向量场
A(x, y, z) ( P (x, y, z) ,Q (x, y, z) , R (x, y, z) )
又 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，则称
P Q R 为向量场 A 的散度，记为 x y z
S 1
S
2
R[x, y, z1( x, y)]dxdy
1 : z z1(x, y) y
Dxy
o
0
Dxy
x
R[x, y, z2( x, y)]dxdy
Dxy
{R[x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
D xy
z 2 : z z2( x, y)
(0 , 0, 1) (cos ,cos ,cos )
cos 0，cos 0，cos 1
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
1
( x2 0 y2 0 z2 1)dS
z
1
z2dS
o
(x, y)
R( x, y, z)
z2(x, y)
dxdy
x
Dxy
D xy
z1( x, y)
{R[x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
D xy
z 2 : z z2( x, y)
Rdxdy
Rdxdy Rdxdy Rdxdy
1(外) S0 (下)
高斯问题的公式
高斯问题的公式
高斯问题的公式是指用于计算正态分布概率密度函数的公式，也被称为高斯分布或钟形曲线。
该公式的表达式为：
f(x) = 1/σ√(2π) e^(-(x-μ)^2/2σ^2)
其中，μ表示概率密度函数的均值，σ表示标准差，e表示自然常数，π表示圆周率。
根据这个公式，可以计算任意一个正态分布概率密度函数在不同x处的取值。
其图像呈现出钟形曲线的形状，左右两边渐进于0，峰值处为均值μ，标准差σ越大，曲线越平缓。
高斯分布在统计学中应用广泛，例如用于分析实验数据的误差分布，建立模型等。
此外，在自然界中也有很多符合高斯分布的现象，例如身高、体重、智力等。
- 1 -。
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2. 简单应用
例1 计算曲面积分
∫∫ ( x − y )dxdy + ( y − z ) xdydz，
Σ
其 中 Σ 为 柱 面 x + y = 1及 平 面 z = 0， z = 3
2 2
所 围 成 的 空 间 闭 区 域 Ω的 整 个 边 界 曲 面 的 外 侧.
4
解 P = ( y − z ) x , Q = 0, R = x − y , z 3 ∂P ∂Q ∂R = y − z, = 0, = 0, ∂x ∂y ∂z
其中 Σ 为锥面 x + y = z 介于平面 z = 0 及 z = h( h > 0 )之间的部分的下侧， cos α , cos β , 之间的部分的下侧， cos γ 是 Σ 在 ( x , y , z ) 处的法向量的方向余弦 .
解 由第二型曲面积分的定义
原式 = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
Σ Ω . 这里 是 的整个边界曲面的外侧
2
由两类曲面积分之间的关系知
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv Ω = ∫∫ ( P cosα + Qcos β + Rcosγ )dS.
Σ
Gauss公式的实质 Gauss公式的实质 揭示了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 其边界曲面上的曲面积分之间的关系
原式 = ∫∫∫ ( y − z )dxdydz
= ∫∫∫ ( ρ sinθ − z ) ρ d ρ dθ dz
= ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ ( ρ sin θ − z )dz
9π π =− . 2
0 0 0
Ω
o x
Ω 2π
1
1
y
1
3
(利用柱面坐标 利用柱面坐标) 利用柱面坐标
5
使用Guass公式时应注意 公式时应注意: 使用 公式时应注意
2 2
h x +y
2 2
zdz
Dxy
Σ
o
1 4 = ∫∫ ( h − x − y )dxdy = π h 2 Dxy
2
y
x
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = ∫∫ z dxdy(Q Σ1在yoz和zox面上投影面积为零 )
2 2 2 Σ1
2 Σ1
=
h dxdy = πh4 . ∫∫
2 2 2
曲面Σ不是封闭曲面 曲面Σ不是封闭曲面, 为利用高斯公式
Σ
补充Σ1 : z = h ( x + y ≤ h ) z
2 2 2
Σ1取上侧， 取上侧，
Σ + Σ1构成封闭曲面外侧，
Σ1
h
Σ + Σ1围成空间区域 Ω，
Σ
在 Ω 上使用高斯公式 ,
oyxຫໍສະໝຸດ Σ+Σ1∫∫
x dxdy + y dzdx + z dxdy = 2∫∫∫ ( x + y + z )dv
2 2 2
其中 Σ 为半球体
的整个表面曲面的外侧. 的整个表面曲面的外侧 .
解 P = xz 2 , Q = x 2 y − z 3 , R = 2 xy + y 2 z
∂P ∂Q ∂R 2 2 2 + + =z +x +y ∂x ∂y ∂z
Ω：≤ z ≤ a − x − y 0
2 2
2
原式 = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dv
2 2 2
= 2 ∫∫ dxdy ∫
Dxy
h x +y
2 2
Ω
( x + y + z )dz
Q ∫∫ dxdy ∫
Dxy
h
( x + y )dz = 0, (由对称性 ) x2 + y2 z
Σ1
其中Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ h2 }.
h
= 2 ∫∫ dxdy ∫
Dxy
高斯（Gauss)公式及其应用 高斯（Gauss)公式及其应用
牛顿—莱布尼兹公式 牛顿 莱布尼兹公式
∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
b a
格林公式
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = D
∫
L
Pdx + Qdy
立体与其表面曲面上积分间的关系？ 立体与其表面曲面上积分间的关系？
1.高斯（Gauss)公式 1.高斯（Gauss)公式 高斯 定理3 定理
( 设空间闭区域Ω是由光滑 或分片光滑) 曲面Σ所围成，函数P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dv= Ω
2 D xy
故所求积分为
原式 =
Σ+Σ1
∫∫ − ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy
2 2 2 Σ1
1 4 = π h − π h 4 = − 1 πh4 . 2 2
练习 计算曲面积分
∫∫
Σ
xz 2 dydz + ( x 2 y − z 3 )dzdx + (2xy + y 2 z )dxdy， 0≤ z≤ a − x − y
Ω
= ∫∫∫ r 2 .r 2 sin ϕ .drdϕ .dθ
Ω
（球面坐标）
= ∫ dθ ∫ sin ϕ dϕ ∫ r 4 dr
0 2 0 0
2π
π
a
2 5 = πa 5
思考题 曲面应满足什么条件才能使高斯 公式成立？ 公式成立？
思考题解答 曲面应是分片光滑的闭曲面. 曲面应是分片光滑的闭曲面
作业： 作业： P .174 习题 习题10-6
1.(1), (2) , (4) 2.(2)
是对什么变量求偏导数; 1.P, Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件 2.是否满足高斯公式的条件; 是否满足高斯公式的条件;
3.Σ是取闭曲面的外侧. 3.Σ是取闭曲面的外侧.
例 2 计算曲面积分
∫∫ ( x
Σ
2
cos α + y cos β + z cos γ )dS，
2 2 2 2 2