6-3分段线性化方法
自动控制原理第七章
2013-12-13
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4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
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23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
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若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
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c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
非线性电路
非线性电路学习报告电路是由电气、电子器件按某种特定的目的而相互连接所形成的系统的总称。
当电路中至少存在一个非线性电路元件时（例如非线性电阻、非线性电感元件等），其运动规律要由非线性微分方程或非线性算子来描述，我们称之为非线性电路或非线性系统。
一、非线性电路的特点：1、非线性电路不满足叠加定理是否满足叠加定理是线性系统与非线性系统之间的最主要区别。
2、非线性电路的解不一定唯一存在对于仅由非线性电阻元件组成的电阻性电路，或考察非线性动态电路的稳态性质时，其电路的特性有一组非线性代数方程来描述。
这组方程可能有唯一解，也可能有多个解，甚至可能根本无解。
因此，在求解之前，应该对系统的解得性质进行判断。
3、非线性系统平衡状态的稳定性问题线性系统一般存在一个平衡状态，并且很容易判断系统的平衡状态是否稳定。
而非线性系统往往存在多个平衡状态，其中有些平衡状态是稳定的，有些平衡状态则是不稳定的。
4、非线性电路中的一些特殊现象在非线性电路中常常会发生一些奇特的现象，这些奇特的现象在过去和现在一直都是非线性电路理论的重要研究课题，促进了非线性理论的研究和发展。
例如，非线性电路在周期激励作用下的次谐波振荡和超次谐波振荡；系统解的形式因为参数的微小变化而发生本质性改变的分叉现象；对于某些非线性电路和系统，还会出现一种貌似随机的混沌现象。
分叉和混沌现象的研究大大丰富了非线性系统科学的理论，促进了系统科学的发展。
二、非线性电阻电路非线性电阻电路研究的内容大体可分为理论定性分析和定量分析两大部分。
理论定性分析主要研究非线性电阻电路解得存在性和唯一性问题。
对于由无源电阻网络组成的网络，其无增益性质也是研究的重要内容之一。
定量分析大体包含四个方面：一是图解分析法和小信号分析法，二是数值分析方法，三是分段线性化方法，四是友网络法。
1、图解分析方法图解分析法用来解决简单非线性电阻电路的工作点分析、DP图和TC图分析等问题。
(1)曲线相交法：将其中一些非线性元件用串并联方法等效为一个非线性电阻元件，将其余不含非线性电阻的部分等效一个戴维南电路，画出这两部分电路的伏女關线，它们的交点为电路的丄作点，或称为静态丄作点Q(U Q,I Q)O图1曲线相交法(2)DP图法：若某非线性一端口网络的端口伏安矢系也称为驱动点特性曲线DP确定，则已知端口的激励波形，通过图解法可求得响应的波形。
热电偶最优化分段最小二乘拟合线性化处理方法
热电偶最优化分段最小二乘拟合线性化处理方法Ξ赵明富1,2 廖强2 钟连超1 罗渝微1(1重庆工学院电子信息工程与自动化学院,重庆400050;2重庆大学动力学院工程热物理研究所,重庆400044)摘 要 针对虚拟测温仪器中的热电偶线性化问题,提出了一种适合多种热电偶和热电阻的在线拟合方法,该方法是一种基于最小二乘法低阶分段曲线拟合来实现热电偶的软件线性化处理方法,通过软件编程实现了在不等测温区间内分段运用最小二乘法获得不同的拟合函数,并给出一种热电偶的拟合结果。
运用该方法可提高测温的灵活性和准确性。
关键词 热电偶 线性化 最小二乘法 拟合 热电偶由于具有结构简单、热容最小、材料的互换性好、信号能够远距离传送和多点测量,便于检测和控制等优点,因此把热电偶与计算机配合,用热电偶作为感温元件的微机化测温仪在工业生产和科学研究中得到了广泛的应用。
但由于它的热电势—温度函数关系的非线性,在应用中必须进行冷端补偿和线性补偿处理。
通常这种线性处理的方法有两大类:硬件化线性处理,如采用硬件线性化电路板来补偿;软件线性处理,即通过具体的算法,编制程序来修正。
过去常用硬件电路板来线性化处理,但存在成本较高、误差较大,电路搭配僵化,不灵活等缺点。
然而,随着计算机的广泛应用,特别是虚拟测温仪器出现的今天,软件线性化以其方法多样,拟合精度高,速度快,偏差小而被广泛应用[1～5]。
本文针对虚拟测温仪器中的热电偶线性化问题,提出了一种适合多种热电偶和热电阻的在线拟合方法,该方法是一种基于最小二乘法低阶分段曲线拟合来实现热电偶的软件线性化处理方法。
其目的为了提高虚拟测量仪器的通用性、适应性、实时性和测量精度。
一、线性化方法中的拟合原理通常在IEC584-1标准中给出的温度t和热电偶的热电势E之间的解析表达式为:E=f(t)(1)其中f(t)为高阶多项式函数或高阶多项式函数与指数函数的复合函数。
如镍铬———镍硅热电偶在温度为0～1372℃时解析表达式为:E=∑8i=0a i t i+125exp[-12(t-12765)2](2)如果已知某一时刻的温度值,就可通过计算得出热电偶在该时刻的热电势,反之亦然。
图像增强-数字图像处理
图像增强
2.图像噪声的特点 (1)噪声在图像中的分布和大小不规则,即具有随机性。 (2)噪声与图像之间一般具有相关性。 (3)噪声具有叠加性。
图像增强
3.3.2 模板卷积 模板操作是数字图像处理中常用的一种邻域运算方式,
灰度变换就是把原图像的像素灰度经过某个函数变换成 新图像的灰度。常见的灰度变换法有直接灰度变换法和直方 图修正法。直接灰度变换法可以分为线性变换、分段线性变 换以及非线性变换。直方图修正法可以分为直方图均衡化和 直方图规定化。
图像增强
3.1.1 线性变换 假定原图像f(x,y)的灰度范围为[a ,b],希望变换后图像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图像增强
例如,假定一幅大小为64×64、灰度级为8个的图像,其灰 度分布及均衡化结果如表3-1 所示,均衡化前后的直方图及变 换用的累积直方图如图3-10所示,则其直方图均衡化的处理 过程如下。
图像增强
图像增强 由式(3-12)可得到一组变换函数:
依此类推:s3=0.81,s4=0.89,s5=0.95,s6=0.98,s7=1.0。变换函 数如图3-10(b)所示。
图像增强
１
图像增强
图3-1 灰度线性变换
图像增强
图3-2 灰度线性变换示例
图像增强
3.1.2 分段线性变换 为了突出感兴趣的灰度区间,相对抑制那些不感兴趣的
灰度区间,可采用分段线性变换。常用的3段线性变换如图33所示,L 表示图像总的灰度级数,其数学表达式为
图像增强
图3-3-分段线性变换
图像增强
设r 为灰度变换前的归一化灰度级(0≤r≤1),T(r)为变换函 数,s=T(r)为变换后的归一化灰度级(0≤s≤1),变换函数T(r)满足 下列条件:
分段线性拉伸
分段线性拉伸分段线性拉伸⼀、⽬的与原理（1）⽬的：图像增强，增加对⽐度，为了突出感兴趣的⽬标或灰度区间，相对抑制那些不感兴趣的灰度区间。
常⽤是三段线性变换，即对⼀个灰度区间进⾏线性拉伸，其他的区间被压缩。
（2）原理:本⽂介绍的是三段线性拉伸，通过设置两个点将线段划分为三段，当k=1的时候，图像没变化，当k<1的时候，图像灰度被抑制，灰度值变⼩，效果是变得更暗；当k>1的是偶，图像灰度变量，可以通过调节两个点的数据增加图像的对⽐度。
三段线段的斜率：① k1 = Y1/X1;② k2 = (Y2-Y1)/(X2-X1);③ k3 = (255-Y2)/(255-X2);三段线段的函数，代⼊（x，y）和k可求得b1,b2,b3：⼆、步骤1.设置两个临界点，根据这两个点将直线分成三段2.根据点计算出三条线段的斜率3.根据斜率和点，计算出三条线段的y⽅向的偏移值4.定义⼀个⼤⼩256的数组，作为表存放每个灰度值在不同线段中的频率5.根据数组（表）填充到⽬标图像中6.显⽰图像三、源码void dividedLinearStrength(cv::Mat& matInput, cv::Mat& matOutput, float x1, float x2,float y1, float y2) {//计算直线参数//L1float fK1 = y1 / x1;//L2float fK2 = (y2 - y1) / (x2- x1);float fC2 = y2 - fK2 * x2;//L3float fK3 = (255.0f - y2) / (255.0f - x2);float fC3 = 255.0f - fK3 * 255.0f;//建⽴查询表std::vector<unsigned char> loolUpTable(256);for (size_t m = 0; m < 256; m++){if (m < x1){loolUpTable[m] = static_cast<unsigned char>(m * fK1);}else if (m > x2){loolUpTable[m] = static_cast<unsigned char>(m * fK3 + fC3);}else{loolUpTable[m] = static_cast<unsigned char>(m * fK2 + fC2);}}//构造输出图像matOutput = cv::Mat::zeros(matInput.rows, matInput.cols, matInput.type());//灰度映射for (int i = 0; i < matInput.rows; i++){for (int j = 0; j < matInput.cols; j++){Vec3b* pInput = matInput.ptr<Vec3b>(i);for (int c = 0; c < matInput.channels(); c++) {//查表gamma变换matOutput.at<Vec3b>(i, j).val[c] = loolUpTable[pInput[j].val[c]]; }}}}四、结果图。
非线性电路讲解
谢谢
伏安特性可以看成G1、 G2 、G3三个电导并联后 的等效电导的伏安特性 。
G2 =Gb- Ga G3=Gc- Gb
1.3 工作在非线性范围的运算放大器
1.理想运算放大器的饱和特性
uu+ iud i+ _ + ∞ + Usat uo o ud uo
有关系式： i 0 i 0
-Usat
解
u 100i i 3 100 0.01 0.013 1 10 6 V 忽略高次项， u 100 0.01 1
性化引起的误差很小。
当输入信号很小时，把非线性问题线 表明
3.非线性电阻的串联和并联
①非线性电阻的串联
i1
i2
i i1 i2 u u1 u2
把伏安特性分解为三个特性： 当u < U1有： G1u =Gau
G1=Ga
Ga
U1 U2
当U1 <u < U2，有：
i
G1u+G2u =Gbu G1+G2 =Gb
当U2 <u ，有： o Ga U1
Gb
U2
Gc u
G1u+G2u +G3u=Gcu G1+G2 +G3=Gc
解得： G =G 1 a
结论 隧道二极管的
u
u
非线性电阻在某一工作状态 下(如P点)的电压对电流的导数。
注意
①静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当P点 位置不同时，R 与 Rd 均变化。 ②对压控型和流控型非线性电阻，伏安特性曲 线的下倾段 Rd 为负，因此，动态电阻具有 “负电阻”性质。
例 一非线性电阻的伏安特性 u 100i i
非线性元件的特性
cos3 θ 3cos θ 4cos u 200cos314t 6cos314t 2cos942t 206 sin 314t 2 sin 942tV
3
注意 电压u中含有3倍频分量,因此利用非线
性电阻可以产生频率不同于输入频率的输出。
(3) 设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有u12= u1 + u2？
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③类型
电压控制型 电荷控制型
电容的电荷是两端电压的单值 函数。
电容的电压是电荷的单值函数。 库伏特性在q ~ u平面上单调 单调型 增长或单调下降。 P ④静态电容C和动态电容Cd q i
q C u C dq d du
0
u
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例
含有一非线性电容的协调电路，电容的库伏 特性为： q ku 2 2 ，试分析此电路的工作。 q 直流偏 Uo R 置电压 + 信号 L 分析 0 u U
I Q i1 (t ) g U Q u1 (t )
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I Q i1 (t ) g U Q u1 (t )
按台劳级数展开
u1 (t ) U Q
忽略高次项
dg I Q i1 (t ) g (U Q ) u1 (t ) du UQ I Q g (U Q ) i (t ) dg u (t ) 1 u (t ) 1 1 1 du U Rd
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3.研究非线性电路的依据
分析非线性电路基本依据仍然是KCL、KVL 和元件的伏安特性。
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17.1 非线性电阻
1.非线性电阻
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§6-3 分段线性化方法
非线性电路的分析计算是复杂的，往往只能求得近似解。
对于一些伏一安关系不能用简单函数关系表示的非线性电阻电路，我们可以近似地利用一些直线来逼近它的伏一安关系曲线，将它的伏一安关系曲线粗略地用几段折线表示，而这些折线都可以写出它所对应的伏一安关系函数，而且都是一次的线性函数。
所以这种方法叫做分段线性化方法。
分段线性化的好处在于可以建立起完备的电路近似方程求得近似解。
例如，一个二极管的伏一安关系为：可以用折线BOA来近似表示，当电压反向时，二极管电流近于零，当加正向电压时，相当于一个线性电阻。
每一段折线对应于电压（电流）都有一个范围，称为对应的适用区间（工作区间）。
在每段折线对应的适用区间内，可以写出折线所对应的伏一安关系的一次函数方程（线性方程）。
图(b)的分段线性化等效电路：
图（c）的分段线性化等效电路：
其分段线性化等效电路：
若折线延伸不过原点，如图所示
I 区间],(B u -∞，i R u u 11+-=
其中 B
B i u u R 1
1+=)0(1>u II 区间),[+∞B u ，i R u u 22+=
其中 B
B i u u R 2
2-=
由折线伏一安关系式，可以作出各区间相应的等效电路。
I
区间：
各区间的等效电路相当于一个代维南等效电路，当然也可以相应地用诺顿等效电路的形式表示。
例
1
非线性电阻的伏安特性如图所示，且0>u ，求：u 、i 解：
V u OC
1=，A i SC 2
3=
Ω==∴3
2
0SC OC i u R
设非线性电阻工作在第一段，其等效电路为
A
i 313
21-=-=
由于其没有落在相应的线段1上，它不是电路的解。
再设非线性电阻工作在第二段，其等效电路为
A i 6.013
22
1-=+-=
，V i u 4.112=⨯+=
经检验，该电流和电压落在了相应的线段二上，所以是电路的解。
综上所述，该电路的解为
A i 6.0-=，V u 4.1=
例2 非线性电阻21,R R 的伏安特性分别如图(b),(c)所示，求图(a)中电流1i 和1u 。
解：1）代入线段组合（1，1），即假设1R 工作在线段①，2R 也工作在线段①，等效电路如图(a)所示，解得
0,011==u i
V u i 1,022==
由于1R 和2R 的解均落在了相应的线段①上，所以是电路的解。
2）代入线段组合（1，2），等效电路如图(b)所示，解得 0,011==u i V u i 1,022==
经判断，该组解同样落在了相应的线段上，所以是电路的解。
3）代入线段组合（2，1），等效电路如图(c)所示，解得
V u i 2,011== V u i 1,022-==
由于非线性电阻2R 上的解没有落在相应的线段①上，所以不是电路的解。
4）代入线段组合（2，2），等效电路如图(d)所示，解得
0,211==u A i
由于非线性电阻1R 的解没有落在相应的线段②上，所以不是电路的解。
综上分析可知，电路的解为 0,011==u i。