11-6 电路 状态方程
状态空间表达式
y x1 x2
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
(4)
1 a11 x1 a12 x 2 b11u1 b12u2 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 b21u1 b22u2 x y1 c11 x1 c12 x 2 y2 c21 x1 c22 x 2
现代控制理论
第一章：控制系统的 状态空间表达式
2007年度
主要内容：
状态的概念、状态方程的建立、由状态空 间表达式求传递函数(阵)、线性变换、离 散系统的状态空间表示等。
§ 1-1 状态变量及状态空间表达式
一、 状态
首先看一力学系统
一质量为m物体与弹簧、阻尼器相连。如图示：在u的作用下求物质运动 的过程？ 设y表示物体的位移,由牛顿定律：f =ma 有：
注意：时变：比例器变为时变 放大器 系统方框图表明了系统输入、状态、输出的关系，既表示了系统的 外部特性，也反映了系统的内部关系。 非线性：比例器－非线性函数发生器
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
2．状态变量图：又模拟结构图 描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关 系，来源于模拟计算机的模拟结构图。 由积分器、加法器和比例器组成。 上面的串联电路系统的状态变量图：
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电信学院 苗荣霞
习题: 多输入多输出系统（MIMO） 如图25所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的 作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1， x2。
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分 析，我们有：
动态电路的状态变量分析
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL （2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
L1
L2
R6 uC3 C3
R8 R9 uR9
uC 4 C4 R7 uR7
（2）列写基本割集1和2的KCL方程
du L1ddiLt1uC3uC4uR6uR7uR9
C4
C dt i i L2ddiLt2uC4uR7uR8uR9
4
L1 L2
1
割集2
2
6
回 路1
5
3
8
回路 2
4
7
9
C3
duC 3 dt
iL1
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
一、直接观察法 步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
第4章网络的状态方程
预解
矩阵
频域解
X ( s ) s 1 A 1 X ( 0 ) s 1 A 1 B F ( s ) ( s ) s 1 A 1
时域解
零输入 零状态
X(t)(t)X(0)0 t(t)Bf()d
(t)L1(s)
状态转 移矩阵
固有特性
31
X(t)(tt0)X(t0)
t(t)Bf
Bf
Q Q11TT21
Q2T1 Q2T2
Q3T1 Q3T2
Q4T1 Q4T2
1Il 0
0 1Ll
0 0
0 0
Q Q11T T43
Q2T3 Q2T4
Q3T3 0
0 0
0
0 1Rl
0
0 0 0 1Cl
B43B440 Ql BtT Q34B4T30
5
描述变量
支路电流和电压向量分别表示为
i b i t 1i t 2i t 3i t 4i l 1i l 2i l 3i l 4 T
第4章网络的状态方程
第4章 网络的状态方程
暂态电路的 分析方法
传统分析法（用高阶微分方程描述电路） 状态变量分析法
状态变 量分析 法特点
①易于编制计算机求解程序； ②它是非线性、时变网络最常用的分析方法； ③是对网络作定性分析的最有力的工具之一。
主要内容
状态方程的建立 状态方程的求解
系统编写法 多端口法
0 .1 6 6 6 7
0
.0
4
7
6
2
V s
0 . 4 0 9 5 3
29
4.5 网络状态方程的解
状态方程适宜于采用数值求解
dVt2
dVt1
M1-6电路分析 第一章
u 3 = R 3 i3
若已知 R1=R3=1Ω, R2=2Ω, uS1=5V, uS2=10V。 Ω Ω 。
1Ω
2Ω
5V
1Ω
10V
联立求解10个方程，得到各支路电压和电流为： 联立求解 个方程，得到各支路电压和电流为： 个方程
u 1 = 1V u = − 6 V 2 u 3 = 4 V u = 5 V 4 u 5 = 10 V
对于n个结点的连通电路，若已知 个独立电压 个独立电压， 对于 个结点的连通电路，若已知n-1个独立电压，则 个结点的连通电路 可用观察法逐步推算出全部支路电压和支路电流。 可用观察法逐步推算出全部支路电压和支路电流。 先用KVL方程求出其余 方程求出其余b-n+1个支路电压，再根据元 个支路电压， 先用 方程求出其余 个支路电压 件特性求出b条支路电流。 件特性求出 条支路电流。 条支路电流 对于b条支路和 个结点的连通电路，若已知b-n+1个 对于 条支路和n个结点的连通电路，若已知 个 条支路和 个结点的连通电路 独立电流，则可用观察法推算出全部支路电流和支路电压。 独立电流，则可用观察法推算出全部支路电流和支路电压。
5A
解：根据电流源的VCR得到 根据电流源的 得到
8A 1A 2A 6A 3A
i 2 = i S 2 = 8A i 4 = iS4 = 1A i5 = iS5 = 3A
u1 = R1i1 = 2Ω × 5A = 10V u 3 = R3 i3 = 3Ω × 6A = 18V u 6 = R6 i 6 = 6Ω × 2A = 12V
§1－6 两类约束和电路方程 －
集总参数电路(模型 由电路元件连接而成 集总参数电路 模型)由电路元件连接而成，电 模型 由电路元件连接而成， 约束， 路中各支路电流受到 KCL约束，各支路电压受到 约束 KVL约束。 KVL约束。 约束
数字电子技术基础-第六章_时序逻辑电路(完整版)
T0 1
行修改，在0000 时减“1”后跳变 T1 Q0 Q0(Q3Q2Q1)
为1001，然后按
二进制减法计数
就行了。T2 Q1Q0 Q1Q0 (Q1Q2Q3 )
T3 Q2Q1Q0
50
能自启动
47
•时序图 5
分 频
10 分 频c
0
t
48
器件实例：74 160
CLK RD LD EP ET 工作状态 X 0 X X X 置 0（异步） 1 0 X X 预置数（同步） X 1 1 0 1 保持（包括C） X 1 1 X 0 保持（C=0） 1 1 1 1 计数
49
②减法计数器
基本原理：对二进 制减法计数器进
——74LS193
异步置数 异步清零
44
（采用T’触发器，即T=1）
CLKi
CLKU
i 1
Qj
j0
CLKD
i 1
Qj
j0
CLK0 CLKU CLKD
CLK 2 CLKU Q1Q0 CLK DQ1Q0
45
2. 同步十进制计数器 ①加法计数器
基本原理：在四位二进制 计数器基础上修改，当计 到1001时，则下一个CLK 电路状态回到0000。
EP ET 工作状态
X 0 X X X 置 0（异步）
1 0 X X 预置数（同步）
X 1 1 0 1 保持（包括C）
X 1 1 X 0 保持（C=0）
1 1 1 1 计数
39
同步二进制减法计数器 原理：根据二进制减法运算 规则可知：在多位二进制数 末位减1，若第i位以下皆为 0时，则第i位应翻转。
Y Q2Q3
高等电路分析状态方程和输出方程
u2
1 L7
u3
d i8 dt
1 L8
u4
1 L8G 5
i8
1 L8G 5 iS 9
令 x 1 u 2 ,x 2 u 3 ,x 3 u 4 ,x 4 i 7 ,x 5 i 8
线性电路也可以电容电荷q和电感磁通链 L作为状态变量
以 q ψ 1 ψ 2 为状态变量
选一常态树
对电容树支的基本割集列KCL方程有
i6
u6 R6
uS1u3 R6
u4
u5＝G15 i5＝G15（i8＋iS9）
du2 dt
1 C
i7
du3 dt
1 R6C 3 u3
1 R6C 3 u4
1 C 3 i7
1 R6C 3 u S1
du3 dt
1 R6C 4
u3
1 R6C 4
u4
1 C4
i8
1 R6C 4
u S1
d i7 dt
1 L7
➢ 输出方程 表示输出变量、状态变量与激励函数之间关系的一组代数方程。
yCxD
§2-3 线性常态电路状态方程的建立
一、用观察法编写状态方程（直观列写法） 所谓用观察法编写状态方程是指对电路选择一个特定
的树，列写基本割集的KCL方程和基本回路的KVL方程， 从而得到状态方程。
常态树 （特有树） 对于一个常态网络，可以选择一种树，使其包含电 路中的所有电压源、所有电容和一些必要的电阻，但 不包含任何电感和电流源，这样的树称为常态树。
例 用电源替代法编写图示电路的状态方程。
R1
解：（1）将独立的电容元件用电压为 +
C
u
-
C
uC的电压源替代，将独立的电感元
第7章习题详细解答
第7章习题解答7—1判断题（对的打√，不对的打×)1。
数字电路分为门电路和时序逻辑电路两大类。
（× )2。
边沿触发器和基本RS触发器相比，解决了空翻的问题.（×）3. 边沿触发器的状态变化发生在CP上升沿或下降沿到来时刻，其他时间触发器状态均不变。
（√）4. 基本RS 触发器的输入端就是直接置0端和直接置1端。
（√)23 的计数器。
（×）5。
3位二进制计数器可以构成模为16。
十进制计数器最高位输出的周期是输入CP脉冲周期的10倍。
（√）7. 构成一个7进制计数器需要7个触发器。
（×）8．当时序电路存在无效循环时该电路不能自启动.( √)9。
寄存器要存放n位二进制数码时，需要n2个触发器。
(×）10．同步计数器的计数速度比异步计数器快。
（√）11。
在计数器电路中，同步置零与异步置零的区别在于置零信号有效时，同步置零还需要等到时钟信号到达时才能将触发器置零，而异步置零不受时钟的控制。
（√）12。
计数器的异步清零端或异步置数端在计数器正常计数时应置为无效状态。
（√）13。
自启动功能是任何一个时序电路都具有的。
（× )14。
无论是用置零法还是用置数法来构成任意N进制计数器时，只要置零或置数控制端是异步的,则在状态循环过程中一定包含一个过渡状态；只要是同步的，则不需要过渡状态。
（√）15。
用置零法或置位法可以设计任意进制的计数器.(×）7—2 由或非门组成的基本RS触发器如图7—38所示，已知R、S的电压波形，试画出与之对应的Q和Q的波形。
图7—38 题7-2图解:由或非门组成的基本RS触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示：或非门RS 触发器特性表 题7—2 波形图7—3由与非门组成的基本RS 触发器如图7-39所示，已知R 、S 的电压波形,试画出与之对应的Q 和Q 的波形。
图7-39 题7-3图解：由与非门组成的基本RS 触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示:与非门RS 触发器特性表 题7—3波形图7-4已知如图7-40所示的各触发器的初始状态均为0，试对应画出在时钟信号CP 的连续作用下各触发器输出端Q 的波形。
电路 状态方程
-
iC C
R1
+ us
-
+
uC iL2 L2
设uc , iL1， iL2为状态变量
L1
iL1
R2
is
C duC dt
iC
iR
L1
diL1 dt
uL1
C
duC dt
iL1 iL2
L1
diL1 dt
uC
iC R1
uS
L2
diL2 dt
uL2
L2
diL2 dt
uL1 R2iR
消去非状态量
Y (t), (t t0 )
例： L
e(t)
iL
C
iC
+
- uc R
已知: R=3
e(t) 20sin(t 30)
uC (0 ) 3V uo iL (0 ) 0A
求： iC (0 )，uL(0 )，iR (0 )，uR (0 )
解：由
uR (0 ) 3V
uC (0 ) 3V iL(0 ) 0 e(0)=10V
可求出
uL(0 ) 7V
iR (0 ) 1A iC (0 ) 1A
同理可推 广至任一时刻 t1
t 可由 e( ) 1 u t( ) 求出 c1 iL (t1)
uR (t1)
uL(t1) iR (t1) ic (t1)
uC、iL 称为状态变量。它们的初值和激励e(t)一起可
以确定该电路在任何时刻的性状。
dt RC c
d i L uc e(t )
dt
LL
状态方程
d uc uc i L
dt RC c
d i L uc e(t )
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§11-6 状态方程
一、状态：指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息，它连同从该时刻开始的任意输入，便可以确定网络今后的性状。
二、状态变量：描述系统所需要的一组最少量的变量。
三、状态方程：以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。
状态变量[,]T
c L X u i =取
1
11
C
L L L c s
C L L c L s du C
i dt di
L Ri u u dt
du i dt C di R u i u dt L L L
==--+==--+
写成矩阵形式
.
10011C c s L L du u dt C u i di R L dt L L X AX BU ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣⎦=+标准形式
状态变量的选择不唯一, 也可12[,][,
]T
C
C du X x x u dt
==取 1
22
212211
()C C S C S dx x dt
d u du dx R x x u LC RC u u dt LC L LC dt dt
==--+++= 写成标准形式
()C u t
11
2201011S dx x dt u R dx x LC L LC dt ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-
-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
四、状态方程的列写 1, 直观法
1
c C du i dt C =对仅含一条电容支路的节点列KCL 方程 1L L
di u KVL dt L
=对仅含一条电感支路的节点列方程
例1：列写如下图所示电路的状态方程。
解：选取单一电感回路，如图l 1、l 2所示；状态变量1
2
[,]T L L X i i =取
12
2
1
1112
112221211s
s L L L di R i u L dt
di R i R i u L dt
i i i i i +
=++==+=
整理并消去中间变量i 1、i 2，得
1122122225s s
L L L L L L d u dt d u dt
i i i i i i =--+=--+
写成标准形式
R R 2L
21L H
1122221251s L L L L d dt u d dt i i i i ⎡⎤⎢⎥⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
例2：列如下图所示电路的状态方程。
解：选取单一电容节点列写KCL 方程，状态变量12[,]T
C C X u u =取
1112212324()1
4()
s C C C C C C C du u u u i dt du u u dt
++-==-
整理得
1
122
12
41
233
44s C C C C C C du u u i dt du u u dt
=-++=-
写成标准形式
1
2.
41233440s C C u X i u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦
例3：列写如下图所示电路的状态方程和以u n1、 u n2为变量的输出方程。
(
s i 4S
n u ()s u t
u
解：状态变量12[,,]T
L C C X u u i =取。
选取单一电容节点列写KCL 方程和单一电感回路列写KVL 方程，
1
212232L s L L
L
C C C C du i i dt
du
u i i dt
di u u u dt
+=-++=++=
1
2 ()1
s C C u i u u t u =
=- 整理并消取中间变量，得
1
1
2
212112232L
L s L
s
C C C
C C C du u i dt du u i u dt di u u u dt
=-+=--+=--+ 写成标准形式
112210101101221302s L L C C C C du dt u du u u dt i di dt ⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-
-+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
121212
2
[,]T n n n n C C C Y u u Y CX DU u u u u u ==+==+取
输出方程写成标准形式
121211000100n S
n L C C u u u u u i ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
2：系统法
常态网络：不含有由纯电容与理想电压源构成的回路； 不含有由纯电感与理想电流源汇集成的节点。
特有树： 将所有的电容支路与电压源支路取为树支；
将所有的电感支路与电流源支路取为连支。
系统法: 选一个特有树后，列写状态方程的步骤如下：
①对由电容树支构成的基本割集列KCL 方程； ②对由电感连支构成的基本回路列KVL 方程；
③对KVL 方程中出现的电阻树支作对应的基本割集列KCL 方程； ④对KCL 方程中出现的电阻连支作对应的基本回路列KVL 方程； ⑤消去中间变量，整理方程，写成标准形式。
例4：列写如下图所示电路的状态方程。
解：画出原电路的图，选择特有树，列方程。
1
01001
1*0c
s L c
L c L s s s c L c L s s
s L s c du i i i dt du di
u i u i u u u dt
dt di u
u i u i
i i dt i u u ⎫+--=⎪⎪=-++-⎪-++=⎪⎬
⎪=--+++-=⎪⎪⎪-+=⎭
L
L
11111111c s c s L L u u dt i i di dt ⎢⎥--⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
五、状态方程的求解： .
X AX BU =+ 解法1：时域解法
.
.
00: ()*()
()*()*()*()()*()*()(0)*()(0)*()*(0)*At At At At At t t
At t At t
At t
At At At X t e k t X t Ae k t e k t Ae k t BU k t e BU
k t dt e BUdt
k t k e BUdt k t k e BUdt
X t e k e e BUdt
-----==+=+==-==+=+∴⎰
⎰⎰⎰⎰设解则
解法2：拉氏变换解法
.
X AX BU =+
111()(0)()()()()(0)()
()()*(0)()*()()[()]
sX s X AX s BU s sI A X s X B s X s sI A X sI A BU s X t L X s ----=+-=+=-+-=两边取拉氏变换
1212:(0)0,(0)0,()10() ,s L L L L i i u t t V i i ε===例已知。
求。
解： 列写状态方程
2L i
1H
1122221251s L L L L i dt u di i dt ⎢⎥⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
用拉氏变换法解状态方程
11
()()()
2
2110 *2
515211
10 *221(2)(5)45
4116 2216X s sI A BU s s s s s s s s s s s s s s --=-+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤--⎢⎥
++=⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥++⎣⎦
取反拉氏变换可得
1662()54()A ()22t t t
t L L i t e e X t i t e e ----⎡⎤⎡⎤
--==⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
⎣⎦。