动态电路方程及其解
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电路理论基础(第二版)潘双来,邢丽冬。。 PPT 第8章 8-1动态电路及其方程
第八章 线性动态电路的时域分析
§8-1动态电路及其方程
一、稳态和暂态
稳态：在前面介绍的电路中，外施激励源不管 是交流、直流还是非正弦周期变化的，我们 认为其作用在电路上已经很久，因此只要电 路的结构和参数一定，电路中的响应也是呈 交流、直流或非正弦周期规律变化。电路的 这种工作状态称为稳态。
暂态：
t
0 过渡期为零
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
Us
R+
uC
C
U S uc
US
–
R?
i
有一过渡期
初始状态 0
t1 新稳态
过渡状态
t
电感电路
当电路的工作条件突然变更，如①开关动作（接通或 扳断）； ②电路参数的变化； ③故障。
电路的原来的稳态遭到破坏，电路中的响应出现变动， 经过一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新 的稳定值，即达到新的稳态。
电路从一个稳态到另一个稳态之间的过渡过程称为暂态
S
R
R
uS (t)
uR
(t
)
uC (t)
(t = 0)
i
R+
Us
K
uL
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uL = 0
L K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
(t →)
i
uL= 0, i=Us /R
§8-1动态电路及其方程
一、稳态和暂态
稳态：在前面介绍的电路中，外施激励源不管 是交流、直流还是非正弦周期变化的，我们 认为其作用在电路上已经很久，因此只要电 路的结构和参数一定，电路中的响应也是呈 交流、直流或非正弦周期规律变化。电路的 这种工作状态称为稳态。
暂态：
t
0 过渡期为零
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
Us
R+
uC
C
U S uc
US
–
R?
i
有一过渡期
初始状态 0
t1 新稳态
过渡状态
t
电感电路
当电路的工作条件突然变更，如①开关动作（接通或 扳断）； ②电路参数的变化； ③故障。
电路的原来的稳态遭到破坏，电路中的响应出现变动， 经过一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新 的稳定值，即达到新的稳态。
电路从一个稳态到另一个稳态之间的过渡过程称为暂态
S
R
R
uS (t)
uR
(t
)
uC (t)
(t = 0)
i
R+
Us
K
uL
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uL = 0
L K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
(t →)
i
uL= 0, i=Us /R
第3章3.2动态电路的方程及其解
第三章 动态电路
§3.2
动态电路的方程及其解
■
第 1页
§3.2 动态电路的方程及其解
描述动态电路的方程是微分方程。 描述动态电路的方程是微分方程。用一阶微分 微分方程 方程描述的电路常称为一阶电路 一般而言， 一阶电路。 方程描述的电路常称为一阶电路。一般而言，如果 电路中含有n个独立的动态元件 个独立的动态元件， 电路中含有 个独立的动态元件，则描述它的将是 n阶微分方程，该电路可称为 阶电路。 阶微分方程， 阶电路。 阶微分方程 该电路可称为n阶电路
• 动态电路方程的建立 • 微分方程的经典解法
▲
■
第 2页
一、动态电路方程的建立
1、依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； 依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； VAR 列写方程 uR 一阶电路举例： 2、一阶电路举例： R i S RC电路 t=0时开关 电路， 时开关S 例1：图RC电路，t=0时开关S闭 uC uS 讨论t>0时的电容电压u 。 t>0时的电容电压 合，讨论t>0时的电容电压 C(t)。 C t>0时 根据KVL KVL方程列出回 t>0时，根据KVL方程列出回 RC串联电路 uR + uC – uS = 0 路电压方程为 d uC d uC , uR = R i = RC 根据元件的VAR VAR， 根据元件的VAR，有 i = C 代入上式， 代入上式，整 理得
− 1 t RC +U S
uC (t) = (U0 −US ) e
,t ≥ 0
▲ ■ 第 11 页
3、结果分析
固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应
− 1 t RC +U
uC (t) = (U0 −US ) e
§3.2
动态电路的方程及其解
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§3.2 动态电路的方程及其解
描述动态电路的方程是微分方程。 描述动态电路的方程是微分方程。用一阶微分 微分方程 方程描述的电路常称为一阶电路 一般而言， 一阶电路。 方程描述的电路常称为一阶电路。一般而言，如果 电路中含有n个独立的动态元件 个独立的动态元件， 电路中含有 个独立的动态元件，则描述它的将是 n阶微分方程，该电路可称为 阶电路。 阶微分方程， 阶电路。 阶微分方程 该电路可称为n阶电路
• 动态电路方程的建立 • 微分方程的经典解法
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一、动态电路方程的建立
1、依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； 依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； VAR 列写方程 uR 一阶电路举例： 2、一阶电路举例： R i S RC电路 t=0时开关 电路， 时开关S 例1：图RC电路，t=0时开关S闭 uC uS 讨论t>0时的电容电压u 。 t>0时的电容电压 合，讨论t>0时的电容电压 C(t)。 C t>0时 根据KVL KVL方程列出回 t>0时，根据KVL方程列出回 RC串联电路 uR + uC – uS = 0 路电压方程为 d uC d uC , uR = R i = RC 根据元件的VAR VAR， 根据元件的VAR，有 i = C 代入上式， 代入上式，整 理得
− 1 t RC +U S
uC (t) = (U0 −US ) e
,t ≥ 0
▲ ■ 第 11 页
3、结果分析
固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应
− 1 t RC +U
uC (t) = (U0 −US ) e
3 动态电路
8、实际电感器
iL(t0+)= iL(t0-)
实际电感器除了储能以外，也会 消耗一部分电能。 i + L u
r
–
(3-17)
9、电容元件与电感元件的比较：
变量
电容 C 电压 u 电荷 q
q = Cu i=C du dt WC = 1 2 Cu
2
电感 L 电流 i 磁链 y
y = Li
u = L di dt 1 2 1 2L
(3-10)
例1 电容与电压源相接如图所示，电压源电压随时间按三角波方 式变化如图，求电容电流。 u/V i(t) 100 u(t) C=1µ F 0.25 0.5 0.75 1 1.25 t/ms
-100
(1) 从 0.25ms 到 0.75ms 期 间 ， i/A i=Cdu/dt=-10-6*200/0.5*103 =-0.4A； (2) 从0.75ms到1.25ms期间，
储能为吸收能量 无源元件。 从 t1到 t2 吸收的能量
WC = C udu u( t )
1
u ( t2 )
1 2 1 Cu ( t 2 ) - Cu 2 ( t1 ) = 2 2
= WC ( t 2 ) - WC ( t1 )
(3-7)
（3）连续性：电容电压不能跃变。 对于任意给定的时刻t0 ，将其前一瞬间记为t0-，而后一瞬
1 t 0 i(x )dx C1 1 t u2 (t ) =u2(0) + 0 i (x )dx C2 1 t un (t ) =un(0) + 0 i (x )dx Cn u1 (t ) =u1(0) +
+
u
i +
C
动态电路
单元三动态电路分析一、过渡过程（暂态过程）1. 概念：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。
2. 产生过渡过程的原因：内因：电路中含有储能元件。
外因：换路二、换路定律1. 换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等称为换路。
2. 换路定理：电容上的电压u C 及电感中的电流i L 在换路瞬间不能发生跃变，即：t=0+换路，则注意：只有u C 、i L 受换路定理的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
)0()0()0()0(L L C C -+-+==i i u u 1）概念：电压、电流的0+值。
2. 分类3. 初始值独立初始值：)0(C +u )0(L +i )0(C +i )0(R +i )0(R +u )0(L +u 相关初始值：3）初始值的计算（1）在换路前的稳态电路中，求)0(-C u )0(-L i 直流电路：C 开路、L 短路稳态电路正弦交流电路：相量法计算（2）在换路瞬间，利用换路定律得)0()0()0()0(L L C C -+-+==i i u u （3）画t=0+电路，求相关初始值。
t=0+电路C 用值的电压源替代。
)0(C +u L 用值的电流源替代。
)0(L +i例：图示电路原处于稳态，t =0时开关S 闭合，求初始值u C (0+)、i C (0+)和u (0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电感L 相当于短路、电容C 相当于开路，因此t =0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：4ΩR 1R 22Ω+u－+C u C － +U s 12V － L i L + u L － R 36Ωi 1 i C V2.762.1)0()0()0(A2.16412)0(3L 31C 31L =⨯====+=+=----R i R i u R R U i s 在开关S 闭合后瞬间，根据换路定理有：V 2.7)0()0(A 2.1)0()0(C C L L ====-+-+u u i i由此可画出开关S 闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。
第三章 动态电路
无源元件
+ uC –
u/V
5V
iC 例：已知C=2F两端电压波形如下, C 求iC(t)=?
t/s
0 1 3 4
在0 t 1s时 : ic (t ) 2 5 10 A
在1 t 3s时 : ic (t ) 0
duC 解： iC ( t ) C dt
电容量 耐压值
3.电容的伏安关系 iC
dq( t ) 由于： iC ( t ) dt 而： q( t ) C uC ( t ) duC ( t ) 所以： iC ( t ) C dt
+ uc –
C
注：ic与uc为关联参考方向。
duC ( t ) 当ic与uc非关联时： iC ( t ) C dt
L (t0 ) L (t0 )
qC (t0 ) qC (t0 )
三、电容、电感的串联和并联 1、电容的串联
i C1 C2 + u +u1- +u22、电容的并联 i + u C1 C2 Cn +un+ u –
i Ceq
n 1 1 1 1 1 .... C eq C1 C 2 C 3 k 1 C k
瞬时功率：
diL (t ) p(t ) u L (t ) iL (t ) LiL (t ) dt 贮存的能量：
t t
diL ( ) wL (t ) p( )d L iL ( ) d d 1 2 1 2 Li L (t ) Li L () 2 2 当iL(-∞)=0时，电感吸收的能量为：
1 2 wL (t ) Li L (t ) 2
无源元件
动态电路的计算
动态电路的分析方法主要包括时域分析和频域分析。
动态电路的分类
根据元件的性质，动态电路可以分为线性动态电路和非线性 动态电路。
根据电路的结构，动态电路可以分为RC电路、RL电路和RLC 电路。
动态电路的计算方法
通过将时域函数转换为频域函数 ，分析电路的频率响应，适用于 分析线性时不变电路。
通过定义状态变量，建立状态方 程和输出方程，适用于分析包含 电容、电感等动态元件的电路。
复杂动态电路的计算实例
• 例子1：一个包含电阻、电容、电感的复杂动 态电路，其行为由以下微分方程描述
logo
复杂动态电路的计算实例
```
01
02
L * i''(t) + R * i'(t) + V0 = 0
复杂动态电路的计算实例
```
其中，i(t) 是电流，L 是电感，R 是电阻，V0 是电压。这个微分方程可以使用欧拉法或龙格 -库塔法进行数值求解。
动态电阻电路的计算实例
例子1
一个RC串联电路，已知R=10kΩ，C=0.1μF，输入 电压u(t)=5V，求电流i(t)。
例子2
一个RL串联电路，已知R=10kΩ，L=1mH，输入 电压u(t)=5V，求电流i(t)。
03
动态电容电路计算
Chapter
动态电容电路的方程式
电容器的充电和放电过程
05
复杂动态电路计算
Chapter
复杂动态电路的方程式
微分方程
复杂动态电路通常由电阻、电容、电感等元 件组成，其行为可以通过微分方程描述。常 见的微分方程包括基尔霍夫定律、法拉第电 磁感应定律、牛顿运动定律等。
数值解法
对于复杂的动态电路，其微分方程可能难以 直接求解。因此，数值解法如欧拉法、龙格
动态电路的分类
根据元件的性质，动态电路可以分为线性动态电路和非线性 动态电路。
根据电路的结构，动态电路可以分为RC电路、RL电路和RLC 电路。
动态电路的计算方法
通过将时域函数转换为频域函数 ，分析电路的频率响应，适用于 分析线性时不变电路。
通过定义状态变量，建立状态方 程和输出方程，适用于分析包含 电容、电感等动态元件的电路。
复杂动态电路的计算实例
• 例子1：一个包含电阻、电容、电感的复杂动 态电路，其行为由以下微分方程描述
logo
复杂动态电路的计算实例
```
01
02
L * i''(t) + R * i'(t) + V0 = 0
复杂动态电路的计算实例
```
其中，i(t) 是电流，L 是电感，R 是电阻，V0 是电压。这个微分方程可以使用欧拉法或龙格 -库塔法进行数值求解。
动态电阻电路的计算实例
例子1
一个RC串联电路，已知R=10kΩ，C=0.1μF，输入 电压u(t)=5V，求电流i(t)。
例子2
一个RL串联电路，已知R=10kΩ，L=1mH，输入 电压u(t)=5V，求电流i(t)。
03
动态电容电路计算
Chapter
动态电容电路的方程式
电容器的充电和放电过程
05
复杂动态电路计算
Chapter
复杂动态电路的方程式
微分方程
复杂动态电路通常由电阻、电容、电感等元 件组成，其行为可以通过微分方程描述。常 见的微分方程包括基尔霍夫定律、法拉第电 磁感应定律、牛顿运动定律等。
数值解法
对于复杂的动态电路，其微分方程可能难以 直接求解。因此，数值解法如欧拉法、龙格
动态电路总结
动态电路总结
动态电路的初始条件
1、动态电路的换路定理：没有冲击的情况下，换路前后， 电容电压不变，电感电流不变。即：
uc (0 ) u c (0 )
iL (0 ) iL (0 )
2、先利用换路前的电路图，求 iL (0 ), uc (0 )
uc (0 ) u c (0 ) 3、画t=0+时刻的电路图，电容看作电压源，
iC duC dt uL L di dt
d 2 iL di RLC L RiL u s dt 2 dt
d 2 uC duC LC RC uC u s dt dt
2、求二阶微分方程的特征根
LCP RCP 1 0
2
2 R R 4 L/C R R2 1 P ( ) 2 L 2 L 2 L L C
， iL ()
t
3、带入全响应公式：
u c (t) u c () [u c (0 ) u c ()]e
i L (t) i L () [i L (0 ) i L ()]e
t
一阶电路的分析
u s (t) 表示在t=0时刻加入电源激励。 4、
uc (0 ) 由初值 duc (0 )求出响应。
5、冲击响应，
当δ(t)为电压源时，可以在t=0--0+时刻给电感充电到
iL (0 ) 1 L
1 C
当δ(t)为电流源时，可以在t=0--0+时刻给电容充电到
u C (0 )
然后求电路的t>0时刻的响应就可以。
二阶电路的响应分析
1、RLC串联以uc(t)为变量KVL方程，RLC并联以iL(t)为变量 列KCL方程，建立二阶微分方程。
动态电路的初始条件
1、动态电路的换路定理：没有冲击的情况下，换路前后， 电容电压不变，电感电流不变。即：
uc (0 ) u c (0 )
iL (0 ) iL (0 )
2、先利用换路前的电路图，求 iL (0 ), uc (0 )
uc (0 ) u c (0 ) 3、画t=0+时刻的电路图，电容看作电压源，
iC duC dt uL L di dt
d 2 iL di RLC L RiL u s dt 2 dt
d 2 uC duC LC RC uC u s dt dt
2、求二阶微分方程的特征根
LCP RCP 1 0
2
2 R R 4 L/C R R2 1 P ( ) 2 L 2 L 2 L L C
， iL ()
t
3、带入全响应公式：
u c (t) u c () [u c (0 ) u c ()]e
i L (t) i L () [i L (0 ) i L ()]e
t
一阶电路的分析
u s (t) 表示在t=0时刻加入电源激励。 4、
uc (0 ) 由初值 duc (0 )求出响应。
5、冲击响应，
当δ(t)为电压源时，可以在t=0--0+时刻给电感充电到
iL (0 ) 1 L
1 C
当δ(t)为电流源时，可以在t=0--0+时刻给电容充电到
u C (0 )
然后求电路的t>0时刻的响应就可以。
二阶电路的响应分析
1、RLC串联以uc(t)为变量KVL方程，RLC并联以iL(t)为变量 列KCL方程，建立二阶微分方程。
初中物理电学：动态电路详细分析
• 2．正确判断滑动变阻器有效电阻及由于滑片的变化引
起的有效电阻的变化。
• 3．熟练掌握串并联电路中电压、电流及电阻的规律。
动态电路中涉及的用电器肯定不止一个，必然会运用到 串并联电路中电压、电流及电阻的规律，如果学生不能 熟练掌握这些规律，那么解题也就无从谈起。
• 4．熟练掌握欧姆定律的运用，尤其是要分析好电路中局部和整体的关系。欧
❖[变式训练题]参考下图，在伏安法测电阻的实 验中，若由于各种原因，电压表改接在滑动变 阻器的两端，当滑片向左移动时，请判断 A 表 和 V 表的变化。
A 表变大 V 表变小
2.并联电路
例 2 如图 Z5－3 所示电路，电源电压保
解好怎样才是短路，以及短路对整个电路的影响。所以要想学好电学这部分内 容还得深刻理解短路这个概念。
动态电路专题总结
1、动态电路是由于电路中滑动变阻器的滑片移动 或电路中各开关的通断引起电路中的电流、电压等物 理量的变化；
2、解题时，应先判断确定滑动变阻器的滑片移动 或各开关通断时，电路的连接情况及各电表所测的物 理量；
3、再根据已知条件，利用其中一种情况解决部分 所求量，然后将所求得的量做为已知带入另一种情况 求解。
4、若题目中哪一种情况都没有将已知条件给足， 解决此类问题就必须将几种情况结合在一起看，将由 不同情况得出的几个等式联立起来解决问题。
二、问题导学 知识储备
1、快速说出串联和并联电路的电流、电压、电阻的特点：
数减小中，定值电压也减小，滑动电压在上升；并联电
阻在增大，电压示数不变化，滑动电流在减小，干路电 流跟着跑，定值电流不变化，反向思考靠大家。
在看电路图的时候，应该采用何种方式来弄清电 路的连接情况？
1.将电流表看成导线，电压表看成断开的，先弄清电路 是串联还是并联的；
起的有效电阻的变化。
• 3．熟练掌握串并联电路中电压、电流及电阻的规律。
动态电路中涉及的用电器肯定不止一个，必然会运用到 串并联电路中电压、电流及电阻的规律，如果学生不能 熟练掌握这些规律，那么解题也就无从谈起。
• 4．熟练掌握欧姆定律的运用，尤其是要分析好电路中局部和整体的关系。欧
❖[变式训练题]参考下图，在伏安法测电阻的实 验中，若由于各种原因，电压表改接在滑动变 阻器的两端，当滑片向左移动时，请判断 A 表 和 V 表的变化。
A 表变大 V 表变小
2.并联电路
例 2 如图 Z5－3 所示电路，电源电压保
解好怎样才是短路，以及短路对整个电路的影响。所以要想学好电学这部分内 容还得深刻理解短路这个概念。
动态电路专题总结
1、动态电路是由于电路中滑动变阻器的滑片移动 或电路中各开关的通断引起电路中的电流、电压等物 理量的变化；
2、解题时，应先判断确定滑动变阻器的滑片移动 或各开关通断时，电路的连接情况及各电表所测的物 理量；
3、再根据已知条件，利用其中一种情况解决部分 所求量，然后将所求得的量做为已知带入另一种情况 求解。
4、若题目中哪一种情况都没有将已知条件给足， 解决此类问题就必须将几种情况结合在一起看，将由 不同情况得出的几个等式联立起来解决问题。
二、问题导学 知识储备
1、快速说出串联和并联电路的电流、电压、电阻的特点：
数减小中，定值电压也减小，滑动电压在上升；并联电
阻在增大，电压示数不变化，滑动电流在减小，干路电 流跟着跑，定值电流不变化，反向思考靠大家。
在看电路图的时候，应该采用何种方式来弄清电 路的连接情况？
1.将电流表看成导线，电压表看成断开的，先弄清电路 是串联还是并联的；
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通解
x(t ) K e
st
Ke
5t
代入初始条件，得 原问题的解为
x(0) 2 K 2
x( t ) 2 e 5 t
第四章 动态电路的时域分析
讨论初始值的原因:
初始值用来完全确定微分方程的解。动态电 路中，要得到待求量，就必须知道待求量的初始 值。而相应的微分方程的初始条件为电流或电压 的初始值。
(3)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值
uL (0 ) u1 (0 ) U
U C (0 ) 1 (0 ) R1
iC 、uL 产生突变
u2 (0 ) 0
第四章 动态电路的时域分析
例2 电路如图所示。在开关闭合前， 电路已处于稳定。当
t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。
第四章 动态电路的时域分析
动态电路的初始状态与初始值
t0+ 和 t0t0 时刻换路，则 t0- 为换路前的瞬间， t0+ 为换路后 的瞬间（称为换路后的初始时刻）。 独立初始值 uC(t)和 iL(t)为电路的独立状态变量。 T0+ 时刻的uC(0 ＋)和 iL(0＋)为电路的原始状态，它们反映了换路前电 路所储存的能量。
uC (t )
+ Us U0 o
仅存在 于暂态 过程中
uC
t
uC (t ) U
0
t e RC U
s
t (1 e RC )
(t 0)
零输入响应
零状态响应
第四章 动态电路的时域分析
2. 电流C C e t0 dt R i
画出0+等效电路；在t=0+时，用电压等于uC( 0+) 的电压源 替代电容元件，用电流等于iL(0+)的电流源替代电感元件， 独立电源均取t=0+时的值。
(3) 由0+等效电路，求出非独立初始值（各电流、电压的 初始值）。
第四章 动态电路的时域分析
例1 初始值的确定
S + U t=0 R1 L
C
uc
US
暂态
稳 态
US (t=t1)
暂态
(t=0)
R C
uc
-
+
t1
t
暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。 过渡过程产生的原因： 外因换路；内因有储能元件。
第四章 动态电路的时域分析
3.2.1 动态电路方程 1. RC电路
duC iC , uR Ri dt
duC duC iC , uR Ri RC dt dt
独立初始值： uC(0＋), iL(0＋) 非独立初始值：t0+ 时刻其它u (0＋), i (0＋)值。
第四章 动态电路的时域分析
t0时刻换路，换路前一瞬间记为t0-，换路后一瞬间记为 t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为
1 t 0 uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) iC ( )d C t 0 1 t 0 i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uL ( )d L t 0
(3) 由0+等效电路，计算其余初始值。
U C (0 ) 20 i2 (0 ) U C (0 ) 20 4 A i2 (0 ) R2 5 4 A R2 5 iC ( 0 ) i L ( 0 ) i 2 ( 0 ) 4 4 0 iC ( 0 ) i L ( 0 ) i 2 ( 0 ) 4 4 0
确定积分常数A
根据换路定则在 t=0+时，uC (0 ) U 0
t
则A U 0 U s uC (t ) U s (U 0 - Us
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
（3） uC的变化规律 稳态分量
uC (t ) U s (U - Us 0
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
解： (1) 求uC(0-)。由于开关闭合 前电路稳定， duC/dt=0 ，故 iC=0 ， 电容可看作开路。 t=0- 时电路如 图，
uC (0 ) 12V
(2) 根据换路定律有
uC (0 ) uC (0 )12 V ＝ 12V
第四章 动态电路的时域分析
R2
(a) 解：(1)由换路前电路求 由已知条件知
已知：换路前电路处稳态， C、L 均未储能。 试求：电路中各电压和电 流的初始值。
uC (0 ), i L (0 )
uC (0 ) 0, i L (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 ) 0 (2)根据换路定律得：
L (0 ) L (0 ) 0
t
y (t ) y p (t ) [ y (0 ) y p (0 )]e
t0
第四章 动态电路的时域分析
当激励 f(t) 为直流时，微分方程的特解是常数。令 yp(t)=C, 显然有yp(0+)=C, 得
y(t ) C [ y(0 ) C ]e
第四章 动态电路的时域分析
i
1Ω
10V (t=0)
例3：已知换路前已达稳态，求
uL(0＋) 、i (0＋)、 i1(0＋) 和iL(0＋)。
4Ω
+ uL
i1
iL
-
解：(1)换路前
10 i L (0 ) 2( A) 1 4 (2)根据换路定律 i (0+) 1Ω i L (0 ) i L (0 ) 2 A
uR uC U s
+
t 0
s
i R C
+ _ uc
Us _
第四章 动态电路的时域分析
求对应齐次微分方程的通解
uC
duC uC 0 的解 通解即：RC dt t
pt 其解： uC (t ) Ae Ae RC
微分方程的通解为
（令 RC） (t ) uC (t ) U s Ae uC (t ) uC
第四章 动态电路的时域分析
上节回顾 1. 电容元件 电容的VAR 电容元件的特点 *电压有变化，才有电流。电
容具有隔直流作用。
dq du i C dt dt 1 du( t ) C
*电容电压具有连续性，不能
跃变。
*电容有“记忆”电压的作
t
i ( )d
用。电容是无源元件。
第四章 动态电路的时域分析
2. (电感元件 t ) Li( t )
电感元件的特点 *电流有变化，才有电压。 *电感的电流具有连续性，不
能跃变。
dVAR 电感的 u( t ) dt di( t ) u( t ) L dt 1 t i ( t ) u( )d L
*电感有“记忆”电流的作
用。电感是无源元件。
第四章 动态电路的时域分析
S + U -
C
R2
iC (0+ ) uC (0+) u2(0+_ )
+ U
t=0 R1
(a) 电路 L
+
-
i1(0+ )
R1
+ + u1(0+) uL(0+) _ _
R2
iL(0+ )
uC (0 ) 0, iL (0 ) 0,
(b) t = 0+等效电路 电容元件可视为短路 电感元件可视为开路
i L (0 )
Us 24 4A R1 R2 1 5
uC (0 ) R2 i L (0 ) 5 4 20V
第四章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律有
uC (0 ) uC (0 ) 20V i L (0 ) i L (0 ) 4 A
diL R R i L is dt L L
一阶常系数微分方程
第四章 动态电路的时域分析
3. RLC电路
uL (t ) uR (t ) uC (t ) us (t )
2 duC duC di d u C iC , uR Ri RC , uL L LC dt dt dt dt 2 d 2 uC R duC 1 1 uC us 2 dt L dt LC LC 二阶常系数微分方程
3. uC 、 iC 变化曲线
t
C Us
uC
uC
uC U s ( 1 e
t
) U 0e
t
U s U0 R
U0
iC
t
第四章 动态电路的时域分析
3. 直流电源作用一阶动态电路的三要素法
duC 1 1 uC us dt R0C R0C diL R0 1 iL u s dt L L
(3)由0＋等效电路可求得
10V
4Ω i1(0+) 2A
+ uL(0+)
-
i (0 ) 10A
i1 (0 ) 8 A
uL (0 ) 8V
第四章 动态电路的时域分析
例4 电路如图所示，t=0时开关S由1扳向2，在t＜0时电路已 处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。
解： (1) 换路前
第四章 动态电路的时域分析
一般而言，若电路中含有n个独立的动态
元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的， 称为n阶电路。
第四章 动态电路的时域分析
3.2.2 动态电路方程解
1. 初始值的计算
例：求解方程
x(t ) K e
st
Ke
5t
代入初始条件，得 原问题的解为
x(0) 2 K 2
x( t ) 2 e 5 t
第四章 动态电路的时域分析
讨论初始值的原因:
初始值用来完全确定微分方程的解。动态电 路中，要得到待求量，就必须知道待求量的初始 值。而相应的微分方程的初始条件为电流或电压 的初始值。
(3)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值
uL (0 ) u1 (0 ) U
U C (0 ) 1 (0 ) R1
iC 、uL 产生突变
u2 (0 ) 0
第四章 动态电路的时域分析
例2 电路如图所示。在开关闭合前， 电路已处于稳定。当
t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。
第四章 动态电路的时域分析
动态电路的初始状态与初始值
t0+ 和 t0t0 时刻换路，则 t0- 为换路前的瞬间， t0+ 为换路后 的瞬间（称为换路后的初始时刻）。 独立初始值 uC(t)和 iL(t)为电路的独立状态变量。 T0+ 时刻的uC(0 ＋)和 iL(0＋)为电路的原始状态，它们反映了换路前电 路所储存的能量。
uC (t )
+ Us U0 o
仅存在 于暂态 过程中
uC
t
uC (t ) U
0
t e RC U
s
t (1 e RC )
(t 0)
零输入响应
零状态响应
第四章 动态电路的时域分析
2. 电流C C e t0 dt R i
画出0+等效电路；在t=0+时，用电压等于uC( 0+) 的电压源 替代电容元件，用电流等于iL(0+)的电流源替代电感元件， 独立电源均取t=0+时的值。
(3) 由0+等效电路，求出非独立初始值（各电流、电压的 初始值）。
第四章 动态电路的时域分析
例1 初始值的确定
S + U t=0 R1 L
C
uc
US
暂态
稳 态
US (t=t1)
暂态
(t=0)
R C
uc
-
+
t1
t
暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。 过渡过程产生的原因： 外因换路；内因有储能元件。
第四章 动态电路的时域分析
3.2.1 动态电路方程 1. RC电路
duC iC , uR Ri dt
duC duC iC , uR Ri RC dt dt
独立初始值： uC(0＋), iL(0＋) 非独立初始值：t0+ 时刻其它u (0＋), i (0＋)值。
第四章 动态电路的时域分析
t0时刻换路，换路前一瞬间记为t0-，换路后一瞬间记为 t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为
1 t 0 uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) iC ( )d C t 0 1 t 0 i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uL ( )d L t 0
(3) 由0+等效电路，计算其余初始值。
U C (0 ) 20 i2 (0 ) U C (0 ) 20 4 A i2 (0 ) R2 5 4 A R2 5 iC ( 0 ) i L ( 0 ) i 2 ( 0 ) 4 4 0 iC ( 0 ) i L ( 0 ) i 2 ( 0 ) 4 4 0
确定积分常数A
根据换路定则在 t=0+时，uC (0 ) U 0
t
则A U 0 U s uC (t ) U s (U 0 - Us
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
（3） uC的变化规律 稳态分量
uC (t ) U s (U - Us 0
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
解： (1) 求uC(0-)。由于开关闭合 前电路稳定， duC/dt=0 ，故 iC=0 ， 电容可看作开路。 t=0- 时电路如 图，
uC (0 ) 12V
(2) 根据换路定律有
uC (0 ) uC (0 )12 V ＝ 12V
第四章 动态电路的时域分析
R2
(a) 解：(1)由换路前电路求 由已知条件知
已知：换路前电路处稳态， C、L 均未储能。 试求：电路中各电压和电 流的初始值。
uC (0 ), i L (0 )
uC (0 ) 0, i L (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 ) 0 (2)根据换路定律得：
L (0 ) L (0 ) 0
t
y (t ) y p (t ) [ y (0 ) y p (0 )]e
t0
第四章 动态电路的时域分析
当激励 f(t) 为直流时，微分方程的特解是常数。令 yp(t)=C, 显然有yp(0+)=C, 得
y(t ) C [ y(0 ) C ]e
第四章 动态电路的时域分析
i
1Ω
10V (t=0)
例3：已知换路前已达稳态，求
uL(0＋) 、i (0＋)、 i1(0＋) 和iL(0＋)。
4Ω
+ uL
i1
iL
-
解：(1)换路前
10 i L (0 ) 2( A) 1 4 (2)根据换路定律 i (0+) 1Ω i L (0 ) i L (0 ) 2 A
uR uC U s
+
t 0
s
i R C
+ _ uc
Us _
第四章 动态电路的时域分析
求对应齐次微分方程的通解
uC
duC uC 0 的解 通解即：RC dt t
pt 其解： uC (t ) Ae Ae RC
微分方程的通解为
（令 RC） (t ) uC (t ) U s Ae uC (t ) uC
第四章 动态电路的时域分析
上节回顾 1. 电容元件 电容的VAR 电容元件的特点 *电压有变化，才有电流。电
容具有隔直流作用。
dq du i C dt dt 1 du( t ) C
*电容电压具有连续性，不能
跃变。
*电容有“记忆”电压的作
t
i ( )d
用。电容是无源元件。
第四章 动态电路的时域分析
2. (电感元件 t ) Li( t )
电感元件的特点 *电流有变化，才有电压。 *电感的电流具有连续性，不
能跃变。
dVAR 电感的 u( t ) dt di( t ) u( t ) L dt 1 t i ( t ) u( )d L
*电感有“记忆”电流的作
用。电感是无源元件。
第四章 动态电路的时域分析
S + U -
C
R2
iC (0+ ) uC (0+) u2(0+_ )
+ U
t=0 R1
(a) 电路 L
+
-
i1(0+ )
R1
+ + u1(0+) uL(0+) _ _
R2
iL(0+ )
uC (0 ) 0, iL (0 ) 0,
(b) t = 0+等效电路 电容元件可视为短路 电感元件可视为开路
i L (0 )
Us 24 4A R1 R2 1 5
uC (0 ) R2 i L (0 ) 5 4 20V
第四章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律有
uC (0 ) uC (0 ) 20V i L (0 ) i L (0 ) 4 A
diL R R i L is dt L L
一阶常系数微分方程
第四章 动态电路的时域分析
3. RLC电路
uL (t ) uR (t ) uC (t ) us (t )
2 duC duC di d u C iC , uR Ri RC , uL L LC dt dt dt dt 2 d 2 uC R duC 1 1 uC us 2 dt L dt LC LC 二阶常系数微分方程
3. uC 、 iC 变化曲线
t
C Us
uC
uC
uC U s ( 1 e
t
) U 0e
t
U s U0 R
U0
iC
t
第四章 动态电路的时域分析
3. 直流电源作用一阶动态电路的三要素法
duC 1 1 uC us dt R0C R0C diL R0 1 iL u s dt L L
(3)由0＋等效电路可求得
10V
4Ω i1(0+) 2A
+ uL(0+)
-
i (0 ) 10A
i1 (0 ) 8 A
uL (0 ) 8V
第四章 动态电路的时域分析
例4 电路如图所示，t=0时开关S由1扳向2，在t＜0时电路已 处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。
解： (1) 换路前
第四章 动态电路的时域分析
一般而言，若电路中含有n个独立的动态
元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的， 称为n阶电路。
第四章 动态电路的时域分析
3.2.2 动态电路方程解
1. 初始值的计算
例：求解方程