03 动态电路的电路方程建立
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《电路原理》第五版习题解答_邱关源_罗先觉(第六章)
能跃变．
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
4. 初始条件(initial condition) 概念：
初始条件：变量及其各阶导数在t=0+时的值
独立变量：变量及其初始值不能用其它变量 和初始值求出．如，uC和iL
非独立变量：变量及其初始值可以用独立变 量和初始值求出．指电路中
uL
L
di dt
us（t）
R+
uL L
di
–
Ri L dt uS (t)
若以电感电压为变量：
R L
uLdt uL uS (t)
R L
uL
duL dt
duS (t) dt
一阶
电路
有源 电阻 电路
一个 动态 元件
Ri uL uc uS (t)
i C duc dt
uL
L
di dt
＋
uS（t） －
第六章
一阶电路
(First-Order Circuits )
本章重点
动态电路方程的建立及初始条件的 确定
一阶电路的零输入响应、零状态响 应和全响应求解
主要内容
动态电路的方程和初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 一阶电路的阶跃响应 一阶电路的冲激响应
一、动态电路的方程和初始条件
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
K接通电源后很长时间，电容 C 充电完毕，电路达到新的稳定
状态
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
第3章3.2动态电路的方程及其解
第三章 动态电路
§3.2
动态电路的方程及其解
■
第 1页
§3.2 动态电路的方程及其解
描述动态电路的方程是微分方程。 描述动态电路的方程是微分方程。用一阶微分 微分方程 方程描述的电路常称为一阶电路 一般而言， 一阶电路。 方程描述的电路常称为一阶电路。一般而言，如果 电路中含有n个独立的动态元件 个独立的动态元件， 电路中含有 个独立的动态元件，则描述它的将是 n阶微分方程，该电路可称为 阶电路。 阶微分方程， 阶电路。 阶微分方程 该电路可称为n阶电路
• 动态电路方程的建立 • 微分方程的经典解法
▲
■
第 2页
一、动态电路方程的建立
1、依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； 依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； VAR 列写方程 uR 一阶电路举例： 2、一阶电路举例： R i S RC电路 t=0时开关 电路， 时开关S 例1：图RC电路，t=0时开关S闭 uC uS 讨论t>0时的电容电压u 。 t>0时的电容电压 合，讨论t>0时的电容电压 C(t)。 C t>0时 根据KVL KVL方程列出回 t>0时，根据KVL方程列出回 RC串联电路 uR + uC – uS = 0 路电压方程为 d uC d uC , uR = R i = RC 根据元件的VAR VAR， 根据元件的VAR，有 i = C 代入上式， 代入上式，整 理得
− 1 t RC +U S
uC (t) = (U0 −US ) e
,t ≥ 0
▲ ■ 第 11 页
3、结果分析
固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应
− 1 t RC +U
uC (t) = (U0 −US ) e
§3.2
动态电路的方程及其解
■
第 1页
§3.2 动态电路的方程及其解
描述动态电路的方程是微分方程。 描述动态电路的方程是微分方程。用一阶微分 微分方程 方程描述的电路常称为一阶电路 一般而言， 一阶电路。 方程描述的电路常称为一阶电路。一般而言，如果 电路中含有n个独立的动态元件 个独立的动态元件， 电路中含有 个独立的动态元件，则描述它的将是 n阶微分方程，该电路可称为 阶电路。 阶微分方程， 阶电路。 阶微分方程 该电路可称为n阶电路
• 动态电路方程的建立 • 微分方程的经典解法
▲
■
第 2页
一、动态电路方程的建立
1、依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； 依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； VAR 列写方程 uR 一阶电路举例： 2、一阶电路举例： R i S RC电路 t=0时开关 电路， 时开关S 例1：图RC电路，t=0时开关S闭 uC uS 讨论t>0时的电容电压u 。 t>0时的电容电压 合，讨论t>0时的电容电压 C(t)。 C t>0时 根据KVL KVL方程列出回 t>0时，根据KVL方程列出回 RC串联电路 uR + uC – uS = 0 路电压方程为 d uC d uC , uR = R i = RC 根据元件的VAR VAR， 根据元件的VAR，有 i = C 代入上式， 代入上式，整 理得
− 1 t RC +U S
uC (t) = (U0 −US ) e
,t ≥ 0
▲ ■ 第 11 页
3、结果分析
固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应
− 1 t RC +U
uC (t) = (U0 −US ) e
动态电路方程及其解
确定积分常数A
根据换路定则在 t=0+时，uC (0 ) U 0
t
则A U 0 U s uC (t ) U s (U 0 - Us
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
（3） uC的变化规律 稳态分量
uC (t ) U s (U - Us 0
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
一般而言，若电路中含有n个独立的动态
元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的， 称为n阶电路。
第四章 动态电路的时域分析
3.2.2 动态电路方程解
1. 初始值的计算
例：求解方程
解： 特征方程
dx 5 x 0, dt
x ( 0) 2
s5 0
s 5
特征根
第四章 动态电路的时域分析
上节回顾 1. 电容元件 电容的VAR 电容元件的特点 *电压有变化，才有电流。电
容具有隔直流作用。
dq du i C dt dt 1 du( t ) C
*电容电压具有连续性，不能
跃变。
*电容有“记忆”电压的作
t
i ( )d
用。电容是无源元件。
第四章 动态电路的时域分析
uR (t ) uC (t ) us (t )
duC 1 1 uC us dt RC RC
一阶常系数微分方程
第四章 动态电路的时域分析
2. RL电路
i R (t ) i L (t ) is (t )
uL diL uR uL iR i C , uL L R dt R R
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 )
根据换路定则在 t=0+时，uC (0 ) U 0
t
则A U 0 U s uC (t ) U s (U 0 - Us
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
（3） uC的变化规律 稳态分量
uC (t ) U s (U - Us 0
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
一般而言，若电路中含有n个独立的动态
元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的， 称为n阶电路。
第四章 动态电路的时域分析
3.2.2 动态电路方程解
1. 初始值的计算
例：求解方程
解： 特征方程
dx 5 x 0, dt
x ( 0) 2
s5 0
s 5
特征根
第四章 动态电路的时域分析
上节回顾 1. 电容元件 电容的VAR 电容元件的特点 *电压有变化，才有电流。电
容具有隔直流作用。
dq du i C dt dt 1 du( t ) C
*电容电压具有连续性，不能
跃变。
*电容有“记忆”电压的作
t
i ( )d
用。电容是无源元件。
第四章 动态电路的时域分析
uR (t ) uC (t ) us (t )
duC 1 1 uC us dt RC RC
一阶常系数微分方程
第四章 动态电路的时域分析
2. RL电路
i R (t ) i L (t ) is (t )
uL diL uR uL iR i C , uL L R dt R R
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 )
天津理工电路习题及答案-第六章--一阶电路..
第六章一阶电路——经典分析法（微分方程描述）——运算分析法（代数方程描述）见第十三章一、重点和难点1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；3. 求解一阶电路的三要素方法；电路初始条件的概念和确定方法；1.换路定理（换路规则）仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。
①电容元件：u C(0-) = u C(0+)；（即：q C(0-) = q C(0+)）；i C(0-) ≠i C(0+)。
②电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；u C(0-) ≠u C(0+)。
③电阻元件：u R(0-) ≠u R(0+)；i R(0-) ≠i R(0+)。
因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。
电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。
如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。
2.画t=0+时刻的等效电路画t=0+时刻等效电路的规则：①对电容元件，如u C(0-) = 0，则把电容元件短路；如u C(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为u C(0-)）替代电容元件。
②对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为i L(0-)）替代电感元件。
画t=0+时刻等效电路的应用：一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。
3. 时间常数τ①物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根)。
仅取决于电路的结构和元件的参数。
②几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间后为零值）。
③单位：m(秒)、ms(毫秒)。
第3章_动态电路分析
1、电容的一般定义
一个二端元件，若在任一时刻t，其电荷q(t) 与电压u(t)之间的关系能用q~u平面上的曲线表 征，即具有代数关系 f (u，q ) = 0 则称该元件为电容元件，简称电容。
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电容也分：时变和时不变的，线性的和非线性的。 线性时不变电容的外特性(库伏特性)是q~u平面上一条过原点的直 线，且其斜率C不随时间变化，如图(a)所示。其表达式可写为：
di u Leq dt
Leq L1 L2 Ln
第 3-17 页
L uk k u 分压公式 Leq
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4、电感并联：
电感并联电压u相同，根 据电感VAR积分形式
第 3-14 页 前一页 下一页
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1、电容串联：
电容串联电流相同，根 据电容VAR积分形式
1 uk (t ) Ck
1 C1
t
t
i ( )d
t t
由KVL，有u = u1 + u2 +…+un
1 i ( ) d C2 1 i ( ) d Cn
du i Ceq dt
Ceq C1 C2 Cn
第 3-16 页
Ck i 分流公式 ik Ceq
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3、电感串联：
电感串联电流相同，根据电感 VAR微分形式
di uk Lk dt
由KVL，有
u u1 u2 un di di di L1 L2 Ln dt dt dt di L1 L2 Ln dt
WC (t )
动态电路的电路方程
图7-18
解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程
uS (t) uR (t) uC (t) Ri(t) uC (t)
在上式中代入: 得到
i(t) C duC (t) dt
RC
duC (t) dt
uC
(t)＝uS (t)
(7－21)
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。
uS
经过整理得到以下微分方程
LC
d 2 uC dt 2
L ( R1
R2C)
duC dt
(R1 R2 ) R1
uC
uS
(7 26)
这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。
必作习题：第266~267页 习题七：7 – 9 、 7 – 13 2002年春节摄于成都人民公园
R1C
duC dt
uS
(1)
R1iL
R1C
duC dt
uC
0
( 2)
从式(2)得到
iL
C
duC dt
1 R1
uC
将iL(t)代入式(1)中
LC
d 2 uC dt 2
L R1
duC dt
(R1
R2 )C
duC dt
(
R1
R1
R2
)
uC
R1C
duC dt
R1R2 R1 R2
uoc
R2 R1 R2
uS
由图(b)电路得到与式7－25相同的微分方程。
例7-11 电路如图7-21所示，以uC(t)为变量列出电路的微分 方程。
解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程
uS (t) uR (t) uC (t) Ri(t) uC (t)
在上式中代入: 得到
i(t) C duC (t) dt
RC
duC (t) dt
uC
(t)＝uS (t)
(7－21)
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。
uS
经过整理得到以下微分方程
LC
d 2 uC dt 2
L ( R1
R2C)
duC dt
(R1 R2 ) R1
uC
uS
(7 26)
这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。
必作习题：第266~267页 习题七：7 – 9 、 7 – 13 2002年春节摄于成都人民公园
R1C
duC dt
uS
(1)
R1iL
R1C
duC dt
uC
0
( 2)
从式(2)得到
iL
C
duC dt
1 R1
uC
将iL(t)代入式(1)中
LC
d 2 uC dt 2
L R1
duC dt
(R1
R2 )C
duC dt
(
R1
R1
R2
)
uC
R1C
duC dt
R1R2 R1 R2
uoc
R2 R1 R2
uS
由图(b)电路得到与式7－25相同的微分方程。
例7-11 电路如图7-21所示，以uC(t)为变量列出电路的微分 方程。
3-5动态电路的输入-输出方程.
2 建立输入-输出方程的依据——两个约束关系
联接形式所确定的约束关系（KVL,KCL） 元件性质所确定的约束关系(VCR)(有微分关系) 所以输入-输出方程为微分方程,方程阶数等于电路 独立动态元件个数。
3 建立输入-输出方程的方法： 第二章的方法
例1 建立以uS(t)为输入,uC(t)为输出的
输入—输出方程 解：由KCL
un2
iS
1
11
LD
un1
( LD
R2 )un2
0
D 常量 0
CD 1 1 R1 LD
11ຫໍສະໝຸດ CD 1 11
LD 1
un2
R1 LD 1
iS 0
LD
LD R2
LD
LCD 2un2
( L R1
R2C )Du n2
(1
R2 R1
)un 2
R2iS
LC
动态电路在换路时使电路从一个稳定工作状态 转变为另一个稳定工作状态，这种转变需要时 间，要经过一个过程。
§3-5 动态电路的输入—输出方程
三、动态电路方程
输入f(t)：电压源的uS(t);电流源的iS(t) 输出r(t)：待求响应(response) (任意电压或电流)
1 输入-输出方程——联系f(t)、r(t)的方程
§3-5 动态电路的输入—输出方程
一、换路 换路不需要时间，一般以换路发生时刻作 为计时时刻，即 t=0 时换路
t=0- 表示换路前瞬间,与t=0的间隔→0 t=0+ 表示换路后瞬间,与t=0的间隔→0 二、动态电路 1．动态电路定义 (a) 具有动态元件(L、C、M)
(b) 具有换路 2．动态电路阶数 = 等于独立储能元件个数
联接形式所确定的约束关系（KVL,KCL） 元件性质所确定的约束关系(VCR)(有微分关系) 所以输入-输出方程为微分方程,方程阶数等于电路 独立动态元件个数。
3 建立输入-输出方程的方法： 第二章的方法
例1 建立以uS(t)为输入,uC(t)为输出的
输入—输出方程 解：由KCL
un2
iS
1
11
LD
un1
( LD
R2 )un2
0
D 常量 0
CD 1 1 R1 LD
11ຫໍສະໝຸດ CD 1 11
LD 1
un2
R1 LD 1
iS 0
LD
LD R2
LD
LCD 2un2
( L R1
R2C )Du n2
(1
R2 R1
)un 2
R2iS
LC
动态电路在换路时使电路从一个稳定工作状态 转变为另一个稳定工作状态，这种转变需要时 间，要经过一个过程。
§3-5 动态电路的输入—输出方程
三、动态电路方程
输入f(t)：电压源的uS(t);电流源的iS(t) 输出r(t)：待求响应(response) (任意电压或电流)
1 输入-输出方程——联系f(t)、r(t)的方程
§3-5 动态电路的输入—输出方程
一、换路 换路不需要时间，一般以换路发生时刻作 为计时时刻，即 t=0 时换路
t=0- 表示换路前瞬间,与t=0的间隔→0 t=0+ 表示换路后瞬间,与t=0的间隔→0 二、动态电路 1．动态电路定义 (a) 具有动态元件(L、C、M)
(b) 具有换路 2．动态电路阶数 = 等于独立储能元件个数
第三章 动态电路
无源元件
+ uC –
u/V
5V
iC 例：已知C=2F两端电压波形如下, C 求iC(t)=?
t/s
0 1 3 4
在0 t 1s时 : ic (t ) 2 5 10 A
在1 t 3s时 : ic (t ) 0
duC 解： iC ( t ) C dt
电容量 耐压值
3.电容的伏安关系 iC
dq( t ) 由于： iC ( t ) dt 而： q( t ) C uC ( t ) duC ( t ) 所以： iC ( t ) C dt
+ uc –
C
注：ic与uc为关联参考方向。
duC ( t ) 当ic与uc非关联时： iC ( t ) C dt
L (t0 ) L (t0 )
qC (t0 ) qC (t0 )
三、电容、电感的串联和并联 1、电容的串联
i C1 C2 + u +u1- +u22、电容的并联 i + u C1 C2 Cn +un+ u –
i Ceq
n 1 1 1 1 1 .... C eq C1 C 2 C 3 k 1 C k
瞬时功率：
diL (t ) p(t ) u L (t ) iL (t ) LiL (t ) dt 贮存的能量：
t t
diL ( ) wL (t ) p( )d L iL ( ) d d 1 2 1 2 Li L (t ) Li L () 2 2 当iL(-∞)=0时，电感吸收的能量为：
1 2 wL (t ) Li L (t ) 2
无源元件
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d 2 uC d uC R1 L LC ( R1C ) ( 1)uC uS 2 dt R2 dt R2
电路分析基础
电路分析课程组
电路分析基础ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
举例说明怎么建立微分方程
我们以电容两端的电压uC最为变量列写方程：
根据KVL：
uR ( t ) uC ( t )＝uS ( t )
带入电阻元件的VCR方程：
R i uC ( t )＝uS ( t )
duC ( t ) 带入电容元件的VCR方程： RC uC ( t )＝uS ( t ) dt
PowerPoint
电子科技大学
电路分析基础课程
动态电路方程
电路分析基础
含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到基尔霍夫定律 和元件特性的约束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电路 方程是一组微分方程。
由一个一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由一个二阶微 分方程描述的电路称为二阶电路。由一个n阶微分方程描述的电路称 为n阶电路。
电路分析基础
举例说明怎么建立微分方程
我们以电感两端的电流iL最为变量列写方程：
根据KCL：
iR ( t ) iL ( t )＝iS ( t )
带入电阻元件的VCR方程：
G uL ( t ) iL ( t )＝iS ( t )
d iL ( t ) 带入电容元件的VCR方程： G L iL ( t )＝iS ( t ) dt
电路分析基础
举例说明怎么建立微分方程
以uC作为变量，列出图电路的微分方程
iL L uS -
d iL uS 根据KVL： uC R1 iL L dt
R1
+ R2
uC -
+
C
d uC 根据VCR： iC C dt
iR 2
uC R2
d uC uC 根据KCL： iL iC i2 C dt R2
d 2 uC d uC R1 L LC ( R1C ) ( 1)uC uS 2 dt R2 dt R2
电路分析基础
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电路分析基础ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
举例说明怎么建立微分方程
我们以电容两端的电压uC最为变量列写方程：
根据KVL：
uR ( t ) uC ( t )＝uS ( t )
带入电阻元件的VCR方程：
R i uC ( t )＝uS ( t )
duC ( t ) 带入电容元件的VCR方程： RC uC ( t )＝uS ( t ) dt
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动态电路方程
电路分析基础
含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到基尔霍夫定律 和元件特性的约束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电路 方程是一组微分方程。
由一个一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由一个二阶微 分方程描述的电路称为二阶电路。由一个n阶微分方程描述的电路称 为n阶电路。
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举例说明怎么建立微分方程
我们以电感两端的电流iL最为变量列写方程：
根据KCL：
iR ( t ) iL ( t )＝iS ( t )
带入电阻元件的VCR方程：
G uL ( t ) iL ( t )＝iS ( t )
d iL ( t ) 带入电容元件的VCR方程： G L iL ( t )＝iS ( t ) dt
电路分析基础
举例说明怎么建立微分方程
以uC作为变量，列出图电路的微分方程
iL L uS -
d iL uS 根据KVL： uC R1 iL L dt
R1
+ R2
uC -
+
C
d uC 根据VCR： iC C dt
iR 2
uC R2
d uC uC 根据KCL： iL iC i2 C dt R2