多跨超静定梁的分布传递函数方法

收稿日期:2017-10-13基金项目:湖南省教育厅科研基金项目(14C1060);郴州市科技计划项目(CZ2014042)作者简介:蒋纯志(1967 ),女,湖南永州人,教授,研究方向:计算结构力学,非均质材料位错理论.多跨超静定梁的分布传递函数方法蒋纯志,黄健全,唐政华(湘南学院电子信息与电气工程学院,湖南郴州　423000)摘　要:为了求解多跨超静定梁的静力学响应,提出了多跨超静定梁静力学分析的分布参数传递函数方法.通过定义状态变量,把挠曲线微分方程改写成状态空间形式的基本控制方程,并借助有限元法的单元组集方式,建立了适用于复杂荷载和边界条件的多跨超静定梁传递函数求解模型.该模型可计算超静定梁各截面的内力和变形.最后给出一个算例验证此方法的准确性和有效性.关键词:超静定梁;静力学;传递函数方法;变形;内力中图分类号:O342 文献标识码:A DOI :10.3969/j.issn.1672-8173.2018.02.0061　引言在工程中由于构造上的需要,或者为了提高梁的刚度与强度,往往需要给静定梁再增加约束,使得静定梁成为超静定梁.通常超静定梁的求解方法是解除多余约束,使超静定梁变为静定梁,利用静力平衡方程和变形协调方程计算出支反力,继而做出梁的弯矩图.通过积分法或者叠加法进行变形计算.计算过程冗长繁琐,十分不方便,尤其对于多跨超静定梁求解更是困难.因此,人们一直在探索新的计算方法来简化超静定梁的变形计算,诸如叠加法[1]㊁直写法[2]㊁等直梁的置换法[3]㊁分段独立一体化积分法[4]等.这些方法各有其特点和针对性.分布传递函数方法是基于控制论和半解析有限元思想的一种新的计算方法,近十几年来,经过一些学者的研究和应用,此方法在力学领域取得了较好的进展[5-7].这种方法具有求解精度高㊁易于编程实现等优势.本文将传递函数方法引入到多跨超静定梁的内力和变形计算,通过定义状态变量,把梁的挠曲线微分方程改写成状态空间形式的基本控制方程,借助有限元法的单元组集方式,建立适用于各种复杂荷载超静定梁的传递函数求解模型,利用计算机编程运用可以较简单有效地对多跨超静定梁进行分析计算.2　单元分布传递函数方程首先将多跨超静定梁按其荷载㊁支座分成若干单元,任取一单元分析.在单元上建立坐标系,x ∈[-a ,a ],单元的长度设为2a .梁的挠曲线微分方程EI d 4w dx 4=q (x ).(1)定义状态变量η(x )=w (x )　dw (x )dx d 2w (x )dx 2　d 3w (x )dx []3T .将挠曲线微分方程改写成状态空间形式的基本控制方程d dxη(x )=Fη(x )+g(x ).(2)定义节点位移向量r =w (-a )　dw (-a )dx w (a )　dw (a )dx []　T .边界条件表示为Mη(-a )+Nη(a )=r .(3)㊃92㊃2018年4月第39卷第2期 湘南学院学报Journal of Xiangnan University Apr.,2018Vol.39No.2通过传递函数法,得到满足边界条件(3)的方程(2)的解:η(x )=H(x )r +f(x ).(4)其中H (x )=e Fx [Me -Fa +Ne Fa ]-1,(5)f (x )=∫a -a G(x ,ξ)g(ξ)dξ,G (x ,ξ)=H (x )Me F (-a -ξ)ξ<x -H (x )Ne F(a -ξ)ξ{>x.(6)若是单跨超静定梁,就可以依据边界条件和荷载情况直接得出梁各点的挠度和转角,继而求出各点内力.3　多跨超静定梁的组集方法对于多跨超静定梁,利用传递函数方法对每个单元求解,通过单元间连接点上的广义力平衡条件,将所有子系统组装在一起,形成总体平衡方程,根据梁的荷载情况,即可获得整个梁的传递函数解.首先定义广义力向量σ(x )=Q (x )M (x éëêêùûúú).(7)由材料力学的本构关系,广义力为σ(x )=E ηη(x ).综合式(1)㊁(6)和(7)得出本构矩阵E η=0　0　0　EI 0　0　EI éëêêùûúú　0.利用(7)联立推导单元两端节点的广义力为σ=σ(-a )σ(a éëêêùûúú)=E ηH (-a )-E ηH (a éëêêùûúú)r +E ηf (-a )-E ηf (a éëêêùûúú)=kr +v .(8)考虑单元的节点外力,得到本单元的节点平衡方程s =kr +v .(9)其中s 为单元节点集中外力向量㊂借助有限元的单元组集方式对各单元组集,得到复杂系统的节点平衡方程:S =KR +V .S 是梁上外力向量,由s 构成;K 和V 分别由k 和v 组集而成.引入边界条件,对边界条件的处理方式与有限元相同.根据(9)式求得梁上各单元节点的位移R ,代入(4)式,便能求出超静定梁上各点的挠度和转角,继而计算出各点的内力值.4　算例下图连续梁,有4个等长跨度,弯曲刚度EI 为常数.在第三跨加均布荷载图1　载荷图Fig.1　Load diagram将整个梁分成四个单元,分别是AB㊁BC㊁CD㊁DE,任取一单元,依照上述方法建立传递函数方程.分析梁的载荷和约束情况,外力向量为S =[0　0　0　0　0　0　0　0　0　0]T .取EI㊁q ㊁l 均为1,用MATLAB 编程运算,并绘制弯矩图㊁挠度图和转角图.5　结论研究了分布传递函数方法对于多跨超静定梁的适用性,得到一种求解多跨超静定梁的新的计算方法.这㊃03㊃湘南学院学报(自然科学版) 2018年4月(第39卷)第2期种方法形式规范统一,便于计算机编程和操作,适合于任意的边界条件和复杂外力情况.算例利用本方法分析了四跨连续超静定梁,画出了剪力图㊁弯矩图㊁转角图和挠度图,其结果与文献4相同.分布传递函数方法使用起来灵活㊁高效,可应用的领域非常广泛,是一种对各种结构进行处理的行之有效的方法. 图2　剪力图 图3　弯矩图 Fig.2　Shear force diagram Fig.3Bending moment diagram 图4　转角图 图5　挠度图 Fig.4　Angle of rotation diagram Fig.5　Deflection diagram参考文献:[1]刘鸿文.材料力学[M].北京:高等教育出版社,2011.[2]孙仙山,张方春. 直写法”求解静不定连续梁[J].山东工业大学学报,1999,2:197-200.[3]喻晓今.求超静定等直梁的置换法[J].工程力学,2007,24(6):66-69.[4]吴艳艳,李银山,魏剑伟,李彤.求解超静定梁的分段独立一体化积分法[J].工程力学,2013,30(6):11-14.[5]SHEN Zhibin,SHENG Liping,LI Xianfang,TANG Guojin.Nonlocal Timoshenko beam theory for vibration of carbon nanotube-based biosensor[J].Physica E,2012,44:1169-1175.[6]SHEN Zhibin,LI Daokui,LI Dong,TANG Guojin.Frequency shift of a nanomechanical sensor carrying a nanoparticle using nonlo⁃cal Timoshenko beam theory[J].Journal of Mechanical Science and Technology,2012,26:1-8.[7]蒋纯志,金桂,陈亚琦.传递函数方法在复杂曲梁计算中的应用[J].机械设计与制造,2011,7:84-86.(下转第120页)㊃13㊃蒋纯志,等:多跨超静定梁的分布传递函数方法湘南学院学报(自然科学版) 2018年4月(第39卷)第2期Study on Pricing of Take-Photos-to-Make-MoneyCrowdsourcing PlatformLIU Wenhao1,SUN Jiaqian1,XING Yao1,LIU Zhigang2(1.College of Business Administration,Northeastern University,Shenyang110004,China;2.College of Mathematics and Finance,Xiangnan University,Chenzhou423000,China)Abstract:The pricing problem of Take-Photos-to-Make-Money Crowdsourcing Platform is studied.By u⁃sing the influence diffusion function and MATLAB software,the multiple linear regression model of the pri⁃cing problem of camera making money making task is pared with the original problem,our model has lower cost and higher task completion rate.opportunity costKey words:influence diffusion model,K-Means cluster analysis,(上接第31页)Distributed Transfer Function Method for Multi SpanStatically Indeterminate BeamJIANG Chunzhi,HUANG Jianquan,TANG Zhenghua(College of Electronic Information and Electronic Engineering,XiangnanUniversity,Chenzhou423000,China)Abstract:To solve the static response of multi-span statically indeterminate beam,a distributed transfer function method is presented.By defining the state variables,the differential equation of the deflection curve is rewritten as the basic control equations in state space form.And with the aid of the unit set mode of finite element method,a solution modelof multi-span statically indeterminate beam transfer function,which is ap⁃plicable to various kinds of complicate external forces and boundary,is established.Moreover,the model can be used to calculate the internal force and deformation.An example is given to verify the accuracy and effectiveness of this method.Key words:statically indeterminate beam,statics,transfer function method,deformation,internal force㊃021㊃。