理论力学-运动学
a
ax2
a
2 y
az2
32m
s2
而
at
dv dt
0,
an a 32m s2
故 v2 2.5m
2020/2/29
an
2020/2/29
a
l2 a2 2al cos 2t
例6-2 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O
轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中
θ为t=0的夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间 距离为b，求点A和B的运动方程及点B的速度和加速 度。
已知： OM r, t , 常数, AB b
c
os(vi
)
vx
v
2020/2/29
c
os
(v j )
v
y
v
c
os(vk
)Leabharlann vzv
三. 加速度.
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d 2z dt 2
k
a
x
i
ay
jazk
a a2x a2 y a2z
s0
v0t
1 2
att 2
④点作曲线运动 画出下列情况下点的加速度方向。
<1>M1点作匀速运动 <2>M2点作加速运动 <3>M3点作减速运动
⑤判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动) (不可能)
2020/2/29
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作 直线加速运动)
c
os(ai
)
ax a
[注] 这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数。
x f1(t)
y
f 2(t)
当消去参数 t 后,可得到 轨迹方程。
z f 3(t)
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例6-1 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其 端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A， B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
a ax2 ay2 l a2 4 cos2 t (l a）2 4 sin 2 t
l2 a2 2al cos 2t
cos(a,i ) ay (l a)cost
a
l2 a2 2al cos 2t
cos(a, j ) ax (l a) cost
2xB
周期运动
x (t T ) x f
f 1
2020/2/29
T
频率
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
一.弧坐标,自然轴系
弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
s2
① t 0, an 0 a at 0.125m s2
② t 2min 120s
an
v2 R
(15m s)2 800m
0.281m
s2
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a at2 an2 0.308m s2
例6-4 已知点的运动方程为x=2sin 4t m， y=2cos 4t m，z=4t m。
已知：OC AC BC l, MC a, t
求：① M 点的运动方程
② 轨迹 ③ 速度 ④ 加速度
2020/2/29
已知： OC AC BC l, MC a, t
求：x=x(t)， y=y(t)。 解：点M作曲线运动，取坐标系xoy
运动方程
x (OC CM ) cos (l a)t cost
dt ds dt dt
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速度 v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
加速度 a dv dv v d
dt dt dt
代入 d d ds v n dt ds dt
则
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a
dv
dt
v2
n
at
y AM sin (l a)sin t
消去t, 得轨迹
(l
x
2
a）2
(l
y2 a)2
1
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已知： OC AC BC l, MC a, t
速度
求：x=x(t)， y=y(t)。
vx x l a sin t
vy y (l a) cost
ann
at
dv dt
d2s dt 2
an
v2
1
ds
2
dt
— 切向加速度
— 法向加速度
a at2 an2
曲线匀速运动 at 0, v v0 常数, s s0 v0t
曲线匀变速运动
at 常数, v v0 att,
s
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求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：由点M的运动方程，得
vx x 8cos 4t, ax x 32sin 4t
vy y 8sin 4t, ay y 32cos 4t
vz j 4,
a z 0 z
从而
v
vx2 vy2 vz2
80m s,
y
a
Δlitm0ΔΔvt
dv dt
d 2r dt 2
r
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§6-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
r xi yj zk
二.点的速度
v
dr dt
ddxt i
dy dt
j
dz dt
k
v vxi vy jvzk
v vx2 vy2 vz2
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v l2 a2 2al cos 2t
已知： OC AC BC l, MC a, t
加速度
求：x=x(t)， y=y(t)。
ax vx x l a 2 cost
ay vy y l a 2 sin t
xB r sin r sin( t )
2020/2/29
已知： OM r, t , 常数, AB b
求：① A、B点运动方程 ② B点速度、加速度
B点的速度和加速度
vB xB r cost
aB xB r 2 sin t
v vx2 vy2 (l a)2 2 sin2 t (l a)2 2 cos2 t
l2 a2 2al cos 2t
cos(v,i ) vx (l a)sin t
v
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, j) vy (l a)cost
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已知：R=800m=常数，
a 常数, v t0 v0 0
v 2min 54km h 求：a t0 , a t2min
解：1 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图
2 由 at 常数, v0 0 v att
at
v t
15m s 120s
0.125m
第六章 点的运动学
§6–1 点的运动矢量分析方法 §6–2 点的运动的直角坐标法 §6–3 点的运动的自然坐标法
2020/2/29
§6-1 点的运动矢量分析方法 z
一.运动方程，轨迹
r r (t) OM
二.点的速度
v
Δltim0ΔΔtr
dr dt
r
x
三.加速度
P P´
r r´ r P
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r f1 (t )
f2(t)
自然轴系
2020/2/29
2020/2/29
2020/2/29
2020/2/29
2020/2/29
点的速度和加速度
切向单位矢量
主法向单位矢量 n
副法线单位矢量 b n
速度 v dr dr ds ds v
求：① A、B点运动方程
② B点速度、加速度
2020/2/29
已知：OM r, t , 常数, AB b
求：① A、B点运动方程
② B点速度、加速度
解： A，B点都作直线运动，取ox轴如图所示。
运动方程
xA b r sin b r sin( t )
(减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
例6-3 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀 速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达 54km/h。求列车起点和未点的加速度。
已知：R=800m=常数，
a 常数, v t0 v0 0
v 2min 54km h 求：a t0 , a t2min
理论力学—点的运动学
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
理论力学-5-运动学基础
ds ＝v ＝s dt
dv at s dt
an
v
2
a a a
2 τ
2 n
5.1 点的运动学
自然轴系
自然轴系
当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得 到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然 轴系。
5.1 点的运动学
自然轴系P－TNB
B(副法线) N(主法线)
0
dτ n d
5.1 点的运动学
τ vτ av
τ
弧坐标法
τ ?
ds ＝v ＝s dt
dτ dτ d ds dt d ds dt
dτ n d
d 1 曲率 ds
a at an at τ an n
速度方向的变化率 法向加速度
xA OC CM R
M
即
CM v0t R R
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R 于是M点的运动方程为： vt y AC AM cos R R cos 0 R
5.1 点的运动学
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R vt y AC AM cos R R cos 0 R
切线方向的单位矢量为t ，则有 r ds lim τ ＝v ＝ s t 0 s dt t指向弧坐标s增加的方向。 动点的速度为
τ v vτ s
速度方向
速度大小
5.1 点的运动学
弧坐标法
加速度
dτ dτ d ds dt d ds dt dτ d 1 ds 曲率 ? ＝v ＝s ds d dt τ
理论力学第二篇运动学形式与目
运动学模型及其运动形式
运动学模型
图片
运动学模型及其运动形式
运动学模型
运动学模型及其运动形式
运动学模型
接触轨道之前， 保龄球可以看作一个 点；
接触轨道之后， 保龄球在摩擦力作用 下发生滚动，这时保 龄球不再是一点，而 应看作刚体。
运动学模型及其运动形式 点的运动形式
（2）点的运动形式 点的运动可分为直线运动和曲线运动。
3. 学习运动学目的
学习运动学除了为学习动 力学打基础外，另一方面又有 其独立的意义，为分析机构的 运动打好基础。
引论
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
工程实例
学习运动学目的
理论力学
第二篇 运动学形式和目的
引论
1.运动学主要内容 2.运动学模型及其运动形式 3.学习运动学的目的
1.运动学的主要内容
运动学是从几何观点描述物体的机械运动,只 阐明运动过程的几何特征及其各运动的要素之间 的关系,而不涉及运动的物理原因。
运动学的任务是： 研究物体在空间的位置随 时间变化的几何性质。如：
运动学模型及其运动形式
平移
刚体的运动形式
运动学模型及其运动形式 刚体的运动形式
平移
图片
运动学模型及其运动形式
平移
刚体的运动形式
图片
运动学模型及其运动形式 刚体的运动形式
定轴转动
图片
运动学模型及其运动形式
定轴转动
刚体的运动形式
运动学模型及其运动形式 刚体的运动形式
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
理论力学第18讲(运动学习题课)
x
定系－固连于机座。 因为
O'
OO ut , OM y a sin( kt ),
所以，笔尖 M 的相对运动方程:
x OO ut , y OM a sin( kt ).
kx y a sin u
消去时间t 得笔尖在纸带上所描绘出的轨迹:
牵连运动－直线平动 。
23
例题
3. 速度分析
A M 绝对速度va： va＝v1 ，方向已知。
v2
B
v1
30
牵连速度ve： ve＝v2 ，方向水平向左 。 相对速度vr：大小和方向未知。
ve
60
应用速度合成定理
M β
va ve v r
vr
24
va
例题
va ve v r
A M v2 B 由几何关系
2
例题
例 题 1
振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作间谐振动
y=asin(kt+α)。纸带以水平匀速u向左运动，求笔尖在纸带上所描 绘出的轨迹。
y'
y u
x'
M
O
M
y'
x'
x
O'
O
3
例题
y' x' M
O
y
u
M O
解：
动点－笔尖M 。
动系－O´x´ y´，固连于工件上。
x'
y'
v1
x' x
v2
相对运动－沿AB的直线运动。
20
例题
O φ
y
3. 速度分析。 绝对速度va： va =v2，大小待求，方向沿OB。 牵连速度ve： ve = v1 ，方向沿轴Ox正向。
理论力学运动学知识点总结
理论力学运动学知识点总结第一篇：理论力学运动学知识点总结运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，以用矢量表示。
，当α与ω。
角速度也可• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示。
• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
• 传动比。
一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。
• 绝对运动：动点相对于定参考系的运动；• 相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。
2.点的速度合成定理。
• 绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；• 相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；• 牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。
3.点的加速度合成定理。
• 绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；• 相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；• 牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；• 科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。
• 当动参考系作平移或 = 0，或与平行时，= 0。
理论力学-运动学
绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
三、 点的合成运动
3、速度合成定理
G GG va = vr + ve
绝对速度
相对速度
牵连速度
牵连速度 —— 动系上与动点重合之点 （牵连点）的绝对速度，称为牵连速度。
三、 点的合成运动
4、加速度合G成定理G G G aa = ae + ar + aC
运动学的主要内容 研究物体运动的几何性质
运动学所涉及的研究内容包括： 1、 建立物体的运动方程 2、 分析运动的速度、加速度、
角速度、角加速度等 3、 研究运动的分解与合成规律
一、 点的运动学
采用以下三种方法研究点的运动方程、 运动的速度和加速度：
U 描述点运动的矢量法 U 描述点运动的直角坐标法 U 描述点运动的自然法
（2）投影法 vB= vA+ vBA
vBcosϕ= vAcosθ
y y´ vBA vB
S
Bϕ
ω
vA
Aθ
x´
O
vA x
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度 在这两点连线上的投影相等。
2、平面图形内各点的速度
（3）瞬心法
vC = 0
vA= vAC
vA= vC+ vAC
vA = ω ⋅ AC vB = ω ⋅ CB
y
G j+
G z k =
vx
G i + vy
G j + vz
G k
vx = x , vy = y , vz = z
（aG3=）vG加 =速x度iG+
y
G j+
G zk =
理论力学
理论力学绪论理论力学：是研究物体机械运动一般规律的科学。
机械运动：物体在空间的位置随时间的改变。
静力学：主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件；同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法。
运动学：只从几何的角度来研究物体的运动（如轨迹、速度、加速度等），而不研究引起物体运动的物理原因。
动力学：研究受力物体的运动和作用力之间的关系。
静力学引言静力学是研究物体的受力分析、力系的等效替换（或简化）、建立各种力系的平衡条件的科学。
１．静力学研究的三个问题⑴物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受哪些力，每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图。
⑵力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代替一个复杂力系。
⑶建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡条件，并应用这些条件解决静力学实际问题。
２．基本概念平衡：物体相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运动。
质点：具有质量,而其形状、大小可以不计的物体。
质点系：具有一定联系的若干质点的集合。
刚体：在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体。
力：物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变。
力的三要素：大小、方向和作用线。
力系：是指作用在物体上的一群力。
等效力系：对同一刚体产生相同作用效应的力系。
合力：与某力系等效的力。
平衡力系：对刚体不产生任何作用效应的力系。
共点力系：力的作用线汇交于一点。
平面汇交（共点）力系：力的作用线在同一平面内。
空间汇交（共点）力系：力的作用线不在同一平面内。
力系的分类：按作用线所在的位置，分为平面力系和空间力系；按作用线之间的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系。
第一章静力学公理和物体的受力分析§1-1 静力学公理公理1 力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。