中考数学高频考点突破新定义、新运算型问题的破解策略1(共25张PPT)
专题八 新定义问题__2023届中考数学热点题型突破(含答案)
专题八新定义问题——2023届中考数学热点题型突破1.对任意两个实数a，b定义两种运算：并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于( )A. B.3 C.6 D.2.我们知道, 如果直角三角形的三边的长都是正整数, 这样的三个正整数就叫做一组勾股数. 定义: 如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和, 即, 那么称m 为广义勾股数. 下面的结论:① 7 不是广义勾股数;②13 是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数;⑤若，，, 其中x,y,z,m,n 均为正整数, 则x,y,z 为一组勾股数;⑥一个正奇数 (除 1 外) 与两个和等于此正奇数的平方的连续正整数是一组勾股数.正确的是( )A.①②⑤⑥B.①③④⑤C.②④⑥D.②④⑤⑥3.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( )（1）,;（2）若,则;（3）若,m,n均取整数,则或或;（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则A.2个B.3个C.4个D.5个4.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于,记为,这个数i叫做虚数单位,把形如为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似:例如计算:;;;.根据以上信息,完成下面的计算:__________.5.定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点绕点旋转得到点Q,那么称线段PQ为“拓展带”,点Q为点P的“拓展带”.（1）当时,点的“拓展带”坐标为__________.（2）如果,当点的“拓展带”N在函数的图象上时,t的值为__________.6.新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,则点的限变点是____________.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是____________.7.阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.对数的定义：一般地，若(且)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：(，，，)，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得又，.请解决以下问题：(1)将指数式转化为对数式__________；(2)求证：(，，，)；(3)拓展运用：计算__________.8.定义如果一个正整数等于两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 “奇巧数”.发现数28,32,36 中, 是 “奇巧数” 的是探究已知正奇数的 4 倍一定是 “奇巧数”, 设一个正奇数为 (n为正整数), 请你论证这个结论.9.已知一个三位自然数N, 若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字为 0 , 则称这个数为“雪花数”, 并把其十位数字与个位数字的乘积记为. 定义为 “雪花数”, m,n为常数),已知，. 例如: 945，，945是 “雪花数”, ，634，，634不是 “雪花数”.(1)请填空: 817 _______“雪花数”, 527______ “雪花数” (填“是”或“不是”);(2)求出常数m,n的值;(3)已知s 是个位数字不为 1 的 “雪花数”, 其十位数字为, 个位数字为b, 将s的个位数字移到十位上,十位数字移到百位上, 百位数字移到个位上, 得到一个新数, 若s 与的差能被17整除, 求出所有满足条件的s及由这些s两两组合形成的P 的值.答案以及解析1.答案：A解析：，故选A.2.答案：A解析：7 不能表示为两个正整数的平方和, 7不是广义勾股数,故结论①正确., 13是广义勾股数,故结论②正确. 两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数, 如 5 和 10 是广义勾股数, 但是它们的和 15 不是广义勾股数, 故结论③错误 . 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数, 如 2 和 2 是广义勾股数, 但，4 不是广义勾股数, 故结论④错误. , 即. 又x,y,z均为正整数, 故结论⑤正确. 设正奇数为 (k为正整数), 2 个连续正整数为p,, 由题意得,,,. 又,p,都是正整数, 结论⑥正确. 综上, 正确结论有①②⑤⑥.故选 A.3.答案：C解析:由题意可知,,,即,解得,故（1）正确;,;,,则;故（2）正确m,n均取整数,,的取值为,,,1,2,4;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;故（3）不正确,,,,当时,;故（4）正确;,,,,,,对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则故（5）正确故选C4.答案：解析：.5.答案：①.②.2解析:（1）根据“拓展带”的定义,互为“拓展带”的两点关于点成中心对称,互为“拓展带”的两点的横坐标互为相反数,纵坐标的平均数等于t,点的“拓展带”坐标为.（2）根据“拓展带”的定义,点M和点N关于点成中心对称,设N点坐标为,则,,解得,,在函数的图象上,,解得.6.答案：①.②.解析:,,,点的限变点是,点在二次函数的图象上,当时,,,当时,,当时,,综上,当时,其限变点的纵坐标n'的取值范围是,故答案为:,.7.答案：(1)(2)证明见解析(3)2解析：(1)解：根据指数与对数关系得：.故答案为：；(2)解：设，，则，，，..(3)解：.故答案为：2.8.答案：见解析解析：发现 28,36，，32不是两个连续偶数的平方差,28,36 是“奇巧数”.探究正奇数的 4 倍为.总能表示为两个连续偶数的平方差,正奇数的 4 倍一定是“奇巧数”.9.答案： (1) 是，不是(2)(3)见解析解析：817，, 817 是“雪花数”;527，,527不是 “雪花数”.(2)，，，①，，，，②联立①②得解得(3) 由 “雪花数” 的定义可知, 由题意可知, s与的差能被 17 整除，能被 17 整除,为 17 的倍数.s为“雪花数”, 且个位数字不为 1 ,，且,，34,51,68 或 85 .若, 则不符合题意;若, 则符合题意;若, 则符合题意;若, 则此时, 不符合题意;若, 则此时, 不符合题意.综上可得或 615 .。
太原市中考数学复习难题突破专题三：新定义问题
难题突破专题三新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型1 [2019·枣庄] 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34 .(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F(t)的最大值．例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m，设m＝n2(n为正整数)，找出m的最佳分解为________，所以F(m)＝________＝________；(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型2 [2019·金华] 如图Z3－1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．图Z3－1(1)将▱ABCD纸片按图Z3－2①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG∶S▱ABCD＝________．(2)▱ABCD纸片还可以按图Z3－2②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长．(3)如图Z3－2③，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．图Z3－2例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S矩形AEFG∶S▱ABCD＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD＝________，FC＝______，∠AHE＝12______，∠CFG＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH≌△CGF，可得________，进而求得AD的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD，BC的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．专 题 训 练1．[2019·潍坊] 定义[x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x]的图象如图Z3－3所示，则方程[x]＝12x 2的解为( )图Z3－3A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2 D.2或－ 22．[2019·莱芜] 对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b}，其意义为：当a≥b 时，min{a ，b}＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b}＝a.例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D.533．[2019·成都] 在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x ，y)，我们把点P′(1x ，1y )称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A′，B ′均在反比例函数y ＝k x 的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4．[2019·齐齐哈尔] 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图Z3－4，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．图Z3－45．[2019·湖州] 对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2019，求x 的值； (2)若x ⊗3<5，求x 的取值范围．6．[2019·义乌] 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图Z3－5①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长．②若AC⊥BD，求证：AD ＝CD.(2)如图Z3－5②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．图Z3－57．[2019·宁波] 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图Z3－6①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D，∠C ＝12∠A，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图Z3－6②，锐角三角形ABC 内接于⊙O，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE＝2∠EAF，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图Z3－6③，在(2)的条件下，过点D 作DG⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．图Z3－6参考答案类型1 新法则、新运算型 例1 【例题分层分析】 (1)m ＝n×nnn1 (2)10y ＋x y ＝x ＋4解：(1)证明：对任意一个完全平方数m ， 设m ＝n 2(n 为正整数)，∵|n －n|＝0，∴n ×n 是m 的最佳分解， ∴对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝nn＝1.(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y ＋x ， ∵t 是“吉祥数”，∴t ′－t ＝(10y ＋x)－(10x ＋y)＝9(y －x)＝36， ∴y ＝x ＋4，∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，∴满足“吉祥数”的为15，26，37，48，59.(3)F(15)＝35，F(26)＝213，F(37)＝137，F(48)＝68＝34，F(59)＝159.∵34>35>213>137>159，∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是34.类型2 新定义几何概念型 例2 【例题分层分析】 (1)1∶2(2)13 HN FN ∠AHF ∠CFH AHE CFG FC ＝AH 解：(1)AE ，GF ；1∶2.提示：由折叠的性质，得AD ＝2AG. ∵S 矩形AEFG ＝AE·AG，S ▱ABCD ＝AE·AD， ∴S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝AE·AGAE·AD＝1∶2.(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∴∠FEH ＝90°， ∴FH ＝EF 2＋EH 2＝52＋122＝13.由折叠的性质可知，HD ＝HN ，FC ＝FN ，∠AHE ＝12∠AHF，∠CFG ＝12∠CFH.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠A ＝∠C，∴∠AHF ＝∠CFH，∴∠AHE ＝∠CFG. ∵EH ＝FG ，∴△AEH ≌△CGF ，∴FC ＝AH ， ∴AD ＝AH ＋HD ＝FC ＋HN ＝FN ＋HN ＝FH ＝13. (3)本题有以下两种基本折法，如图①，图②.①按图①的折法的解法：由折叠的性质可知，AD ＝BF ，BE ＝AE ＝4，CH ＝DH ＝5，FG ＝CG. ∵四边形EBGH 是叠合正方形，∴HG ＝BG ＝4， ∴CG ＝3，∴FG ＝CG ＝3，∴BF＝BG －FG ＝1，BC ＝BG ＋CG ＝4＋3＝7， ∴AD ＝1，BC ＝7. ②按图②的折法的解法： 设AD ＝x.由折叠的性质可知，AE ＝EM ＝BE ＝4，MH ＝AD ＝x ，DN ＝HN ，HG ＝CG ，FC ＝FH. 由DN ＝HN ，HG ＝CG ，则GN ＝12CD ＝5.∵四边形EFGN 是叠合正方形， ∴EF ＝FG ＝GN ＝5，∴MF ＝BF ＝3， ∴FC ＝FH ＝x ＋3.∵∠B ＝∠EFG＝∠CGF＝90°，∴∠BEF ＋∠BFE＝∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFG，∴△GF C∽△BEF， ∴FG BE ＝FC EF ，即54＝x ＋35，解得x ＝134， ∴AD ＝134，BC ＝BF ＋FC ＝3＋134＋3＝374.专题训练1．A [解析] 由函数图象可知，当－2≤x＜－1时，y ＝－2，即有[x]＝－2，此时方程无解；当－1≤x ＜0时，y ＝－1，即有[x]＝－1，此时方程无解；当0≤x ＜1时，y ＝0，即有[x]＝0，此时方程为0＝12x 2，解得x ＝0；当1≤x＜2时，y ＝1，即有[x]＝1，此时方程为1＝12x 2，解得x ＝2或x ＝－2(不在x 的取值范围内，舍去)．综上可知，方程[x]＝12x 2的解为0或 2.2．D [解析] 当2x －1≥－x ＋3时，x ≥43，y ＝min{2x －1，－x ＋3}＝－x ＋3，最大值为53.当2x －1<－x ＋3时，x<43，y ＝min{2x －1，－x ＋3}＝2x －1，y 的值都小于53.综上，该函数的最大值为53.3．－43 [解析] A ，B 两点在直线y ＝－x ＋1上，设A(a ，－a ＋1)，B(b ，－b ＋1)，∴AB 2＝(a －b)2＋(－a ＋1＋b －1)2＝2(a －b)2＝(2 2)2，∴(a －b)2＝4，∴a －b ＝±2. A ，B 两点的“倒影点”分别为A′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b)．∵点A′，B ′均在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴1a ·11－a ＝k ＝1b ·11－b，∴a(1－a)＝b(1－b)，变形得(a －b)(1－a －b)＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴k ＝1a ·11－a ＝23×(－2)＝－43；由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，∴k ＝1a ·11－a ＝(－2)×23＝－43.综上，k ＝－43.4．113°或92° [解析] ∵△CBD 和△ABC 相似， ∴∠BCD ＝∠A＝46°.设∠ACB＝x ，则∠ACD＝x －46°.∵△ACD 是等腰三角形，又∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC ＞∠A ，即AC≠CD. ①若AC ＝AD ，则∠ACD＝∠ADC＝x －46°， ∵46°＋x －46°＋x －46°＝180°， ∴x ＝113°.②若AD ＝CD ，则∠ACD＝∠A， 即46°＝x －46°， ∴x ＝92°.综上所述，∠ACB 的度数为113°或92°. 5．解：(1)根据题意，得2×3－x ＝－2019， 解这个方程，得x ＝2019. (2)根据题意，得2x －3＜5， 解得x ＜4，即x 的取值范围是x ＜4.6．解：(1)①∵AB＝CD ＝1且AB∥CD，∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AB＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形． ∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形， ∴BD ＝AC ＝12＋12＝ 2. ②证明：如图①中，连结AC ，BD. ∵AB ＝BC ，AC ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CBD， ∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴AD ＝CD.(2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 不表示等腰直角四边形，故不符合条件． 若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如图②，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴AE ＝AB ＝5. ②当BF ＝AB 时，如图③，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴BF ＝AB ＝5，∵DE ∥BF ，BP ＝2PD ，∴BF ∶DE ＝2∶1，∴DE ＝2.5，∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.7．解：(1)在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D，∠C ＝12∠A，∵∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴3∠B ＋3∠C＝360°，∴∠B ＋∠C＝120°， 即∠B 与∠C 的度数之和为120°. (2)证明：在△BED 和△BEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BO ，∠EBD ＝∠EBO，BE ＝BE ，∴△BED ≌△BEO(SAS)， ∴∠BDE ＝∠BOE.又∵∠BCF＝12∠BOE，∴∠BCF ＝12∠BDE.如图，连结OC ，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2α，∴∠EFC ＝180°－∠AFE＝180°－2α. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA＝α， ∴∠AOC ＝180°－2α， ∴∠ABC ＝12∠AOC＝12∠EFC，∴四边形DBCF 是半对角四边形． (3)如图，作OM⊥BC 交BC 于点M. ∵四边形DBCF 是半对角四边形，∴∠ABC ＋∠ACB＝120°，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BC＝2BM＝3BO＝3BD.∵DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°.∵∠DBG＝∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴△DBG的面积△ABC的面积＝(BDBC)2＝13.∵DH＝BG，BG＝2HG，∴DG＝3HG，∴△BHG的面积△BDG的面积＝13，∴△BHG的面积△ABC的面积＝19.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）A.95°B.75°C.35°D.85°2．如图，延长正方形ABCD 的AB 边至点E ，使BE=AC ，则∠BED=( )A ．20°B ．30°C ．22.5°D ．32.5°3．如图，在菱形ABCD 中，O 、F 分别是AC 、BC 的中点，若3OF =，则AD 的长为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．124．下列计算正确的是（ ） A.221aa -=-B.()()2220m m m m +-=≠C.1155155⨯⨯⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭2-5．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 边上一点，且EF ⊥AE ，AF 的延长线与DC 的延长线交于点G ，连接BE ，与AF 交于点H ，则下列结论中不正确的是（ ）A.AF ＝CF+BCB.AE 平分∠DAFC.tan∠CGF＝34D.BE⊥AG6．△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．以点C为圆心、5为半径作圆C，则圆C与直线AB的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定7．2018年舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（）A．4.995×1010B．49.95×1010C．0.4995×1011D．4.995×10118．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A.∠AIB＝∠AOBB.∠AIB≠∠AOBC.2∠AIB﹣12∠AOB＝180° D.2∠AOB﹣12∠AIB＝180°9．方程组x y33x8y14-=⎧-=⎨⎩的解为（）A．{x1y2=-=B．{x1y2==-C．{x2y1=-=D．{x2y1==-10．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等边三角形、等腰梯形、菱形、正五边形等四种方案，你认为符合条件的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．菱形D．正五边形11．下列运算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．2（2a﹣b）＝4a﹣bC．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a+b）2＝a2+b212．如图6, 已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是A.24B.30C.48D.60二、填空题13．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，tanD ＝34，点E 在BC 上运动（不与B ，C 重合），将四边形AECD 沿直线AE 翻折后，点C 落在C′处，点D′落在D 处，C′D′与AB 交于点F ，当C′D'⊥AB 时，CE 长为_____．14．如图，将一个直角的顶点P 放在矩形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A ，另一条直角边与边BC 相交于点E ．且AD ＝8，DC ＝6，则＝_____．15．如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ：AC=3：2，△ABD 的面积为15，则△ACD 的面积为 ．16．计算：12019(2)(1)--+-=__________．17．有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）.现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为____. 18．若关于x 的分式方程33x ax x+--＝2a 无解，则a 的值为_____． 三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中点A 在反比例函数图象上，一条抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3），解答下列问题．（1）求反比例函数的解析式；（2）求抛物线的解析式，并在已给的坐标系中画出这条抛物线； （3）根据图象直接判断方程2223x x x-=+在实数范围内有几个根．20．如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于E，F.=；（1）求证:AE CF=，试探究线段OC与线段DF之间的关系，并说明理由.（2）若AE BC21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”．如图是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为400人，如表是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问题：（1）求该校八年级的人数占全校总人数的百分率为；（2）表中A＝，B＝；（3）该校学生平均每人读多少本课外书？22．汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．（1）若要平均每周售出汽车不低于15辆，该汽车的售价最多定为多少万元？（2）该店计划下调售价，尽可能增加销量，减少库存，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？23．为减少雾霾对人体的伤害，某企业计划购进一批防霾口罩免费发放给市民使用，现甲、乙两个口罩厂有相同的防霾口罩可供选择，其具体销售方案如下表.设购买防霾口罩x个，到两家口罩厂购买所需费用分别为y甲(元)，y乙(元)．（1）该企业发现若从两厂分别购买防霾口罩各2500个共花费9750元，若从两厂分别购买防霾口罩各3000个共花费11600元，请求出m ，n 的值；（2）请直接写出y 甲，y 乙与x 之间的函数关系式；（3）如果你是该企业的负责人，你认为到哪家口罩厂购买防霾口罩才合算，为什么？ 24．阅读理解： 观察下列各等式：3526711022,2,2,2,34542464741410424-+=+=+=+=---------…… (1)猜想并用含字母a 的等式表示以上规律； （猜想）(2)证明你写出的等式的正确性. （证明）25．已知抛物线y ＝ax 2+bx+2经过点A （﹣1，﹣1）和点B （3，﹣1）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．10714． 15． 16．32-17．1218．1或12三、解答题 19．（1）2y x=；（2）y ＝（x ﹣1）2+2，（3）方程在实数范围内只有1个根． 【解析】 【分析】（1）将A 点坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出待定系数的值；（2）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，再将点（2，3）的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；（3）所求的方程的根即为两个函数的交点横坐标，可通过观察两个函数图象有几个交点，即可确定所求方程有几个根． 【详解】解：（1）∵反比例函数经过A （﹣1，2）， ∴21k=- ，k ＝﹣2； ∴反比例函数的解析式为：2.y x=-（2）依题意，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+2， 由于抛物线经过（2，3），得： a （2﹣1）2+2＝3，a ＝1；∴二次函数的解析式为：y ＝（x ﹣1）2+2（3）根据图象，方程在实数范围内只有1个根． 【点睛】此题考查了反比例函数、二次函数解析式的确定,二次函数图象的画法以及函数图象交点的求法. 20．（1）见解析；（2）OC ∥DF ，且OC ＝12DF ，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD ＝BC ，得出∠ADB ＝∠CBD ，证明△BOF ≌△DOE ，得出DE ＝BF ，即可得出结论；（2）证出CF ＝BC ，得出OC 是△BDF 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD ， ∵O 是对角线BD 的中点， ∴OB ＝OD ，在△BOF 和△DOE 中，CBD ADB OB ODBOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BOF ≌△DOE （ASA ）， ∴DE ＝BF ， ∴DE ＝AD ＝BF ﹣BC ， ∴AE ＝CF ；（2）解：OC ∥DF ，且OC ＝12DF ，理由如下： ∵AE ＝BC ，AE ＝CF ， ∴CF ＝BC ， ∵OB ＝OD ，∴OC 是△BDF 的中位线， ∴OC ∥DF ，且OC ＝12DF ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21．（1）40%；（2）960；0.4；（3）4（本）． 【解析】 【分析】（1）八年级的人数占全校总人数的百分率=1-32%-28%；（2）由频率的意义可知，B ＝1﹣0.32﹣0.24﹣0.04，再求出样本容量，利用样本容量×0.24即可求出A 的值；（3）先求出全校总人数，再求该校学生平均每人读的本数即可． 【详解】解：（1）该校八年级的人数占全校总人数的百分率为1﹣32%﹣28%＝40%， 故答案为40%；（2）B ＝1﹣0.32﹣0.24﹣0.04＝0.4， 由160÷0.04＝4000得图书总数是4000本， 所以A ＝4000×0.24＝960（本）； 故答案为960；0.4；（3）因为八年级的人数是400人，占40%， 所以求得全校人数有：400÷40%＝1000（人）， 所以全校学生平均每人阅读：4000÷1000＝4（本）． 【点睛】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用，考查分析频数分布直方图和频率的求法．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（1）若要平均每周售出汽车不低于15辆，该汽车的售价最多定为13.25万元；（2）每辆汽车的售价定为12万元更合适． 【解析】 【分析】（1）设汽车的售价为x 万元，由题意可得每周多售出1520.5x-⨯辆车，再根据每周售出汽车不低于15辆列出方程求得即可；（2）设每辆汽车售价y 万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出y 的值并结合尽可能增加销量的要求选出合适的售价即可。
(沪科版)中考数学总复习课件：专题突破(3)新定义问题
例2
[2014·自贡 ] 如图 ZT3 － 1①，在四边形 ABCD 的边
AB上任取一点 E(点 E不与 A， B重合) ，分别连接 ED， EC，可以 把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似， 我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三 个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强 相似点”．
出了关于这种运算的几点结论：
③若a＋b＝0，则(a
④若a
b＝0，则a＝0.
①③ 在横线上填上你认为所 其中正确的结论序号是________( 有正确结论的序号)． 专题三 新定义问题
变式题
对于实数 a，b，定义一种运算“
为 a
b＝a
2
＋ab －2.有下列命题： ①1 3＝2； 1＝0 的根为 x1＝－2， x2＝1；
∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．
(2)作法：以 CD为直径作圆，它与 AB交于点 E1 ， E2，点 E1 ，
E2即为所作．
(3) 点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个“强相似点”， 可分两种情况： 第一种情况：△MAE∽△EBC∽△MEC， AM AE AE AE 则有 ＝ ＝ ＝ . ME EC CD AB 过点 E 作 EN⊥MC 于点 N. 由角平分线的性质定理易证 AE＝EN ＝EB， AM AE 1 则 E 为 AB 的中点， ＝ ＝ ， ME AB 2
(2)对于结论①，定义中的a，b分别是多少？ (3)按照定义，结论②的左边等于什么？右边等于什么？
(4)结论③的左边含有哪些运算？如何利用条件 a ＋b＝0
将(a
a)＋(b b)的结果进行化简？
(5)根据新定义，a
中考数学专题复习--新定义型问题课件
知识概述
“新定 义”型 问题
定义新运算
“定义新运算”是指用一个符号和已知运 算表达式表示一种新的运算．解决这类问题 的关键是理解新运算规定的规则，明白其中 的算理算法．运算时，要严格按照新定义的 运算规则，转化为已学过的运算形式，然后 按正确的运算顺序进行计算．
定义新概念
例 3．在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等) 的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”， 如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”． （2）M，N 是一对“互换点”，若点 M 的坐标为(m，n)， 求直线 MN 的表达式(用含 m，n 的代数式表示)；
定义新概念 （2）M，N 是一对“互换点”，若点 M 的坐标为(m，n)， 求直线 MN 的表达式(用含 m，n 的代数式表示)； 【简析】（2）设直线 MN 的表达式为 y = kx + b( k≠ 0) ． 把 M( m,n) ，N( n，m) 代入 y = kx + b，解得 k=-1，b=m + n，∴ 直线 MN 的表达式为 y=-x+m+n．
“定义新图形”试题呈现的一般结构为: 给出新图形定义→了解新图形结构→理解 和运用新图形性质．而理解新图形性质特 征是解题的关键.
定义新图形 例 4．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一 个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形 为“智慧三角形”. 理解：（1）如图 1，已知 A、B 是⊙O 上两点，请在圆上找 出满足条件的点 C，使△ABC 为“智慧三角形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹）；
（1）填空：①- =
；
②若x=-2，则 x 的取值范围是
．
中考专题复习——“新定义”问题(课件)
（一）运算模式
（二）函数模式
（二）函数模式
根据题目提示解题
其实就是“旋转函数”的性质
（二）函数模式
要证明两个函数互为“旋转函数”仍然要回归到 “旋转函数”的定义进行判定
（二）函数模式 注意
定义 既是 性质 又是 判定
（二）函数模式
解题关键是理解新定义，再结合已学知识解答。
专题复习——“新定义”问题
“新定义”型试题常见模式：运算模式、函数模式、几何模式
解决“新定义”问题常见思路：给什么，用什么。
陈一良
一、专题诠释 所谓“新定义”型试题，是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图 形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新 奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。其特点是源于初中 数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，要求学生读懂题意并结 合已有知识、能力进行理解，然后根据新定义进行运算、推理、迁 移的一种题型。“新定义”型试题常常以运算模式、函数模式、几 何模式等形式出现。 二、解题策略 解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。即：正确理解新定义， 并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方 法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题。
1、解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。
2、注意定义既有性质又有判定功能。
3、解题时要关注题目中的提示。
布置作业：练习卷
（二）函数模式
答案不唯一
（二）函数模式
（三）几何模式
（三）几何模式
直接运用“等对角四 边形”的性质解题
要证明一个命题是假命题只要 举一反例即可
（三）几何模式
（三）几何模式
注 意 分 类 讨 论
（三）几何模式
中考新定义问题(课堂PPT)
·新课标
思考探究：若记 y＝f(x)＝1＋x2x2，其中 f(1)表示当 x＝1 时 y 的
值，即 f(1)＝1＋1212；f21表示当 x＝12时 y 的值，即 f12＝1＋21122 2＝
15；
…；
则 1
f(1) ＋ f(2) ＋ f 21 ＋ f(3) ＋ f 31 ＋ … ＋ f(2011) ＋ f 20111 ＝
15 ，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算
C160
．
小结：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年
出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．·新课标 6
类型之三 定义一种新数
1.一个数有两个或两个以上相同的质因数叫漂亮数，如果 两个漂亮数之间相差1，则称为孪生漂亮数。写一个漂亮 数＿ ；一对孪生漂亮数是＿ ＿ 。
S2
A1B1C1 与△A2B2C2 有一定的“全等度”如图 7，已知 梯形 ABCD,AD∥BC°，∠B＝30º，∠BCD＝60º， 连结 AC.
（1）若 AD＝DC,求证：△DAC 与△ABC 有一 定的“全等度”；
（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全 等度”正确吗？若正确说明理由；若不正确，请 举出一个反例说明
____2_0_1_0_2________.
[解析] 本题是找规律的题目，f(1)＝12，f(2)＝45，f12＝15，f(3)＝190， f13＝110由此可以发现：f(2)＋f12＝1；f(3)＋f13＝1，以此类推， f(2011)＋f20111＝1，共有 2010 个 1，所以，答案是 201012.
这类问题最关键的思维
3
·新课标
3.A、B表示两个数，A※B= A B ，
中考数学复习新定义、新运算型问题精讲(共24张PPT)
3
1
解析:选项A中,3×(-2)+2×3=0,∴两向量互相垂直;
选项 B 中,( 2-1)· ( 2+1)+1×1=2,∴两向量不垂直; 1 选项 C 中,3×(-3)+20180×(-1)=-2,∴两向量不垂直; 选项 D 中, 8×( 2) +(- )×4=2,∴两向量不垂直.
所以说法错误的是 C.
4.(2018· 聊城)若x为实数,则[x]表示不大于x的最大整数,例如 [1.6]=1,[π]=3,[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数,对任意的实 数x都满足不等式[x]≤x<[x]+1 ①.利用这个不等式①,求出满足
[x]=2x-1的所有解,其所有解为 1 或2
解析:根据题意,得 第一次:当n=13时,F①=3×13+1=40,
第二次:当 n=40 时,F②=23 =5,
2
40
第三次:当 n=5 时,F①=3×5+1=16, 16 第四次:当 n=16 时,F②= 4 =1, 第五次:当 n=1 时,F①=3×1+1=4, 4 第六次:当 n=4 时,F②=22 =1,
������������ ������ ������������ ������
b1a2
b2 = 2
13 -2
b2 = 1 c2 = 2
-14 -7 21 -7
112
-2 =1×(-2)-1×12=-14,
13 12 =2×12-1×3=21,
������ = ������ =
= =
中考数学总复习 题型突破(07)新定义问题课件
(3)已知点 A 在以 P(m,0)为圆心,以 1 为半径的圆上,点 B 在直线 y=- x+ 3上,
3
若要使所有点 A,B 的“确定圆”的面积都不小于 9π,直接写出 m 的取值范围.
(3)m≤-5 或 m≥11.
2021/12/9
第十三页，共三十九页。
图Z7-3
类型1 点与图形(túxíng)关系类（针对2017 29题）
一点,点 Q 为图形 W2 上一点,当点 M 是线段 PQ 的中点时,称点 M 是图形 W1,W2 的“中立点”.如果点
若线段 MN 上的所有点都不是☉C 的“特征点”,直接写出点 C 的横坐标的
取值范围.
2021/12/9
第四页，共三十九页。
图Z7-1
类型1 点与图形(túxíng)关系类（针对2017 29题）
1.[2018·怀柔一模] P 是☉C 外一点,若射线 PC 交☉C 于 A,B 两点,则给出如下定义:若 0<PA·PB≤3,则点
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第十页，共三十九页。
.
类型1 点与图形关系(guān xì)类（针对2017 29题）
4.[2018·石景山一模] 对于平面上两点 A,B,给出如下定义:以点 A 或 B 为圆心,AB 长为半径的圆称为点
A,B 的“确定圆”.如图 Z7-3 为点 A,B 的“确定圆”的示意图.
(1)已知点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(3,3),则点 A,B 的“确定圆”的面积为 25π
,-
2
.∴B -
3 2 3 2
2
3 2 3 2
2
3 2
2
,-
2
3 23 2
2
中考数学专题知识突破专题二新定义型问题
2021 中考数学专题知识突破专题二新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义〞型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进展理解，根据新定义进展运算、推理、迁移的一种题型.“新定义〞型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略与解法精讲“新定义型专题〞关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进展思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1 〔2021•湛江〕阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：①②…〔1〕如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定观察上述等式，猜测：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④〔1〕如图，过点B作BD⊥AC于D，那么∠ADB=90°．∵sinA=BDAB ，cosA=ADAB，∴sin2A+cos2A=〔BDAB 〕2+〔ADAB〕2=222BD ADAB+，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．〔2〕∵sinA=35，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，∴cosA=2341()55-=．点评：此题考察了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比拟简单．对应训练1．〔2021•绵阳〕我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮〞结论，利用这些性质可以解决三角形中的假设干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：〔1〕假设O是△ABC的重心〔如图1〕，连结AO并延长交BC于D，证明：23AOAD=；〔2〕假设AD是△ABC的一条中线〔如图2〕，O是AD上一点，且满足23AOAD=，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；〔3〕假设O是△ABC的重心，过O的一条直线分别及AB、AC相交于G、H〔均不及△ABC的顶点重合〕〔如图3〕，S四边形BCHG，S △AGH分别表示四边形BCHG与△AGH的面积，试探究BCHGAGHSS四边形的最大值．2.〔1〕证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．∴DE是中位线，∴DE∥AC，且DE=12AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴AO ACOD DE=2，∵AD=AO+OD，∴AOAD =23．〔2〕答：点O是△ABC的重心．证明：如答图2，作△ABC的中线CE，及AD交于点Q，那么点Q 为△ABC的重心．由〔1〕可知，AOAD =23，而AOAD =23，∴点Q及点O重合〔是同一个点〕，∴点O是△ABC的重心．〔3〕解：如答图3所示，连接DG．设S △GOD =S ，由〔1〕知AO AD =23，即OA=2OD ， ∴S △AOG =2S ，S △AGD =S △GOD +S △AGO =3S ．为简便起见，不妨设AG=1，BG=x ，那么S △BGD =3xS ． ∴S △ABD =S △AGD +S △BGD =3S+3xS=〔3x+3〕S ， ∴S △ABC =2S △A BD =〔6x+6〕S ．设OH=k•OG，由S △AGO =2S ，得S △AOH =2kS ， ∴S △AGH =S △AGO +S △AOH =〔2k+2〕S ．∴S 四边形BCHG =S △ABC -S △AGH =〔6x+6〕S-〔2k+2〕S=〔6x-2k+4〕S ． ∴BCHG AGHS S 四边形=(6-24)(22)x k S k S ++=3-21x k k ++ ① 如答图3，过点O 作OF ∥BC 交AC 于点F ，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，那么OF ∥GE ． ∵OF ∥BC ，∴23OF AO CD AD ==， ∴OF=23CD=13BC ；∵GE ∥BC ， ∴11GE AG BC AB x ==+，∴GE=1BCx +；∴131BCOF BC GEx =+=13x +， ∴13(1)OF x GE OF x +=--+=12x x+-．∵OF ∥GE ，∴OH OFGH GE =， ∴1-2-OH OF x OG GE OF x +==， ∴k=12-x x+，代入①式得：BCHG AGHS S 四边形=13-23-22-1112-x x x k x x k x+++=+++=-x 2+x+1=-〔x-12〕2+54， ∴当x=12时，BCHG AGHS S 四边形有最大值，最大值为54．考点二：运算题型中的新定义例2 〔2021•河北〕定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b=a 〔a-b 〕+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比方：2⊕5=2×〔2-5〕+1=2×〔-3〕+1=-6+1=-5。
【名师面对面】中考数学总复习：专题(4)新定义问题》ppt课件
对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中，充分
理解，结合相应知识，才能顺利解答．
定义新运算
a b（b＞0）， 1． (2014· 河北)定义新运算： a⊕b＝ 例如： 4⊕5 a － （b＜0）， b 4 4 ＝ ，4⊕(－5)＝ .则函数 y＝2⊕x(x≠0)的图象大致是( D ) 5 5
5．(2014·绍兴)如果二次函数的二次项系数为1，则 此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为
此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2， 3]． (1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象 的顶点坐标； 由题意可得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴此函数图象的顶点坐标为(1，0)
2 ．(2013· 乐山)对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为 1 1 (x)．即当 n 为非负整数时，若 n－ ≤x＜n＋ ，则(x)＝n.如 2 2 (0.46)＝0，(3.67)＝4. 给出下列关于(x)的结论：①(1.493)＝1；②(2x)＝2(x)； 1 ③若( x－1)＝4，则实数 x 的取值范围是 9≤x＜11；④当 2 x≥0，m 为非负整数时，有(m＋2013x)＝m＋(2013x)；⑤(x ＋y)＝(x)＋(y)．其中正确的结论有 ①③④ ．(填写所有 正确的序号)
3．定义[a，b，c]为函数 y＝ax ＋bx＋c 的特征数， 下面给 出特征数为[2m，1－m ，－1－m]的函数的一些结论： ①当 1 8 m＝－3 时，函数图象的顶点坐标是( ， )；②当 m>0 时， 3 3 3 函数图象截 x 轴所得的线段长度大于2；③当 m<0 时，函数 1 在 x>4时，y 随 x 的增大而减小；④当 m≠0 时，函数图象 经过同一个点．其中正确的结论有( B ) A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④
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般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN. 比如指数式24=16可转化为对数式4=log216,对数式2=log525,可转 化为52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
则|PQ|= (1-3)2 + (2-4)2=2 2.
对于某种几何图形给出如下定义:符合一定条件的动点形成的图形, 叫做符合这个条件的点的轨迹.如平面内到线段两个端点距离相等 的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.
解决问题
如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+
1 2
交y轴于点A,点A
关于x轴的对称点为点B,过点B作直线l平行于x轴.
∴������
������
=
������ ������ ������ ������
=am-n,由对数的定义得
m-n=loga������������ ,
又∵m-n=logaM-logaN,
∴loga������������ =logaM-logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0).
(3)解:log3 2+log3 6-log3 4=log3
因此,3S-S=3101-1,所以 S=33021 -1,
即 1+3+32+33+…+3100=3101 -1.
2
52 019-1
仿照例题,等比数列1,5,52,53,…,52 018的和为 4 .
解析:令S=1+5+52+53+…+52 018,
则5S=5+52+53+…+52 018+52 019,因
loga(M·N)= logaM+logaN (a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下: 设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an,
∴M·N=am·an=am+n,由对数的定义得:m+n=loga(M·N). 又∵m+n=logaM+logaN,∴loga(M·N)=logaM+logaN.
2
������ (������ 1 +������ 2 )+2 ������ 1 ������ 2 +������ (������ 1 +������ 2
)+1
=
2������������22++12=2.
故1
������������
+
������1������的值为定值.
列表:
x
y=-2x y=xx-2
作直线l的垂线,垂足分别是M,N,求证:①EF是△AMN外接圆的切线;
② 1 + 1 为定值.
������������ ������������
(3)①证明:如图,由(2)可知EA=EM,FA=FN. 又∵EM⊥直线l,FN⊥直线l,∴EM∥FN,∴∠MEA+∠NFA=180°. ∴∠EAM=12(180°-∠MEA),∠FAN=12(180°-∠NFA),
解决以下问题:
(1)将指数式43=64转化成对数式 log4 64=3 ; (2)证明:loga������������ =logaM-logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);
(3)拓展应用:计算log32+log36-log34=
.
(2)证明:设 logaM=m,logaN=n,则 am=M,an=N,
线段 CA 的长度=
(������-0)2
+
(������-
1 2
)2,d=
������2
+
(������-
1 2
)2.
∴将 d=|y+1|代入化简得:y=1x2.
2
2
即动点 C 轨迹的函数表达式为 y=12x2.
问题拓展
(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+
1 2
交于E,F两点,分别过E,F
,
因为x1+x2=0,所以y1+y2+3=5-2×0=5.
6.(2018·东营)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图1,在△ABC中,点O在线段BC
上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3 ,BO3∶CO=1∶3,求AB的长.
经过社团成员讨论发现,过点D作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通
解:(1)d=|3×03-24+×402-5|=1. (2)由题意,得 2 = |1×1+1×0+������|,
2
∴|C+1|=2, ∴C+1=±2,∴C1=1,C2=-3.
针对训练 1.(2018·怀化)根据下列材料,解答问题. 等比数列求和: 概念:对于一列数a1,a2,a3,…,an,…(n为正整数),若从第二个数开始,
…
-4 -3 -2 -1 -12
1 123
2
4…
…
1 2
2 1
3
2ห้องสมุดไป่ตู้
4
-4 -2 -1 -23 -12 …
…
35 2 3 5 -3 -1 0
1 1…
23
32
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以y=
������-2 ������
相
应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示.
(1)请把y轴左边各点和右边各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起
每一个数与前一个数的比为一定值,即���������������������-���1=q(常数),那么这一列数
a1,a2,a3,…,an,…成等比数列,这一常数q叫做该数列的公比. 例:求等比数列1,3,32,33,…,3100的和. 解:令S=1+3+32+33+…+3100, 则3S=3+32+33+…+3100+3101,
x=
������时,该函数有最小
值为 2 ������.
应用举例
已知函数 y1=x(x>0)与函数 y2=���4���(x>0),则当 x= 4=2 时,y1+y2=x+���4��� 有最小值为=2 4.
解决问题 (������1������12)有已最知小函值数?y最1=小x+值3(是x>多-3少)与?函数y2=(x+3)2+9(x>-3),当x限何值时, (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调 试费用,共490元;二是设备的租赁使用费用,每天200元;三是设备的 折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设 备的租赁使用天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租赁使 用成本最低?最低是多少元?
2× 4
6=log3
3=1.
3.(2018·济宁)知识背景
当 a>0 且 x>0 时,因为(
������ −
������ ������
)2≥0,所以
x-2
������
+
������ ������
≥0,从而
x+������������ ≥2 设函数
������(当 x= ������时取等号). y=x+������������ (a>0,x>0),由上述结论可知,当
������1
(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w.
根据题意,得 w=490+200������+0.001������2.
������
∴w=0.001(490������000+x)+200.
∵x>0,∴w≥0.001×2
490 000 ������
·������+200.
即 w≥201.4.
此,5S-S=52 019-1,所以 S=52 019 -1,即 1+5+52+53+…+52 018=52 019 -1.
4
4
2.(2018·自贡)阅读下列材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(j.Napier,1550年~1617年).纳
皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉
中考数学高频考点突破 学习应用型问题的破解策略
例题1.(2018·张家界)阅读理解题 在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
的距离公式为:d=|������������0���+���2���+������������0���2+������|. 例如,求点P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离. 解:由直线4x+3y-3=0知:A=4,B=3,C=-3, 所以 P(1,3)到直线 4x+3y-3=0 的距离为:d=|4×14+23+×332-3|=2. 根据以上材料,解决下列问题: (1)求点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的距离; (2)若点P2(1,0)到直线x+y+C=0的距离为 2 ,求实数C的值. 【思路导引】(1)根据点到直线的距离公式计算即可;(2)根据点到 直线的距离公式,列出方程即可求出实数C的值.
联立抛物线与直线 EF 的解析式,
2
������ = ������������ + 1
2
得 1x2=kx+1化简得:1x2-kx-1=0.