数学：《体积的概念与公理,棱柱、圆柱的体积》课件(人教b版必修二)
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人教版高中数学必修2第一章第3节《柱体、椎体、台体的体积》ppt参考课件
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2019/8/11
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15
棱锥体积
探究:棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 1． 3
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
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棱锥体积
探究:棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 1． 3
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
圆柱的体积ppt课件
通过侧面积的一半和高计算
总结词
这种方法可以用来验证圆柱体积的计 算结果。
详细描述
侧面积是圆的周长乘以高（2πrh）， 通过除以2得到侧面积的一半。然后使 用公式“侧面积的一半 x 高”计算得 出圆柱体积。
通过底面积和高的乘积计算
总结词
这种方法只适用于一些特定形状的圆柱，如球形的一部分。
详细描述
通过测量圆柱的底面积（πr²）和高，然后使用公式“底面积 x 高”计算得出圆 柱体积。这个方法只适用于底面是圆形的圆柱，对于其他形状的圆柱不适用。
THANKS
感谢观看
在物理学中，圆柱体积的概念可以用来描述一些物理现象， 例如液体或气体的流动。当液体或气体在管道中流动时，其 流速和流量可以通过圆柱体积的概念来描述。
另外，圆柱体积的概念也可以用来计算一些物理量，例如物 体的质量和重力等。
在日常生活中的应用
在日常生活中，圆柱体积的概念也有很多应用场景。例如，在购买饮料或食品时，商家会根据圆柱体 积的公式来计算价格，因为这些产品的包装通常是圆柱形的。
形状不同，圆柱是平面的圆形围 绕一个轴旋转而成，而球体是半
圆形旋转而成。
异同点二
表面积和体积计算方式不同，圆 柱的表面积和体积分别通过底面 积和高度计算，而球体的表面积 和体积则是通过4个圆形的面积
总和和高度计算。
异同点三
应用场景不同，圆柱体积常用于 计算圆柱形物体的体积，而球体 积常用于计算球形物体的体积。
圆柱体积的现实意义
圆柱体积在现实生活中的意义在于， 它表示了圆柱形物体的体积大小，对 于计算物体的存储空间、体积移动等 具有实际应用价值。
例如，在计算液体存储量、管道流量 等场合，圆柱体积公式具有重要应用 。
人教B版数学必修二课件：第1章 1.1 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
C [圆锥的高 h＝ 52－32＝4，故 V＝13π×32×4＝12π.]
3．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________cm3.
288π [由题意，知球的半径 R＝6 cm，故其体积 V＝43πR3＝43 ×π×63＝288π(cm3)．]
合作探究 提素养
求柱体的体积 【例 1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm， 高为 3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为 4 cm，高为 2 cm，现从 中间挖去一个直径为 2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．
由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r′和 r 分 别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径．
名称 棱柱
柱体 圆柱
锥体
棱锥 圆锥
台体
棱台 圆台
球
体积(V)
_S_h__
πr2h 1 3Sh 13πr2h
13h(S＋ SS′＋S′) 13πh(r2＋rr′＋r′2)
则 O1B1＝ 2 cm， OB＝2 2 cm， 过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M，那么 B1M 为正四棱台的高，在 Rt△BMB1 中， BB1＝2 cm，MB＝(2 2－ 2)＝ 2 (cm)．
根据勾股定理 MB1＝ BB21－MB2 ＝ 22－ 22＝ 2(cm)． S 上＝22＝4 (cm2)， S 下＝42＝16(cm2)， ∴V 正四棱台＝13× 2×(4＋ 4×16＋16) ＝13× 2×28＝238 2 (cm3)．
新教材人教版高中数学必修第二册 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学课件
第八页，共十九页。
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.
高中数学必修2第1章132空间几何体的体积课件(38张)1
方法归纳 根据球的截面面积来求球的表面积和体积问题，关键是利 用重要的直角三角形建立关于半径R的方程．求出R，然后 代入球的表面积公式和体积公式进行求解．
4．本例中 ，若截面不过球的半径的中点，而是过半径 上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面 的面积为π，试求此球的表面积和体积．
解：如图，由题意可知：OO1＝1，设截面圆的 半径为 r， 则 π＝πr2，∴r＝1， 即 O1A＝1. 在 Rt△OO1A 中， 球半径 R＝OA＝ O1O2＋O1A2＝ 12＋12＝ 2， ∴球的表面积 S 球＝4πR2＝8π，
＝ 23a，所以 CH＝EH·tan130°＝32a.
在 Rt△CDH 中，CD＝ CH2－DH2＝ 32a2－12a2＝ 2a，
所以
S
△
CDF＝12CD·AD＝
1 2
×
2a×a＝ 22a2，所以 VE－CDF＝
13·EH·S△CDF＝13× 23a× 22a2＝ 126a3.
(2)在 Rt△AFE 中，由 AE＝a，AF＝12CD＝ 22a，
43πr31∶43πr23＝rr213＝233＝8∶27.
3．如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，三棱 23
锥B－A1C1C的体积是__3______．
解析：∵三棱锥 B－A1C1C 与三棱锥 B－A1AC 等底同高， 故 VB—A1C1C＝VB－A1AC，又 VB－A1AC＝VA1－ABC， ∴VB－A1C1C＝VA1－ABC， 而三棱锥 A1－ABC 的底面就是正三棱柱的底面，它的高就是 正三棱柱的高，
∴DE＝
3 4 a.
[感悟提高] (1)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD.则 因为 V＝13hS△BCD，所以 h＝S△3BVCD.这种方法就 是用等积法求点到平面的距离，其中 V 的求法 一般用换顶点法求解，可利用 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ ABC 求解，求解的原则是 V 易求，且△BCD 的面积易求． (2)等体积法主要用于求点面距离，且常用于三棱锥，通过选取 不同的底面建立体积等式．
高中数学人教B版必修2课件：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,如图,
ℎ = ������sin������, 2π������ = ������cos������, ������cos������ 所以 h=msin α,r= 2π , 则由题意可知: 所以 V 圆柱 =πr2h=π
������cos������ 2 · msin 2π
答案: 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型二
有关锥体体积的问题
【例2】 (1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其 体积等于 . (2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6 cm,在棱AB,AD,AA1上分 别取点P,Q,R,使得AP=2 cm,AQ=3 cm,AR=4 cm,则三棱锥A-PQR的 体积为 .
α=
������3 sin������cos2 ������ . 4π
反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图,则此几何体 的体积是 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而 V 正四棱台 =
数学六年级下人教新课标2-1-3圆柱的体积课件(45张)
图2 将一个圆柱截成不相等的ຫໍສະໝຸດ 段，哪个圆柱体积大？上 下
下 上
圆柱体积的大小与哪些条件有关？
底面积
高
底面积
高
高
长方体体积＝底面积×高 圆柱体积＝底面积×高
V＝sh
做一做
(1）一根圆柱形木料，底面积为75平方 厘米，长90厘米，它的体积是多少？
75×90=6750（立方厘米）
一个圆柱形油桶,从桶内底面周长是1.884米, 高是8分米,这个油桶的容积是多少升?
C=1.884米 8分米
再见
2、它们的什么条件是相同的？
3、圆柱的体积大小与什么有关？
图1：
h=h
甲
乙
讨论题：
1、甲圆柱与乙圆柱谁的体积大？
2、它们的什么条件是相同的？
3、圆柱的体积大小与什么有关？
图1：
h=h
甲
乙
讨论题：
1、甲圆柱与乙圆柱谁的体积大？
2、它们的什么条件是相同的？
3、圆柱的体积大小与什么有关？
图1：
h=h
圆柱体的体积
执教:郑志宏
学习目标：
1.理解圆柱体积公式的推导过程，掌握计算公式， 体会数学转化思想。
2.能运用公式计算圆柱的体积，并能应用公式解决
一些实际问题。
真 棒！
高 宽
长
棱长
长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
v长=a b h
v正 =a 3
V=s底 h
圆柱体积的大小与哪些条件有关？
答：它的体积是6750立方厘米。
看图列式,并写出相应的公式。
12平方分米 6 分 米
12×6
V=s h
（1）
人教B版高中数学必修二课件第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积.pptx
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高．
[通一类] 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体棱长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a22π＝rhπ＝r24a2
①
②
，
由①得 r＝ ππa； 由②得 πrh＝2a2，
1．长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V长方体
＝. Sh
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明： 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等．
3．由 V 锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗？
提示：可以． 4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半 径变为原来的______倍，体积变为原来的________ 倍．
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原 来的 2 倍时，球的半径变为原来的 2倍，体积变为原来的 2 2倍．
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第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高．
[通一类] 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体棱长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a22π＝rhπ＝r24a2
①
②
，
由①得 r＝ ππa； 由②得 πrh＝2a2，
1．长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V长方体
＝. Sh
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明： 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等．
3．由 V 锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗？
提示：可以． 4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半 径变为原来的______倍，体积变为原来的________ 倍．
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原 来的 2 倍时，球的半径变为原来的 2倍，体积变为原来的 2 2倍．
人教课标版(B版)高中数学必修2《柱、锥、台和球的体积》名师课件2
2＝1 8 2
2 16.所以r＝4.
所以SE＝2R＝18.因为SD＝16，所以ED＝2.
所以内切球O1的体积V球＝
4 3
πr
3＝
256 3
π.
连接AE，又因为SE是直径，所以SA⊥AE，
SA2＝SD·SE＝16×18＝288，所以SA＝12.
因为AB⊥SD，所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32， 所以AD＝4.所以S圆锥侧＝π×4×12＝96π.
上底面 积S′
高h V 1 (S S S S )h 3
下底面 积S
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
V 1 (S S S S )h 3
S′=S
S′=0
V Sh V 1 Sh
3
典型例题
例1、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a， 过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
该几何体的体积V＝2V球＋V长方体＝2
4 3
π(
3 2
)2＋6
1
3
＝18＋9πm3 ．
(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( B)
A．8－2π
B．8－π
C．8－ π 2
D．8－ π 4
解析：(2)这是一个正方体切掉两个圆柱后得 到的几何体，如右下图示，几何体的高为2，
V＝23－1 π12 2 2＝8－π.故选B. 4
注意：
已知几何体的三视图求其表面积或体积时，先由三 视图还原作出直观图，然后根据三视图中所给数据， 得到直观图中计算表面积和体积所需要的有关数据， 再利用表面积或体积公式求解．
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
最新-高中数学 柱体、锥体、台体的表面积与体积课件 新人教B版必修2 精品
2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6，底面 边长为4，求其表面积.
2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6，底面 边长为4，求其表面积.
3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥 的体积计算公式？
讲授新课
①讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的 体积关系？
讲授新课
①讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的 体积关系？
②根据正方体、长方体、圆柱的体积 公式，推测柱体的体积计算公式？
⑤讨论：台体的上底面积S'，下底面积S，
高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
V 13 (S SS S)h 台
V台
1 3
(S '
S'S S)h
(S， S'分别上S、' 下底面积，h为高)
⑥台体的体积公式如何用上下底面半径
及高表示?
V圆 台
1 3
(S
SS S)h 1 (r 2 rR R2 )
A．2倍
B．4倍2练习Fra bibliotek3.若正方体的全面积增为原来的2倍， 那么它的体积增为原来的 ( D )
A．2倍
B．4倍
D. 2 2倍
练习
4.圆柱的侧面展开图是边长为
6和4的矩形，则其圆柱的
体积为
.
练习
4.圆柱的侧面展开图是边长为 6和4的矩形，则其圆柱的 体积为 362或242 .
课堂小结
1. 柱锥台的体积公式及相关关系； 2. 公式实际运用.
练习
1. 将若干毫升水倒入底面半径为2cm的 圆柱形容器中，量得水面高度为6cm； 若将这些水倒入轴截面是正三角形的 倒圆锥形容器中，求水面的高度.
2. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍， 它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.
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席上，看似不经意地问了壹句。“愚弟只是去更衣。”“哟，四哥，您这个新郎官不见了，害得弟弟们想敬杯喜酒都没机会！”“好， 谢谢十弟。”“四哥，您刚才已经喝了不少，这杯，就由愚弟替您喝下吧。”“十三弟，放心吧，四哥的酒量还应承得下来。”“四哥， 您喝了十哥的酒，那九弟的酒？”“好，谢谢九弟。”“八弟来敬四哥壹杯！”“好，谢谢八弟！”“四弟，三哥也来凑个热闹，敬你 壹杯！”“谢谢三哥！”“四哥，十四弟恭敬您两杯！这喜事连连，喜酒也要成双才是”“谢谢十四弟！”“十四弟，四哥壹个人已经 喝了这么多，到你这儿，净出夭蛾子，怎么敬出双杯的来了？既然是喜事连连，那就由为兄代为喝下，也借机会沾沾喜气儿！”“十三 哥，不带这样的！你的酒，咱们单挑。”“怎么？十三弟连四哥的喜酒也要替喝？”“太子殿下，四哥喝得太多了！”“这是喜酒，哪 有替喝的道理。那么，本王敬的酒，十三弟也要替喝？”“这……”“四弟谢太子殿下！”新郎官对于所有兄弟敬来的喜酒，壹律来者 不拒，也对十三阿哥替喝的请求壹概不予理会。开席之前，十四阿哥和十阿哥就卯足了劲儿，非要把四哥灌醉不可。也难怪这两个人如 此算计，原本十四阿哥就对皇阿玛赐婚给四哥很是不满，因此联合着平时跟自己关系非常要好的十哥，壹起向四哥发难。其它兄弟见这 两个活宝挑了头儿，平日里也没有什么机会能捉弄四哥，现在有这么壹个大好机会，又借着酒劲儿，众人拾柴火焰高，攒足了力气准备 跟四哥拼酒。太子和三阿哥作为兄长，虽然不至于和其它兄弟们胡闹，但是这种捉弄四弟的机会实在是太少了。平时里四弟做事严谨、 滴水不露，让这两位兄长颇是头痛不已，今天能这么壹个大好机会，虽然跟政务无关，但放弃了也实在是可惜。但是，众人轮番上阵的 结果，却是大大出乎意料：这新郎官怎么没有丝毫的推让，简直就是来者不拒，实打实地全部喝干！这下子，刚刚还喧闹的场合，即刻 安静了下来，众人都面面相觑，不知所以：壹会儿还洞房花烛夜呢，四哥（弟）怎么面对新娘子？第壹卷 第壹章 遇险秋水碧连天。 午后的京郊西南，官道上十来骑人马卷起阵阵风尘。为首壹个男子，30多岁，身形清瘦，面容冷峻，目光清洌、威严，天然壹股不怒自 威的气势，即使壹身深蓝色的便袍，也难以掩饰天生的贵胄之气。十来个随从，三个家仆打扮，其余的全部是侍卫。不多时，壹行人就 要来到他们的目的地：宝光寺，远远地，他们已经能够看得到林木掩映间的寺庙了。众人刚刚暗自松了壹口气，又立即失声惊呼，因为 他们同时看了冲天的火光！“保护好王爷！”侍卫首领壹边急呼 ，壹边与其它壹起，立即将为首的男子围在中间，同时马不停蹄，直 接冲
根据矩形面积公式，求平行四边形的面积公式。 p2
h p1 Q2 Q1
夹在两条平行线间的两个平面图形,被与这两条平 行直线平行的直线所截,如果截得的线段总是相等 的,那么这两个平面图形的面积相等.
h
P
Q
h
a
a
平行四边形与它等底等高的矩形面积相等
S平行四边形=ah
柱体的体积
定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底 面 积s和高h的积。
5.8 103 (7.8 2.96) 2.5 102 (个)
答 :略 .
练习与作业
1.用棱长为1的正方体的体积作为单位体积，下图 长方体的体积的数值为24.假如将体积单位改用棱 长为2的正方体的体积，这个长方体的体积变为多 少？
2.一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面积相等。 比较它们的体积哪个大？为什么？ P 3.求证:经过长方体相对两个面 的中心的任意平面,把长方体分 成体积相等的两个柱体。 Q
体积的概念与公理，棱柱、圆柱的体 积 主 讲 ： 赵 一 中
X
体积的概念与公理，棱柱、圆柱的体 积
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
单位体积 几何体的体积是单位体积的多少倍，这 个倍数就是这个几何体的体积的数值。
棱长等于单位长度（例如cm、m）的 正方体的体积。
体积单位
公理5 长方体的体h
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
例 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯 共重5.8kg. 已知底面六边形的边长是 P 12mm，高是10mm，内孔直径是 10mm. 问约有毛坯多少个（铁的密度 是7.8g/cm3）。
O N
解：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体 积的差。 3
V长方体= abc
推论1 长方体的体积等于它的底面积s和高h的积
V长方体= sh
推论2 正方体的体积等于它的棱长a 的立方
V正方体= a3
公理6 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
P Q
祖暅原理
练 1.把夹在两条平行线间的两个平面图形的面积 相等的条件，用祖暅原理的形式叙述出来，并 习
4 2 10 V圆柱 10 0.785 103 (mm3 ) 2 一个毛坯的体积为 V 3.74 103 0.785 103
V六 棱 柱
12 6 10 3.74 10
2
3
(mm )
3
2.96 103 ( mm 3 ) 2.96(cm 3 )