第四章线性系统的可控性和可观性1
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
线性系统的能控性与能观性 习题与解答
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C显然有[]n Ab bU C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A则有，010******* 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而系统的能控性矩阵为21001110111171117115C U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦有n U C ==3rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为110020B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100030013A则有，3101133030 00000012020AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦23103399030 00000012020A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是，系统的能控性矩阵为2113399000000202020C U BABA B ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知n U C <=2rank不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
§8.4 线性系统的可控性和可观测性
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）
(b)
(c)
图 8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图 8-20 所示的结构图，其中，由图 8.20（a）显见， x1 受 u 的控制，但 x2 与 u 无关， 故系统不可控。系统输出量 y = x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y 能间接获得 x2 的信息，故系统 是可观测的。图 8.20（b）中所示的 x1 、, x2 均受 u 的控制，故系统可控，但 y 与 x2 无关，故 系统不可观测。图 8.20（c）中所示的 x1 、 x2 均受 u 的控制，且在 y 中均能观测到 x1 、 x2 ，
（8-94）
可控性矩阵为
S2 = ⎡⎣G Φ G L Φ n-1G ⎤⎦
（8-95）
⎡u(n −1)⎤
Δ x = ⎣⎡G
ΦG
L
Φ n−1G ⎤⎦
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣u(0) ⎥⎦
（8-96）
该阵为 n × np 矩阵，由于列向量 u(n −1),L, u(0) 构成的控制列向量是 np 维的，式（8-96） 含有 n 个方程和 np 个待求的控制量。由于 Δx 是任意的，根据解存在定理，矩阵 S2 的秩为 n
⎡ u0 ⎤
n−1
∑ e− Atf Δ x = Ambum = ⎡⎣b m=0
Ab
L
An−1b ⎤⎦
⎢ ⎢ ⎢
u1 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣un
−1
⎥ ⎦
(8-103)
4.系统的可控可观性
事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。
由于X1(s)和U (s)之间的传递函数为：
X1(s)
1
U(s) (s1)s(2)s(3)
提示：A的最后一行6, 11, 6 确定
又Y (s)和X1(s)之间的传递函数为： Y(s) (s1)(s4) X1(s)
故Y(s)与U(s)之间的传递函数为：
Y(s) (s1)s(4) U(s) (s1)s(2)s(3)
4.1 可控性和可观测性
4.1.1 系统的可控性概念 如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限
点的控制输入来使其由任意的初态达到任意设定的 终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控 的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统 不可控。
说明1： 系统在时刻 t 的运动状态是由n个状态变量综 合描述的。系统可控就意味着这n个状态变量都必须与 系统的控制输入存在确定的联系，如果有一个或部分状 态变量不接受输入控制，就称系统是不可控的，或称系 统是部分可控。这样系统状态空间就分为可控状态空间 和不可控状态空间。
测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，
只考虑式零输入系统就可以了。
4.1.5 系统的可观性判据
判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。
x Ax
其输出向量为
y Cx
y(t)CA ext(0)
由于：
n1
eAt k(t)Ak k0
提示：凯莱-哈密顿
将y(t)写为A的有限项的形式，即：
2
0 0
u1 u 2
1
0
2 1
0 x1 4
x
2
2
0
2
5
1
x x
3 4
线性定常系统的可控性和可测性
• 结论： 结论： 状态完全可控和可观的必要条件是： 状态完全可控和可观的必要条件是： 系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。 相约现象。 或： 系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约 的
六.线性系统可控性和可观性的对偶关系 1.对偶关系 对偶关系 • 设 • 设 • 称
S1 为系统∑（A,B,C,D 为系统∑ S2 为系统 S1 和 S2对偶 对偶.
• 对定义的说明 对定义的说明: 1). t0 时刻的状态应是任意的 也即x(t)的各 时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各 也即x(t) 时的值无论如何给定,都存在容许 分量在 t0 时的值无论如何给定 都存在容许 控制,在 时刻将初始状态转移到零,系统方 控制,在 t1 时刻将初始状态转移到零,系统方 为可控,否则系统不可控 否则系统不可控. 为可控 否则系统不可控 2). t1 应为有限的时间 t1 的选取与 t0 有关 应为有限的时间, 有关, 趋于无穷则可控失去意义. 若 t1 趋于无穷则可控失去意义
y = [ β0
ˆ β1 ⋯ βn−1] x + du
• 其中
1 a 1 O n−1 p = An−1b ⋯ Ab b ⋮ ⋮ ⋱ a2 a3 ⋯ 1 a1 a2 ⋯ an−1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的 由于{A,b}对可控, {A,b}对可控 一定是非奇异的
0 0 ɺ = ⋮ ˆ x 0 −− −a0 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ˆ x + u 1 ⋮ ⋮ −− −an−1 1
−− −− −− −a1 −a2 ⋯
__ __ __ __ | __ ɺ = 1 0 ⋯ 0 | −a1 x + β1 u ˆ x ˆ 0 1 ⋯ 0 | −a2 β2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 | −an−1 βn−1
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
线控-5（可控、可观）
第4章线性系统的能控性与能观测性本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。
1第章线性系统的能控性与能观测性4.1 能控性和能观测性的定义(4.1)线性连续系统的能控性判据44.2 (4.2)4.3 线性连续系统的能观测性判据(4.3)4.5 能控规范型和能观测规范型(4.8,4.9)4.4 对偶性(4.6)24.6 连续时间线性时不变系统的结构分解(4.10)4.1 能控性和能观测性的定义一．能控性与能观测性的物理概念系统的可控性是指系统内的所有状态是否可以由输入影响。
系统可观性，是指系统内的所有状态是否可以由输出反映。
�能控性问题:已知某系统的当前时刻及其状态,是否存在一个容许控制使得系统在该控制的作用下于有,限时间后到达某希望的待定状态?�能观性问题:已知某系统及其在某时间段上的输出,可否依据这一时间段上的输出决定系统这一时间段上的状态?3例4-1：给定系统的状态空间描述为1122401052x x ux x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦̇̇[]1206x y x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦结构图表明：通过控制量u 可以控制状态x 1和x 2，所图4-1 系统结构图4以系统完全能控；但输出y 只能反映状态变量x 2，不能反映状态变量x 1，所以系统不完全能观测。
二．能控性定义1．状态可控考虑n 维线性时变系统的状态方程[]0001()()()=t t x A t x B t u x t x t T T t t =+=∈̇取定初始时刻，一个非零初始状态x (t 0) t T t ∈0=x 0，如果存在一个时刻和一个无约束的容许控制u (t )，，使状态由x (t 0)=x 0转移到x (t 1)=0，则称此x 0是在时刻t 0可011,t t T t t >∈01[,]t t t ∈5控的.x 0t 0x 初始状态31()0t =x 1t 无约束容许控制2x 01(),[,]t t t t ∈u 1x 000⇒在t 时刻可控系统在t 时刻可控x 6⇒所有时刻都可控系统一致可控．系统可控2考虑n 维线性时变系统的状态方程00()()()t x A t x B t u x t x t T =+=∈̇如果状态空间中的所有非零状态都是在t 0（）时刻可控的，则称系统在时刻t 0是t T t ∈0完全可控的，简称系统在时刻t 0可控。
第四章可控与可观
若系统可控，则
x P 1 x
Ax bu , 使其状态方程化为可控标准型x
a i ( i 0, , n 1)为 I A n a n 1 n 1 a1 a0 各项系数
Modern Control Theory
现 代 控 制 理 论
（3 ）
4 1 0 0 0 4 0 x x 0 3 1 0 0 3 2
4 1 0 0 0 4 0 x x 2 3 1 0 0 3 0
Page: 1
4-1 问题的提出
现 代 经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量， 控 制 只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不 理 需要提出可控性和可观性的概念。 论
现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述
输入 u(t ) 引起状态
0 1 u 0 0
1 0 u 0 1
（4 ）
解：
（1）系统是可控的。 （2）系统是不可控的。 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。
Modern Control Theory
Page: 14
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论
二、 可控标准型
Page: 2
4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】RLC网络
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当
x1，x2所有变量，称系统可控。
R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
9-2线性系统的可控性与可观测性
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
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第四章 线性系统的可控性和可观性§4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。
可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
它们分别回答：“输入能否控制状态的变化”——可控性“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。
可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。
例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。
就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。
另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202001[]x y 01=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+==1221122xy u x x x x从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
（2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112001[]x y 11=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=2122112xx y u x x u x x由于状态变量1x 、2x 都受控于输入u ，所以系统是可控的；输出y 能反映状态变量1x ，又能反映状态变量2x 的变化，所以系统是可观测的。
即状态变量1x 可控、可观测；状态变量2x 可控、可观测。
（3）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 []x y 11=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=212211xx y u x xu x x从状态方程看，输入u 能对状态变量1x 、2x 施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出方程看，输出y 能反映状态变量1x ，2x 的变化，似乎系统是可观测的。
实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全可控的，也不是完全可观测的。
要解释和说明这一情况，就必须首先弄清楚可控性和可观性的严格定义及判别方法。
§4-2 线性定常连续系统的可控性一、线性定常连续系统状态可控性的定义定义4.1（状态可控性定义）：对于线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态)(0t x 转移到指定的任一终端状态)(f t x ，则称此状态是可控的。
若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
关于可控性定义的说明：（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。
假如相平面中的P 点能在输入的作用下转移到任一指定状态n P P P ,,,21 ，那么相平面上的P 点是可控状态。
假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入)(t u ，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控。
（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点)(0t x ，而终端状态也规定为状态空间中的任意点)(f t x ，这种定义方式不便于写成解析形式。
为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。
于是原可控性定义可表述为：对于给定的线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在1可控状态的图形说明],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态)(0t x 转移到零状态)(f t x ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即0)(0=t x ，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：对于给定的线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由零初始状态)(0t x 转移到任一指定的非零终端状态)(f t x ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。
二、可控性的判别准则定理4.1：（可控性秩判据）对于n 阶线性定常系统Bu Ax x+= ，其系统状态完全可控的充分必要条件是：由A 、B 构成的可控性判别矩阵][12B A B A AB B Q n c-= 满秩，即n rankQ c =其中，n 为该系统的维数。
【例4.2.1】判别下列状态方程的可控性。
（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=011012 （2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 （3）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=100110 （4）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110110010011 对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入)(t u ，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。
解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0021][AB BQ c ，n rankQ c <=1，∴系统不可控。
（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1111][AB BQ c ，n rankQ c <=1，∴系统不可控。
（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0110][AB BQ c ，n rankQ c ==2，∴系统可控。
（4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==121110010101121110][2B A ABBQ c ，n rankQ c <=2，∴系统不可控。
定理4.2：设线性定常系统Bu Ax x+= ，具有互不相同的实特征值，则其状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型u B x x n +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ001中，B 阵不存在全零行。
【例4.2.2】判别下列系统的状态可控性。
（1）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=752100050007 （2）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=750100050007 （3）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=570410100050007 （4）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=570010100050007 解：（1）状态方程为对角标准型，B 阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B 阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
（3）系统可控。
（4）系统不可控。
【例4.2.3】判别下列系统的状态可控性。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111200020002 解：在应用定理4.2这个判别准则时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵A 中含有相同元素时，上述判据不适用。
应根据定理4.1的秩判据来判断。
对于本题： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==421421421][2B A ABBQ c ，31<=c rankQ，即系统是不可控的。
定理4.3：若线性定常系统Bu Ax x+= ，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型u B x J J x k +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001中，每个约当小块i J （k i ,,2,1 =）最后一行所对应的B 阵中的各行元素不全为零。
【例4.2.4】判别下列系统的状态可控性。
（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=204014 （2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=024014 （3）u x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=020010003013004014 （4）u x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=10020********04014 （5）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010********* （6）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110200020012解：（1）系统是可控的。
（2）系统是不可控的。
（3）系统是可控的。
（4）系统是不可控的。
（5）系统是不可控的。
（6）系统不可控（注意定理4 .3中“且每一个重特征值只对应一个独立特征向量”这一关键点）。
当不满足定理4.3中的条件时，应使用秩判据。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==421421410][2B A ABBQ c ，32<=c rankQ ，即系统是不可控的。
§4-3 线性定常离散系统的可控性定义4.2（离散系统的可控性定义）：对于n 阶线性定常离散系统)()()1(k Hu k Gx k x +=+，若存在控制作用序列{})1(,),1(),0(-n u u u ，在有限时间间隔],0[nT t ∈内，能使系统从任意非零初始状态)0(x 经有限步转移到零状态，即0)(=nT x ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
【例4.3.1】设离散系统的状态方程为)(100)(101201111)1(k u k x k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+ 试分析能否找到控制作用 ),1(),0(u u ，将初始状态Tx ]112[)0(=转移到零状态。
解：利用递推法：0=k )0()0()1(hu Gx x +=)0(100300)0(100112101201111u u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= 为检验该系统能否在第一步由)0(x 转移到零状态，对上式令0)1(=x ，若能够解出)0(u ，则表示在第一步上就可以把给定初始状态转移到零状态，且控制作用为)0(u 。