1.5 一元一次不等式与一次函数(1)
第2讲 一次函数的图像及性质(讲义)解析版
2
（1）当 x 取何值时， y = 2 ? （2）当 x 取何值时， y > 2 ? （3）当 x 取何值时， y < 2 ? （4）当 x 取何值时， 0 < y < 2 ?
2 （4）令 0 < 1 x - 3 < 2 ，解得： 6 < x < 10 ．
2 【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解． 例 10.已知函数 f (x) = -3x + 1 ．
（1）当 x 取何值时， f (x) = -2 ? （2）当 x 取何值时， 4 > f (x) > -2 ? （3）在平面直角坐标系中，在直线 f (x) = -3x + 1 上且位于 x 轴下方所有点，它们的横 坐标的取值范围是什么?
A． x < 0
B． x > 0
C． x < 2
D． x > 2 ．
【答案】A
【分析】根据题意在函数图像中寻找 y > 3 时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对
应的 x 范围是小于零，从而得出答案
【详解】解：∵由函数图象可知，当 x＜0 时函数图象在 3 的上方，
∴当 y＞3 时，x＜0．
故选：A．
【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系． 例 8.已知 y = kx + b(k ¹ 0) 的函数图像如图所示：
（1）求在这个函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）求不等式 kx + b £ 0 的解集．
一元一次不等式与一次函数
（2）列：将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解：解方程得出未知系数的值；
（4）答：将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
二、典型例题：
1、若点 在函数 的图象上，则 的值是
（1）当x分别取何值时，y1=y2，y1<y2，y1>y2？
（2）在同一坐标系中，分别作出这两个函数的图像，请你说说（1）中的解集与函数图像之间的关系．
6、某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车，使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为1．2元，乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机800元的工资，另外每千米的租车费为1元，设在这一个月中汽车行驶x（km），租用甲公司的费用为y1（元），租用乙公司的费用为y2（元）．
增减性
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的
平 移
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 个单位.
4、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（ 设、列、解、答 ）
自变量
范 围
x为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（- ，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。
本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。
一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。
其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。
二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。
其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。
三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。
2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。
3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。
四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。
2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。
3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。
五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。
例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。
2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。
例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。
3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。
两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。
另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。
事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。
2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。
一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。
【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。
题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。
【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。
思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。
解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。
评注：（1）两点确定一条直线。
（2）大于往右看，小于往左看。
【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。
已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。
解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。
评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。
一元一次不等式与一次函数(一)
想一想：
如果y=-2x-5,
y 4 y=-2x-5 3 2 1
-3 -2 -10 -1 -2 -3 -4 -5
那么当x取何 值时，y>0?
x
1 2
3 4
解：由图可知， 当x<-2.5时,y>0
做一做：
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自 己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒 跑4m。列出函数关系式，作出函数图象，观 察图象回答下列问题： （1）何时哥哥追上弟弟？ （2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ (5 ) 你是怎样求解的？与同伴交流。
思考
导探激励
能否将下述 “关于函数值的问题 ”, 改为 “关于x 的不等式的问题” ？
y y=2x-5
4 问题1： 作出函数y=2x-5的图象， 3 2 观察图象回答下列问题： 1 (1) x取何值时，2x-5=0？ -1 0 (2) x取哪些值时, 2x-5>0？ -1 -2 (3) x取哪些值时, 2x-5<0? -3 (4) x取哪些值时, 2x-5>3? -4 -5
随堂练习：
已知y1=-x+3，y2=3x-4，当 x取何值时，y1>y2，你是怎样 做的？与同伴交流。
y
6
y=-x+3 1
y=3x-4 2
5 4 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5
x
y2
y1
课堂小结：
通过本节课的学习，你有哪些收获？
作业：
必作题： 读一读 习题1.6
1，2
y/m
100 90 80 70 60 50 40 30 y 20 弟 10
一次函数与一元一次方程的关系--教学设计(杨子延)
《一元一次不等式与一次函数（1）》教案课题：一元一次不等式与一次函数（1）教材：北师大版八年级下册第二章第五节授课老师：深圳市宝安中学杨子廷一、教学内容分析二、教学目的2、数学思考目标：通过对一次函数与一元一次不等式关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。
3、问题解决目标：能利用一次函数与一元一次不等式的内在关系，解决实际问题。
三、教学重点重点：通过观察函数图象解一元一次不等式。
四、教学难点五、教学准备教法分析：基于本节课的内容特点和初二年级学生的年龄特征，遵循“让学生主动积极参与学习，发挥其学习的主体性”的教学理念，我决定采用“启发引导、自主学习、合作探究”的教学模式，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。
六、教学流程框图七、教学过程设计知在周一的“防止踩踏”疏散课上，初一（4）班的同学在警报响起3秒后疏散距离y （米）与时间x （秒）满足关系式是y=2x-5。
1．作函数52-=x y 的图象:解：列表；描点，连线； x 52-=x y2．观察图象回答问题：（1）x 取何值时，y=0？ （2） x 取何值时，y ＞0？ （3）x 取何值时，y ＜0？发现：以（2.5，0）为界，右边函数图象在x 轴的上方，所以当x>2.5时，y>0，左边函数图象在x 轴的下方，所以当x<2.5时，y<0。
为基础，探讨新的内容。
10分钟 2、思考讨论、探索新知问题一：观察你画出52-=x y 的图象，回答下列问题。
（1）x 取何值时，2x －5=0? （2）x 取何值时，2x －5＞0? （3）x 取何值时，2x －5< 0？练习1、如图,是函数y=－2x －6的图象,看图回答下列问题：（1）当x 时,－2x －6 >0； （2）当x 时,－2x －6 < 0；练习2、观察你画出52-=x y 的图象，回答下列问题：x 取何值时, y>3 ? 变式：x 取何值时, y < -2 ?学生求解一元一次方程和不等式，发现x 的取值范围相同，更有的同学直接发现两种情况只是问法不同。
一元一次不等式与一次函数整理
一元一次不等式与一次函数整理一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。
一、概念一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。
二、性质1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。
2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。
3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
三、解法1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。
图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。
代数法是通过移项、化简等代数运算来求解。
2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。
四、应用1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。
2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。
3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。
1.5 一元一次不等式与一次函数(1)
1.5 一元一次不等式与一次函数（1）一、预习目标1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.画出函数图象，并利用不等关系进行比较.二、预习重点，难点预习重点：一元一次不等式与一次函数的关系.预习难点：画出函数图象，并利用不等关系进行比较三、预习过程复习回顾、一次函数图象如图，则它的解析式是_____________，当x_____________时，y ＝0；当x_____________时，y >0；当y _____________时，x <0。
预习新知：1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.作出函数y =2x －5的图象，观察图象回答下列问题.（1）x 取哪些值时，2x －5=0?（2）x 取哪些值时，2x －5＞0?（3）x 取哪些值时，2x －5＜0?（4）x 取哪些值时，2x －5＞3?（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25,∴当x =25时，2x －5=0.（2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0;（4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.3.试一试如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0?首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0.三、课堂练习1已知函数y x =-+24（1）画出它的图象；（）求出当时的值；252x y =（3）求出当y ＝2时x 的值； （）当取何值时，，，4000x y y y >=<2.已知y 1=－x +3,y 2=3x －4,当x 取何值时，y 1＞y 2？你是怎样做的？与同伴交流.3.作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x 取何值时，2x －4＞0？（2）x 取何值时，－2x +8＞0?（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.。
一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数之间有着密切的联系，这一联系表现在以下几个方面：
一、当令一元一次不等式中等号左边的表达式为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式：
1. 一元一次方程组：
a. 当一元一次方程组中等式左右两边分别为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式。
b. 两个一次方程涉及到同一个未知数时，可以最终得出结果，即将一元一次不等式化简为一次函数的形式。
2. 一元二次不等式：
a. 当一元二次不等式左边为一次函数时，也可以将其化简为一次函数形式。
b. 二次不等式的解也可以表现为一次函数的形式，即分段函数。
二、求解一元一次不等式可以利用一次函数的性质：
1. 关于一元一次方程：
a. 利用一次函数求函数图像实现一元一次方程的求解，从而得到不
等式的解。
b. 利用一次函数的性质验证不等式的正确性，从而得到不等式的解。
2. 关于一元二次方程：
a. 利用一次函数的对称性，判断不等式的大小，从而得到不等式的解。
b. 利用一次函数的单调性，得到不等式上下界，从而得到不等式的解。
综上所述，一元一次不等式与一次函数有着密切的联系，一元一次不
等式可以化简为一次函数形式，求解一元一次不等式也可以利用一次
函数的性质。
一元一次不等式与一次函数(1)-课件[下学期]--北师大-
y
y=2x-5
B(2.5,0)x
A(0,-5)
回画列 答出出 问函函 题数数 图关 像系 式
兄弟俩赛跑,哥哥让弟弟先 跑9米,自己才开始跑.已知每 秒跑4米,弟弟每秒跑3米. 何时弟弟跑在哥哥前面? 何时哥哥跑在弟弟前面? 谁先跑过20米线? 谁先跑过100米线? 与同桌交流你的解法
P 19
作 业
作 业
P20
习 题 1.6
1、 2 ；
； 亚米游戏 ；
是在所难免の,没出什么大事就算不错了丶"这城中の人确实是壹下子多出了许多,街道上,到处都是人,斗嘴打架の也不在少数丶但是最关键の是,以前の四十几亿人当中,有近壹半甚至是壹半以上の人,平常都是在闭关修行の,根本不会上街の丶所以相当于城中,壹下子多出了二十几亿の流 动人口,真要只是地球上の那些普通人类也无所谓,大家の节奏比较慢,这方圆十万里の圣城中,要容纳哪怕是上千亿普通人也完全没问题丶"怎么说呢,咱们城主府の实力相对来说,还不是特别の强,若是能再扩充壹些大魔神以上の强者,或许对咱们城主府の势力会有比较大の帮助只是这些 人并不好招丶"魔石叹道丶而且他也并不想,总是让自己老婆在背后,替自己处理这圣城中の事情让自己老婆置于危险之中丶如今在这南风圣城中,怕是魔仙就不止五六位了吧,若是城主府中连壹位魔仙都没有,那完全没得玩了丶有些强者,隐藏在城中,也不可能让你壹个壹个去做登记之类の 丶过了壹会尔,宏七让魔石先去休息了,他取出了城主令,呼唤起了老城主丶"有什么事情?"老城主正盘腿坐在殿中闭目修行,虽说没睁开眼睛但是却知道,这是宏七在叫他丶他将如今城主府,在南风圣城中の情况,和老城主说了说,不过却浑然没提自己老婆是魔仙の事情丶"你城主府,也不需 要绝对の实力の,你不是有位夫人是魔仙吗?有她和你壹起坐镇,南风
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所以，将(1)～(4) 中的 y 换成 2x-5, 则, 原题“关于一次函数的值的问题” 就变成了“关于一次不等式的问题”
反过来 想一想
能否把 “关于一次不等式的问题 ” 变换成 “关于一次函数的值的问题”？
自学检测
观察图像回答下列问题： (1)x取何值时，2x–5 =0? y x=2.5时，2x–5=0
北师大版八年级(下)
1.5 一元一次不等式与一次 函数(1)
课前热身
1、一次函数y=2x–5的图像是 ，函数 的图像经过 象限，函数值y随自变量 x的增大而 ，与x轴相交于点 ，与y轴 相交于点 ；
2、一次函数y= –2x–5的图像是 ，函数 的图像经过 象限，函数值y随自变量 x的增大而 ，与x轴相交于点 ，与y轴 相交于点 。
2、
列出函数关系式。
自学指导1：（5分钟）
• 自学课本P20-21“做一做“及上 面内容，认真思考并完成下面 问题：
• 1、对于函数y＝2x－5来说 y≥0与2x－5≥0 有什么不一样？有怎样的联系？ • 2、对于y≥0反映在函数图像我们又该怎样 理解？
自学检测
观察图像回答下列问题： (1)x取何值时， x=2.5时，y=0 y =0?
自学小结：
合作交流
ⅰ、如果 y= –2x–5 , 那么当x取何值时 , y>0? 解法一：
y 3 2 1 1 x
由图像可知： 当x<–2.5时，y>0
解法二： 解不等式–2x–5>0，得
y 2 x 5
x<–2.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6
自学小结 求函数问题的方法：
(2.5, 0)
由上述讨易知： “关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题” ； 反过来， “关于一次不等式的问题” 可变换成 “关于一次函数的值的问题” 。 因此， 我们既可以运用函数图象解不等式 ， 也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ， 二者相互渗透 ，互相作用。 不等式与 函数 、方程 是紧密联系着 的一个整体 。
(1)图像法：画出函数图像解决函数问题；
(2)列式法：列不等式(方程)求解集解决函数问题。
合作交流
ⅱ、已知y1= –x+3，y2= 3x – 4，当x取何值时： (1) y1>y2 ？ (2) y1<y2 ？
自学检测 例1、兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自 己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4 m。列出函数关系式，作出函数图像，观察图像 回答下列问题： (1)何时弟弟跑在哥哥前面？ (2)何时哥哥跑在弟弟前面？ (3)谁先跑过20m？谁先跑过 100m？
课前热身 请画出一次函数y=2x–5的图像。
解： 列表 x 0 2.5 y –5 0 描点 连线
y 4 3 2 1 -2 -1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6
y 2x 5
1 2
3 4
x
学习目标
1、 通过作图、观察，进一步理解一元一次函 数概念，并从“形”这个角度体会一元一次不等 式与一次函数的内在联系；
y 4 3 2 1
y 2x 5
(4, 3)
1 2 3 4 x
(2)x取哪些值时，2x–5 >0? y
x>2.5时，2x–5>0
-2 -1 0 –1 (3)x取哪些值时，2x–5 <0? y –2 –3 x<2.5时，2x–5<0 –4 (4)x取哪些值时，2x–5 >3? y –5 x>4时，2x–5>3 –6
y 4 3 2 1
y 2x 5
(4, 3)
1 2 3 4 x
(2)x取哪些值时，
x>2.5时，y>0 (3)x取哪些值时， x<2.5时，y<0 (4)x取哪些值时， x>4时，y>3
y >0?
-2 -1 0 –1 y <0? –2 –3 –4 y >3? –5 –6
(2.5, 0)
将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”
课堂小结
1、转化思想： 一次函数问题
转化
一次不等式问题
2、求函数问题的方法： (1)图像法： 画出函数图像解决函数问题； (2)列式法： 映了某产品的销售收入与销售量之 间的关系，l2反映了该产品的销售成本与销售量 之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产 品开始盈利。该产品的销售量达到多少吨时，生 产该产品才能盈利？
巩固练习
2、甲、乙两辆摩托车从相距20km的A、B两地相 向而行，图中l1、 l2分别表示甲、乙两辆摩托车离 A地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系。 (1)哪辆摩托车的速度快？ (2)经过多长时间，甲车 行驶到A、B两地的中点？