函数的定义、极限的概念、连续的概念.
函数极限与连续性：函数极限概念
函数极限与连续性：函数极限概念函数极限与连续性是微积分中的基本概念，它们对于理解和应用数学领域中的各种问题是至关重要的。
本文将从函数极限和连续性的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行探讨。
一、函数极限的定义与性质函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数取得的极限值。
用数学语言来描述，函数f(x)在x趋于x0时的极限记作：lim(x→x0) f(x) = L其中，x0为自变量的趋近点，L为函数f(x)的极限值。
根据这一定义，我们可以得出函数极限的一些基本性质。
首先，函数的极限值唯一。
也就是说，当x趋于x0时，函数f(x)的极限只有一个确定的数值。
其次，函数的极限与函数在极限点的取值无关。
即使函数在x0点的取值与极限值不同，函数的极限仍然存在。
第三，函数极限的存在与否与函数在极限点的左右极限有关。
如果函数f(x)在x0点的左右极限存在且相等，则函数在x0点存在极限。
二、连续性的定义与性质连续性是指函数在定义域内的各点之间没有间断或跳跃的状态。
具体而言，函数f(x)在x0点连续可以表示为：lim(x→x0) f(x) = f(x0)也就是说，当自变量x趋于x0时，函数f(x)的极限值等于f(x0)。
连续性的定义表明函数在x0点处不会出现突变或跳跃。
连续性具有以下性质：首先，如果函数在定义域内的所有点都连续，那么这个函数就是一个连续函数。
其次，两个连续函数的和、差、乘积、商（分母不为零情况下）仍然是连续函数。
第三，复合函数在其定义域内连续的条件是，外函数和内函数都在各自的定义域内连续。
三、函数极限与连续性的应用函数极限与连续性的概念在数学和科学领域中具有广泛的应用。
以下列举几个具体的例子：1. 物理学中的运动问题：利用函数极限和连续性的概念，可以描述和解决物体在运动中的速度、加速度等问题。
2. 经济学中的边际效益：通过对函数极限的研究，经济学家可以确定某一经济活动的边际效益是否递增或递减。
3. 工程学中的信号处理：函数极限和连续性的概念可以应用于信号处理和滤波等工程问题中，实现对信号的精确控制。
函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有()lim n n f x A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1xx x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),ax xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >= 1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .(了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有()lim n n f x A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a xxx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >= 1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是微积分中的重要概念，它们在数学中具有广泛的应用。
通过研究极限与连续性，我们可以更好地理解函数的性质，以及它们在实际问题中的应用。
本文将详细介绍极限与连续性的定义、性质以及相关的定理。
一、极限的定义与性质1.1 极限的定义极限是函数在某一点的接近程度的概念。
设函数 f(x) 在某一点 a 的某一侧定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在着另一个正数δ，使得只要 x 落在点 a 的邻域，并且与 a 的距离小于δ，那么对应的函数值f(x) 与函数在点 a 的极限 L 的差的绝对值小于ε，即 |f(x) - L| < ε，则称函数 f(x) 在点 a 的极限为 L，记作lim(x→a) f(x) = L。
1.2 极限的性质（1）极限的唯一性：如果函数 f(x) 在点 a 的极限存在且为 L，则该极限必定唯一。
（2）局部有界性：如果函数 f(x) 在点 a 的某一邻域内有极限 L，则该函数在点 a 的某一邻域内有界。
（3）极限的保序性：如果函数 f(x) 在点 a 的极限存在且为 L，如果函数 g(x) 在点 a 的极限存在且f(x) ≤ g(x)，则有 li m(x→a)f(x) ≤lim(x→a)g(x)。
二、连续性的定义与性质2.1 连续性的定义函数连续性是指函数在定义域上没有间断点的性质。
设函数 f(x) 在某一点 a 处定义域内定义，如果极限lim(x→a)f(x) 存在且等于 f(a)，则称函数 f(x) 在点 a 处连续。
2.2 连续性的性质（1）函数连续的若干基本性质：a. 两个连续函数的和仍然是连续函数。
b. 两个连续函数的差仍然是连续函数。
c. 两个连续函数的乘积仍然是连续函数。
d. 一个连续函数与一个不为零的常数的积仍然是连续函数。
e. 两个连续函数的商（分母不为零）仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合运算结果仍然是连续函数。
三、相关定理3.1 介值定理介值定理是连续函数的重要性质。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数,极限与连续
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：
它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限 值等于该点处的函数值.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 . 证 任取 x0 (- , + )，则因
有定义， 如果
x 0
lim y 0.
则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.
若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 ) 或 lim f ( x ) f ( x 0 ) ，
x x0
则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.
a O c b x y = f (x)
例 9 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至 少有一个实根.
证
设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 [0, 1]
上连续且 f (0) = 1 > 0， f (1) = - 2 < 0，因此由推 论可知，至少存在一点 c (0, 1) ，使得 f (c) = 0. 这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根 .
sin(x a ) lim x a ( x a ) cos a cos x
令 x – a t ，由 x a，则 t 0.
sint 1 1 上式 lim lim . 2 t 0 t cos a cos(t a ) t 0 cos a cos(t a ) cos a
因 此 lim y 0. 这表明 y = sin x 在 x0 处连续，
极限与连续的概念与计算
极限与连续的概念与计算极限与连续是微积分学中的重要概念，对于理解和应用数学具有深远的影响。
在本文中，我们将介绍极限与连续的概念，并探讨它们与计算的关系。
一、极限的概念极限是描述一个函数在某一点附近的行为的数学概念。
我们用符号lim来表示极限，形式上表示为：lim(f(x)) = L (x→a)其中，f(x)表示函数，a表示自变量x趋近的点，L表示极限的值。
极限的定义可以用以下数学语言描述：对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立。
二、连续的概念连续是指函数在其定义域上的每一点都与其周围的点没有间断。
换句话说，如果一个函数在某点处与左右两侧的极限值相等，且偏离这个点的函数值与这个点的函数值之间可以任意靠近，那么这个函数就是在这点上连续的。
三、极限与连续的关系极限和连续的概念密切相关。
一个函数在某点处的极限存在且等于该点的函数值，那么这个函数在这个点是连续的。
计算极限的方法有很多种，我们在这里介绍两个基本的方法：代数方法和图像方法。
1. 代数方法代数方法是使用代数运算技巧来计算极限的方法。
常见的代数方法包括利用四则运算、分式运算、函数性质等进行化简和变形，使得原函数转化为更容易计算的形式。
例如，利用极限的性质和基本的代数运算，我们可以得到以下极限计算规则：- 常数的极限：lim(c) = c，其中c是常数；- 自变量的极限：lim(x) = x；- 多项式的极限：lim(P(x)) = P(a)，其中P(x)是多项式函数；- 复合函数的极限：lim(g(f(x))) = g(lim(f(x)))，其中f(x)和g(x)是函数。
2. 图像方法图像方法是通过绘制函数的图像来帮助计算极限的方法。
通过观察函数图像在某一点附近的形状和趋势，我们可以估计出该点的极限值。
图像方法尤其适用于函数存在间断点或不可导的情况下。
通过绘制函数图像，我们可以观察到函数在不同点上的连续性和极限值。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是微积分中非常重要的概念，它们用来描述函数的趋势以及函数在某一点的行为。
本文将介绍函数极限和连续性的概念，并探讨它们的性质。
一、函数的极限的概念与性质函数的极限是研究函数趋势的基本工具。
我们先来介绍一下极限的概念。
1.1 极限的定义设函数 f(x) 在点 a 的某个去心领域内有定义，如果存在一个常数 L，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，那么我们称函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，记为lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，包括极限的唯一性、四则运算法则等。
这里只介绍其中的一些性质。
（1）极限的唯一性：如果函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，同时又以 M 为极限，那么 L = M。
（2）四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 当 x 趋近于 a 时分别以 L和 M 为极限，则有以下运算法则：- f(x) ± g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L ± M 为极限；- f(x)g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L × M 为极限；- f(x)/g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L/M 为极限（假设M ≠ 0）。
这些性质为我们进行函数极限的计算提供了便利。
二、函数的连续性的概念与性质函数的连续性是指函数在其定义域内没有间断点，即函数的图像是连续的。
接下来我们会详细讨论连续性的概念与性质。
2.1 连续性的定义设函数 f(x) 在某个区间 (a, b) 内有定义，如果对于任意选取的点x0∈(a, b)，当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限都存在且等于 f(x0)，那么我们称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
2.2 连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，包括若干个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及连续函数的复合仍然是连续函数等。
函数的极限与连续性的概念与应用
函数的极限与连续性的概念与应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的极限和连续性，更是函数理论中重要的概念和工具。
本文将讨论函数的极限和连续性的概念，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、函数的极限概念函数的极限是指当自变量逼近某个特定值时，函数值的趋势或取值趋近于某个确定的常数。
形式化地说，设函数为f(x)，当x接近于某个常数a时，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε成立，其中L为常数，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L。
函数的极限概念是数学分析中的基础概念，它对于研究函数的性质和变化趋势具有重要意义。
通过对函数的极限的研究，我们可以得到函数的单调性、凸凹性、极大值、极小值等性质，进而对函数进行更深入的分析。
二、函数的连续性概念函数的连续性是指函数在其定义域上的每一点都存在极限，并且该极限等于该点的函数值。
换句话说，函数在定义域上的每一点上的左极限、右极限都存在，并且等于该点函数值。
如果函数在定义域上的每个点都连续，则称该函数在该定义域上连续。
函数的连续性概念对于研究函数的光滑性和连贯性具有关键作用。
连续函数具有许多重要性质，比如介值定理、最值定理等，这些性质在实际问题的建模和求解中具有重要的应用。
三、函数极限与连续性的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，函数的极限和连续性的概念应用广泛，特别是在运动学中。
通过对物体运动过程中位移、速度、加速度等量的函数关系进行极限和连续性分析，可以精确描述和预测物体在运动过程中的状态。
2. 经济学中的边际效应在经济学中，函数的极限和连续性的概念被广泛用于描述边际效应。
通过对经济变量之间的关系进行极限和连续性分析，可以研究经济活动中的边际效应，比如边际成本、边际收益等。
3. 工程学中的信号处理在工程学中，函数的极限和连续性的概念在信号处理中得到广泛应用。
通过对信号的极限和连续性分析，可以对信号进行滤波、降噪等处理，提高信号的质量和准确性。
(完整版)专升本高数数学第一章_函数、极限与连续
例：求下列函数的定义域
［Ａ］(1) y
1
．
(x 1)(x 4)
(2) y x 1 1 x 1
解:(1)要使函数有意义，必须有分母 (x 1)(x 4) 0
x 1 0
即 x 4 0
x 1
x
4
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞)
(2)要使函数有意义,必须有 x 1 0
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x 2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
1 2
4 2 2
f[f
(x)]
f[ x 3] x2
x3 3 x2 x3 2
2x 9 (x 3x 1
1) 3
x2
2、函数的性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
y
y x
y x3
o
x
偶函数
o
x
奇函数
(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；
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lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的 关系
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则
左右极限 两个重要 极限
无穷小的比较
无穷小
lim f ( x ) 0
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
（三）连续
连
x 0
续 定 义
x x0
lim y 0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
闭区间上连续 函数的 性 质
二、总结求极限的方法
1. 初等函数求极限的方法——代入法.
]
(2) 0
1 4x2 2 2x 1 2x 1 1 4x 要使 2 ，只要 2 x 1 2x 1 1 即 x ( ) 2 2 1 取 当0 x ( ) 时
2
2 2 2 1 4x 1 4x 2 2 即 lim1 x 2 x 1 2x 1 2
2
n2 a 2 n a2 a2 n n n( n 2 a 2 n)
n2 a 2 a2 要使 1 , 只要 n n
即n
a2
2 2 n a n a 1 则当n N时，就有 1 lim n n n
2 2
取N [
a2
sin无穷小 推广： lim 1
无穷小
1 x 8.利用第二重要公式 lim (1 ) e求极限； x x
推广： lim( 1
1
无穷大
)
无穷大
e e
1
或： lim( 1 无穷小 )
9.利用左、右极限求极限 .
无穷小
三、例题分析与疑难解答
lim(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 例1 x 1时 ， 求n
2 4 2n
分析：无限和式、积式极限，应对原式恒等变形化为有限形式
( 1 x )( 1 x )( 1 x )( 1 x ) ( 1 x ) 解： 原式 lim n 1 xn n
2
4
2n
(1 x )(1 x ) lim n 1 x
2 2
1 x lim n 1 x
1
例4
p( x ) x 设p( x )是多项式, 且 lim 2, 2 x x p( x ) lim 1, 求p( x ). x 0 x
3
p( x ) x 3 解： lim 2, 2 x x3 2 可设p( x ) x 2 x ax b(其中a , b为待定系数 ) p( x ) 又 lim 1, x 0 x 3 2 p( x ) x 2 x ax b ~ x ( x 0)
第一章 习题课
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念
（三）连续的概念
（一）函数
基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 反函数与直接 函数之间关系
函 数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
（二）极限
数列极限
lim x n a
n
函
x x0
数
极
x
限
无穷大
lim f ( x )
2
例3 求 lim(1 tan x ) x 3 . x 0 1 sin x
1 x 0
1
注： lim f ( x) g ( x ) elimg ( x ) ln f ( x )
1 tan x ln( ) 3 1 sin x x 1
解 lim (1 tan x ) x3 lim e
1
1 tan x ( 1) 1sin x 1 tan x ln[1 ( 1)] ( 1) 1 1 tan x 1 sin x 1 sin x lim 3 ln( ) lim lim 1 sin x x3 x0 x x0 x3 x0 (tan x sin x ) sin x (1 cos x ) lim lim 3 3 x0 (1 sin x ) x x0 cos x (1 sin x ) x x2 x. 1 2 lim 3 cos x ( 1 sin x ) x x0 2
x 0 1 sin x 1 tan x 1 tan x ln[1 ( 1)] ~ lim( 1 ) 0 x0 1sin x 1 sin x 1 tan x
e
1 tan x ln( ) x0 x 3 1 sin x lim 1
1 tan x x3 lim ( ) e2. x 0 1 sin x
n
sin x sin x 原式 lim lim n n x n n x x 2 sin n 2 n 2 2
例2 用极限 1 n n 证： 0
n2 a 2 1 n
1 4x2 (2)、 lim 2 1 x 2 x 1
( x0 定义区间 ) x x0 0 ( ”型 ) 2. 利用恒等变形消去零因子. “ 0 3.利用无穷大与无穷小的 关系求极限；
lim f ( x ) f ( x0 )
4.利用无穷小的性质求极 限； 5.利用等价无穷小替换求 极限 ;
6.利用两个极限存在准则 求极限；
sin x 7.利用第一重要公式 lim 1求极限； x0 x
2 n1
1 1 x
x x x x 练习：求 lim cos cos 2 cos 3 cos n ( x 0) n 2 2 2 2
解：
x x sin n ~ n (n ) 2 2
sin x
x x x x x 2 cos cos 2 cos 3 cos n sin n 2 2 2 2 2 原式 lim n x n 2 sin n 2 sin x lim n n x 2 sin n 2