第11.2课时 一元二次方程的应用
一元二次方程的应用课件
本课件将介绍一元二次方程的定义和基本概念，探讨一元二次方程在几何、 物理和经济问题中的应用，并举例说明一元二次方程在生活中的实际应用。
方程的定义和基本概念
1 方程的含义
介绍方程是什么以及它在 数学中的重要性。
2 一元二次方程
解释一元二次方程的定义 和一般形式。
3 方程的解法
2
抛体运动
探讨如何利用一元二次方程描述抛体运动的轨迹和速度。
3
弹射物问题
介绍如何应用一元二次方程解决弹射物问题，如抛物线运动或发射角度问题。
一元二次方程在经济问题中的应用
成本和利润
解释如何使用一元二次方程计算成本和利润的关系。
销售预测
探讨如何利用一元二次方程进行销售预测和市场分析。
投资回报率
介绍如何应用一元二次方程计算投资项目的回报率。
探讨解一元二次方程的常 见方法。
一元二次方程在几何问题中的应用
抛物线
介绍抛物线的定义、性质以及与 一元二次方程的关系。
根与解
讨论一元二次方程的根与解在几 何问题中的意义。
矩形的面积
探究如何用一元二次方程计算矩 形的面积。
一元二次方程在物理问题中的应用
1
自由落体运动
解释如何使用一元二次方程描述自由落体运动的高度和时间之间的关系。
演示一个实际问题，如通过一元二次方程解决的房地产开发项目。
3
课堂练习
提供一些练习题供学生实践运用所学的一元二次方程知识。
一元二次方程在生活中的实际应用
建筑设计
讨论如何应用一元二次方程在建 筑设计中计算房间面积、拱门高 度等。
投射物运动
介绍如何利用一元二次方程描述 投射物的轨迹和速度。
一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用一、定义及公式1.一元二次方程：形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0，x 是未知数。
2.求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)二、一元二次方程的解法1.因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，然后求解。
2.配方法：将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后求解。
3.求根公式法：直接应用求根公式求解。
三、实际应用场景1.面积问题：已知直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，求斜边长c。
根据勾股定理，有 a^2 + b^2 = c^2，将 c^2 移到等式左边，得到 a^2 + b^2 - c^2 = 0，这是一个一元二次方程。
2.投资问题：已知投资金额、利率和时间，求最终收益。
设投资金额为 P，利率为 r，时间为 t，则收益为 S = P(1 + r)^t。
如果已知 S、P 和 r，求 t；或者已知 S、P 和 t，求 r。
这些问题都可以转化为一元二次方程。
3.物体运动问题：已知物体运动的初速度、加速度和时间，求物体在某时刻的速度和位移。
根据运动学公式，有 v = v0 + at 和 s = v0t + 1/2at^2，其中 v 是某时刻的速度，s 是某时刻的位移。
如果已知 v0、a 和 t，求v 和 s；或者已知 v0、a 和 s，求 t。
这些问题也可以转化为一元二次方程。
四、解题步骤1.分析实际问题，找出未知数和已知数。
2.根据实际问题建立一元二次方程。
3.选择合适的解法求解一元二次方程。
4.将求得的解代入实际问题中，验证答案的正确性。
五、注意事项1.在解决实际问题时，要确保方程的建立是正确的，避免出现误解或错误。
2.在选择解法时，要根据方程的特点和实际问题的需求来决定，有时需要尝试多种解法。
3.在求解过程中，要注意计算的准确性，避免出现计算错误。
一元二次方程的实际应用非常广泛，涉及到多个领域。
一元二次方程的实际应用与解法
一元二次方程的实际应用与解法一元二次方程是数学中常见的一种类型方程，表达形式为ax^2 + bx + c = 0。
本文将介绍一元二次方程的实际应用以及解法。
一、一元二次方程的实际应用一元二次方程广泛应用于各个领域，特别是在物理学、工程学和经济学等实际问题的建模与求解中。
以下是一些常见的实际应用：1. 物体运动问题：对于抛体运动或自由落体运动等问题，可以通过一元二次方程来描述物体的运动轨迹。
例如，当我们知道一个物体的初速度、重力加速度和运动时间时，可以使用一元二次方程来求解物体的最终位置。
2. 地面覆盖问题：在城市规划中，经常需要考虑各类设施的地面覆盖范围。
通过一元二次方程可以描述设施的传播范围和受影响区域的大小。
例如，对于一个无线网络信号的传播范围，可以通过一元二次方程来计算无线信号的衰减程度和覆盖范围。
3. 财务问题：在经济学中，一元二次方程常应用于财务问题的建模与解决。
例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算某项投资的回报率和投资时间。
此外，一元二次方程也可用于计算生产成本与产量之间的关系等。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积，即可直接得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，从而得到x = 1和x = 3两个解。
2. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求根公式来计算。
根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，可以得到方程的解。
其中，a、b和c 分别代表方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
3. 完全平方式：当一元二次方程的解可以表示为一个完全平方数时，可以通过完全平方式求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而得到x = -3作为方程的解。
《一元二次方程——应用一元二次方程》数学教学PPT课件(8篇)
价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(
)
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是(
)
A．1或9
B．3或5
C．4或6
D．3或6
（来自《典中点》）
求解面积问题的方法：
1. 规则图形，套用面积公式列方程
2. 不规则图形，采用割补的办法，使其成为规则图形，
根据面积间的和、差关系求解
第二十一章
一元二次方程
应用一元二次方程
第2课时
1
2
课堂讲解 营销利润问题
央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的
彩色边衬所
占面积是封面面积的四分之—，
上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度
(结果保留小数点后一位)?
知2－讲
分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩
形的长宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长
和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边
际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个
根是符合实际问题的解.
知2－练
1
如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样
宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，
则修建的路宽应为(
A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米
)
知2－练
2 如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，
知1－练
1 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是解决数学问题中常用的一种方程类型。
它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在实际生活中，一元二次方程可以用来解决各种与数量关系有关的问题。
以下将通过几个具体的应用案例，介绍一元二次方程在实际中的应用。
案例一：抛物线的形状在物理学、工程学和建筑学等领域中，抛物线的形状是一个常见的问题。
一元二次方程可以帮助我们确定抛物线的开口方向、顶点位置以及焦点位置等信息。
例如，考虑一座桥的拱形，我们可以根据桥拱的高度和宽度来建立一元二次方程。
通过求解这个方程，我们可以确定最佳的拱形形状，以确保桥的承载能力和结构稳定性。
案例二：运动轨迹的预测一元二次方程还可以用于预测物体的运动轨迹。
假设一个物体被抛出，并以初速度v0和发射角度θ抛出，忽略其他外部因素的影响。
我们可以通过一元二次方程来计算物体的飞行时间、到达最远距离的水平位置以及最高点的高度。
这些信息对于设计射击、投掷和抛掷物体的运动轨迹都非常有用。
案例三：经济优化问题一元二次方程在经济学和管理学中也有广泛的应用。
例如，在某个工厂的生产线上，单位时间内生产的产品数量与工人的数量呈现出一定的关系。
我们可以通过建立一元二次方程，将工人数量作为自变量，生产产品数量作为因变量，来找到最大的产量和最优的工人数量。
案例四：旅行时间和距离计算一元二次方程还可以用于计算旅行的时间和距离。
例如，某辆汽车以固定的速度行驶，我们可以通过一元二次方程来计算汽车行驶到特定距离所需的时间。
这在交通规划、旅行导航和物流管理等领域都有很实际的应用。
综上所述，一元二次方程在实际生活中具有广泛的应用。
通过了解和熟练运用一元二次方程，我们可以更好地解决与数量关系有关的问题，并做出准确的预测和决策。
因此，掌握一元二次方程的应用方法对于提高数学素养和解决实际问题非常重要。
一元二次方程的应用
6、学生训练：(1)如果原始产量为a，平均增长率为x，那么增长一次后的产量为，增长两次的产量为。;
(2)、某工厂2006年产值为500万元,改进技术后,每年产值平均增长率为x,则2007年的年产值为,2008年的年产值为,这三年的总产值为。
教学难点
理解题意，找出相等关系．
教学方法
讲练结合
资源利用
网上资源
教学设计（主备设计、集体研讨）
二次备课（个性化设计）
1、百货商店服装柜销售发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元；为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现，如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?
神木县尔林兔初级中学
教案
年级：九年级科目：数学主备：段晓飞参与：杨二军
时间
2016-9-8
教学内容
一元二次方程的应用（2）
教学目标
1、建立方程模型来解决实际问题．
2、经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤．
教学重点
用一元二次方程刻画现实问题——平均增长率
(3)某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，求月平均增长率。
7、课堂小结：本节课学了什么？
布置作业
1、书面作业；打印作业2、课外作：课堂练习册。教后
反
一元二次方程的应用-ppt课件
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是实际问题求解中常用的工具之一。
它的应用涉及到多个领域，如物理学、经济学和工程等。
本文将通过实际案例，介绍一元二次方程的应用。
1. 抛物线运动假设一个物体从离地面h高度抛出，初速度为v，抛物线运动的路径可以用一元二次方程表示。
设物体从时间t=0开始运动，那么物体在t时刻的高度可以用以下方程表示：h = -gt^2 + vt + h0其中g为重力加速度，h0为起始高度。
这就是一元二次方程的典型应用之一。
2. 经济学中的应用在经济学中，一元二次方程可以用来描述生产成本、销售收入等与产量之间的关系。
例如，假设某企业生产某种产品的成本函数为C(x)= ax^2 + bx + c，其中x为产量，a、b和c分别为常数。
通过求解这个二次方程，可以找到产量与成本之间的最优关系，帮助企业制定最佳的生产计划。
3. 工程中的应用在工程领域，一元二次方程也有广泛的应用。
例如，考虑一个抛物线形状的拱桥，为了确定拱桥的形状和尺寸，需要利用一元二次方程求解。
通过分析桥墩高度、跨度等因素，可以建立一元二次方程模型，求解该方程可以得到最优的桥墩高度和跨度，以保证拱桥的坚固和美观。
4. 声音传播的应用在声学中，一元二次方程可以用来描述声音在空气中的传播过程。
假设一个声源位于坐标原点，声音的传播距离为d，传播时间为t，声音的速度为v。
根据声音传播的基本原理，可以得到以下一元二次方程：d = vt - at^2通过求解这个方程，可以推导出声音传播的速度、时间和距离之间的关系。
综上所述，一元二次方程在物理学、经济学和工程等领域中有着广泛的应用。
通过求解一元二次方程，可以解决实际问题，帮助人们做出正确的决策和计划。
因此，掌握一元二次方程的应用是非常重要的。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。
一元二次方程的应用课件
02
一元二次方程的应用场景
几何问题
直角三角形问题
在直角三角形中，常常需要利用一元 二次方程来求解某一边的长度。例如 ，已知直角三角形的两个直角边长度 ，求斜边的长度。
勾股定理问题
勾股定理是一元二次方程在几何中应 用的一个典型例子。已知直角三角形 的两条直角边，我们可以利用勾股定 理来求解斜边的长度。
检验解的有效性
解出方程后需要进行检验，确保解是 有效的，避免出现不符合原方程的解 。
解法的拓展与提高
拓展解法的应用范围
通过学习更多的一元二次方程的解法，可以拓展解法的应用范围 ，解决更多的问题。
提高计算能力
通过不断的练习和总结，可以提高计算能力，减少计算失误，提高 解题效率。
掌握多种解法
掌握多种一元二次方程的解法，可以更加灵活地解决问题，根据实 际情况选择最合适的解法。
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
详细描述
一元二次方程的应用ppt 课件
• 一元二次方程的基本概念 • 一元二次方程的应用场景 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程的实际应用案例 • 一元二次方程的解法总结与反思
01
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的一般形式包含了三个项：ax^2、bx 和 c，其中 a、b、c 是常 数，且 a ≠ 0。这个形式是所有一元二次方程的基础。
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解得x1=-5（舍），x2=3.
∴这种箱子底部长为5米、宽为3米. 由长方体展开图知，所购买矩形铁皮面积为
（5+2）×（3+2）=35（米2）.
∴购回这张矩形铁皮花了35×20=700元钱.
8.(探究创新题)将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一 段铁丝的长度为周长做成两个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁 丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗？若能，求出 两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
【解析】选C.经过一次降价后的售价为55（1-x）元，经过两次
降价后的售价为55（1-x）（1-x）元.因此得55（1-x）2=35.
2.(2008·南平中考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
(A)8人
(B)9人
(C)10人
(D)11人
7.（2008·庆阳中考）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁 皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形
后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，
且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每 平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
【解析】设这种箱子底部宽为x米，则长为（x+2）米，依题意， 得x（x+2）×1=15.
答案：36（1+x）2=49
4.大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300平方米的 一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为______.
【解析】长为（x+10）米，长与宽的积为300.
答案：x(x+10)=300
5.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以 自行定价.据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若 每件售价a元，则可卖出（320-10a）件，但物价部门限定每件 商品加价不能超过进货价的25%.如果商店计划要获利400元， 则每件商品的售价应定为_____元.需要卖出这种商品_____件. （每件商品的利润=售价-进货价） 【解析】设每件商品的售价定为x元， 则（x-18）(320-10x)=400. 整理得x2-50x+616=0，∴x1=22,x2=28. ∵18(1+25%)=22.5, 而28>22.5,∴x=22. 卖出商品的件数为320-10×22=100（件）. 答案：22 100
【解析】选B.设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据 题意，得1+x+（1+x）x=100.
即（1+x）2=100，解得x1=9,x2=-11（不合题意，舍去）.
二、填空题 3.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为49万元，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设每月的平均增长率为x，则可列方程为______.
【解析】二月份的营业额为36（1+x）万元，三月份的营业额 为36（1+x）（1+x）万元，因此得36（1+x）2=49.
中考总复习
十竹中学 02
一、选择题
1.某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35
元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是( (A)55（1+x）2=35 )
(B)35（1+x）2=55
(C)55（1-x）2=35 (D)35（1-x）2=55