函数的基本性质有
函数的基本性质
函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。
函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。
性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。
单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。
⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。
设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。
⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。
偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。
偶函数不可能是个双射映射。
连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。
如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
函数五大性质
函数五大性质函数的五大性质是指函数的基本性质，它们是：平稳性、单调性、有界性、可导性和连续性。
掌握了这五大性质，将有助于我们更好地理解和研究函数，以及求解方程等。
平稳性是指在函数域上，如果一个函数的值有限，那么它的极限为零。
这意味着函数的值不会随着变量的变化而发生显著变化。
例如，在函数 x2 + 2x 上，当 x化时，该函数的值变化不大。
单调性是指在函数域上，如果一个函数的值是递增的（或者函数的值是递减的），那么该函数就是单调的。
这样的函数不会随着变量的变化而发生明显的变化；例如，函数 f (x) = x2 + 2x x限增大时，该函数的值会逐渐增加，因此该函数是单调的。
有界性是指在函数域上，如果函数的值是有限的，那么该函数就是有界的。
例如，函数 f (x) = x2 + 2x有有界性，因为它的值介于 0 ~ 10 之间，不能变得无限大。
可导性是指在函数域上，函数的导数不为零，那么该函数就是可导的。
例如，函数 f (x) = x2 + 2x有可导性，因为它的导数不为零，且为 f x) = 2x + 2。
连续性是指在函数域上，如果函数在相邻的点上具有定义，那么该函数就是连续的。
例如，函数 f (x) = x2 + 2x有连续性，因为它在每个数值处都具有定义。
在数学中，函数具有五大性质。
这些性质有助于我们更好地理解和研究函数，以及求解方程等。
函数的五大性质是平稳性、单调性、有界性、可导性和连续性，在函数域上，如果某种函数具备这五种性质，那么它就是一个理想的定义函数。
五大性质是数学中最重要的几个素材之一，即使在初等数学中也有应用。
比如，运用有界性可以快速解决定积分的问题，而运用连续性可以检验初等函数的连续性。
深入学习函数的五大性质，可以让我们对函数有更深刻的理解，从而更加熟练地操作和使用函数。
因此，了解函数的五大性质，对我们学习数学具有极大的帮助，这些性质可以作为解决各种数学问题的一个重要参考，为我们的学习和研究提供了很大的帮助。
函数的基本性质
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间 上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域 为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1， 则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝ ， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数， 当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增 函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若 上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 的． ________ 取值 作差 ， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形 ，________ 定号 ，________. 结论 ________
函数的基本性质
第四讲 函数的基本性质.函数的单调性概念（1）增函数和减函数的概念如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． （3）函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数；3.常见函数的单调性：（1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0<k 时，在区间),(+∞-∞上是减函数；（2）反比例函数xky =，当0>k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数，当0<k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是增函数（3）二次函数c bx ax y ++=2，当0>a 时，在区间)2,(ab--∞是减函数，在区间),2(+∞-a b 是增函数，当0<a 时，在区间)2,(a b --∞是增函数，在区间),2(+∞-ab是减函数.4.函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法④图像法，利用图像研究函数的单调性.1.根据函数的单调性的定义，证明函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。
2.判断函数)0()(>+=p xpx x f 的单调性3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。
函数的基本性质
函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。
⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容，对于理解和应用函数有着重要的作用。
以下是《函数的基本性质》的知识总结大全：1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围，值域是指函数实际取值的范围。
函数的定义域和值域可以用图像来表示。
2. 奇偶性：如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
3. 函数的图像：函数的图像是指函数在坐标平面上的显示，可以通过画图来表示函数的特点。
可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。
4. 单调性：如果函数f(x)在定义域上是递增的，则称函数f(x)为增函数；如果函数f(x)在定义域上是递减的，则称函数f(x)为减函数。
5. 极值：如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大（或小），则称这个点为函数的极大值点（或极小值点）。
极大值和极小值统称为极值。
6. 零点：函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。
7. 对称轴：如果函数的图像关于某一直线对称，则这条直线称为函数的对称轴。
8. 周期性：如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有f(x+T) = f(x)成立，其中T>0，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
9. 常用函数：常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数有着特殊的性质和应用。
10. 复合函数：复合函数是指由两个函数构成的新函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。
复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
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函数是数学中一种重要的概念，它具有一些重要的性质。
常见的函数性质包括：
1.单调性：函数在定义域内单调递增或递减。
2.可导性：函数在定义域内可导。
3.可积性：函数在定义域内可积。
4.可逆性：函数在定义域内可逆。
5.可微性：函数在定义域内可微。
6.可解析性：函数在定义域内可解析。
7.持久性：函数在定义域内持久，即函数的值在定义域内不会突然变化。
8. 函数的值域：函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。
9. 函数的导函数：函数在定义域内可导，那么它就有导函数，并且导函数是唯一的。
10. 函数的导数：函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。
这些性质对于理解和分析函数具有重要的意义。
不同的函数具有不同的性质，因此在研究和使用函数时需要结合具体情况来考虑这些性质。