冀教版初中数学七年级下册第10章 第2课时 10.2不等式的基本性质
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10.2不等式的基本性质
1.已知实数a,b,若a>b,则下列结论正确的是 ( )
A .a- 5 B .2+a<2+b C .a/3 D .- 3a<- 3b D 2.由x ( ) A .a>0 B .a<0 C .a=0 D .无法确定 B 3.已知a A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 A 4.某城市某天的最高气温为16 ℃,最低气温为4 ℃,已知这一天某一时刻的气温为t ℃,则此时表示气温t 的不等式是________________. 4≤t≤16 5.苹果的进价为每千克3.8元,销售中估计有5%的苹果正常损耗,为避免亏本,商家至少应该把售价定为每千克___________元. 4. 6.下列变形正确的有_________. ①由a- b>c- b,得a>c; ②由m>n,得m- 3>n- 2; ③由a>b,得到am>bm; ④由,得到m 22ma na ①④. 7.根据不等式的性质,把下列不等式化成x>a 或x (1)x- 2<3;(2)6x>5x- 1;(3)- 4x>4. 解:(1)由不等式的性质1可知不等式的两边加2,不等号的方向不变,所以x- 2+2<3+2,即x<5. (2)由不等式的性质1可知不等式的两边减5x,不等号的方向不变,所以6x- 5x>5x- 1- 5x,即x>- 1. (3)由不等式的性质3可知不等式的两边除以- 4,不等号的方向改变,所以,即x<- 1. 4444 x -<--8.某学校在“五一”期间组织学生外出旅游,已知该校共有学生462人,如果单独租用60座的客车,至少需要租多少辆? 解:设租用60座客车x 辆,根据题意,得60x≥462. 根据不等式的性质2,两边除以60,得x≥7.7. 根据x 的实际意义知x 应取正整数,所以x 的最小正整数解为8. 答:至少需要租8辆60座的客车. 相信自己,就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识,还要告诉学生学会生活。数学思维可以让他们 更理性地看待人生 高中数学-不等式的基本性质(一)练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b §1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 (一)教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质; 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. (二)能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提高大家的辨别能力. (三)情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索,培养大家的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与 交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张:(记作§1.2 A) 第二张:(记作§1.2 B) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗? [生]记得. 等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式. 基本性质2:在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式. [师]不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 [师]等式的性质我们已经掌握了,那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢?请大家探索后发表自己的看法. [生]∵3<5 ∴3+2<5+2 3-2<5-2 3+a<5+a 3-a<5-a 所以,在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. [师]很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. [生]∵3<5 ∴3×2<5×2 3× 21<5×2 1. 所以,在不等式的两边都乘以同一个数,不等号的方向不变. [生]不对. 如3<5 3×(-2)>5×(-2) 所以上面的总结是错的. [师]看来大家有不同意见,请互相讨论后举例说明. [生]如3<4 3×3<4×3 3× 31<4×3 1 3×(-3)>4×(-3) 3×(-31)>4×(-3 1 ) 3×(-5)>4×(-5) 由此看来,在不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变. [师]非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢?请大家用类似的方法进行推导. [生]当不等式的两边同时除以一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边同时除以一个负数时,不等号的方向改变. [师]因此,大家可以总结得出性质2和性质3,并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l >16 2 l 的正确性 [师]在上节课中,我们知道周长为l 的圆和正方形,它们的面积分别为π 42 l 和 162l ,且有π42l >16 2 l 存在,你能用不等式的基本性质来解释吗? [生]∵4π<16 ∴ π41>16 1 根据不等式的基本性质2,两边都乘以l 2 得 π42l >16 2 l 3.例题讲解 将下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式: (1)x -5>-1; (2)-2x >3; (3)3x <-9. [生](1)根据不等式的基本性质1,两边都加上5,得 9.1.2 不等式的基本性质 内容解析:它承接了等式的性质,让学生第一次经历不等式的等价变形,也经历了从“数”的大小关系到“式”的大小关系的转折,不等式的性质是解不等式的重要依据,因此它是不等式解法的核心内容之一,是本章的基础。 生活中的数量关系不外乎两种:相等关系与不等关系,通过这堂课的学习,让学生对数量关系的变形有一个完整的认识,形成一个知识体系。 教学目标 知识与能力:1.探索并掌握不等式的基本性质; 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程:通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提 高学生的辨别能力. 情感态度与价值观:通过大家对不等式性质的探索,培养学生的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点:掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点:不等式基本性质3的运用 教学方法:类推探究法 学法:自主探索与合作交流 学情分析: 学生的认知基础有:第一,会比较数的大小;第二,理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据;第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力。 不等式性质3缺少生活经验的依据,已有知识经验对性质3造成负迁移,导致学生不理解运用性质3时“为什么要改变不等号的方向”;在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向”。本设计运用分组讨论合作交流的方式,使学生对不等式性质2、3经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的充分的思考过程,自发生成。 教学过程 复习回顾,导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1:等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式. 等式的基本性质2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. 新课讲授 探究1: (1)提问1:类比等式的性质,你发现不等式有哪些性质么? 如果5> 3 那么5+2 ____3+2 , 5 -2____3-2 如果-1< 3, 那么-1+3____3+3, -1- 3____3 - 3 你能总结一下规律吗? 5.2不等式的基本性质 教学目的: 1.使学生理解不等式的概念,初步掌握不等式的三条基本性质; 2.培养学生对比以及观察、分析问题的能力,并初步领会对比的思想方法. 教学重点: 不等式的三条基本性质. 教学难点: 不等式的基本性质3. 教学过程: 引言:运用对比的方法,引导学生猜想出不等式的三条基本性质,并通过实例加以验证 首先,让学生用“>”或“<”号填空: (1)7+3______4+3; (2)7+(-3)______ 4+(-3); (3)7×3 ______ 4×3; (4)7×(-3)______ 4×(-3). 然后,启发学生由上面第(1)、(2)小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质.并请学生叙述不等式的基本性质1.此时,教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正.即不能笼统地说“仍是不等式”,要改为书中所说的“不等号的方向不变”.对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质,让学生思考不等式类似的性质.引导学生观察上述第(3)、(4)小题,并将题中的3换成5,-3换成-5,按题中的要求再做一遍,并猜想出结论.然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质2,3.(在观察上述练习题时,引导学生注意不等号的方向,并用彩色粉笔标出来,并问原因是什么?当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时,教师应作适当的引导,启发.并依次板书这几条基本性质) 不等式基本性质: 1.不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变. 2.不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 3.不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 此时,教师要特别强调不等式基本性质3,并举例:若a <b ,c <0,则ac >bc(或c a >c b ) 然后,让学生用不等式-2<4两边都分别加上5,-6,两边都分别乘以3, -3来验证上述不等式的三条基本性质. 问题:(1)在不等式 -2<6两边都乘以m 后,结论将会怎样?(当字母m 的取值不明确时,需对m 分情况讨论) (2)比较等式性质与不等式的基本性质的异同. (问这两个问题的目的在于,强化学生对不等式基本性质的理解,特别是对不等式基本性质3的理解) 五、应用举例,变式练习 例1 根据不等式基本性质,把下列等式化成x >a 或x <a 的形式: (1)x-2<3; (2)6x <5x-1; 解:(1)由不等式的基本性质1可知,不等式的两边都加上2,不等号的方向不变,所以 x-2+2<3+2, x <5. (2)、(3)、(4)题略. (解题时,要求学生要联想解一元一次方程的思想方法,并将原题与x >a 或x <a 对照着用哪条基本性质能达到题目要求.同时强调推理的根据,尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别,解题书写要规范) 例2 设a >b ,用“<”或“>”号填空: (3)-4a ______ -4b ; (4)ma ______mb .(m ≠0) 解:(1)因为a >b ,两边都减去3,所以由不等式基本性质1,得 第3页,共3页 第二章不等式 2.1 不等式的基本性质 【夯实基础】 一、选择题 1. 下列结论正确的是( ) A. 若ac 不等式的基本性质 习题精选(一) ★不等式的基本性质 1.不等式的基本性质1:如果a>b ,那么 a+c____b+c , a -c____b -c . 不等式的基本性质2:如果a>b ,并且c>0,那么ac_____bc . 不等式的基本性质3:如果a>b ,并且c<0,那么ac_____bc . 2.设a”填空. (1)a -1____b -1;(2)a+1_____b+1;(3)2a____2b ;(4)-2a_____-2b ; 5)-a 2_____-b 2;(6)a 2____b 2. 3.根据不等式的基本性质,用“<”或“>”填空. (1)若a -1>b -1,则a____b ;(2)若a+3>b+3,则a____b ;(3)若2a>2b ,则a____b ; (4)若-2a>-2b ,则a___b . 4.若a>b ,m<0,n>0,用“>”或“<”填空. (1)a+m____b+m ;(2)a+n___b+n ;(3)m -a___m -b ;(4)an____bn ; (5)a m ____b m ;(6)a n _____b n ; 5.下列说法不正确的是( ) A .若a>b ,则ac 2>bc 2(c 0) B .若a>b ,则bb ,则-a>-b D .若a>b ,b>c ,则a>c ★不等式的简单变形 6.根据不等式的基本性质,把下列不等式化为x>a 或x>a 的形式: (1)x -3>1;(2)- 3 2x>-1;(3)3x<1+2x ;(4)2x>4. [学科综合] 7.已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13-2-1所示,则下列式子中正确的是( ) 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 【新教材】等式性质与不等式性质 教学设计(人教A版) 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一,在高中数学中占有重要地位,它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型,在现实生活中有着广泛的应,有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论,能够运用其解决简单的问题. 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小. 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象:不等式的基本性质; 2.逻辑推理:不等式的证明; 3.数学运算:比较多项式的大小及重要不等式的应用; 4.数据分析:多项式的取值范围,许将单项式的范围之一求出,然后相加或相乘.(将减法转化为加法,将除法转化为乘法); 5.数学建模:运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点:掌握不等式性质及其应用.高中数学-不等式的基本性质(一)练习
1.2 不等式的基本性质-
9.1.2不等式的性质(第一课时)
5.2不等式的基本性质
2.1不等式的基本性质
(完整word版)不等式的基本性质__习题精选(一)
高中数学不等式知识点总结
《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)