数制及其转换
数制及其转换
阶码的位数决定了表示数的范围； 尾数的位数决定了所表示数的精度；
３、机器数的表示
在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。 1）原码 规定符号位用数码0表示正号，用数码1表示负号， 数值部分按一般二进制形式表示数的绝对值。 ＋7: 00000111 ＋0: 00000000 零有两种表示方法
例 3：将 ( 237 . 625 ) 10 转化成二进制
整数： 除2取余 2 |2 3 7 2 |1 1 8 2 |5 9 2 |2 9 2 |1 4 2 |7 2 |3 2 |1 0
1 0 1 1 0 1 1 1
取 值 方 向
小数： 乘2取整 0. 6 2 5 × 2 1 1. 2 5 0 0. 2 5 × 2 0 0. 5 0 × 2 1 1. 0
M
k
Di N
i
i m 1
其中D i为数制采用的基本数符; Ni为权；N为基数
M
k
Di N
i
i m 1
例：十进制数，3058.72 可表示为： 3×103+0×102+5×101+8×100+ 7×10-1+2×10-2 例： 二进制数10111.01 可表示为： 1×24+0×23+1×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2
－7: 10000111
－0:10000000
３、机器数的表示
在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。
２）反码
规定正数的反码和原码相同， 负数反码是对该数的原码除符号位外各位求反
＋7: 00000111 －7: 11111000
常用数制及其相互转换
一、常用数制及其相互转换在我们的日常生活中计数采用了多种记数制，比如：十进制，六十进制（六十秒为一分，六十分为一小时，即基数为60，运算规则是逢六十进一），……。
在计算机中常用到十进制数、二进制数、八进制数、十六进制数等，下面就这几种在计算机中常用的数制来介绍一下。
1．十进制数我们平时数数采用的是十进制数，这种数据是由十个不同的数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9任意组合构成，其特点是逢十进一。
任何一个十进制数均可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和。
例如：???这里的10为基数，各位数对应的权是以10为基数的整数次幂。
为了和其它的数制区别开来，我们在十进制数的外面加括号，且在其右下方加注10。
2．二进制数在计算机中，由于其物理特性（只有两种状态：有电、无电）的原因，所以在计算机的物理设备中获取、存储、传递、加工信息时只能采用二进制数。
二进制数是由两个数字0、1任意组合构成的，其特点是逢二进一。
例如：1001，这里不读一千零一，而是读作：一零零一或幺零零幺。
为了与其它的数制的数区别开来，我们在二进制数的外面加括号，且在其右下方加注2，或者在其后标B。
任何一个二进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和。
其整数部分的权由低向高依次是：1、2、4、8、16、32、64、128、……，其小数部分的权由高向低依次是：0.5、0.25、0.125、0.0625、……。
二进制数也有其运算规则：加法：0+0=0????0+1=1???1+0=1????1+1=10乘法：0×0=0????0×1=0????1×0=0????1×1=1二进制数与十进制数如何转换：（1）二进制数—→十进制数对于较小的二进制数：对于较大的二进制数：方法1：各位上的数乘权求和??例如：（101101）2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45（1100.1101）2=1×23+1×22+0×21+0×20+1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4=12.8125方法2：任何一个二进制数可转化成若干个100…0?的数相加的总和??例如：（101101）2=（100000）2+（1000）2+（100）2+（1）2而这种100…00形式的二进制数与十进制数有如下关联：1后有n个0，则这个二进数所对应的十进制数为2n。
计算机常用数制之间的转换
计算机常用数制之间的转换在计算机科学中，数制是指用来表示数字的符号系统。
计算机常用的数制有二进制、八进制、十进制和十六进制。
这些数制之间的转换是计算机科学中非常重要的基础知识。
本文将介绍这些数制之间的转换方法。
一、二进制转八进制二进制数是由0和1组成的数，八进制数是由0到7组成的数。
将二进制数转换为八进制数的方法是将二进制数从右往左每三位分成一组，然后将每组转换为对应的八进制数。
如果最左边的一组不足三位，则在左边补0。
例如，将二进制数101101101转换为八进制数的过程如下：101 101 101= 5 5 5因此，二进制数101101101转换为八进制数555。
二、二进制转十进制二进制数转换为十进制数的方法是将二进制数从右往左每一位乘以2的幂次方，然后将结果相加。
例如，将二进制数101101101转换为十进制数的过程如下：1×2^8 + 0×2^7 + 1×2^6 + 1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0= 256 + 0 + 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1= 365因此，二进制数101101101转换为十进制数365。
三、二进制转十六进制二进制数转换为十六进制数的方法是将二进制数从右往左每四位分成一组，然后将每组转换为对应的十六进制数。
如果最左边的一组不足四位，则在左边补0。
例如，将二进制数101101101转换为十六进制数的过程如下：1011 0110 1= B 6 1因此，二进制数101101101转换为十六进制数B61。
四、八进制转二进制八进制数是由0到7组成的数，二进制数是由0和1组成的数。
将八进制数转换为二进制数的方法是将八进制数的每一位转换为对应的三位二进制数。
例如，将八进制数555转换为二进制数的过程如下：5 5 5= 101 101 101因此，八进制数555转换为二进制数101101101。
数制及其转换
常用数制及其相互转换1．十进制数有十个不同数字0—9，并且“逢十进一”。
对于任意一个十进制数，都可以表示成按权展开的多项式。
如：1804=1╳103+8╳102+0╳101+4╳10048.25=4╳101+8╳100+2╳10-1+5╳10-2十进制中，个、十、百、千，┄┄各位的权，分别为100、101、102、103，┄┄。
10被称为基数。
2．二进制数有二个不同数字：0和1，并且“逢二进一”。
基数是2，各数位的权是基数的整数次幂。
整数部分各数位的权从最低位开始依次是20、21、22、23、24、┄┄，小数部分各数位的权从最高位开始依次是2-1、2-2、2-3、┄┄。
二进制数的表示：如（1101）2，将二进制数用小括号括起来，右下角加个2。
问：二进制数的按权展开形式如何表示？（1101）2=1╳23+1╳22+0╳21+1╳20二进制数运算规则：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=100╳0=0 0╳1=0 1╳0=0 1╳1=13、二进制数与十进制数的相互转换（1）二进制数转换成十进制数（按权展开求和）。
例1：把（1101.01）2转换成十进制数（1011.01）2＝（1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2）10＝（8＋0＋2＋1＋0＋0.25）10＝（11.25）10二进制数转十进制数，是将二进制数按权展开求和。
（2）十进制数转换成二进制数（除以2反序取余）。
例2：把（89）10转换成二进制数（89）10＝（1011001）22 89 余数2 44 (1)2 22 02 11 02 5 (1)2 2 (1)2 1 00 (1)十进制数转二进制数，是将十进制数除以2，除完为止，然后反序取余数。
即最先得到的余数作为最低位。
4、八进制数基数为8，有八个数字0—7，运算规则是“逢八进一”。
（1）十进制数转八进制数：除以8反序取余例：（215）10=（？）88 215 余数8 26 (7)8 3 (2)0 (3)所以（215）10=（327）8（2）八进制数转十进制数：按权展开求和例：（327）8=（？）10（327）8=3╳82+2╳81+7╳80=（215）10（3）八进制数转二进制数方法一：将八进制数转十进制数，再将十进制数转二进制数。
数制及其转换
十六进制数：1位化4位
二进制转化成八(十六)进制
整数部分：从右向左按3(4)位进行分组 小数部分：从左向右按3(4)位进行分组, 不足补零
二进制、八进制、十六进制数间的关系
23=8 4 2 1
八 进制 对应 二进制 十六 进制
24=16
对应 二进制 十六 进制
8421对应 二进制0 1 2 3 4 5
使计算机的硬件结构大大简化。 （3）二进制的“1”和“0” 与逻辑命题 两个值“真”和“假”相对应，为 计算机实现逻辑运算提供了便利。
问题：
引入八进制和十六进制
用二进制表示有缺点？如何解决？
什么是数制和进位计数制？
数制也称计数制，是指用一组数码符号 和规则来表示数值的方法。 按进位的方法进行计数，称进位计数制， 三个要素：数码、基数和权 例如：十进制数678.34的位权展开式： 678.34 =6×102+7×101+8×100 +3×10-1+4×10-2
思考：
如何快速地将十进制数如456.78(D) 分别转换成二、八、十六进制？
思路:十 规则 八 1化3
8 456 8 57 8 7 0
二 4并1 十六
0 1 7
0.78 8 6. 24 8 1. 92
456.78(D) ≈ 7 1 0 . 6 2(O) =111 001 000.110 010(B) =1,11 00,1 000.110 0,1000 =1 C 8 . C 8(H)
1 0
2 2
0 0
1 1
0.345 2 0.690 2 1.380 2 0.760 2 1.520 2
1.04
十进制转化成r进制
数制及其转换PPT课件
1
1
数制的基本概念
2
数制转换
2
进位计数制
使用有限个基本数码来表示数据，按进位的方法进行 计数，称为进位计数制，简称数制。
• 数码：用不同的数字符号来表示一种数制的数值。 • 基数：某种进位计数制所使用数码个数n，当大于n
时必须进位。 • 位权：一个数字符号处在某个位上所代表的数值是其
本身的数值乘以所数位的一个固定的常数，这个不同 位数的固定常数称为位权。
整数部分为从下往上写：
6 110101
不同进制数之间的转换
1. 十进制转换成二、八、十六进制
小数转换法 “乘基取整”：用转换机制的基数乘以小数部分，直至小数为0或达到转换精 度要求的位数，每乘一次取一次整数，从最高位排到最低位。
如：（0.625）10=（ 0.101 ）2=（ 0.5 ）8 = （ 0.A ）16
方法：
按权展开，然后按照十进制运算法则求和。
例：（100101） 2=1*25+0*24+0*23+1*22+0*21+1*20 =32+4+1 =（37）10
（123）8=1*82+2*81+3*80=64+16+3=（83） 10
（123）16=1*162+2*161+3*160 =256+32+3 =（291） 10
9
.
10
3.八进制O
• 数码：0~7 基数：8 位权：8i-1、8-i 规则：逢八进一
例：（123.456）8=1*82+2*81+3*80+4*8-1+5*8-2+6*8-3
4.十六进制H
数制及数制转换
数制及数制转换数制是一种用来表示和处理数值的体系，而数制转换则是将一个数从一个数制表示转换为另一个数制表示的过程。
在计算机科学和数学中，常见的数制包括十进制、二进制、八进制和十六进制等。
以下是这些概念的简要解释：数制：1.十进制（Decimal）：基数为10，使用0-9的数字表示。
十进制是我们日常生活中常用的数制，人类常用的手指数法也是十进制的。
2.二进制（Binary）：基数为2，使用0和1的数字表示。
计算机内部以二进制形式存储和处理数据，因为电子开关只有两个状态（打开或关闭）。
3.八进制（Octal）：基数为8，使用0-7的数字表示。
在计算机领域，八进制逐渐被二进制和十六进制所取代，但仍然有时用于表示一些标志和权限。
4.十六进制（Hexadecimal）：基数为16，使用0-9以及A-F表示10-15。
十六进制常用于表示计算机领域中的地址、颜色值等。
数制转换：1.二进制到十进制：将二进制数中的每一位与对应的权值相乘，然后相加即可。
2.十进制到二进制：使用除2取余法，将十进制数除以2，记录余数，然后将商再除以2，一直重复这个过程直到商为0。
最后，将所有的余数从下往上排列即可。
3.八进制和十六进制转换：八进制和十六进制的转换与二进制类似，只需将每一组（八进制为3位，十六进制为4位）与对应的权值相乘，然后相加即可。
4.二进制到十六进制：先将二进制数补足为4的倍数，然后将每4位二进制数转为一个十六进制数。
5.十六进制到二进制：将每一位十六进制数转为4位的二进制数即可。
数制转换在计算机领域中经常使用，尤其是在处理数据和编程时。
理解这些概念和转换方法对理解计算机底层原理和进行程序设计非常有帮助。
数制及其转换
数制是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。
在数值计算中，一般采用进位计数制，即用进位的方法进行计数。
日常生活中人们习惯使用十进制，而在数字系统中常采用二进制、八进制、十进制和十六进制等。
数位是指数字符号在一个数中所处的位置，基数是指在某种进位计数制中，数位上所能使用的数字符号的个数，位权是指指在某种进位计数制中，数位所代表的大小，即处在某一位上的“1”所表示的数值大小。
数制转换是指将一种数制转换为另一种数制。
常见的数制转换包括二进制转换为十进制、八进制转换为十进制、十进制转换为二进制、十六进制转换为二进制等。
数制转换的方法包括按权展开法、逻辑运算法等。
计算机的数值通常采用二进制、八进制、十进制和十六进制表示。
其中，二进制是计算机中常用的数制，它具有运算简单、易于实现、易于进行逻辑运算等优点。
在计算机中，数值通常以二进制的形式存储和运算。
总之，数制及其转换是数值计算和计算机领域中非常重要的概念和方法。
通过了解不同数制的表示方法和转换规则，可以更好地理解计算机中数值的存储和运算原理，同时也可以为进行数值计算和研究计算机科学提供基础知识和技能。
二进制和十六进制都是计算机中常用的数制，它们的特点如下：1、二进制：二进制是计算机中最基本的数制，也是计算机内部数值表示的方式。
它只使用两个数字0和1来表示数值，是一种离散的数制。
在二进制中，每一位被称为一个“bit”（比特），它是计算机中最小的存储单位。
二进制的特点包括：➢简单易懂：只有两个数字0和1，容易理解和使用。
➢易于计算：二进制的计算规则与十进制相似，只需要掌握简单的加法和乘法规则即可。
➢适合电子电路实现：计算机内部的逻辑电路使用二进制信号进行控制和传输，二进制数制可以直接反映电路的状态。
此外，二进制也具有抗干扰能力强、可靠性高等优点，因为每位数据只有高低两个状态，当受到一定程度的干扰时，仍能可靠地分辨出它是高还是低。
2、十六进制：十六进制也是计算机中常用的数制，它使用16个数字（0-9和A-F）来表示数值。
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（9）1000 ∧ 1101 = （10）1111 ∨ 1011=
二、数制的转换 在数制的转换中，通常在数值后面加字母D、B、O、 H分别表示该数是10、2、8、16进制数，D、B、O、H 的含义分别是Decimal、Binary、Octal、Hexadecimal。 1、p进制转 进制 、 进制转 进制转10进制 ( kn kn–1…k1 k0 . k–1…k–m ) p= kn×p n + kn–1×p n–1 +… + k1×p + k0 + k–1×p –1 +…+ k–m×p –m 其中0≤k i < p，i = – m～n。p叫做p进制数的基数 基数， 基数 k i叫做该p进制数的第i位，p i叫做第i位的权。 位 权
例如: 12345=1*104+2*103+3*102+4*101+5*100
权
基数为10 也有用下标来表示进制
(10)10 (10)2 (10)8 (10)16
也可以用字母来表示 10D 10B 10O 10H
例如：101001.101 B = 2 5 + 2 3 + 1 + 2 –1 + 2 –3 = 32 + 8 + 1 + 0.5 + 0.125 = 41.625 D ABC.D H = A×16 2 + B×16 + C + D×16 –1 = 2560 + 176 + 12 + 13×0.0625 = 2748.8125 D
除法运算法则： 除法运算法则
例：求（1101. 1）2 ÷（110）2 ） ）
10.01） ＝ （？ ）2
0÷0＝0 ÷ ＝ 1 ÷0 =（无意义） （无意义） 0 ÷1 ＝0 1 ÷1＝1 ＝
10 110 1101 110 1 1
.01 .10 10 10 0
练习： 练习：
（11111.01）2 × （11110.1）2 ＝ ） ） 1 1 1 1 1. 0 1 × 1 1 1 1 0 .1
练习：逻辑运算 01001011 = 10110100
异或
运算符： ＋
运算法则： 运算法则： 例：逻辑运算 10101010 ＋ 00001111= 10100101
0 0 1 1
＋ ＋ ＋ ＋
0 1 0 1
= = = =
0 1 1 0
＋
10101010 00001111 1 01 0 0 1 0 1
二进制数的运算
算 术 运 算 逻 辑 运 算
作业
－ + ÷
加法运算法则： 加法运算法则
例：求（10011.01）2 ＋ （100011.11）2 ） ）
110111）2 ） ＝ （？ 1 0 0 1 1 . 0 1 ＋） 1 0 0 0 1 1 . 1 1 ` ` ` ` 1 1 0 1 1 1 . 0 0
真话假话 有一天，某国首都的一家珠宝店，被盗贼窃走 一块价值5000美元的钻石。经过几个月的侦破，查 明作案的肯定是A，B，C，D这四个人当中的某一个 。于是，这四个人被作为重大嫌疑对象而拘捕入狱 ，接受审讯。四个人的供词中有一些互相矛盾的内 容： A：不是我作案的。 B：D就是罪犯。 C：B是盗窃这块钻石的罪犯。 D：B有意诬陷我。 因为几个人供述的内容互相矛盾，谁是真正的 罪犯还无法确认。现在，我们假定四个人当中只有 一个说了真话。那么请问：罪犯是谁？
只要当参与“或”运算的 任意一个逻辑变量为1时， “或”运算结果就为1；只 有都为0，结果才为0。
非
运算符： 在变量上加“—” 在变量上加“
运算法则： 运算法则： 例：逻辑运算 10101100 = 01010011
1 = 0 0 = 1
逻辑非运算是逻辑否 定的意思，用二进制 进行逻辑运算就是 “求反”操作。
只要当参与的逻辑变量都 为1时，“与”运算的结果 才会为1；只要其中有一个 为0，其结果就为0。
或
运算符：
运算法则： 运算法则：
＋
∨
∪
Or
例：逻辑运算 10101010 + 01100110 = 11101110 ？
0 0 1 1
∨ ∨ ∨ ∨
0 1 0 1
= = = =
0 1 1 1
10101010 ∨） 01100110 1 11 0 1 1 1 0 练习：逻辑运算 10100001+10011011 = 10111011 ？ 10100001 ∨） 10011011 1 01 1 1 0 11
∴0.375 = 0.011 B
转换为二进制。 例1 将12.3转换为二进制。 转换为二进制 解：∵2×0.3 = 0.6 + 0 高 2×0.6 = 0.2 + 1 2×0.2 = 0.4 + 0 2×0.4 = 0.8 + 0 2×0.8 = 0.6 + 1 低 ……………………
∴ 0.3 = 0.01001 B , 12.3 = 1100.01001 B
11111 0 1 1111101 1111101 1111101 1111101 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1.0 0 1
练习： 练习：
（11001. 11）2 ÷（1010）2 ＝ ？ ） ）
1010 11001.11
练习 （1）（1011）2＋（10010）2 =11101B （2）（100101）2-（11100）2 =1001B （3）（11001）2×（111）2 =10101111B （4）（100011）2÷（111）2 =101B （5）（100010）2÷（1001）2 =11.11B （6）（10101）2＋（1011）2 =100000B （7）（101100）2-（10110）2 =10110B （8）（11010）2×（1011）2 =100011110B （9）（1000001）2÷（1101）2 =101B （10）（1111）2×（111）2 =1101001B
减法运算法则： 减法运算法则
例：求（10110.01）2 － （1100.10）2 ） ）
1001.11）2 ） ＝ （？
0－0＝0 － ＝ －） 1 －0 ＝1 1 －1 ＝0 10 －1＝1 ＝ （0 －1） ）
` 0 1 1 0 . 0 1 ` ` 1
1 1 0 0 . 1 0 1 0 0 1 . 1 1
常用数制对照表 10进制 2进制 8进制 16进制
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
10进制
8 9 10 11 12 13 14 15 16
2进制 8进制 16进制
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10 11 12 13 14 15 16 17 20 8 9 A B C D E F 10
。
练习： 把下列进制数转化为二进制数 34 23.25
3、10进制转 、16进制 、 进制转 进制转8、 进制 10进制转8进制和16进制与10—2进制的转 换是类似的。 进制数。 例2 求1234.5的16进制数。 的 进制数 解：1234 = 16×77 + 2 低 77 = 16×4 + D 4 = 16×0 + 4 高 ∴ 16×0.5 = 0.0 + 8，1234.5 = 4D2.8 H。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ●
取余法， 除2取余法，商为零止，上低下高。 取余法 商为零止，上低下高。
例如：23 = 2×11 + 1 低位 11 = 2×5 + 1 5 = 2×2 + 1 2 = 2×1 + 0 1 = 2×0 + 1 ∴23 = 10111 B 高位
小数转换： ⑵ 小数转换： 2 乘取整法，积为零止，上高下低。 乘取整法，积为零止，上高下低。 例如：2×0.375 = 0.75+ 0 高 2×0.75 = 0.5 + 1 2×0.5 = 0.0 + 1 低
只有参与“异或”运算的 两个逻辑变量值不同时， “异或”运算结果为1；否 则结果为0。
练习 （1） 1011 ∧ 1001 = （2） 10101 ∨ 11100 = （3）101 = （4） 100 ∧ 111 = （5）1011 1001 = （6）1001 ∨ 1011 = （7） 10010 ∧ 10110 = （8）1101 1011 =
0＋0＝0 ＋ ＝ 0＋1＝1 ＋ ＝ 1＋0＝1 ＋ ＝ 1＋1＝10 ＋ ＝
练习： 练习：求（1011011）2 ＋ （1010.11）2 ） ）
＝ （1100101.11）2 ？ ） 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 . 1 1 1
＋） ` ` ` 1 1 0 0 1 0 1 . 1
练习： 练习：求（1010110）2 － （1101.11）2 ） ）
＝ （1001000.01）2 ？ ）
` 1 0 1
－） 1 0 0 1 0 0 0 . 0
` ` ` 0 1 1 0 . 0 1 1 0 1 . 1
0 1 1
乘法运算法则： 乘法运算法则
例：求（1101.01）2 × （110.11）2 ） ）
练习： 把下列进制数转化为十进制数 (34)8 (57)16 (1011)2
2、10进制转 进制 、 进制转 进制转2进制 ⑴ 整数转换 ●位权法：若( x ) 10 = ∑ ki × 2 ，k i = 0或1， 位权法： 位权法
i n i =0
则( x ) 10 = ( kn kn–1…k1 k0 )2。 例如：23 D = 2 4 + 2 2 + 2 + 1 = 10111 B， 257 = 2 8 + 1 = 100000001 B。 注：上述结果也可由常用数制对照表中的2—10进 制数的转换规律得到。