测量平差误差椭圆
测量中两待定点间相对误差椭圆的生成
测量中两待定点间相对误差椭圆的生成
测量中两待定点间相对误差椭圆的生成，是基础测量中的一个重要内容。
这种
方法能够有效减少两点间坐标系之间的误差。
当在平面内对椭圆拟合数据时，椭圆描述了双圆误差椭圆和参数化图形椭圆。
双圆误差椭圆表示两待定点间误差的椭圆，除了用于表示两个点之间的误差椭
圆外，它还可以利用一组控制点的误差椭圆，以进行测量质量的优化，也可以用于制作精细的平面绘图图表。
参数化图形椭圆是一种专为绘制二维图形所设计的椭圆，可以按照自定义参数，例如圆心和大小等参数，通过数学公式生成椭圆形形状，经常用来画出特定要求的图形。
借助这种方法，可以更有效地减少两点之间的精度误差，提高测量精准度和测
量效率，使测量成果更接近设计要求。
因此，采用两待定点间相对误差椭圆的方法，可以极大地提高测量的准确性。
误差理论与平差基础-误差椭圆.
∆X ∆P P（真）
O
显然有：
A
Y
P2 x2 y2 (其中：x x xˆ, y y yˆ)
点位误差的定义:
E(x2 ) E (x xˆ)2 E
xˆ E xˆ2
2 x
E(y2
)
由方差定义，可得：
2 P
2 x
2 y
由上讨论可的如下结论
点位方差大小不受坐标系的影响；
不同的坐标系，其位差分量大小是不同的；
点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方差来求得。
故，点位误差计算公式为：
2 P
2 x
2 y
2 s
2 u
2
2 90
若使位差达到极值，则应使：
dQ 0
d
dQ d
d d
(Qxx cos2 Qyy sin2 Qxy sin 2 )
2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2
Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2
E
y
yˆ
2
E
yˆ E yˆ 2
2 y
P2 Ex(2 P2 )y2 E(x2 y2 )
E(x2 ) E(y2 )
2 x
2 y
2 P
测量上把
2 P
定义为“点位方差”，并把
测量平差基础课件——误差椭圆
tg2 0
2Q xy (Qxx Q yy )
2020/6/11
确定极值方 向的公式
两个根：2 0 和 20 180 即，使Q 取得极值的方 向值为 0 和 0 90 ，其 中一个为极大值方向， 另一个为极小值方向。 那么，哪个是极大值方 向？哪个是极小值方向 呢？下面作进一步的推 证：
9
§6-2 点位ห้องสมุดไป่ตู้差
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1.极值方向的确定
总之：
tg2 0
2Q xy (Qxx Q yy )
两个根： 2 0
20 180
两个极值方向：0 0 90
当 当Qxy 0 ： 极大值方向 E 在一、
三象限，极小值在二、四象限。
当 当Qxy 0 ： 极大值方向 F 在一、
三象限，极小值在二、四象限。
2 P
02(Qxx
Qyy)
02(
1 Px
1 )
Py
P 0
Qxx Qyy 0
11 Px Py
Qx1 y1
Qx1 x2
Qx1 y2
Qx1 xk
Q x1
yk
Q y1 y1 Qx2 y1 Q y2 y1
Q y1 x2 Qx2 x2 Q y2 x2
Q y1 y2 Qx2 y2 Q y2 y2
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1.极值方向的确定
cos2
0
1
cos 20
2
,
sin2
0
1
cos 20
2
或
Q
(Qxx
1 cos 20 2
Qyy
1 cos 20 2
Qxy sin20 )
误差理论与平差基础_第10章_误差椭圆
一．点位中误差 二．点位误差的计算 三．误差曲线 四．误差椭圆
一、点位中误差
控制点的平面位置是用一对平 面直角坐标来确定的。坐标是 由观测值的平差值计算所得的， 因此不可避免地带有误差。
x
A
O
Dy P¢(x, y) Du
Dx DP Ds
P(x, y)
y
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度； 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大 小来评定； 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而不是真值！
Qxy Qyy
c s
os in
Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
Dx
j
P
P¢¢ Dj
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
+
Qxy
sin
2jùû
坐标方位角
P¢
P¢¢¢
y
二、点位任意方向的位差
x
与 j 垂直方向的位差如何求？
Q
=
æ èç
2 0.5
0.5 3
öø÷(dm2 / ('')2 )
单位权方差 0 0.5''
待定点P点到已知点A的距离为6.45km，方位角为45°，求P 点在AP方向的纵向误差和横向误差及AP边的边长相对中误 差。
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
测量平差学习情境6 误差椭圆
教学内容 主要介绍点位真误差和点位误差、任意方向上 的位差、待定点的误差曲线与误差椭圆以及点与点
能正确陈述点位真误差和点位误差及其计算方 法；能正确陈述任意方向上的位差及其位差的极值； 能正确陈述误差曲线和误差椭圆；能基本正确陈述 相对误差椭圆。
1
技能目标 能正确计算点在任意方向上的位差，能正确计 算位差的极值方向和极值；能正确绘制误差曲线和 误差椭圆，能根据误差椭圆求点在任意方向上的位 差，能计算点与点之间的相对误差椭圆参数并绘制 相对误差椭圆。
13
2. 点位任意方向上的位差σψ：从椭圆的中心作 方向线，然后再作该方向线的垂线（要与椭圆上一 点相切），则垂足到椭圆中心的长度便是点位在该 方向上的位差（见图6-8），图中线段OD的长度就 等于该方向上的位差，即σψ=OD
图6-8
14
子情境3 相对误差椭圆 一、两点之间相对位置的精度 1.相对位置的表示 两点相对位置可用其两点的坐标差来表示,即 用矩阵表达为
11
②确定点位中误差。 ③待定点P至任意已知三角点（视其无误差）的边 长中误差。 ④待定点P至任意已知三角点（视其无误差）的方 位角中误差。
12
误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便， 因此降低了它的实用价值。但其形状与以E、F为 长、短半轴的椭圆很相似。在以xe、ye为坐标轴 的坐标系中，该椭圆的方程为 1.误差椭圆的绘制 误差椭圆是一种规则图形,作图比较容易。因 此，实际应用中常以E、F为长、短半轴来绘制标 准的椭圆来代替相应的误差曲线，用来计算待定点 在各方向上的位差，故称该椭圆为误差椭圆。
3
子情境1 点位真误差及点位误差 一、点位真误差 在测量工作中，通过野外所进行的一系列的观 测，然后对观测数据进行平差处理便可得到点的平 面坐标平差值(x^，y^）。 但是，观测值总是带有观测误差的，而由观测 值所计算的平差值虽然较观测值更合理、可靠，但 是，它是不可能消除误差的，即待定点坐标的平差 值(x^,y^），不是待定点坐标的真值(x，y)，这两 者之间是有差异的。
误差椭圆的定义
误差椭圆的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊误差椭圆呀！你说这误差椭圆，就好像是个调皮的小精灵，在测量的世界里蹦来蹦去。
想象一下哈，我们在测量一个东西的时候，就像是在黑暗中摸索，总会有些许偏差，而这个误差椭圆呢，就是把这些偏差给圈起来，告诉我们大致的范围。
它可不是随随便便就出现的，那是经过一番计算和琢磨才现身的呢！比如说我们要确定一个点的位置吧，实际测出来的可能就不是那么精准，会有这儿一点儿偏差，那儿一点儿偏差。
这时候误差椭圆就跳出来啦，说：“嘿，别担心，这个点大概就在我圈的这个范围里哦！”是不是很神奇？它就像是给我们测量结果加上了一个边界，让我们心里有个底。
就好比你要去一个地方，有人告诉你大概就在这一片儿，总比啥都不知道好吧！而且啊，误差椭圆还挺有个性的呢！它的大小和形状会根据不同的情况而变化。
有时候它扁扁的，有时候又圆圆的，就像个会变形的小怪物。
这可都是根据测量的数据来决定的呀！咱再打个比方，误差椭圆就像是一个神秘的领地，我们知道它的大致范围，但里面具体的情况还得我们去慢慢探索。
这探索的过程可有意思了，每一次测量都像是在给这个领地绘制更详细的地图。
你说要是没有误差椭圆，那我们测量出来的东西不就像没头苍蝇一样，不知道到底准不准确啦？它可是给我们指明了一个方向，让我们能更好地理解和处理测量的结果。
在实际应用中，误差椭圆可重要了呢！比如在建筑工地上，工程师们得靠它来确保建筑物的位置准确无误；在地图绘制中，它能帮助绘制出更精确的地图。
没有它，那可真是乱了套了呀！总之呢，误差椭圆这个小家伙虽然有时候让人有点头疼，但它确实是我们测量工作中不可或缺的好帮手呀！它让我们在面对不确定性的时候，能有个大概的把握，不至于两眼一抹黑。
所以啊，咱可得好好认识它、了解它，让它为我们的工作和生活发挥更大的作用呀！你们说是不是这个理儿呢？。
测量平差---误差椭圆
( )
2 1
tan 2ϕ0 =
2Qxy ˆˆ Qx −Qy ˆ ˆ
=
2×0.36 = 0.81818 3.81−2.93
13 /40
2 ϕ0 =39°17′或219°17′, ° 或 ° ϕ0=19°39′或109°39′ ° 或 °
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误差椭圆
ˆˆ 因为 Qxy > 0 故 ，
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
tan 2ϕ0 =
2Qxy Qx −Qy
2 2 σϕ =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy sin 2ϕ0 )
2 =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy ⋅
极值方向的判别方法: 极值方向的判别方法 Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、 极小值方向在第Ⅱ ，极大值在第Ⅰ 8 /40 Qxy，极大值在第Ⅱ 象限， 象限； ＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在 Ⅳ象限； 象限。 第Ⅰ、Ⅲ象限。
______
= cosϕ∆x + sin ϕ∆y
∆x ∆x = [cosϕ sin ϕ] ∆y
由协方差传播律得: 由协方差传播律得 或
2 2 2 σϕ =σx cos2 ϕ +σy sin 2 ϕ +σxy sin 2ϕ 2 2 σϕ =σ0 Q ϕ
7 /40
2 =σ0 Qx cos2 ϕ +Qy sin 2 ϕ +Qxy sin 2ϕ
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2 2 2 2 2 σP =σx +σ y =σs +σu ―点位方差计算式
误差椭圆
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利用Excel绘制误差椭圆的方法
测量方法利用Exce l 绘制误差椭圆的方法王 永1,泥立丽2,钟来星1(11山东科技大学资源与土木工程系,山东泰安 271019;21泰山学院数学与系统科学系,山东泰安 271000)摘要:在测量平差课程中,误差椭圆是非常重要的一部分内容。
Excel 是W indows 操作系统的一个常用的办公软件,具有强大的数据计算和处理功能,而且可以实现数据的可视化。
文中借助于Excel 的强大功能,生成了误差椭圆,结果表明该方法具有操作简单、清晰直观,令人满意。
关键词:Excel;误差椭圆;坐标转换;特征点中图分类号:P209 文献标识码:B 文章编号:1001-358X (2008)05-0049-03 在测量平差课程中,误差椭圆是非常重要的一部分内容,在工程测量中,常常需要用它来评定待定点的点位精度,了解待定点点位在哪一个方向上的位差最大,在哪一个方向上的位差最小。
通过误差椭圆还可以求得待定点在任意方向上的位差,可以较精确、形象且全面地反映待定点点位在各个方向上误差的分布情况[1,3]。
Excel 是W indows 操作系统的一个常用的办公软件,能进行复杂的数据计算和处理,而且还具有强大的制图功能[2]。
本文中笔者借助于Excel 的强大功能,绘制了误差椭圆图。
1 绘制误差椭圆的基本思路利用Excel 绘制误差椭圆时,基本思路如下:(1)已知数据包括:已知的三角点坐标、位差极大值E 、极小值F 、极大值方向T 或φE 、误差椭圆的中心点(即待定点)P (Xp,Yp );(2)(参考文献7)如图1所示,以极值方向为坐标轴建立直角坐标系EPF,从E 轴正方向开始,每隔30度在椭圆上取特征点,依次记为0,1,……,11;仍以P 点为坐标原点建立坐标系XPY,则E 轴在坐标系XPY 中的坐标方位角为φE ,特征点0,1,……,11在新坐标系中的坐标也发生了变化,然后依据坐标转换公式X P (i )=x 0+E cos (i ・t )cosT -F sin (i ・t )sin TY P (i )=y 0+E co s (i ・t )sin T +F sin (i ・t )cos T (式中:i =0,1,…,n -1,t =(360/n )°),求出它们在坐标系XPY 的坐标,然后依次连接即得待定点的点位误差椭圆。
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2P 2S 2u
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误差椭圆
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2.点位方差及其计算
由方差的定义式可得：
1 2 3
x2＝E（x－Ex）2 ＝E（x－~x）2 ＝E（~x－x）2 E（x2） y2＝E（y－Ey）2 ＝E（y－~y）2 ＝E（~y－y）2 E（ y2）
4 故有 5
E（
P
第Ⅰ、Ⅲ象限。
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误四差、椭 圆位差的极大值和极小值的计黑龙算江工程学院
用 E表示极大值方向、F e 900表示极小值方向；
用E、F分别表示位差的极大值和极小值。则有
1
E2
2 0
(Qx
cos2 E
Qy
sin 2 E
Qxy
sin
2 E )
2 3
F2
2 0
(Qx
cos2 F
Qy
sin 2 F
cos2
2 X
cos2 E
2 Y
sin
2 E
XY
Qxy
sin
2 F )
4 5
把
0
代入位差计算式得
6 7 8
2 0
2 0
(Qx
cos 2
0
Qy
sin
2
0
Qxy
sin
20 )
2 0
(Qx
1 cos 20
2
Qy
1 cos 20
2
Qxy
sin
20 )
9
10
2 0
2
Qx Qy Qx Qy cos 20 2Qxy sin 20
2 0
3 4 5
P′：P点平差值的点位位置,
其坐标值为 x, y
6 7 8
ΔP： P点的点位真误差, Δx、Δy：坐标真位差
9
ΔS：P点真位差在AP方向
10
的投影，称为纵向误差。
Δu：P点真位差在垂直于 AP方向上的投影，称为横向误差。
5 /4 0
如图可得： 2P 2X 2Y ,
无法求得（为什么?）。
E XY
sin 2
2E
2 X
cos 2
cos2
E
sin
2
sin
2
E
1 2
sin
2
sin
2 E
2 Y
sin
2
cos2
E
cos 2
sin
2
E
1 2
sin
2
sin
2 E
XY sin 2 cos 2E cos2 sin 2E sin 2 sin 2E
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误差椭圆
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2 0
(Qx
Qy )
K
2 有下面关系:
2 P
E2
F2
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误五差、椭 圆用E、F表示的任意方向Ψ上黑龙的江位工差程学院
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11 /4 0
由图可知,任意方向在 两个坐标系中的方位角有 如下关系:
E
把
E
代入
位差计算式得:
2
2
2 X
cos2
E
2 Y
sin 2
定P点在哪一个方向上的精度最好（最差）。
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二、P点在任意方向φ上的位差
1
由图可得下列关系式:
2
______ ______ ______
3
PP PP PP
4 5
cosx sin y
6
7
8
9
10
由协方差传播律得:
cos sin yx
2
2 x
cos2
2 y
sin
2
2
d
d
d
02Qx
cos2
02Qy
sin
2
Q 2
0 xy
sin
2
2
02Qx
cos
sin
2
02Qy
sin
cos
2
Q 2
0 xy
cos
2
4
02Qx
sin
2
02Qy
sin
2
2
Q 2
0 xy
cos
2
5 6 7 8 9
10
2 0
(Qx
Qy
) sin
2
2
Q 2
0 xy
cos 2
设位差的极值方向为
0
,
2）＝E（
x
2）＋E（
y
2）＝
x2＋
2 y
6 7 8
同理有：
E（
P
2）＝E（
s
2）＋E（u
2）＝
S2＋
2 u
记 p2＝E（ P 2），则有：
9
10
2 P
2 x
2 y
2 s
2 u
―点位方差计算式
上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关, 即与坐标
系的选择无关。
6 /4 0
用点位方差衡量P点精度的缺陷： 不能完善说明P点在任一个方向上的精度情况，不能确
1 2
2 0
Qx
Qy
Qxy
1
Qx Qy 2Qxy 2
2
令
1 2
2 0
Qx Qy
Qx Qy 2 4Qx2y
K Qx Qy 2 4Qx2y
10 代入上式, 得
E 2
1 2
2 0
(Qx
Qy ) K
10 /4 0
F 2 P
与
E2
、
F2
1 2
2 /4 0
退出
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误差椭圆
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第一节 概述
1 2
第二节 点位误差
3
4 5
授课目的要求：明确点位中误差、位差和位
6 差的极值等概念，掌握其计算方法 。
7
8 9
重 点、难 点: 位差及其极值的计算方法 。
10
3 /4 0
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本次课主要内容：
1 2
一、点位误差概念及点位误差的计算
xy
sin
2
或
7 /4 0
2
2 0
Q
2 0
Qx
cos 2
Qy
sin
2
Qxy
sin
2
上式即为求任意方位角φ方向上点位方差的计算公式。
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三、误 差位椭差圆 极值方向的确定
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由位差计算式可以看出, P 随着φ值的变化而改变，
具有最大值和最小值。其一阶导数等于零，即
1 2 3
d
误差椭圆
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
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介绍点位位差、误差曲 线、误差椭圆和相对误差椭圆 的概念，误差曲线与误差椭圆 的关系，误差椭圆三要素和点 位在任意方向上位差的计算方 法。
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1
本章主要内容
2
3
4
5
概述、点位误差
6
7 8
误差曲线
9
10
误差椭圆和相对误差椭圆
2
Qx
Qy
2Qxy
tan 20
cos
20
2Qxy
sin
20
9 /4 0
1
2
2 0
Qx
Qy
2Qxy
sin 2
0
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1
1 2
2 0
Qx Qy
2Qxy csc 20
1 2
2 0
Qx Qy Qxy
1 cot2 20
2 3 4 5 6 7 8 9
则有
将 0代入位差计算式得:
tan
20
2Qxy Qx Qy
2 0
2 0
(Qx
cos 2
0
Qy sin
2 0
(Qx
cos2
0
Qy
sin
2
极值方向的判别方法:
2 0
0
Qxy
Qxy
2 1
sin
tan
tan
20
0 2 0
)
8 /4
Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、
0 Ⅳ象限； ＜Q0xy，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在
3 4
二、P点在任意方向φ上的位差5 6来自三、 位差极值方向的确定
7 8
四、位差的极大值和极小值的计算
9
10
五、用E、F表示的任意方向Ψ上的位差
六、应用实例
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一、点位误差概念及点位误差的计算
1
1. 点位真误差
2
左图中 P：P点的点位真位置, 其
坐标值为 ~x , ~y