(完整版)函数的单调性导学案
函数的单调性与导数导学案
函数的单调性与导数导学案课题函数的单调性与导数学习目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
学习重点 探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
学习难点 探索函数的单调性与导数的关系。
教学方法问题启发式学生学习过程师生合作探究复习 1：导数的几何意义 复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法（图像法，定义法）问题提出：判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？探究任务一：函数单调性与其导数的关系：问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像。
通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最尝试用图像和定义去解决。
【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地， 。
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地， 。
高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗?问题2：结合函数x y =，2x y =，3x y =，xy 1=，观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？探究任务二：()0'=x f 与函数单调性的关系： 问题5：若函数()x f 的导数()0'=x f ，那么()x f 会是一个什么函数呢？问题6：在区间()b a ,上()0'≥x f ，则函数()x f 区间()b a ,必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由。
高中数学选择性必修二 5 3 1函数的单调性 导学案
5.3.1函数的单调性(1) 导学案1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。
重点：理解函数的单调性与导数的正负之间的关系难点：运用导数判断函数的单调性函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：f ′(x)的正负 f (x)的单调性f ′(x)＞0单调递____f ′(x)＜0单调递____增；减1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．()一、 新知探究在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。
在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。
问题1: 判断函数单调性的方法有哪些?1.定义法：2.图像法：3.性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减4.导数法问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h 随时间变化的函数 h(t)=-4.9t 2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t 的变化的函数v(t)= ℎ′(t)=-9.8t+4.8的图象，a =2449,b 是函数h(t)的零点。
运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？观察图像可以发现（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h 随时间t 的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与ℎ′(t)的正负有内在联系，那么，我们能否由ℎ′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？对于高台跳水问题，可以发现：当tϵ(0,a) 时，ℎ′(t )>0,函数的图像是“上升”的，h(t)函数在(0,a)上单调递增；当tϵ(a,b) 时，ℎ′(t )<0,函数的图像是“下降”的，h(t)函数在(a,b)上单调递减。
函数的单调性(导学案)
§4函数的单调性预习案一、学习目标1，能够根据函数图像找出函数的单调区间。
2，理解并掌握函数的单调性及几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤。
3，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。
二.学习重点：进一步掌握函数单调性的定义，证明方法，步骤。
三.学习难点：增函数，减函数形式化定义的形成。
四.知识链接：根据函数图像的变化趋势，我们能够形象的看出函数图像在某个区间内是上升的还是下降的。
自主学习案1.根据教材第36页的思考交流的函数图像（即图2-16），试判断其在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的？2.函数的单调区间与函数的定义域有什么关系？3.单调性的定义：一般地，对于函数)(x f y =的定义域内的一个子集A 如果对于任意两个数A x x ∈21,,当___________时，都有_____________，就称函)(x f y =数在数集A 上是增加的。
当___________时，都有_____________，就称函数)(x f y =在数集A 上是减少的。
如果函数)(x f y =在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为_____________。
（注意定义中条件和结论的双向使用.）4.利用定义判断和证明函数单调性的一般步骤：取值——_________——变形——定号——下结论5.画出函数x x f 1)(=的图像，说出)(x f 的单调区间，并指明在该区间上的单调性。
思考：如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数，能不能说这个函数在其定义域上是增（减）函数？注意：函数的单调性是一个局部概念，与区间的端点无关.但若此处无定义，区间上不能取此点.如x x f 1)(=在0=x 无定义，其单调区间就不能写成]0,(-∞和[),0+∞，又如函数2x y =，其增区间可以写作[),0+∞或).0(∞+.探究案例1.画出函数23)(+=x x f 的图像，判断其单调性，并加以证明。
函数的单调性导学案
1.3 函数的基本性质1.3.1函数的单调性（1）【目标】1、准确了解增函数、减函数的概念及其定义；2、会讨论和证明一些简单的函数的单调性； 【课程导读】（阅读课本P 27-29，完成下列问题） 1、定义域为I 的函数f (x )的增减性2、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =， （1）比较f （-1.5），f （0），f （0.99）的大小关系。
（2）写出函数()x f y =的单调区间。
3、判断(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( ) (2)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( ) (4)若对函数f (x )在R 上，有f(1)<f(2)<f(3)<···，则可以得f (x ) 在R 上单调递增。
( ) 4、函数f (x )在R 上是减函数，则有( )A ．f (3)<f (5)B ．f (3)≤f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)5、函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ）A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f > C ．)()(21x f x f = D ．无法确定 【方法导练】探究一 求函数单调区间例1、作出下列函数的图象并写出其单调区间。
⎩⎨⎧<+-≥+===+-=+=)0(1)0(1)5(1)4()3(22)2(1)1(222x x x x y xy xy x y x y跟踪训练1、(1)下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ).A ．32y x =-+B ． 3y x=C ． 245y x x =-+D ． 23810y x x =+- (2)函数2610y x x =--+，]5,5[-∈x 的单调增区间是__________，单调减区间__________(3)函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是________，单调递减区间是________． (4)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是 ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.【课后训练】1、函数y ＝x 2－6x 的减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3] 2、下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )A ．y ＝3－xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|3、函数y ＝|x ＋2|在区间[－3，0]上( )A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减 4、函数y ＝2x －3的单调增区间是( )A ．(－∞，－3] B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．(－∞，1) D ．[－1，＋∞)5、如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4，7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．6、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．7、作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x ＞1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．8、画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．9、已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0 10、函数y ＝－|x |在[a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是________．探究二 利用定义证明函数单调性例2、证明函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．变式、若本例的函数不变，试判断f (x )在(0，2)上的单调性．跟踪训练2（1）求证：f (x)＝2－xx ＋1在(－1，＋∞)上为减函数（2）求证：y= -x 2+2x 在]3,1[∈x 单调递减（3）求证：1)(3+=x x f 在R 上是增函数（4）证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．。
高中数学《函数的单调性 》导学案
1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性1．增减函数定义2．函数单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么说函数f(x)在这一区间上具有(严格的)□6单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的□7单调区间．3．基本初等函数的单调性1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．()(3)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)<f(4)．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P32T1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事物吻合得最好的图象是()(2)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示，①从左至右图象是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(3)已知函数f(x)＝－2x＋1的图象如图2所示，①从左至右图象是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.答案(1)C(2)①上升的②(－∞，＋∞)增大增函数(3)①下降的②(－∞，＋∞)减小减函数『释疑解难』(1)并非所有的函数都具有单调性．如函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域为R ，但不具有单调性．(2)函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y ＝1x (x ≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接，如函数y ＝1x (x ≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y ＝1x (x ≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(4)函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D 而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不包括这些点．探究1 证明或判断函数的单调性例1 证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2. ∵2<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．拓展提升定义法证明单调性的步骤判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断(或运用)函数的单调性的步骤为：【跟踪训练1】 利用单调性的定义判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解 设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1). ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 探究2 求单调区间并判断单调性例2 (1)求函数y ＝|x 2＋2x －3|的增区间与减区间；(2)作出函数f (x )＝x 2－6x ＋9＋x 2＋6x ＋9的图象，并指出其单调区间．解 (1)令f (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.作出f (x )的图象，保留其在x 轴上及其上方部分，将位于x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，得到y ＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象，得原函数的增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，减区间是(－∞，－3]和[－1,1]．(2)函数f (x )可化为：f (x )＝|x －3|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－3，6，－3<x ≤3，2x ，x >3.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．其中，单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋∞)． 拓展提升常用画图象求单调区间(1)对于初等函数⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝k x 单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出．(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)．(3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域．【跟踪训练2】 (1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．解 (1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．(2)先画出f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图． 所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 探究3 函数单调性的应用例3 (1)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围；(2)已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23.即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23. (2)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2，∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]．又∵已知f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴1－a ≥4，即a ≤－3.∴所求实数a 的取值范围是(－∞，－3]．拓展提升利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．(2)相关结论①正向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)；当x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)；②逆向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)<f (x 2)时，x 1<x 2；当f (x 1)>f (x 2)时，x 1>x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．【跟踪训练3】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，试比较f (1)，f (2)，f (4)的大小；(2)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．解 (1)由题意知f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2，故f (1)＝f (3)．由题意知f (x )在[2，＋∞)上是增函数，所以f (2)<f (3)<f (4)，即f (2)<f (1)<f (4)．(2)由题意，得⎩⎨⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.① 因为f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，所以x －2<1－x ，解得x <32，②由①②得1≤x ＜32. 所以满足题设条件的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.1.若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减.2.对增函数的判断，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0. 对减函数的判断，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0. 3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较.1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 答案 C解析 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k ＞12 B ．k ＜12 C ．k ＞－12 D ．k ＜－12答案 D解析 当2k ＋1＝0时，不符合题意，∴2k ＋1≠0，由一次函数的单调性可知2k ＋1＜0，即k ＜－12.3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案 C解析 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.4．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 设1<x 1<x 2，则x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为x 1x 2>1，即－x 1x 2<－1，所以a ≥－1， 故实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．解 f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 证明如下：任取x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，由x 1>x 2>0知x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．A 级：基础巩固练一、选择题1．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )A ．一定是增函数B ．一定是减函数C ．可能是常数函数D ．单调性不能确定答案 D解析 由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1x D ．y ＝－x 2＋4答案 A解析 B 在R 上为减函数；C 在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D 在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．3．若y ＝f (x )是R 上的减函数，对于x 1<0，x 2>0，则( ) A ．f (－x 1)>f (－x 2) B ．f (－x 1)<f (－x 2) C ．f (－x 1)＝f (－x 2) D ．无法确定答案 B解析 因为x 1<0，x 2>0，所以－x 1>－x 2，又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以f (－x 1)<f (－x 2)．4．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．(－∞，＋∞)答案 C解析 y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，其对称轴为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴当x ≤－12时单调递减．5．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a ，b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( )A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) 答案 A解析 因为f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a ，b ∈R, 且a ＋b ≤0，所以a ≤－b ，b ≤－a ，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．二、填空题6．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≤－3解析 因为函数f (x )在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，所以1－a ≥4，即a ≤－3.7．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是______．答案 f (－3)>f (－π)解析 由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可知函数f (x )为增函数．又－3>－π，所以f (－3)>f (－π)．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2ax ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．答案(0,2]解析依题意得实数a应满足⎩⎪⎨⎪⎧a－3<0，2a>0，(a－3)＋5≥2a，解得0<a≤2.三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x2，x∈[－1，2]，x－3，x∈(2，5]，(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间及值域．解(1)f(x)的图象如下图．(2)函数f(x)在[－1,0]及[2,5]上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以单调递增区间为[－1,0]和[2,5]．由图象知值域为[－1,3]．B级：能力提升练10．函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f⎝⎛⎭⎪⎫xy＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f⎝⎛⎭⎪⎫1x－3≤2.解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，即f (x 2－x 1)>1.所以f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )是R 上的增函数．(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，所以f (y )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )．在上式中取x ＝4，y ＝2，则有f (2)＋f (2)＝f (4)， 因为f (2)＝1，所以f (4)＝2.于是不等式f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －3≤2可变形为f [x (x －3)]≤f (4)．又由(1)，知f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎨⎧x (x －3)≤4，x －3≠0，解得－1≤x <3或3<x ≤4，所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]．。
《导数与函数的单调性》 导学案
《导数与函数的单调性》导学案一、学习目标1、理解导数的概念，掌握导数的几何意义。
2、掌握利用导数判断函数单调性的方法。
3、能够运用导数求函数的单调区间。
二、学习重难点1、重点（1）导数的定义及几何意义。
（2）利用导数判断函数的单调性。
2、难点（1）导数概念的理解。
（2）导数与函数单调性的关系的推导。
三、知识回顾1、函数单调性的定义设函数\（f(x)＼）的定义域为\（I\），如果对于定义域\（I\）内某个区间\（D\）上的任意两个自变量的值\（x_1\），＼（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼）（或\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼）），那么就说函数\（f(x)＼）在区间\（D\）上是增函数（或减函数）。
2、常见函数的单调性（1）一次函数\（y ＝ kx ＋ b\）（＼（k ≠ 0\）），当\（k ＞ 0\）时，函数在\（R\）上是增函数；当\（k ＜ 0\）时，函数在\（R\）上是减函数。
（2）二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ≠ 0\）），当\（a ＞ 0\）时，函数在\（＼left(＼infty, ＼dfrac{b}｛2a}＼right\）上是减函数，在\（＼left\dfrac{b}｛2a}，＋＼infty\right)＼）上是增函数；当\（a ＜ 0\）时，函数在\（＼left(＼infty, ＼dfrac{b}｛2a}＼right\）上是增函数，在\（＼left\dfrac{b}｛2a}，＋＼infty\right)＼）上是减函数。
四、新课导入在前面的学习中，我们主要通过函数的定义和图象来研究函数的单调性。
但是，这种方法对于一些复杂的函数来说，可能不太直观和方便。
那么，有没有一种更有效的方法来判断函数的单调性呢？这就是我们今天要学习的利用导数来研究函数的单调性。
五、导数的概念1、定义设函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处及其附近有定义，如果\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）与\（＼Delta x\）的比值\（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼dfrac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）当\（＼Delta x ＼to 0\）时的极限存在，那么这个极限值称为函数\（y ＝f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）或\（y'｜＿{x ＝ x_0}＼）。
函数的单调性导学案
《3.2.1函数的单调性》
一、学习目标
1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性．
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
1.函数y ＝1x －1
的单调递减区间是________． 2.函数y=x 2-2x 和y=x 2-2│x │的单调区间分别是
3.知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为_____ ___．
4.若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是_____ ___．
5．函数y ＝6x
的减区间是( ) A ．[0，＋∞)
B ．(－∞，0]
C ．(－∞，0)，(0，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
6．函数f (x )在R 上是减函数，则有( )
A ．f (3)<f (5)
B ．f (3)≤f (5)
C ．f (3)>f (5)
D ．f (3)≥f (5)
7．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )
A ．递减
B ．递增
C ．先减后增
D ．先增后减
8.函数f(x)=2x 2-mx+3，当x ∊[2,+∞）时是增函数，当x x ∊(-∞，2]时是减函数，则f(1)= .
四、堂清、日清记录
今日之事今日毕 日积月累成大器。
函数的单调性导学案
1.3.1 单调性与最大（小）值第1课时 函数的单调性学习目标：1、记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2、会用函数的单调性解答有关问题；3、记住常见函数的单调性学习重难点：重点：函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性；函数单调性的证明；难点：函数的单调性定义的理解和函数单调性的证明知识清单：课前预习（15分钟）阅读教材P 27-28完成下面填空知识点一 增函数和减函数的定义设函数)(x f y =的定义域为I如果对于定义域I 内某个区间D 上的 1x ，2x ，当时，21x x <都有 ，那么就说)(x f y =在区间D 上是增函数。
如果对于定义域I 内某个区间D 上的 1x ，2x ，当21x x <时，都有 ，那么就说)(x f y =在区间D 上是减函数。
知识点二 函数的单调性与单调区间如果函数)(x f y =在区间D 上是 ，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间知识点三 常见函数的单调性1、设一次函数的解析式为)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数b kx y +=在R 上是 ；当0<k 时，函数b kx y +=在R 上是 。
2、设二次函数的解析式为)0(2≠++=a c bb ax y ，若0>a 时，则函数在 上是增函数，在 上是减函数；若0<a 时，则函数在 上是增函数，在 上是减函数。
3、设反比例函数的解析式为)0(≠=k x ky ，若0>k ，则函数x k y =在4、 上是减函数，在 上也是减函数；若0<k ，则函数x k y =在上是增函数，在 上也是增函数。
新知探究一、导(2分钟)观察生活中数据变化情况，用函数观点看待这些数据的变化，其实也就是随着函数自变量的变化，函数值是变大还是变小。
二、交(3分钟) 观察函数212,2,,y x y x y x y x=+=-+==的图象，随自变量增大时，函数值有什么变化规律？三、议(15分钟)思考1：从图像上我们根据什么来判断它是在增大还是在减小呢？思考2：能不能从解析式得到其变化趋势呢？观察一下这个二次函数2+=x y 的图像，你能不能从数量关系上来刻画出这段图像处于上升趋势呢？思考3：在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”思考4：函数的单调区间与定义域是什么关系？思考5：函数22+-=x x y 的单调区间如何划分？思考6：如何判断函数的单调性？四、展(3分钟)五、评(4分钟)六、用(10分钟)A 例1 如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数？32 ()y f x =-4 21 54 3 1 -1-2 -1-5 -3 -2 o xB 例2 已知)(x f 是定义在]1,1[-上的 增函数，且)1()2(x f x f -<-求x 得取值范围C 例3 证明函数x x y 9+=在]3,0(上递减C 例4 讨论函数)0()(>+=k xk x x f 的单调性七、结(3分钟)课后作业(20分钟)(红对勾97页) A 1．下列命题正确的是( )A ．函数y ＝kx (k 为常数，且k <0)在R 上是增函数B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数C ．函数y ＝1x 在定义域内是减函数D ．y ＝1x 在(－∞，0)上是减函数A 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 A 3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12A 4．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10A 5．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )二、填空题A 6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是______．B7．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)等于________．B 8．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围为________．三、解答题B 9．证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．B2 10、函数322+--=x x y 的单调区间C 11、已知函数]3,1[,4)(∈+=x xx x f ，判断)(x f 在[1,2]和[2,3]上的单调性。
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1-10函数的单调性
班级：姓名：
一导学案
1．理解函数单调性概念；
2
2
1.
(1)f(x)=x的图像
(2)f(x)=x2的图像在y轴的左侧，在y轴的右侧。
(3)图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质：。
2.以二次函数f(x)=x2为例，结合其图像和下表，发现：
（1
f(x1）上是（2
f(x1
2．单调减函数的定义（如图⑤）
3.单调区间
例1.
x
⑥
例2. 例3.下列说法正确的是（）
A ． 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在21x x <时，有)()(21x f x f <，那么)(x f 在)
,(b a 上是增函数
B ． 定义在),(b a 上的函数)(x f ,若有无穷多对21,x x ∈),(b a 使得21x x <时，有
)()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上是增函数
C.若函数)(x f 在区间1I 上是增函数，在区间2I 上是增函数,那么)(x f 在21I I ⋃上也一定
为增函数
D ．若函数)(x f 在区间I 上是增函数且)()(21x f x f <（21,x x ∈I ），那么21x x <
例4.画出反比例函数x
y 1=的图像。
（1）求函数的定义域.I （2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
1.设(x f 上递
2.
3． 探究一次函数)(R x b mx y ∈+=的单调性，并证明你的结论。
4.证明：
（1）函数1)(2+=x x f 在)0,(-∞上是减函数。
（2）函数x
x f 11)(-=在)0,(-∞上是增数。
四．课外作业
非常学案活页作业P69页第1课时。
五．课堂小结
知识：
方法：
12x =++设122x x -<<，则
2121(2)(2)0,0x x x x -->->
∴21()()f x f x -
211221121222
()
(12)
(2)(2)a a x x x x a x x --=----=--- ∵
1221()0(2)(2)x x x x -<-- 当12
a <时，21()()f x f x <，此时函数21)(++=x ax x f 21(≠a 在),2(+∞-上是单调减函数； 当1
a >()()f x f x >1
)(+=ax x f )1
(≠a ),2(+∞-。