同济大学数值分析工研试卷B卷

同济大学课程考核试卷(B卷开卷)

同济大学课程考核试卷（B 卷开卷）2007— 2008学年第一学期命题教师签名：岳继光审核教师签名：课号：102214课名：传感器与检测技术考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷年级专业学号姓名得分（20分）运动参数测试系统采用应变计测量压力。

为校准传感器，在同一工作条件下，按同一方向在全测量范围0—200kP 内对此传感器做了20次测试，发现所得输入输出特性曲线具有一定的不一致性。

经系统维修并调整成电压输出后，可得传感器方程为：4220810 1.210dVV F dt+⨯=⨯（1）简述这种现象反映了此传感器的什么性能，如何表示。

（5分）解：重复性。

反映了结果偶然误差的大小。

（2分）%10032⨯-±=FSY σσδ1)(12--=∑=n Y Y ni iσ （3）（2）求此传感器系统时间常数和静态灵敏度。

（5分）解：a0=80×104 a1= 20,b0=1.24×102 τ= a1/ a0=20 /80×104 =2.5×10-3 (s) , (2分)K= b0/ a0=1.2×102/80×104=1.5×10-3 (2分)（3）此时重新检验测试出其最大误差为ΔFmax=0.8kP ，试判断其精度等级。

（5分）解：%100⨯∆±=FSY AA ＝0.8/200×100% = 0.4%. 属0.5级。

（4）简述“应变效应”金属电阻的相对变化与金属应变之间存在比例关系称为金属的电阻应变效应。

金属丝的应变灵敏系数物理意义为单位应变引起的电阻相对变化。

二、（10分）如图1所示圆柱形钢材试件沿轴向和径向各贴一片 R=240Ω的金属应变片，另两片接入等臂差动电桥制成测力传感器。

已知钢材µ=0.285, 应变片灵敏度系数K=2, 桥路电源电压为6V(DC)。

同济大学高数B期末考试题

同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=)1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0,'dx y dy y ≠=, 则223"'d x y dyy =-.2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1)tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩所确定的函数的导数32t dydx ==.3. 极限111lim()ln 212n n n n n→∞+++=+++L .4. 微分方程22"5'6sin xy y y xex -++=+的特解形式为(不需确定系数)2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E-++++.二．选择题(4'416'⨯=) 5. 设函数sin ()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥<6. 曲线1ln(1)x y e x-=++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x +→时的无穷小量2sin ,,(1)xx t tdt tdt e dt αβγ===-⎰⎰排列起来, 使得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20()(0)0,lim2x f x f x→==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.三. 解答题(7'428'⨯=) 9. 求极限30sin sin(sin )limx x x x →-, [30sin 1lim 6t t t t →-==]10. 计算定积分24tan sec x x xdx π⎰[224400111(tan )(sec 1)28242xd x x dx ππππ==--=-⎰⎰]11. 计算反常积分221arctan (1)xdx x x +∞+⎰[2212210111113()arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232xdx xd x x x x ππ+∞+∞+∞=-=--=+++⎰⎰] 12. 试求微分方程221(1)dy y x y dx x+=-的通解[221111()'()1(ln )2x x x x c y x y y -=-⇒=-+]四. (8')求曲线ln y x =上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小.[312222221(1)(1)(21)1(0)'(ln 2)22x x x R x R K x x ++-==>⇒=⇒-] 五. (8')设不定积分n n I =,(1)计算01,I I ; (2)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n =L 的递推公式[(1)01arcsin ,I x c I =+=[(2)211n n n n I I x c n n---=-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续, 且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点[,]a b ξ∈, 使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰. [minmax ()()()babaf xg x dxf fg x dx≤≤⎰⎰]七. (8')过坐标原点作曲线21(0)y x x =+≥的切线, 记该切线与此曲线及y 轴所围成的平面图形为D , 试求:(1)平面图形D 的面积; (2)平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积, [12,,32y x S V π===] 八. (8')已知22123,,x x x x x x xy xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. [212,"'2(12)xx x x y c ec e xe y y y x e -=++--=-]同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=)1. 已知极限lim ()x e f x →存在, 且函数()f x 满足: ln 1()lim ()()ex e x e x x f x f x x e e-→-=+-, 则 2lim ()1x ee f x e →=-.2. 设函数2()ln(23)f x x x =+-, 则()11(2)(1)(1)!(1)5n n nf n -=--+.3. 不定积分1tan 1(tan ln tan )sin 22x dx x x C x +=++⎰.4. 定积分sin 2sin cos 03334x xx dx ππ=+⎰.二. 选择题(4'416'⨯=)5. 曲线32331(1)31t x t t t y t ⎧=⎪⎪+≠-⎨⎪=⎪+⎩的斜渐近线方程为 [A ] :1A y x =--; :1B y x =-; :1C y x =-+; :1D y x =+. 6. 曲线22162y x x =-上点(2,0)P 处曲率K = [B ] :0A ; :16B ; 1:16C ; :4D . 7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x [C ] :A 均为奇函数; :B 均为偶函数;:C 中只一个奇函数; :D 既非奇函数也非偶函数.8. 设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆2222x y +=的周长, 则 [D ] 12:A s s π-=; 12:B s s >; 12:C s s <; 12:D s s =. 三. 解答题(4'728'⨯=)9. 求极限302cos ()13lim x x x x→+-. [2cos ln 333001(cos 1)1lim lim 36xx x x e x x x x +→→--===-]10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数, 且0()lim 2x f x x +→=, 证明()f x 在0x =处可导,并求'(0)f . [00()(0)()(0)(0)0,lim lim 2'(0)00x x f x f f x f f f x x +-→→--====--] 11. 求定积分21[]max{1,}x x e dx --⎰, 其中[]x 表示不超过x 的最大整数.[0121102x I e dx dx dx e --=-++=-⎰⎰⎰]12. 判定反常积分2ln 1e x dx x +∞-⎰的收敛性, 如果收敛, 求出其值.[21ln 111(ln 1)()[]e e x I x d x x x e+∞+∞-=--=--=⎰] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限00()lim()xxx tf x t dt xf x t dt→--⎰⎰.[0()()()()1limlimlim[()()]2()()()x xxxx x x x x f u du uf u duf u duxf x f x f x f u duxf x f u duξξ→→→∞-====++⎰⎰⎰⎰⎰]五. (8')设可积函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式: ()()sin f x f x x π=-+, 且当 [0,)x π∈时()f x x =, 试求3()f x dx ππ⎰.[2322(sin )(2)2I x x dx x dx πππππππ=-++-=-⎰⎰]六. (8')设n 为正整数, 函数2lim,0()100nx n x x f x e x x -→∞⎧≠⎪=--⎨⎪=⎩, 求曲线()y f x =与直线2xy =-所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. [122202001()[()()]()1283,01x x x f x V dx x x x x πππ<⎧⎪=⇒=---=-⎨+-≥⎪+⎩⎰] 七. (8')求微分方程223(1)20dyx y xy dx-+=的通解. [22231111()'()()x x x C y y y y +=⇒=-]八. (8')令sin x t =, 化简微分方程22arcsin 2(1)x d y dyx xy e dx dx ---=, 并求其通解. [22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 122arcsin 2t x xx d y x y e y C e C e e dt -⇒-=⇒=++]同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=) 1. 极限31lim()2xx x e x →∞+=-.2. 若极限000(2)()lim3h f x h f x h→--=, 则03'()2f x =-.3.积分22216(3x x dx -+=⎰.4. 积分2cos 2cos 1sin 2xx xedx e C =-+⎰.5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为1212()x y c x c e=+.6. 记41sin I xdx ππ-=⎰, 22sin I xdx ππ-=⎰, 23I x dx ππ-=⎰, 21sin I x xdx ππ-=⎰. 则这4项积分的大小关系为 [ B ] ()A 2134I I I I >>>;()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 [ A ] 211()2A dx x +∞+⎰;()e B +∞⎰; ()sin C xdx +∞-∞⎰; 101()1D dx x -⎰ 8. 若函数23ln(1)ln 2,1()11x x f x x a x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩在1x =连续, 则常数 [ D ] ()A 23a =; ()B 23a =-; ()C 13a =-; ()D 13a =.二. 解答题(6'530'⨯=) 1.计算由曲线y =340x y -+=所围平面图形的面积.[21141)336A x dx -=-=⎰] 2. 若函数()u x 与()v x 具有n 阶导数, 试写出()()u x v x ⋅计算n 阶导数的莱布尼茨公式, 计算2xx e ⋅的10阶导数. [()()()2(10)1020[()()];()2(5)nn k k n k x x n k u x v x C u v xe e x -===+∑]3. 求函数2()(5)xf x x x e =+-的单调区间以及函数的极大与极小值.[4max min '(4)(1)(,4],[1,);[4,1];(4)7;(1)3x f x x e f e f e -=+-⇒-∞-+∞--==-Z ]]4. 计算反常积分221ln(1)x dx x +∞+⎰. [ln 22I π=+] 5. 求微分方程2"2'31,(0),'(0)73y y y y y +-===-的解. [331211233xx x x y c e c e e e --=+-=--]三. (8')在长度单位为米的坐标中, 由方程21x y =-与直线220x y --=围成的薄片铅直的浸入水中, 其中x 轴平行于水面且在水下1米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. [121(1)(221)4P g y y y dy g ρρ-=-+-+=⎰]四. (10')求积分1)x dx +⎰, [28ln 2393I π=+-]五. (10')1. 试求常数,a b , 使得函数在=201,12x x y x ax b ≤≤⎧=⎨<≤+⎩在区间[0,2]上可导; 2. 若由该曲线段绕y 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量0v 向容器均匀的注水, 试求该容器在水溢出前水深为h 时水面的上升速度.[2,1a b ==-;0220002,01()()'()''4,13(1)h v h h V h x y dy v V x h h h v h h ππππ⎧≤≤⎪⎪=⇒==⇒=⎨⎪<≤+⎪⎩⎰]六. (10')要建一个容积为14, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省.[2223f rh r ππ=+,2322281414(),'()033r h r f r r f r r r πππ+=⇒=+=⇒=L ] 七. (8')函数()f x 在0[,)x +∞上具有二阶导数, 并且"()0f x <, 对于任意0x x >, 由拉格朗日中值定理, 存在0x x ξ<<, 使得00()()'()()f x f x f x x ξ-=-. 证明ξ定义了 0(,)x +∞上的一个单调增加函数.['()f x 递减()x ξξ=唯一确定(函数); 又可证00()()f x f x x x --], 可得()x ξ递增]同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 函数()xf x xe -=的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为234411()()26f x x x x x o x =-+-+2. 2(1)x y ex -=+在1x =所对应点的曲率1025K =3. 极限lim(1ln )x aa x a a x a a a x→-=--4. 由方程222y y x x ++=所确定的函数()y y x =在(1,0)点的导数(1,0)32dydx =5. 函数()f x 在[0,)+∞上连续, 则数列极限lim ()n f n →∞存在是函数极限lim ()x f x →+∞存在的什么条件? [ B ] ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件. 6. 在区间[,]a b 上, 函数()f x 连续的充分条件是: [ B ] ()()baA f x dx ⎰存在; ()()B f x 可导; ()()C f x 具有原函数; ()()D f x 有界.7. 如果作换元2sin x t =, 则定积分222(4)f x dx -⎰等于 [ C ]40()(2cos )2cos A f t tdt π⋅⎰; 24()(2cos )2cos B f t tdt ππ⋅⎰;42()(2cos )2cos C f t tdt ππ⋅⎰; 04()(2cos )D f t dt π⎰.8. 可导函数()f x 在区间[0,1]上单调增加的充分条件是在该区间上 [ D ] 2()()(1)()x A f x e x o x ∆=-∆+∆; 1()()0B f x dx >⎰;()"()0C f x >; 4()()[1()]()D f x f x x o x ∆=+∆+∆. 二. (4'3⨯)1. 如图是函数()y f x =的图像, 试在下列空格中填入恰当的符号: 0<; 0=或0>.44()0f x dx -<⎰;44'()0f x dx -=⎰;44"()0f x dx ->⎰;44"'()0f x dx -<⎰.2. 求极限12001lim (12)x t x t dt x →+⎰ [1220lim 2(14)2xx x e →=+=]3. 计算不定积分(1)ln(1)x x dx ++⎰[2211(1)ln(1)(1)24x x x c ++-++] 三. (6'3⨯) 1. 求曲线21x x y e-=的凹凸区间与拐点的坐标. [22'(32),"4(2):(,2];:[2,)xx y ex y e x --=-=-⇒⋂-∞⋃+∞; 拐点:4(2,)e -]2. 计算反常积分21(2ln ln )edx x x x +∞+⎰. [1ln 1ln ln 322ln 2e x x +∞==+]3. 一个由曲线段24(01)y x x =≤≤绕y 轴旋转形成的容器内装满了比重为γ的均匀液体, 如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功. [48(4)43y W y dy πγπγ=-=⎰] 四. (8')试用适当的换元法求微分方程22222()2()1dy x y x dx y x -=-+的通解. [2222222arctan 21du xu y x u x u u x c dx u -=⇒+=⇒-=-+⇒+L ] 五. (8')试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间的函数未必连续. [最值定理; 介值定理; 反例略]六. (10')计算由曲线2xy e =, 该曲线经过坐标原点的切线以及y 轴所围成图形的面积, 并求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.[切线:2y ex =;切点:12x =; 1122222220023(2);[()(2)]412x x x e e A e ex dx V e ex dx ππ--=-==-=⎰⎰] 七. (10')试求微分方程22"cos y y x x +=+的通解.[221231;*cos 2sin 2;cos sin cos 226i y Ax Bx C D x E x y C x C x x x λ=±=++++=++--] 八. (10')()f x 是以T 为周期的连续函数, 若()Tf t dt A =⎰, 求极限01lim()xx f t dt x →+∞⎰.[0(0)(0)(0)1()()()()()()limlimlimTnTnT TnTn n n T T T f t dt f t dtf t dt f t dtn f t dt f t dtA n nT nT T T nθθθθθθθθθ+→∞→∞→∞≤<≤<≤<+++====+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2013-2014学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择与填空题(3'824'⨯=) 1. 极限262lim()1nn n e n -→∞-=+2. 利用定积分的几何意义，积分4-=⎰92π3. 微分方程"'120y y y +-=的通解为4312x xy C e C e -=+4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线()y f x =，我方拦截导弹的阵地位于x 轴正向2000公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为00(,)x y ，则该点满足的方程为2x =⎰5. 0{}x 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件【A 】 ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件.6. ()f x 是连续函数, 曲线段()()xaf t dt a x b ≤≤⎰的弧长s 的计算公式为【C 】()a A s =⎰; ()a B s =⎰;()aC s =⎰; ()aD s =⎰无关条件.7. 函数()f x 具有三阶连续导数，如果"()0,[,]f x x a b >∈，则下列四项积分中，积分值确定为正数的积分为【A 】 ()['()'()]ba A I fb f x dx =-⎰; ()'()baB I f x dx =⎰;()[()()]baC I f x f a dx =-⎰; ()'"()baD I f x dx =⎰.8. 利用换元ln(1)x t =+, 积分2()x f e dx ⎰等于【D 】20(1)()1f t A dt t ++⎰; 210()(1)e B f t dt -+⎰; 20(1)()1e f t C dt t ++⎰; 210(1)()1e f t D dt t -++⎰. 二. 计算下列各题(6'636'⨯=)1. 试计算由23ln 3x x y y +++=所确定的曲线在(1,1)点的切线方程.[22213'3470(31)4x y x y y x +=-=-⇒+-=+]2. 求由参数方程t tx e y e t-⎧=⎨=+⎩所确定函数()y y x =的导数22;dy d ydx dx . [22322();22t t t t dy d y e e e e dx dx =-+=+] 3. 求不定积分⎰[322(1)3x x c +-+] 4. 曲线段3:()L y x a x a =-≤≤的弧长为s , n D 是xoy 平面上与L 距离不超过n 的点集,即222{(,)(')('),(',')}n D x y x x y y n x y L =-+-≤∈,n D 的面积为n A ,求极限2lim nn A n →∞.[222()lim n n n A n A n s nπππ→∞≤≤+⇒=]三. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [121arctan 11[arctan ]22x x x x +∞=-++=]四. (8')()f x 具有二阶导数, 如果极限201()(2)lim1x f x xf x x→++=-, 求(0),'(0),"(0)f f f . [(01,'(0)1,"(0)6f f f =-==-] 五. (8')可导函数()f x 满足方程40()2()1xf x tf t dt x -=--++⎰, 求函数()f x .[232(0)1,'()2()4()2(1)3x f f x xf x x f x x e -==-+⇒=-+] 六. (10')求函数231xx y xe ++=的单调区间与极值, 并求出该函数在区间[2,2]-上的最值.[23111'(21)(1)(,1],[1,],[,);22x x y x x e ++=++⇒-∞-↑--↓-+∞↑极小1()2y -=,极大1(1)y e -=-; 11min max 2(2),(2)2y y e e-=-=] 七. (10')计算由曲线21xy e=-, 直线41y e =-以及y 轴所围图形的面积; 并求出由该图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [224244240031[(1(1)];2()(51)222x x A e e dx e V x e e dx πππ=---=+=-=-⎰⎰] 八. (8')计算极限12ln(1)0(12)limtxx x t dt t +→-⎰.[11222ln(1)(12)(12)1(ln(1)),ln(1)2txx t dt x x x x x L t eξξξξξ+--=-++<<⇒⇒=⎰:]同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限23232lim()1nn n n e n -→∞-+=+2. xy xe =在1x =对应点的曲率k =3223(14)e e +3.反常积分1111dx xα-+⎰⎰收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2α∈4.1'(32)(32)2x x x e f e dx f e c -=--+⎰5. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数,且"()0f x <,下列不等式正确的是【B 】 ()'()'()()()A f b f a f b f a <<-; ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()'()'()C f b f a f b f a -<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.6. ()f x 是连续函数, 极限121lim()nn k k n f n n→∞=-⋅∑等于下面的定积分【D 】 11()(21)A f x dx --⎰; 2()(21)B f x dx -⎰; 11()2()C f x dx -⎰; 1()(21)D f x dx -⎰.7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是【D 】 (){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛;(){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限lim n n x →∞=∞.8. 223()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+, 则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根【C 】 ()0A 个; ()1B 个; ()2C 个; ()D 至少3个.二. 计算下列各题(6'424'⨯=) 1. 求函数21232x x y e-++=的单调区间与凹凸区间.[2211232322'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e-++-++=-=--]2. 求曲线2132y x ey -+=在(1,1)点的切线方程. [230x y +-=]3. 计算反常积分311arctan xdx x +∞⎰ [12] 4. 求微分方程"3'441y y y x --=+的通解. [41212x xy C e C e x -=+-+]三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出相应的渐近线. [铅直渐近线0x =; 斜渐近线11y x e=++]四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为A . (1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=; [22()()()2()bb baaaV f g dx f g f g dx c f g dx πππ=-=+-=-⎰⎰⎰](2)计算椭圆2214x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. [28V π=] 五. (8')设()f x 是可导函数, 并且满足方程220()()12xt f x tf dt x =++⎰, 求函数()f x .[2231(0)1,'()4()2()22x f f x xf x x f x e ==+⇒=-]六. (8')(1)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(2)计算极限2lim 1(1)xx x e x→+∞+.[(1)12311(1)()23n n n x x x x o x n ---++++L;(2)221ln(1)lim lim 1(1)x x x xx x x e e x-+→+∞→+∞==+七. (10')由方程22,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟0.5米的速度开始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率.[(1)4(4P g y g ρ=-⎰; (2)40(,dP P g h y g dt ρ=-=⎰]八. (10')设222(0)nn n xy a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A . (1)利用定积分写出n A 的计算公式(无需计算n A 的值); (2)证明极限lim n n A →∞存在; (3)计算极限lim n n A →∞.[(1)0an A =⎰;(2)1122220(1)n n a t dt A a a -≤=≤⎰⎰;(3)2lim n n A a →∞=]同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限1202lim()23h h h e h-→-=+.2. 积分(12sin )cos '(12sin )2f x x f x dx C--⋅-=+⎰.3. 函数220()sin(1)x F x t dt =+⎰的导函数4'()2sin(1)F x x x =+.4. 曲线322(1)1(12)3y x x =++-≤≤的弧长143s =.5. 极限0lim ()x x f x -→=+∞的定义是【D 】()0,0A εδ∀>∃>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; ()0,0B εδ∀>∃>, 当x δ>时, 有()f x ε>; ()0,0C M X ∀>∃>, 当x X >时, 有()f x M >; ()0,0D M δ∀>∃>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >.6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为【D 】 112233()()()()A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()()D C y x C y x C y x ++, 其中任意常数1231C C C ++=.7. 若()f x 是连续函数, 则极限121lim()2nn k n k f n n→∞=+∑等于【A 】 3212()()A f x dx ⎰; 2()()B f x dx ⎰; ()C 12()f x dx ⎰; 10()()2xD f dx ⎰.8. 若对于积分0(2)af a x dx -⎰作换元2a x u -=, 则该定积分化为【C 】()()aaA f u du -⎰; 0()2()a B f u du ⎰; ()C 1()2aa f u du -⎰; 0()()a D f u du ⎰.二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 试求曲线2sin y x y x ++=在点(1,0)处的切线方程. [21x y +=] 2. 求不定积分2ln(1)x dx +⎰. [2ln(1)22arctan x x x x c +-++]3. 求微分方程3'xy x y =-的通解. [411()4y x c x =+] 4. 求微分方程"2'15153y y y x --=-的通解. [531213x xy C e C e x -=+-+]三. (8')计算由22y x x =+与直线2y x =+所围图形的面积. [1229(2)2x x dx ---=⎰]四. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [211111arctan arctan 2222I x x x x +∞=---=]五. (8')已知'()y f x =的函数图像如图,(1)求函数()y f x =的单调区间、极大值与极小值; (2)求曲线()y f x =的凹凸区间与拐点.[35353(,],[,);[,];()x x x x f x -∞+∞]Z 极大,5()f x 极小124124[,],[,);(,],[,];x x x x x x +∞⋃-∞⋂拐点112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ] 六. (10')在半径为R 的半球内内接一圆锥体, 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值.[322max 1(3),()3393V R h h V π=-=]七. (10')一椭球形容器由长半轴为2m , 短半轴为1m 的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成,若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功.[2221(10),4(1)(),4x y y dW y dy g y W g πρπ+=-≤≤=--=] 八. (8')已知()f x 具有二阶导数, 且221"()12x f x x +≥+, 判断lim ()x f x →∞的情况, 并给出判断的理由. [21"(),()(0)'(0)"()22f x f x f f x f x ξ≥=++→+∞]同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'⨯=)1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其反函数1()x fy -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有【A 】()'A k k =; 1()'B k k=; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有 2()1xy x o x x ∆=∆+∆+, 则有【C 】 2221()()(1)x A f x x -=+; 2()()11xB f x x=++; ()C ()1f x =; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2()f x dx ⎰. 【D 】12()lim()nn k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 11()lim 2()nn k k D f n n →∞=∑.4.要使反常积分+∞⎰收敛, 则实数p 的取值范围是【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.5. 如果作换元sin x t =,则积分30(sin )f x dx π=⎰.6. 微分方程231x y dye dx -+=的通解2113ln()32x y e C +=+.7. 已知2()x f x dx eC =+⎰, 则222(21)1(21)4x xf x dx e C --=+⎰.8.定积分3421[ln(1)2R Rx x dx R π-++=⎰.二. 计算题(8'324'⨯=) 1.求极坐标所表示的曲线4θρ=在04πθ=所对应点处的切线方程. [532x y e π-=]2.计算定积分211π+⎰. [2π]3. 可导函数()f x 满足等式20()()22xttf dt f x =-⎰, 求函数()f x . [22()2x f x e =]三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]四. (10')求微分方程00"2'31414,'93x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. [315239x xy e e x -=---] 五. (10')曲线21(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33y x A V π=-==] 六. (10')一只容器由2(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量的14, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [162;3h W g ρπ==]七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈] (2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]。

同济大学高数B期末考试题

同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=)1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0,'dx y dy y ≠=, 则223"'d x y dyy =-.2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1)tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩所确定的函数的导数32t dydx ==.3. 极限111lim()ln 212n n n n n→∞+++=+++L .4. 微分方程22"5'6sin xy y y xex -++=+的特解形式为(不需确定系数)2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E-++++.二．选择题(4'416'⨯=) 5. 设函数sin ()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥<6. 曲线1ln(1)x y e x-=++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x +→时的无穷小量2sin ,,(1)xx t tdt tdt e dt αβγ===-⎰⎰排列起来, 使得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20()(0)0,lim2x f x f x→==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.三. 解答题(7'428'⨯=) 9. 求极限30sin sin(sin )limx x x x →-, [30sin 1lim 6t t t t →-==]10. 计算定积分24tan sec x x xdx π⎰[224400111(tan )(sec 1)28242xd x x dx ππππ==--=-⎰⎰]11. 计算反常积分221arctan (1)xdx x x +∞+⎰[2212210111113()arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232xdx xd x x x x ππ+∞+∞+∞=-=--=+++⎰⎰] 12. 试求微分方程221(1)dy y x y dx x+=-的通解[221111()'()1(ln )2x x x x c y x y y -=-⇒=-+]四. (8')求曲线ln y x =上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小.[312222221(1)(1)(21)1(0)'(ln 2)22x x x R x R K x x ++-==>⇒=⇒-] 五. (8')设不定积分n n I =,(1)计算01,I I ; (2)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n =L 的递推公式[(1)01arcsin ,I x c I =+=[(2)211n n n n I I x c n n---=-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续, 且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点[,]a b ξ∈, 使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰. [minmax ()()()babaf xg x dxf fg x dx≤≤⎰⎰]七. (8')过坐标原点作曲线21(0)y x x =+≥的切线, 记该切线与此曲线及y 轴所围成的平面图形为D , 试求:(1)平面图形D 的面积; (2)平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积, [12,,32y x S V π===] 八. (8')已知22123,,x x x x x x xy xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. [212,"'2(12)xx x x y c ec e xe y y y x e -=++--=-]同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=)1. 已知极限lim ()x e f x →存在, 且函数()f x 满足: ln 1()lim ()()ex e x e x x f x f x x e e-→-=+-, 则 2lim ()1x ee f x e →=-.2. 设函数2()ln(23)f x x x =+-, 则()11(2)(1)(1)!(1)5n n nf n -=--+.3. 不定积分1tan 1(tan ln tan )sin 22x dx x x C x +=++⎰.4. 定积分sin 2sin cos 03334x xx dx ππ=+⎰.二. 选择题(4'416'⨯=)5. 曲线32331(1)31t x t t t y t ⎧=⎪⎪+≠-⎨⎪=⎪+⎩的斜渐近线方程为 [A ] :1A y x =--; :1B y x =-; :1C y x =-+; :1D y x =+. 6. 曲线22162y x x =-上点(2,0)P 处曲率K = [B ] :0A ; :16B ; 1:16C ; :4D . 7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x [C ] :A 均为奇函数; :B 均为偶函数;:C 中只一个奇函数; :D 既非奇函数也非偶函数.8. 设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆2222x y +=的周长, 则 [D ] 12:A s s π-=; 12:B s s >; 12:C s s <; 12:D s s =. 三. 解答题(4'728'⨯=)9. 求极限302cos ()13lim x x x x→+-. [2cos ln 333001(cos 1)1lim lim 36xx x x e x x x x +→→--===-]10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数, 且0()lim 2x f x x +→=, 证明()f x 在0x =处可导,并求'(0)f . [00()(0)()(0)(0)0,lim lim 2'(0)00x x f x f f x f f f x x +-→→--====--] 11. 求定积分21[]max{1,}x x e dx --⎰, 其中[]x 表示不超过x 的最大整数.[0121102x I e dx dx dx e --=-++=-⎰⎰⎰]12. 判定反常积分2ln 1e x dx x +∞-⎰的收敛性, 如果收敛, 求出其值.[21ln 111(ln 1)()[]e e x I x d x x x e+∞+∞-=--=--=⎰] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限00()lim()xxx tf x t dt xf x t dt→--⎰⎰.[0()()()()1limlimlim[()()]2()()()x xxxx x x x x f u du uf u duf u duxf x f x f x f u duxf x f u duξξ→→→∞-====++⎰⎰⎰⎰⎰]五. (8')设可积函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式: ()()sin f x f x x π=-+, 且当 [0,)x π∈时()f x x =, 试求3()f x dx ππ⎰.[2322(sin )(2)2I x x dx x dx πππππππ=-++-=-⎰⎰]六. (8')设n 为正整数, 函数2lim,0()100nx n x x f x e x x -→∞⎧≠⎪=--⎨⎪=⎩, 求曲线()y f x =与直线2xy =-所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. [122202001()[()()]()1283,01x x x f x V dx x x x x πππ<⎧⎪=⇒=---=-⎨+-≥⎪+⎩⎰] 七. (8')求微分方程223(1)20dyx y xy dx-+=的通解. [22231111()'()()x x x C y y y y +=⇒=-]八. (8')令sin x t =, 化简微分方程22arcsin 2(1)x d y dyx xy e dx dx ---=, 并求其通解. [22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 122arcsin 2t x xx d y x y e y C e C e e dt -⇒-=⇒=++]同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=) 1. 极限31lim()2xx x e x →∞+=-.2. 若极限000(2)()lim3h f x h f x h→--=, 则03'()2f x =-.3.积分22216(3x x dx -+=⎰.4. 积分2cos 2cos 1sin 2xx xedx e C =-+⎰.5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为1212()x y c x c e=+.6. 记41sin I xdx ππ-=⎰, 22sin I xdx ππ-=⎰, 23I x dx ππ-=⎰, 21sin I x xdx ππ-=⎰. 则这4项积分的大小关系为 [ B ] ()A 2134I I I I >>>;()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 [ A ] 211()2A dx x +∞+⎰;()e B +∞⎰; ()sin C xdx +∞-∞⎰; 101()1D dx x -⎰ 8. 若函数23ln(1)ln 2,1()11x x f x x a x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩在1x =连续, 则常数 [ D ] ()A 23a =; ()B 23a =-; ()C 13a =-; ()D 13a =.二. 解答题(6'530'⨯=) 1.计算由曲线y =340x y -+=所围平面图形的面积.[21141)336A x dx -=-=⎰] 2. 若函数()u x 与()v x 具有n 阶导数, 试写出()()u x v x ⋅计算n 阶导数的莱布尼茨公式, 计算2xx e ⋅的10阶导数. [()()()2(10)1020[()()];()2(5)nn k k n k x x n k u x v x C u v xe e x -===+∑]3. 求函数2()(5)xf x x x e =+-的单调区间以及函数的极大与极小值.[4max min '(4)(1)(,4],[1,);[4,1];(4)7;(1)3x f x x e f e f e -=+-⇒-∞-+∞--==-Z ]]4. 计算反常积分221ln(1)x dx x +∞+⎰. [ln 22I π=+] 5. 求微分方程2"2'31,(0),'(0)73y y y y y +-===-的解. [331211233xx x x y c e c e e e --=+-=--]三. (8')在长度单位为米的坐标中, 由方程21x y =-与直线220x y --=围成的薄片铅直的浸入水中, 其中x 轴平行于水面且在水下1米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. [121(1)(221)4P g y y y dy g ρρ-=-+-+=⎰]四. (10')求积分1)x dx +⎰, [28ln 2393I π=+-]五. (10')1. 试求常数,a b , 使得函数在=201,12x x y x ax b ≤≤⎧=⎨<≤+⎩在区间[0,2]上可导; 2. 若由该曲线段绕y 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量0v 向容器均匀的注水, 试求该容器在水溢出前水深为h 时水面的上升速度.[2,1a b ==-;0220002,01()()'()''4,13(1)h v h h V h x y dy v V x h h h v h h ππππ⎧≤≤⎪⎪=⇒==⇒=⎨⎪<≤+⎪⎩⎰]六. (10')要建一个容积为14, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省.[2223f rh r ππ=+,2322281414(),'()033r h r f r r f r r r πππ+=⇒=+=⇒=L ] 七. (8')函数()f x 在0[,)x +∞上具有二阶导数, 并且"()0f x <, 对于任意0x x >, 由拉格朗日中值定理, 存在0x x ξ<<, 使得00()()'()()f x f x f x x ξ-=-. 证明ξ定义了 0(,)x +∞上的一个单调增加函数.['()f x 递减()x ξξ=唯一确定(函数); 又可证00()()f x f x x x --], 可得()x ξ递增]同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 函数()xf x xe -=的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为234411()()26f x x x x x o x =-+-+2. 2(1)x y ex -=+在1x =所对应点的曲率1025K =3. 极限lim(1ln )x aa x a a x a a a x→-=--4. 由方程222y y x x ++=所确定的函数()y y x =在(1,0)点的导数(1,0)32dydx =5. 函数()f x 在[0,)+∞上连续, 则数列极限lim ()n f n →∞存在是函数极限lim ()x f x →+∞存在的什么条件? [ B ] ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件. 6. 在区间[,]a b 上, 函数()f x 连续的充分条件是: [ B ] ()()baA f x dx ⎰存在; ()()B f x 可导; ()()C f x 具有原函数; ()()D f x 有界.7. 如果作换元2sin x t =, 则定积分222(4)f x dx -⎰等于 [ C ]40()(2cos )2cos A f t tdt π⋅⎰; 24()(2cos )2cos B f t tdt ππ⋅⎰;42()(2cos )2cos C f t tdt ππ⋅⎰; 04()(2cos )D f t dt π⎰.8. 可导函数()f x 在区间[0,1]上单调增加的充分条件是在该区间上 [ D ] 2()()(1)()x A f x e x o x ∆=-∆+∆; 1()()0B f x dx >⎰;()"()0C f x >; 4()()[1()]()D f x f x x o x ∆=+∆+∆. 二. (4'3⨯)1. 如图是函数()y f x =的图像, 试在下列空格中填入恰当的符号: 0<; 0=或0>.44()0f x dx -<⎰;44'()0f x dx -=⎰;44"()0f x dx ->⎰;44"'()0f x dx -<⎰.2. 求极限12001lim (12)x t x t dt x →+⎰ [1220lim 2(14)2xx x e →=+=]3. 计算不定积分(1)ln(1)x x dx ++⎰[2211(1)ln(1)(1)24x x x c ++-++] 三. (6'3⨯) 1. 求曲线21x x y e-=的凹凸区间与拐点的坐标. [22'(32),"4(2):(,2];:[2,)xx y ex y e x --=-=-⇒⋂-∞⋃+∞; 拐点:4(2,)e -]2. 计算反常积分21(2ln ln )edx x x x +∞+⎰. [1ln 1ln ln 322ln 2e x x +∞==+]3. 一个由曲线段24(01)y x x =≤≤绕y 轴旋转形成的容器内装满了比重为γ的均匀液体, 如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功. [48(4)43y W y dy πγπγ=-=⎰] 四. (8')试用适当的换元法求微分方程22222()2()1dy x y x dx y x -=-+的通解. [2222222arctan 21du xu y x u x u u x c dx u -=⇒+=⇒-=-+⇒+L ] 五. (8')试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间的函数未必连续. [最值定理; 介值定理; 反例略]六. (10')计算由曲线2xy e =, 该曲线经过坐标原点的切线以及y 轴所围成图形的面积, 并求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.[切线:2y ex =;切点:12x =; 1122222220023(2);[()(2)]412x x x e e A e ex dx V e ex dx ππ--=-==-=⎰⎰] 七. (10')试求微分方程22"cos y y x x +=+的通解.[221231;*cos 2sin 2;cos sin cos 226i y Ax Bx C D x E x y C x C x x x λ=±=++++=++--] 八. (10')()f x 是以T 为周期的连续函数, 若()Tf t dt A =⎰, 求极限01lim()xx f t dt x →+∞⎰.[0(0)(0)(0)1()()()()()()limlimlimTnTnT TnTn n n T T T f t dt f t dtf t dt f t dtn f t dt f t dtA n nT nT T T nθθθθθθθθθ+→∞→∞→∞≤<≤<≤<+++====+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2013-2014学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择与填空题(3'824'⨯=) 1. 极限262lim()1nn n e n -→∞-=+2. 利用定积分的几何意义，积分4-=⎰92π3. 微分方程"'120y y y +-=的通解为4312x xy C e C e -=+4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线()y f x =，我方拦截导弹的阵地位于x 轴正向2000公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为00(,)x y ，则该点满足的方程为2x =⎰5. 0{}x 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件【A 】 ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件.6. ()f x 是连续函数, 曲线段()()xaf t dt a x b ≤≤⎰的弧长s 的计算公式为【C 】()a A s =⎰; ()a B s =⎰;()aC s =⎰; ()aD s =⎰无关条件.7. 函数()f x 具有三阶连续导数，如果"()0,[,]f x x a b >∈，则下列四项积分中，积分值确定为正数的积分为【A 】 ()['()'()]ba A I fb f x dx =-⎰; ()'()baB I f x dx =⎰;()[()()]baC I f x f a dx =-⎰; ()'"()baD I f x dx =⎰.8. 利用换元ln(1)x t =+, 积分2()x f e dx ⎰等于【D 】20(1)()1f t A dt t ++⎰; 210()(1)e B f t dt -+⎰; 20(1)()1e f t C dt t ++⎰; 210(1)()1e f t D dt t -++⎰. 二. 计算下列各题(6'636'⨯=)1. 试计算由23ln 3x x y y +++=所确定的曲线在(1,1)点的切线方程.[22213'3470(31)4x y x y y x +=-=-⇒+-=+]2. 求由参数方程t tx e y e t-⎧=⎨=+⎩所确定函数()y y x =的导数22;dy d ydx dx . [22322();22t t t t dy d y e e e e dx dx =-+=+] 3. 求不定积分⎰[322(1)3x x c +-+] 4. 曲线段3:()L y x a x a =-≤≤的弧长为s , n D 是xoy 平面上与L 距离不超过n 的点集,即222{(,)(')('),(',')}n D x y x x y y n x y L =-+-≤∈,n D 的面积为n A ,求极限2lim nn A n →∞.[222()lim n n n A n A n s nπππ→∞≤≤+⇒=]三. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [121arctan 11[arctan ]22x x x x +∞=-++=]四. (8')()f x 具有二阶导数, 如果极限201()(2)lim1x f x xf x x→++=-, 求(0),'(0),"(0)f f f . [(01,'(0)1,"(0)6f f f =-==-] 五. (8')可导函数()f x 满足方程40()2()1xf x tf t dt x -=--++⎰, 求函数()f x .[232(0)1,'()2()4()2(1)3x f f x xf x x f x x e -==-+⇒=-+] 六. (10')求函数231xx y xe ++=的单调区间与极值, 并求出该函数在区间[2,2]-上的最值.[23111'(21)(1)(,1],[1,],[,);22x x y x x e ++=++⇒-∞-↑--↓-+∞↑极小1()2y -=,极大1(1)y e -=-; 11min max 2(2),(2)2y y e e-=-=] 七. (10')计算由曲线21xy e=-, 直线41y e =-以及y 轴所围图形的面积; 并求出由该图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [224244240031[(1(1)];2()(51)222x x A e e dx e V x e e dx πππ=---=+=-=-⎰⎰] 八. (8')计算极限12ln(1)0(12)limtxx x t dt t +→-⎰.[11222ln(1)(12)(12)1(ln(1)),ln(1)2txx t dt x x x x x L t eξξξξξ+--=-++<<⇒⇒=⎰:]同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限23232lim()1nn n n e n -→∞-+=+2. xy xe =在1x =对应点的曲率k =3223(14)e e +3.反常积分1111dx xα-+⎰⎰收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2α∈4.1'(32)(32)2x x x e f e dx f e c -=--+⎰5. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数,且"()0f x <,下列不等式正确的是【B 】 ()'()'()()()A f b f a f b f a <<-; ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()'()'()C f b f a f b f a -<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.6. ()f x 是连续函数, 极限121lim()nn k k n f n n→∞=-⋅∑等于下面的定积分【D 】 11()(21)A f x dx --⎰; 2()(21)B f x dx -⎰; 11()2()C f x dx -⎰; 1()(21)D f x dx -⎰.7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是【D 】 (){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛;(){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限lim n n x →∞=∞.8. 223()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+, 则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根【C 】 ()0A 个; ()1B 个; ()2C 个; ()D 至少3个.二. 计算下列各题(6'424'⨯=) 1. 求函数21232x x y e-++=的单调区间与凹凸区间.[2211232322'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e-++-++=-=--]2. 求曲线2132y x ey -+=在(1,1)点的切线方程. [230x y +-=]3. 计算反常积分311arctan xdx x +∞⎰ [12] 4. 求微分方程"3'441y y y x --=+的通解. [41212x xy C e C e x -=+-+]三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出相应的渐近线. [铅直渐近线0x =; 斜渐近线11y x e=++]四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为A . (1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=; [22()()()2()bb baaaV f g dx f g f g dx c f g dx πππ=-=+-=-⎰⎰⎰](2)计算椭圆2214x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. [28V π=] 五. (8')设()f x 是可导函数, 并且满足方程220()()12xt f x tf dt x =++⎰, 求函数()f x .[2231(0)1,'()4()2()22x f f x xf x x f x e ==+⇒=-]六. (8')(1)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(2)计算极限2lim 1(1)xx x e x→+∞+.[(1)12311(1)()23n n n x x x x o x n ---++++L;(2)221ln(1)lim lim 1(1)x x x xx x x e e x-+→+∞→+∞==+七. (10')由方程22,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟0.5米的速度开始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率.[(1)4(4P g y g ρ=-⎰; (2)40(,dP P g h y g dt ρ=-=⎰]八. (10')设222(0)nn n xy a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A . (1)利用定积分写出n A 的计算公式(无需计算n A 的值); (2)证明极限lim n n A →∞存在; (3)计算极限lim n n A →∞.[(1)0an A =⎰;(2)1122220(1)n n a t dt A a a -≤=≤⎰⎰;(3)2lim n n A a →∞=]同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限1202lim()23h h h e h-→-=+.2. 积分(12sin )cos '(12sin )2f x x f x dx C--⋅-=+⎰.3. 函数220()sin(1)x F x t dt =+⎰的导函数4'()2sin(1)F x x x =+.4. 曲线322(1)1(12)3y x x =++-≤≤的弧长143s =.5. 极限0lim ()x x f x -→=+∞的定义是【D 】()0,0A εδ∀>∃>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; ()0,0B εδ∀>∃>, 当x δ>时, 有()f x ε>; ()0,0C M X ∀>∃>, 当x X >时, 有()f x M >; ()0,0D M δ∀>∃>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >.6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为【D 】 112233()()()()A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()()D C y x C y x C y x ++, 其中任意常数1231C C C ++=.7. 若()f x 是连续函数, 则极限121lim()2nn k n k f n n→∞=+∑等于【A 】 3212()()A f x dx ⎰; 2()()B f x dx ⎰; ()C 12()f x dx ⎰; 10()()2xD f dx ⎰.8. 若对于积分0(2)af a x dx -⎰作换元2a x u -=, 则该定积分化为【C 】()()aaA f u du -⎰; 0()2()a B f u du ⎰; ()C 1()2aa f u du -⎰; 0()()a D f u du ⎰.二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 试求曲线2sin y x y x ++=在点(1,0)处的切线方程. [21x y +=] 2. 求不定积分2ln(1)x dx +⎰. [2ln(1)22arctan x x x x c +-++]3. 求微分方程3'xy x y =-的通解. [411()4y x c x =+] 4. 求微分方程"2'15153y y y x --=-的通解. [531213x xy C e C e x -=+-+]三. (8')计算由22y x x =+与直线2y x =+所围图形的面积. [1229(2)2x x dx ---=⎰]四. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [211111arctan arctan 2222I x x x x +∞=---=]五. (8')已知'()y f x =的函数图像如图,(1)求函数()y f x =的单调区间、极大值与极小值; (2)求曲线()y f x =的凹凸区间与拐点.[35353(,],[,);[,];()x x x x f x -∞+∞]Z 极大,5()f x 极小124124[,],[,);(,],[,];x x x x x x +∞⋃-∞⋂拐点112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ] 六. (10')在半径为R 的半球内内接一圆锥体, 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值.[322max 1(3),()3393V R h h V π=-=]七. (10')一椭球形容器由长半轴为2m , 短半轴为1m 的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成,若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功.[2221(10),4(1)(),4x y y dW y dy g y W g πρπ+=-≤≤=--=] 八. (8')已知()f x 具有二阶导数, 且221"()12x f x x +≥+, 判断lim ()x f x →∞的情况, 并给出判断的理由. [21"(),()(0)'(0)"()22f x f x f f x f x ξ≥=++→+∞]同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'⨯=)1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其反函数1()x fy -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有【A 】()'A k k =; 1()'B k k=; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有 2()1xy x o x x ∆=∆+∆+, 则有【C 】 2221()()(1)x A f x x -=+; 2()()11xB f x x=++; ()C ()1f x =; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2()f x dx ⎰. 【D 】12()lim()nn k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 11()lim 2()nn k k D f n n →∞=∑.4.要使反常积分+∞⎰收敛, 则实数p 的取值范围是【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.5. 如果作换元sin x t =,则积分30(sin )f x dx π=⎰.6. 微分方程231x y dye dx -+=的通解2113ln()32x y e C +=+.7. 已知2()x f x dx eC =+⎰, 则222(21)1(21)4x xf x dx e C --=+⎰.8.定积分3421[ln(1)2R Rx x dx R π-++=⎰.二. 计算题(8'324'⨯=) 1.求极坐标所表示的曲线4θρ=在04πθ=所对应点处的切线方程. [532x y e π-=]2.计算定积分211π+⎰. [2π]3. 可导函数()f x 满足等式20()()22xttf dt f x =-⎰, 求函数()f x . [22()2x f x e =]三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]四. (10')求微分方程00"2'31414,'93x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. [315239x xy e e x -=---] 五. (10')曲线21(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33y x A V π=-==] 六. (10')一只容器由2(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量的14, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [162;3h W g ρπ==]七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈] (2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]。

同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'⨯=)1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其反函数1()x fy -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有【A 】()'A k k =; 1()'B k k=; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有 2()1xy x o x x∆=∆+∆+, 则有【C 】 2221()()(1)x A f x x -=+; 2()()11xB f x x =++;()C ()1f x =; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2()f x dx ⎰. 【D 】12()lim()nn k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 11()lim 2()nn k k D f n n →∞=∑.4.要使反常积分+∞⎰收敛, 则实数p 的取值范围是【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.5. 如果作换元sin x t =,则积分30(sin )f x dx π=⎰.6. 微分方程231x y dye dx -+=的通解2113ln()32x y e C +=+.7. 已知2()x f x dx eC =+⎰, 则222(21)1(21)4x xf x dx e C --=+⎰.8.定积分3421[ln(1)2R Rx x dx R π-++=⎰.二. 计算题(8'324'⨯=) 1.求极坐标所表示的曲线4θρ=在04πθ=所对应点处的切线方程. [532x y e π-=]2.计算定积分211π+⎰. [2π]3. 可导函数()f x 满足等式20()()22xttf dt f x =-⎰, 求函数()f x . [22()2x f x e =]三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]四. (10')求微分方程00"2'31414,'93x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. [315239x xy e e x -=---] 五. (10')曲线21(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33y x A V π=-==] 六. (10')一只容器由2(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量的14, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [162;3h W g ρπ==] 七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈](2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]。

同济大学高数09-16B(下)期末考试题

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=)1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为122146x y z --+==-.2. 函数2ln(2)z x y =+在点(1,2)处沿方向(1,2)l =-的方向导数为25.3. 设(,,)f x y z 为连续函数,则三次积分2222120(,,)x y x y dx f x y z dz --+⎰⎰的柱面坐标积分形式为221220(cos ,sin ,)d d f z dzπρρθρρρθρθ-⎰⎰⎰.4. 设函数()f x 具有一阶连续函数,且(0)1f =,若曲线积分222()(())Lxy y dx yf x y dy +++⎰在整个平面上与路径无关, 则2()21f x x x =++.5. 曲面积分(4)32xz dS π∑+=⎰⎰, 其中222:4,0x y z z ∑++=≥6. 设函数222ln()u x y z =++, 则(1,1,1)2div(gradu)3=.7. 若幂级数0nn n a x ∞=∑在点2x =处收敛, 在点2x =-处发散, 则幂级数1(1)n nn a x n∞=-∑的收敛区间为(1,3)-8. 设()f x 是以2π为周期的周期函数,它在(,]ππ-上的表达式为2,0()210x x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则()f x 的傅里叶级数在点5x π=处收敛到12π-二. 解答题(68')9. (8')证明函数326,(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续.[30,01lim (,)0,lim (,)2x y x y f x y f x y =→=→==] 10. (10')计算二重积分sin Dydxdy y ⎰⎰, 其中D 是由直线y x =与y =. [210sin 1sin1y y yI dy dx y ==-⎰⎰] 11. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++-⎰⎰⎰, 其中Ω是由平面1x y z ++=与三坐标平面所围成的闭区域.[120555(1)224I zdV z z dz Ω==-=⎰⎰⎰⎰] 12. (10')计算曲线积分22Lxdy ydxx y -+⎰, 其中L 为椭圆22142x y +=(按顺时针方向绕行). [222222222221122()x y x y Q P y x xdy ydx I dxdy x y x y x y π+=+≤∂∂--==⇒===∂∂++⎰⎰⎰] 13. (10')计算曲面积分222()()x y z dydz x y z dxdy ∑++++⎰⎰, 其中 ∑ 为曲面: 22(04)z x y z =+≤≤, 取上侧. [22224(4)4(4)(3)64,728z x y z x y I x z dV I πππΩ=+≤=+≤+=-+=-=-⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰下侧下侧]14. (10')将函数21()32f x x x =++展开成(1)x -的幂级数, 并指出展开式成立的范围.[1101111()(1)()(1)(13)1224n n n n n f x x x x x ∞++==-=----<<++∑] 15. (8')求幂级数201(2)!!n n n x n ∞=+∑的收敛域及和函数, 并由此求级数201!n n n ∞=+∑的和. [22101111(,),()()()(24),(2)3(1)!2!24xn n n n n x x S x x x e S e n n ∞∞==-+Ω=-∞+∞=+=++=-∑∑]同济大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 直线11211x y z -+==--与平面220x y z ++-=的夹角为6π.2. 向量函数222(,,)F x y y z z x =在点(1,2,1)-处的散度为2-.3. 质点在变力(,,)F yz xz z =-的作用下, 沿螺旋线:2cos ,2sin ,x t y t z t Γ===, 从点(2,0,0)M 运动到点(2,0,)N π-, 则变力F 所作的功为252π.4.闭区域22{}D x y =+≤, 则积分2275()2Dx y d σπ+=⎰⎰.5. 若级数0(1)n n n a x ∞=+∑在点32x =处条件收敛, 则该级数的收敛半径52.6. 函数2sin x 的麦克劳林展开式为12121(1)2(2)!n n nn x n --∞=-∑.7. 若1()sin nn S x bnx ∞==∑是函数()((0,))f x x x ππ=-∈的正弦展开式, 则()22S ππ-=-8. 设Ω是由22z x y =+与平面1Z =所围的有界闭区域,1Ω是Ω位于0,0x y ≥≥的部分, 则下列等式中正确的是C1:4A xdV xdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4B ydV ydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;1:4C zdV zdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4D xydV xydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.二. 解答题(68')9. (8')求曲线222222102x y z x y z ⎧++=⎨-+=-⎩在点(1,2,1)处的切线与法平面方程. [121,812208112x y z x y z ---==+-+=-] 10. (10')计算曲面积分2(2)x y dS ∑+-⎰⎰, 其中∑是球面2224x y z ++=被曲面.z =截下的较小部分的曲面.[2222222((1603x y I x y d ππθρ+≤=++==-⎰⎰⎰] 11. (10')将函数22()ln(1)xt f x x x e dt -=++⎰展开成x 的幂级数,并指出展开式成立的范围.[21111()(1)(),[1,1]!(21)n n n f x x x x n n n∞+==+--∈-+∑]12. (10')计算曲面积分2xzdydz ydzdx yzdxdy ∑++⎰⎰, 其中∑为曲面2221(0,0)x y z x z ++=≥≥取前侧.[2222219()(24xyD y I x yz dxdy x dxdy z π∑=++==⎰⎰⎰⎰]13. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++⎰⎰⎰, 其中 Ω 是由曲面2221x y z +-=与平面 1,2z z ==所围成的有限闭区域. [222211214x y z I zdzdxdy π+≤+==⎰⎰⎰] 14. (10')()f x 是周期为4π的偶函数, 在[0,2]π上()2f x x π=-. 求该函数的傅里叶展开式, 并由此求级数的和211n n ∞=∑. [222118211()cos ,(,)(21)26n k f x x x k nπππ∞∞=-=+∈-∞+∞⇒=-∑∑] 15. (10')设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数,且()0f x >,证明21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰[2()1()()()()()2()()b bb b b b aaa a a a f x f x f y dxdy dxdy dxdyb a f y f y f x ==+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限22(,)(1,1)sin()lim 2x y x y x y→--=+.2. 若函数 (,)f x y 具有连续的偏导数, 且 (1,2)2,(1,2)1x y f f ==-, 则极限21(,1)(1,2)l i m31t f t t f t →+-=-.3. 由32210z x xyz ee --+-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的偏导数(1,1,1)11z x e∂=∂- 4. xoy 平面上曲线L 的方程为(,)0F x y =, 若将该曲线关于直线0y x +=对称得到曲线 'L , 则'L 的方程为(,)0F y x --=.5. 函数(,)f x y 在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? [ B ] :A 充分条件; :B 必要条件; :C 充分必要条件; :D 无关条件.6. 若常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列各项判断中正确的判断是: [ D ]21:nn A u∞=∑一定收敛; 1:nn u B n ∞=∑一定收敛; 1:n n C nu ∞=∑一定发散; :D 对于常数p , 如果1n n u ∞=∑收敛就可判断1np n u n∞=∑收敛, 必有1p >. 7. Ω是球体2222x y z R ++≤, 1Ω是球体Ω位于第一卦限内的部分(0,0.0)x y z ≥≥≥, 则积分23()x y z dv Ω++⎰⎰⎰等于 [ B ] 123:8()A x yz dv Ω++⎰⎰⎰; 12:8B y dv Ω⎰⎰⎰; 12:8()C x y dv Ω+⎰⎰⎰; 12:24D y dv Ω⎰⎰⎰.8. ∑是空间光滑的有向曲面片, Γ是与∑正向联系∑的有向边界曲线, 则由斯托克斯公式22(2)()()xz y dx xy z dy z x dz Γ+++++⎰等于 [ D ] :2A zdydz xdzdx dxdy ∑++⎰⎰; 22:(2)()()B xz y dydz xy z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰; :(21)C z x d S ∑++⎰⎰; :2(1)D zdydz y dxdy ∑-+-⎰⎰.二. 解答题(6'212⨯=)1. 求曲线 23322030x yz x y z ⎧--=⎨+--=⎩ 在(1,1,1)-点的切线方程. [111571x y z --+==-] 2. 计算Dxydxdy ⎰⎰, 其中D是由y =y =所围成的有界闭区域. [196I =] 三(8')求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值, 并说明是极大还是极小值.[min 11(0,)f ee=-] 四(8')已知()f x 是[0,]π上的连续函数, 若将()f x 分别展开成周期为2π的傅里叶余弦和正弦级数, 它们分别为余弦级数01cos 2n n a a nx ∞=+∑; 正弦级数1sin n n b nx ∞=∑. 试写出系数 n a 与n b 的计算公式, 并求函数()0(),10f x x F x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩周期为2π的傅里叶级数.[略] 五(10')3=上的点(,,)(0)x y z xyz ≠, 使得该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最大. [体积V =max 111(1,,)498V ⇒=] 六(10')如果曲线积分22(1)(2())Lx y y dx xy x dy ϕ+++-⎰与路径无关, 其中()x ϕ是可导函数, 并且满足(0)1ϕ=, 求函数()x ϕ, 并计算积分22'(1)(2())L x y y dx xy x dy ϕ+++-⎰,其中'L 是沿曲线2x y xe =从(0,0)到(1,)e 的弧段.[31()13x x ϕ=-+2'213L e e ⇒=+-⎰]七(10')∑是由曲面1z =223()1z x y =+-所围立体的边界曲面, 它的法向指向曲面的外侧, 计算曲面积分32221()(2)()3x yz dydz xy y z dzdx x y z dxdy ∑+++++⎰⎰. [22112220312(22)5I x x yz y dv d d dz πρρθρρρπ+-Ω=+++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰]八(10')求幂级数3111()(1)3nn n x n ∞=+-∑的收敛域及其和函数. [333(1)[0,2);()ln[1(1)]3(1)x S x x x -Ω==----- 九(8')判别常数项级数111121n na∞+++=∑的收敛性(0)a >, 并对自己的判断给出证明.[111ln ln 1ln ln 2111ln 11ln 1:2a nn a nn n a n a a a n a e na++++<+++<+⇒>=<<=⇒>收敛]同济大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 经过三点(1,1,3),(2,1,4),(3,0,1)A B C -的平面方程为543180x y z -+-=;点(2,0,1)到该平面的距离为2.2. yoz 平面上的直线2z y =-+绕着z在二次曲面中, 该曲面的类型是圆锥面 .3. Ω是上半球体 22210x y z z ⎧++≤⎨≥⎩, ∑ 是 Ω 的边界曲面外侧, 1∑ 是上半球面2221,0x y z z ++=≥ 的上侧, 则利用高斯公式计算可得24()(2)(1)3x y d y d z y z d z d x x z d x d yπ∑-+++-+=⎰⎰;积分127()(2)(1)3x y dydz y z dzdx x z dxdy π∑-+++-+=⎰⎰.4. (1,2,2),(4,5,2)A B --是空间两点, L 是以,A B 为两端点的直线段, AB L 是以A 为起点 B 为终点的有向直线段,则1;14ABLL ds dz ==⎰⎰.5. D 是由曲线22y x =与3y x =-所围的有界闭区域, 则积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰等于 [ A ]()A 213322(,)xx dx f x y dy --⎰⎰; ()B 212332(,)x xdx f x y dy --⎰⎰;()C 9223(,)ydy f x y dx -⎰; ()D 9322(,)y dy f x y dx -⎰.6. 积分222211()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 222222,0()x y y I x y dxdy +≤≥=+⎰⎰, 224431()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰,223341()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 则有 [ D ]1234()A I I I I >>>; 1243()B I I I I >>>; 4321()C I I I I >>>; 2134()D I I I I >>>.7. xoy 平面上密度为(,)x y μ的薄片D 对z 轴上位于(0,0,2)-点单位质点的引力为 (,,)x y z F F F F =, G 是引力常数, 则 [ B ] 32222(,)()()z DG x y A F dxdy x y z μ=++⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y B F dxdy x y μ=++⎰⎰;32222(2(,)()[(2)]z D G z x y C F dxdy x y z μ⋅-=++-⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y D F dxdy x y μ-=++⎰⎰. 8. ∑是抛物面222,0z x y z =--≥的上侧, 则由两类曲面积分的联系,(,,)(,,)(,,)P x y z d y d z Q x y z d z d x R x y z d x d y ∑++⎰⎰等于 [ C ]()(22)A P x Q y R d S ∑⋅+⋅+⎰⎰;()B ∑;()C ∑;()D ∑.二. (4'3⨯)1. 试求曲线21ln(1),t x t y t z e-==+=在参数1t =所对应点的切线与法平面方程.[1ln 21,426ln 20412x y z x y z ---==++--=] 2. 试求由方程3222xz z xy +-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的全微分(1,1,1)dz . [(1,1,1)1255dz dx dy =-+] 3. 占有上半圆224,0x y y +≤≥的薄片面密度为2(,)()1x y x y μ=++, 试计算该薄片的质量. [2[()1]6DM x y dxdy π=++=⎰⎰]4. 将函数21()6x f x x x -=--展开成1x +形式的幂级数.[0311131()[(1)](1),11151110510414n n nn f x x x x x ∞==⋅-⋅=--++<+++⋅-∑] 5. 将函数0,02()22x f x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩展开成周期为2π的余弦级数.[141sin cos 2n n nx n ππ∞=-+∑]三. (8')求幂级数202(1)(1)n nn n x ∞=+-∑的收敛区间与和函数.[2211()2[12(1)]x s x x -<=--] 四. (10')Ω是由曲面z =以及2z =所围成的立体, 其体密度为22x y μ=+.(1)计算Ω关于z 轴的转动惯量;(2)试写出Ω关于平行于z 轴的直线0;1x x y ==转动惯量的计算公式(无需计算) [22222220128();()[()(1)]21z l I x y dv I x y x x y dv πΩΩ=+==+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰] 五. (10')任意取定球面22228x y z ++=上一点并且任意给定一个方向, 都可以求出函数 2(23)u x y z =++在给定点沿给定方向的方向导数, 试求出所有这些方向导数中的最大与最小值.[222223,(23)(28)gradu y z L x y z x y z λ=++=+++++-max min (P gradu gradu ⇒=±±==-六. (10')已知222222ax by x ydx dy x y x y +++++是某个二元函数的全微分. (1)试求出常数,a b ;(2)计算积分222222Lax by x y dx dy x y x y+++++⎰, 其中L 是逆时针方向的曲线221x y +=.[2221(1)2,1;(2)(2)()Lx y a b x y dx x y dy +===-=-++=⎰⎰]七. (8'){}n u 是斐波那契数列: 1,1,2,3,5,8,13,21,, 即12111,1,n n n u u u u u +-===+,2,3,n =, 试分析级数11n nu α∞=∑的收敛性, 其中α是实常数. [11113312,2(),()2223n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u -++><⇒>+=>< 0α⇒≤时,级数显然发散;0α>时,级数收敛]同济大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 以空间三点(2,3,1),(1,2,3),(0,1,2)A B C ----为顶点的三角形面积2A =.2. 两平面20x y z --=与223x y z ++=的夹角余弦cos 6θ=.3. 曲面2:ln(21)z x y ∑=-+在(2,2,0)的法线方程为22421x y z--==--.4. D 是以(1,1),(1,1)-以及(1,1)--为顶点的三角形闭区域, 则积分3(2)4Dxy dxdy -=-⎰⎰5. 函数(,)f x y 具有连续的偏导数, 已知//(,)0,(,)0x y f x y f x y <>, 如果(1,1)a f =,(1,1)b f =- (1,1)c f =--,(1,1)d f =-四个数中最大的数是M , 最小的数是m , 则有【D 】 (),A M a m d ==; (),B M c m a ==; (),C M d m b ==; (),D M b m d ==.6. 将110(,)xdx f x y dy ⎰⎰化成极坐标的二次积分式时, 下列正确的是【C 】2c o s2()(cos ,sin )A d f d πθθρθρθρρ⎰⎰c o s20()(cos ,sin )B d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;2s i n204()(c o s ,s i n )C d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰; sin 204()(cos ,sin )D d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰.7. Ω是由圆锥面z =与半球面z =所围的空间立体, 则将积分22(,)I f xy z dxdydz Ω=+⎰⎰⎰化成柱面坐标计算时, 下面正确的三次积分式是【C 】22200()(,)A d d f z dz πρθρρρ⎰⎰; 2220()(,)B d d f z dz πρθρρρ⎰⎰;22()(,)C d f z dz πρθρρρ⎰; 220()(,)D d f z dz πρθρρρ⎰.8. 已知0(1,2,3,)n u n ≤=, 则1n n u ∞=∑发散的充分必要条件是【A 】1()l i m nk n k A u →∞==-∞∑; ()lim n n B u →∞=-∞; ()C {}n u 是无界数列; 1()limnkn k D u→∞==+∞∑.二. 计算下列各题(6'530'⨯=)1. 在经过点(1,0,2)-的平面与球面222(1)(1)12x y z +-++=相交的所有圆弧中, 求出圆弧长度的最小值. [6π] 2. 求函数2ln (1)yz x =+的全微分(1,)e dz . [122ln 2dx e dy -+]3. 计算22()Dx y x dxdy +-⎰⎰, 其中D 是由224,x y y x +≤≥确定的扇形区域. [2π] 4. L 为平面内光滑的简单闭曲线, 并取正向, 求曲线积分2323(s i n )()y Ly y x d x e x d y -++-⎰的最大值. [2222331(133)6x y I x y dxdy π+≤≤--=⎰⎰]5. 判断级数111(cos )nn e n ∞=-∑的收敛性, 并给出判断理由. [1n u n发散] 三. (10')求由方程221z xz x y e --+=所确定函数(,)z z x y =的偏导数(1,1,1)(1,1,1),z zx y ∂∂∂∂以及二阶偏导22(1,1,1)zy∂∂. [22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)111,,39z z zx y y ∂∂∂===-∂∂∂]四. (10')Γ是曲面2z xy =与柱面1x y +=的交线, 从z 轴正向看向z 轴的负向, 曲线Γ 是顺时针方向的, 计算曲线积分23(2)(3)(23)x yz dx xy x z dy x y dz Γ-++++++⎰.[22(33)31xyD I xy dxdy x dxdy ∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰]五. (10')求幂级数021n nn x n ∞=+∑的收敛域, 以及该幂级数在收敛域内的和函数. [111()ln(12),[,0)(0);(0)1222S x x x S x =--∈-=] 六. (8')计算222(2)(2)zxy dydz x e dzdx x z y dxdy ∑++++⎰⎰, 其中∑是曲面z =位于02z ≤≤的部分, 曲面法向与z 轴正向的夹角为钝角. [645π-] 七. (8')()[0,]f x C π∈, 已知()f x dx ππ=⎰, 求常数12,,,n c c c , 使得积分21[()c o s ]nk k f x c k x d x π=-∑⎰取得最小值, 并说明1lim cos ()nk n k c kx F x →∞==∑在[,]ππ-上的函数表达式. [0()102()cos ,(),()10k f x x c f x kxdx F x f x x ππππ-≤≤⎧==⎨---≤<⎩⎰]同济大学2014-2015学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知三向量:(2,1,1),(1,3,1),(1,,2)a b c y =-==-共面, 则常数2y =.2. 设(,)sin(23)f x y x y =+, 则极限0(2,)(,)lim 4cos(23)x f x x y f x y x y x∆→-∆-=-+∆.3. 已知可微函数(,)f x y 的偏导数(1,1)(1,1)1,2f fx y --∂∂==∂∂, 则函数(,)g x y =2(32,3)f x y x y --+在(,)(1,2)x y =点对变量y 的偏导数(1,2)6gy∂=∂.4. 已知连续函数22(,)(,)Lf x y x y f x y ds =+-⎰, 其中L 是上半圆周222,0x y r y +=≥,则322(,)1r f x y x y rππ=+-+.5. 设D 是由22222,4x y x x y +≥+≤所确定的平面闭域, L 是D 的正向边界, 则积分222(2)(2)6x Ly e xy dx x xy x dy π++++=⎰.6. 设D 是平面闭域: 22,x y y y x +≤≥. 则将二重积分22()DI f x y dxdy =+⎰⎰化为极坐标下的二次积分时, I 等于【A 】s i n2204()2()A d f d πθπθρρρ⎰⎰; 32sin 244()()B d f d πθπθρρ⎰⎰;12()()C d f d πθρρρ⎰⎰; 3sin 244()2()D d f d πθπθρρρ⎰⎰.7. 已知常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列收敛的级数是【C 】21()nn A u ∞=∑; 11()n n n B u u ∞+=∑; 11()2n n n u u C ∞+=+∑; 1()(1)nn n D u ∞=-∑.8. 设1nn n a x∞=∑的收敛半径为0,1R ≠, 则231()nn n n a xx ∞=+∑的收敛半径为【D 】(A(B ; ()C ;()D .二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 求曲面2arctan 1xz y -=在(1,0,1)点的切平面与法线方程. [(1,1,2)n =-]2. 22(,)(1)yf x y x =+,当ρ=充分小时, 求(1,1)f x y +∆+∆的一阶近似值 a b x c y +∆+∆, 即(1,1)()f x y a b x c y +∆+∆-+∆+∆是ρ的高阶无穷小()o ρ. [488ln 2x y +∆+∆] 3. 计算曲面:12z xy ∑=-位于222,0x y y +≤≥部分的面积. [136π] 4. 设()f x 是(,)-∞+∞上的连续函数, 记002()a f x dx ππ=⎰, 02()cos n a f x nxdx ππ=⎰,2()s i n n b f x n x d xππ=⎰. 求出三角级数的和函数01()(cos sin )2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 在(,]ππ-上的表达式. [2()0(),,(0)(0),()()00f x x S x S f S f x ππππ<<⎧===⎨-<<⎩] 三. (8')在平行六面体ABCDEFGH 中, 已知(1,1,2),(2,1,1),(1,2,0),(3,0,2)A B C H ---- 求(1),,D E G 点的坐标; (2)该平行六面体的体积. [(2,0,3),(6,1,3),(4,2,5);10V ----=] 四. (10')已知曲线积分22()()Lx ay dx x y dyx y ++++⎰在不包含x 轴负半轴的区域内与路径无关. (1)求常数a ;(2)计算上述积分,其中是上半平面从(1,0)到(0,1)的光滑曲线段331x y +=. [1;2a I π=-=]五. (10')计算曲面积分222()()(1)xy yz dydz x y z dzdx yz dxdy ∑++-++⎰⎰, 其中有向曲面 22:(1)z x y z ∑=+≤的法向与z 轴的夹角是钝角. [56π-]六. (10')求幂级数30(1)21n n n n x n ∞=-⋅+∑的收敛域与和函数.[331()ln(12),2S x x x x =+<七. (14')(1)如果直线l 与直线'l 的夹角为(0)2πθθ<<, 相距为0a >. 判别直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑的类型并给出判别的理由; (2)若直线l 的方程为:132212x y z ++-==, 直线'l 的方程为213431x y z ---==-, 试求由直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑以及相距为2且垂直于直线l 的两平面所围立体体积的最小值. [(1)单叶双曲面;(2)''3,cos ll ll d θ==取222104:925(11),3x y z z V π∑+=+-≤≤=]同济大学2015-2016学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 设cosy xu xe =, 则(1,)2(1)2du dx dyππ=+-.2. 设曲面10xy yz zx ++-=在点(1,2,3)M --处的法向量为n , 其与z 轴正方向的夹角为锐角, 则函数23ln()z xy y e ++在点(1,2,3)M --处沿n方向的方向导数为5.3. 交换二次积分的次序1221022112(,)(,)(,)yx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy--+=⎰⎰⎰.4. 设空间立体Ω由平面0,1z z ==以及曲面22231x y z +-=所围成, 则三重积分3333()4x y z dv πΩ++=⎰⎰⎰.5.设曲线:(01)L y x ≤≤, 则曲线积分2()12Lx y ds π+=+⎰.6. 设在平面上, 曲线积分33()()4xx x xLa ee dy y e e dx π--+-+⎰与路径无关, 则常数 12a π=-.7.设无穷级数1(1)nn ∞=-∑, 则k 的最大取值范围是12a k =>.8. 设102()2,2x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩, 将()f x 展开为正弦级数1sin n n b nx ∞=∑, 若该级数的和函数为()s x , 则53()24s π-=-.二.(10')设(,)z z x y =是方程22222880x y z yz z +++-+=确定的隐函数, 且(0,2)1z -=, 求22(0,2)(0,2)z zx x --∂∂∂∂，. 【22(0,2)(0,2)415z zx x --∂∂=∂∂=0，】三.(10')在椭圆锥面1z =xoy 面所围成的空间闭区域中放置一个长方体, 它的各个侧面均平行于坐标面, 求该长方体的最大体积.【222max 114,2(1),33327V xyz x y z x y z V =+=-⇒===⇒=】四.(10')计算三重积分z Ω-⎰⎰⎰, 其中Ω是由0,1z z ==所围成的闭区域.【21211()()1243I d d z dz d d z dz πρπρπππθρρρθρρρ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰】五.(10')求曲线积分222(1)(12)y y Ly e dx x y e dy +++⎰, 其中L 为从(0,0)O 沿曲线x =(1,1)A 的有向弧段. 【01(1)(1)014DI d e dy e πσ=--+-=+-⎰⎰⎰】六.(10')计算曲面积分2332()(2)()y x e dydz y yz dzdx z y dxdy ∑-+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面z =位于0z =与1z =之间的部分的下侧.【0222373()()1010I x y dv z y dxdy πππ∑+∑∑Ω∑=-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】七.(10')求幂级数131nn n n ∞=⋅+∑的收敛半径与和函数.【213111,()ln(13),(,)313333x R s x x x x x ==++-∈--】八.(8')设级数1[ln ln(1)ln(3)]n n a n b n ∞=++++∑收敛, 求常数,a b .【310312(1)ln 0()3012n a a b a b u a b n a b n n b ⎧=-⎪++=⎧+⎪=++++⇒⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩】同济大学2016-2017学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知直线L 过点(1,2,3)M -, 与z 轴相交, 且与直线1332:232x y z L ---==-垂直, 则直线L 的方程为123122x y z +--==--.2. 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)P -处的梯度为244(,,)999-.3. 设2sin (,)1xytf x y dt t=+⎰, 则22(0,2)4f x ∂=∂.4. 设(,)f x y 连续,化二次积分1201(,)xdx f x y dy -⎰⎰为极坐标形式的二次积分:22s i n 42c o s s i n4(c o s ,s i n )(c o s ,s i n )d f d d f d ππθθθπθρθρθρρθρθρθρρ++⎰⎰⎰⎰.5. 设空间立体Ω由平面0,0,0,1x y z x y z ===++=围成, 则三重积分1(253)6x y z d v Ω+-=⎰⎰⎰.6. 无穷级数11133ln32n n n ∞-==⨯∑.7. 设级数1nn a∞=∑收敛, 则下列必收敛的级数是 [ D ]11:(1)n n n a A n ∞-=-∑; 21:n n B a ∞=∑; 2211:()n n n C a a ∞-=-∑; 11:()n n n D a a ∞+=+∑.8. 若幂级数1nn n a x∞=∑在2x =-处条件收敛, 则21(1)nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 [ D ]:(2,2)A -;:(B ; :(1,3)C -;:(1D +.二.(8'216⨯=)9. 设函数3222222,0(,)00x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩, 求(0,0)yx f . [1]10. 求曲面222x z y =+上平行于平面224x y z +-=的切平面方程. [223x y z +-=]三.(10')计算二次积分112201x xdx dy x y ++⎰⎰.[13(ln )222π+]四.(10')计算曲线积分224Lydx xdy x y-+⎰, 其中L 是正向圆周229x y +=. [π-]五.(10')求曲面22z x y =-夹在圆柱面222x y +=及226x y +=之间的曲面面积, 并求相应的形心坐标(其中曲面的密度1ρ=). [49,(0,0,0)3A M π=]六.(10')计算曲面积分22232()()()y xy e dydz yz z dzdx zx xy dxdy -+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面22(1)z x y z =+≤的下侧. [6π]七.(10')将函数22134x x x ++-展开成2x +的幂级数, 并指出相应的收敛范围. [2102111(1)7[](2),4034532n n n n n x x x x x ∞+=+-=-++-<<+-∑]八.(10')设函数()g x 是(,)-∞+∞上周期为1的连续函数, 且1()0g x dx =⎰, 函数()f x 在区间[0,1]上有连续的导数, 记1()()n a f x g nx dx =⎰, 证明: 级数21n n a ∞=∑收敛.[0()()xG x g t dt =⎰,110011()()()'()n a f x dG nx G nx f x dx n n ==-⎰⎰,22n M a n≤]。

同济大学课程考核试卷B卷试题及答案

同济大学课程考核试卷（B卷）答案2013 — 2014 学年第二学期命题教师签名：审核教师签名：课号：课名：建筑混凝土结构设计考试（√）考查（）此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷，开卷（）、闭卷（√）年级专业学号姓名得分一、填空题（共15题，每题1分，共15分）：1．将同一结构在各种荷载组合作用下的内力图（弯矩图或剪力图）叠画在同一张图上，其外包线所形成的图形称为包络图。

它反映出各截面可能产生的最大内力值，是设计时选择截面和布置钢筋的依据。

2．钢筋混凝土板在理论上存在多种可能的塑性铰线形式，但对于某特定的荷载形式，只有相应于极限荷载为最小的塑性铰线形式才是真实的。

3．悬挑的雨篷板构件需要进行抗倾覆验算。

理论上，需要保证抗倾覆力矩大于（填“大于”或“小于”）倾覆力矩。

在实际设计时，为保证一定的安全储备，要求抗倾覆力矩与倾覆力矩之比大于或等于 1.5 （填某具体数值）4．按弹性理论方法计算钢筋混凝土连续梁板的内力时，如果各跨内荷载一样且跨度相等，但跨数多于5跨，则在实际计算中近似按5跨计算（填“近似按5跨计算”或“按实际跨数计算”两者之一）。

在配筋计算时，中间各跨的跨中内力可取与第3跨内力相同（填“可取与第3跨内力相同”或“按实际跨跨中内力”两者之一）5．单层厂房的排架柱为预制构件，应进行吊装和运输验算。

6．抗风柱承受由山墙传来的水平风荷载，抗风柱顶一般视为不动铰，柱底视为固定支座。

当有墙传来竖向荷载时，抗风柱按偏心受压构件设计，否则按受弯构件设计7．纵向定位轴线一般宜与边柱外缘和墻内缘相重合，当不重合时，纵向定位轴线与边柱外缘之间的距离称为联系尺寸。

8．吊车梁的内力有弯矩、剪力、扭矩。

9．框架结构布置中，为利于结构受力，平面上，框架梁宜拉通；竖向对直，框架柱宜上下对中，梁柱轴线宜在同一竖向平面内。

10、公式中，K的物理意义是梁柱线刚度比。

11．采用反弯点法计算内力时，假定反弯点的位置底层柱在距基础顶面2/3处，其余各层在柱中点。

(完整word版)同济大学数值分析matlab编程题汇编

MATLAB 编程题库 1.下面的数据表近似地满足函数21cxbax y ++=，请适当变换成为线性最小二乘问题，编程求最好的系数c b a ,,，并在同一个图上画出所有数据和函数图像.625.0718.0801.0823.0802.0687.0606.0356.0995.0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0ii y x ----解：x=[-0.931 -0.586 -0.362 -0.213 0.008 0.544 0.628 0.995]'; y=[0.356 0.606 0.687 0.802 0.823 0.801 0.718 0.625]'; A=[x ones(8,1) -x.^2.*y]; z=A\y;a=z(1); b=z(2); c=z(3); xh=-1:0.1:1;yh=(a.*xh+b)./(1+c.*xh.^2); plot(x,y,'r+',xh,yh,'b*')2.若在Matlab工作目录下已经有如下两个函数文件，写一个割线法程序，求出这两个函数10 的近似根，并写出调用方式：精度为10解：>> edit gexianfa.mfunction [x iter]=gexianfa(f,x0,x1,tol)iter=0;while(norm(x1-x0)>tol)iter=iter+1;x=x1-feval(f,x1).*(x1-x0)./(feval(f,x1)-feval(f,x0));x0=x1;x1=x;end>> edit f.mfunction v=f(x)v=x.*log(x)-1;>> edit g.mfunction z=g(y)z=y.^5+y-1;>> [x1 iter1]=gexianfa('f',1,3,1e-10)x1 =1.7632iter1 =6>> [x2 iter2]=gexianfa('g',0,1,1e-10)x2 =0.7549iter2 =83.使用GS 迭代求解下述线性代数方程组：123123123521242103103x x x x x x x x x ì++=-ïïïï-++=íïïï-+=ïî解：>> edit gsdiedai.mfunction [x iter]=gsdiedai(A,x0,b,tol) D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); iter=0; x=x0;while((norm(b-A*x)./norm(b))>tol) iter=iter+1; x0=x;x=(D-L)\(U*x0+b); end>> A=[5 2 1;-1 4 2;1 -3 10]; >> b=[-12 10 3]'; >>tol=1e-4; >>x0=[0 0 0]';>> [x iter]=gsdiedai(A,x0,b,tol); >>x x =-3.0910 1.2372 0.9802 >>iter iter = 64.用四阶Range-kutta 方法求解下述常微分方程初值问题（取步长h=0.01）,(1)2x dy y e xy dx y ìïï=++ïíïï=ïî解：>> edit ksf2.mfunction v=ksf2(x,y) v=y+exp(x)+x.*y;>> a=1;b=2;h=0.01; >> n=(b-a)./h; >> x=[1:0.01:2]; >>y(1)=2;>>fori=2:(n+1)k1=h*ksf2(x(i-1),y(i-1));k2=h*ksf2(x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k1); k3=h*ksf2(x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k2); k4=h*ksf2(x(i-1)+h,y(i-1)+k3); y(i)=y(i-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)./6; end >>y调用函数方法>> edit Rangekutta.mfunction [x y]=Rangekutta(f,a,b,h,y0) x=[a:h:b]; n=(b-a)/h; y(1)=y0; fori=2:(n+1)k1=h*(feval(f,x(i-1),y(i-1)));k2=h*(feval(f,x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k1)); k3=h*(feval(f,x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k2)); k4=h*(feval(f,x(i-1)+h,y(i-1)+k3)); y(i)=y(i-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)./6; end>> [x y]=Rangekutta('ksf2',1,2,0.01,2); >>y5.取0.2h =，请编写Matlab 程序，分别用欧拉方法、改进欧拉方法在12x ≤≤上求解初值问题。

2015-同济大学数值分析-参考答案

3
1

1
ex
2
1
1 x
2
dx
34 0 34 e e e 5.481
3
将 f ( x) =x 代入，左边 = 将 f ( x) =x 4 代入，左边 =
1
1
3 3 3 3 3 dx sin d 0 0 2 右边 3 2 1 x2 2
(10 分)
l1 0 0 y1 5 Ly = 1 l2 0 y2 = 3.25 0 2.5 l y -29 3 3
追：
l1 4 l2 5.25 1 u1 5 l3 10.5 2.5 u2 10
x
y
0
2
2
1

1
3 2
2 (10 分)
基函数： 0 ( x) 1, 1 ( x) cos x, 2 ( x) sin x
(0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , 2 ) a (0 , f ) 法方程： (1 , 1 ) (1 , 2 ) b (0 , f ) sym (2 , 2 ) c (0 , f )
xk
4.5 4.766 4 4.789 6 4.790 6 4.790 6
3/4
k 0 1 2 3 4
4.5
Ans Ans cos( Ans) Ans 1 cos( Ans) Ans sin( Ans) 1
= = =
2014-2015 数值分析试卷
维基解密
x3

2
3