误差椭圆
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第十章误差椭圆
第十章 误差椭圆知识点习题与解析10.01 从已知点A 确定点P 的坐标(如图10-1所示)，观测了角度L 、边长S ，T 为已知方向，已知AP 边边长为200m ，测角和测边的中误差分别为βσ=2″，S σ=3cm ，试求待定点P 的点位中误差。
10.02 角ψ和ψσ是怎样定义的?ψϕ、及E ϕ之间有什么关系?10.03 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X X Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20(/())01X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求该点的点位中误差。
10.04 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X XY ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20.5(/())0.53X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求ϕ=30°方向上的位差。
10.05 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆTXX Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，平差后得到ˆX的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∧∧75.015.015.025.0XX Q ，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=。
(1)计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； (2)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (3)计算P 1点在方位角为90°方向上的位差。
10.06 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆˆˆTXX Y ⎡⎤=⎣⎦，平差后得到x 的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∧∧25.125.025.075.1XX Q，且单位权中误差0ˆσ=cm 。
(1)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (2)计算P 2点在方位角为45°方向上的位差。
10.07 已知平差后待定点P 坐标的协因数和互协因数为∧∧∧∧Y X Y X 、Q、QQ 则当∧∧YX Q=0且∧∧YX＞QQ 时，P 点位差的极大值方向为 ，E ϕ= ；位差的极小值方向为 ，F ϕ= 。
第05章 误差椭圆..
由于 Qyx=Qxy，故
Q Qxx cos 2 2Qxy sin cos Q yy sin 2 Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2
而待定点P在φ方向上的位差可用下式得到
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2 )
zqz99@
(Q xx Q yy ) 4Q
2
2 xy
(5-20)
位差的极大值和极小值为
E 0 QEE F 0 QFF
(5-21) (5-22)
因为两个极值方向相互垂直，故
2 E2 F 2 0 (QEE QFF ) 2 0 (Qxx Q yy ) 2 P
zqz99@
(5-13)
由式(5-13)可知σ 2φ的大小与方位角φ有关 ｡在所有方向 的位差权倒数中，必有一对权倒数取得极大值和极小值，分 别设为 QEE和QFF ，而相应的方向分别设为φE和φF ，其中在
φE方向上的位差具有极大值，而在φF 方向上的位差具有极
小值，很显然， φE和φF两方向之差为90°｡
由图可知点位真误差PP ′在φ方向上的投影值为 PP′″，且:
PP
Δy
平差位置
PP PP x cos y sin
Δx
Δxcos φ 真实位置
x cos sin y Δφ 点位真误差在方位角为 φ方向上的投影 (5-11)
测量工作中通常用点位中误差σP来衡量待定点的精度，
只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式 (5-3)或式(5-6)计算点位中误差｡
2 2 2 P x y
Q Qxx cos 2 2Qxy sin cos Q yy sin 2 Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2
而待定点P在φ方向上的位差可用下式得到
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2 )
zqz99@
(Q xx Q yy ) 4Q
2
2 xy
(5-20)
位差的极大值和极小值为
E 0 QEE F 0 QFF
(5-21) (5-22)
因为两个极值方向相互垂直，故
2 E2 F 2 0 (QEE QFF ) 2 0 (Qxx Q yy ) 2 P
zqz99@
(5-13)
由式(5-13)可知σ 2φ的大小与方位角φ有关 ｡在所有方向 的位差权倒数中，必有一对权倒数取得极大值和极小值，分 别设为 QEE和QFF ，而相应的方向分别设为φE和φF ，其中在
φE方向上的位差具有极大值，而在φF 方向上的位差具有极
小值，很显然， φE和φF两方向之差为90°｡
由图可知点位真误差PP ′在φ方向上的投影值为 PP′″，且:
PP
Δy
平差位置
PP PP x cos y sin
Δx
Δxcos φ 真实位置
x cos sin y Δφ 点位真误差在方位角为 φ方向上的投影 (5-11)
测量工作中通常用点位中误差σP来衡量待定点的精度，
只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式 (5-3)或式(5-6)计算点位中误差｡
2 2 2 P x y
误差椭圆
2 2 E(∆P2 ) = E(∆x2 ) + E(∆y2 ) = σ x +σ y
2 E[∆x ] = E[( x− x)2 ] = E[( x − E(x)) 2 ] = σ x 2 2 E[∆y ] = E[( y− y)2 ] = E[( y − E( y)) 2 ] = σ y 2 ~
~
σ = σ +σ
p
ϕ
p′′
p′′′
∆ϕ
y
由广义误差传播律: 由广义误差传播律
Qϕϕ = Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin 2ϕ
2 2 2 σϕ = σ 0 Qϕϕ = σ 0 (Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin(2ϕ)
三、位差的极大值 E和极小值 F
上
E = σ QEE =
2 2 0
σ02
2
(Qxx + Qyy + K),
∆ψ = cosψ∆E + sinψ∆F Q = QEE cos2 ψ + QFF sin2 ψ + QEF sin 2 ψ ψψ
QEF = 0
Qψψ = QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ
2 2 2 σψ = σ 0 Qψψ = σ 0 (QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ ),
∧
Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧
∧
X1 X i
∧
X1Y i
∧
L Q∧ L Q∧ L
∧
X1 X u
∧
Y1 Y1
Y1 X i
Y1 Y i
Y1 X u
2 E[∆x ] = E[( x− x)2 ] = E[( x − E(x)) 2 ] = σ x 2 2 E[∆y ] = E[( y− y)2 ] = E[( y − E( y)) 2 ] = σ y 2 ~
~
σ = σ +σ
p
ϕ
p′′
p′′′
∆ϕ
y
由广义误差传播律: 由广义误差传播律
Qϕϕ = Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin 2ϕ
2 2 2 σϕ = σ 0 Qϕϕ = σ 0 (Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin(2ϕ)
三、位差的极大值 E和极小值 F
上
E = σ QEE =
2 2 0
σ02
2
(Qxx + Qyy + K),
∆ψ = cosψ∆E + sinψ∆F Q = QEE cos2 ψ + QFF sin2 ψ + QEF sin 2 ψ ψψ
QEF = 0
Qψψ = QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ
2 2 2 σψ = σ 0 Qψψ = σ 0 (QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ ),
∧
Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧
∧
X1 X i
∧
X1Y i
∧
L Q∧ L Q∧ L
∧
X1 X u
∧
Y1 Y1
Y1 X i
Y1 Y i
Y1 X u
误差椭圆
Qxx Qxx
Qyy Qyy
K
其中 K Qxx Qyy 2 4Q2xy
22
7.5 点位落入误差椭圆内的概率
二维正态分布的联合概率密度函数：
f
x,
y
2
1
x y
1
2
exp
1
21 2
PP PP PP
x cos y sin cos
sin
x y
6
Q cos
s
in
Qxx Qxy
Qxy Qyy
c s
os in
Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
• 误差椭圆反映的是待定点的点位分布情况，是一 个概率形象。当坐标轴旋转E角后，可得标准椭 圆方程。
17
• 在误差椭圆上量取任意方向的位差
X´
P
• 方法：过椭圆作方向的正交切线PF
F
• P－切点，F－垂足，则
OF
O Y´
• 中误差曲线在测量中的应用举例
18
•误差椭圆绘制： • 1) E角无负值； • 2) E>F； • 3) 测量坐标系绘制；
用求
特征
向量
的方
法求极
大值
和极
小值
的方
向
E、
。
F
Qxx Qxy
1
Qxy Qyy
1
c s
osE in E
0
,
得
tan E
QEE Qxx Qxy
误差椭圆
2
第十章——误差椭圆
2 令： K (Qxx Q yy ) 2 4Qxy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
第十章——误差椭圆
（7）式和（8）式就是用极值E、F计算纵横坐标中误差 的公式。 若规定任何方向都由E 轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴 的方位角为 360 E （如图）。故（7）式可写为：
2 x E 2 cos2 (360 E ) F 2 sin 2 (360 E )
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
§10-5 相对误差椭圆
在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就可应用点位误 差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。 但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位 角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相 对精度。为此，有必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。 设有任意两个待定点 为：
第十章——误差椭圆
极值方向
当
当
tan 2 0
2Qxy Qxx Q yy
Qxy 0 时，极大值在一、三象限；
Qxy
极小值在二、四象限。 时，极大值在二、四象限； 0 极小值在一、三象限。
第十章——误差椭圆
2 令： K (Qxx Q yy ) 2 4Qxy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
第十章——误差椭圆
（7）式和（8）式就是用极值E、F计算纵横坐标中误差 的公式。 若规定任何方向都由E 轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴 的方位角为 360 E （如图）。故（7）式可写为：
2 x E 2 cos2 (360 E ) F 2 sin 2 (360 E )
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
GPS 网 三 维 无 约 束 平 差 误 差 椭 圆
第十章——误差椭圆
§10-5 相对误差椭圆
在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就可应用点位误 差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。 但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位 角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相 对精度。为此，有必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。 设有任意两个待定点 为：
第十章——误差椭圆
极值方向
当
当
tan 2 0
2Qxy Qxx Q yy
Qxy 0 时，极大值在一、三象限；
Qxy
极小值在二、四象限。 时，极大值在二、四象限； 0 极小值在一、三象限。
测量平差基础课件——误差椭圆
tg2 0
2Q xy (Qxx Q yy )
2020/6/11
确定极值方 向的公式
两个根：2 0 和 20 180 即，使Q 取得极值的方 向值为 0 和 0 90 ，其 中一个为极大值方向， 另一个为极小值方向。 那么，哪个是极大值方 向？哪个是极小值方向 呢？下面作进一步的推 证：
9
§6-2 点位ห้องสมุดไป่ตู้差
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1.极值方向的确定
总之：
tg2 0
2Q xy (Qxx Q yy )
两个根： 2 0
20 180
两个极值方向：0 0 90
当 当Qxy 0 ： 极大值方向 E 在一、
三象限，极小值在二、四象限。
当 当Qxy 0 ： 极大值方向 F 在一、
三象限，极小值在二、四象限。
2 P
02(Qxx
Qyy)
02(
1 Px
1 )
Py
P 0
Qxx Qyy 0
11 Px Py
Qx1 y1
Qx1 x2
Qx1 y2
Qx1 xk
Q x1
yk
Q y1 y1 Qx2 y1 Q y2 y1
Q y1 x2 Qx2 x2 Q y2 x2
Q y1 y2 Qx2 y2 Q y2 y2
三、位差的极大值 E 和极小值 F
1.极值方向的确定
cos2
0
1
cos 20
2
,
sin2
0
1
cos 20
2
或
Q
(Qxx
1 cos 20 2
Qyy
1 cos 20 2
Qxy sin20 )
第26讲误差曲线与误差椭圆
误差 Nhomakorabea线与误差椭圆
《第26讲 误差曲线与误差椭圆》
误差曲线与误差椭圆
提纲： 一、误差曲线 二、误差椭圆
一、误差曲线
误差曲线与误差椭圆
1、误差曲线定义
以待定点P为极点， 为极角，为长度的极坐标点的轨迹，这个 曲线把各方向的位差清楚地图解出来了，
如右图，OP的长度就是O点在OP方向的位差 ___
在目前普遍采用计算机计算和绘图 的条件下，可以直接采用误差曲线， 不必采用误差椭圆，并且图解的方 法已经不再适用。 上面的讨论都只针对一个待定点， 确定该点的误差曲线和误差椭圆。
误差曲线与误差椭圆
谢 谢！
后方位角P的A 中误差，可以先从图上量取垂直于PA方向上的位
一、误差曲线
误差曲线与误差椭圆
差Pg，这是PA边的横向误差
，则由下式可得
u
PA
u
SPA
Pg
SPA
上式SPA是PA的长度。
二、误差椭圆
误差曲线与误差椭圆
由于点位误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便，因此降
低了它的实用价值。由于误差曲线形状与以E、F为长半轴和 短半轴的椭圆相似，实用上以椭圆代替，这个椭圆称为点位
的误差椭圆， E、E、称F为点位误差椭圆的参数。椭圆方程为： ，即Ex误22 差Fy椭22 圆 1分别以E、F为长短半轴。
误差曲线与误差椭圆
二、误差椭圆
误差椭圆的向径不再是P点在该方向的误差，但只要在垂直于 该方向上作椭圆的切线，则垂足与原点的连线长度即该方向 上位差。每一个待定点可作一个误差曲线或误差椭圆。
显然，任意方向 上 的向径 就OP是该方向
的位差 （ 呈8字形，且关于轴和轴对称）
《第26讲 误差曲线与误差椭圆》
误差曲线与误差椭圆
提纲： 一、误差曲线 二、误差椭圆
一、误差曲线
误差曲线与误差椭圆
1、误差曲线定义
以待定点P为极点， 为极角，为长度的极坐标点的轨迹，这个 曲线把各方向的位差清楚地图解出来了，
如右图，OP的长度就是O点在OP方向的位差 ___
在目前普遍采用计算机计算和绘图 的条件下，可以直接采用误差曲线， 不必采用误差椭圆，并且图解的方 法已经不再适用。 上面的讨论都只针对一个待定点， 确定该点的误差曲线和误差椭圆。
误差曲线与误差椭圆
谢 谢！
后方位角P的A 中误差，可以先从图上量取垂直于PA方向上的位
一、误差曲线
误差曲线与误差椭圆
差Pg，这是PA边的横向误差
，则由下式可得
u
PA
u
SPA
Pg
SPA
上式SPA是PA的长度。
二、误差椭圆
误差曲线与误差椭圆
由于点位误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便，因此降
低了它的实用价值。由于误差曲线形状与以E、F为长半轴和 短半轴的椭圆相似，实用上以椭圆代替，这个椭圆称为点位
的误差椭圆， E、E、称F为点位误差椭圆的参数。椭圆方程为： ，即Ex误22 差Fy椭22 圆 1分别以E、F为长短半轴。
误差曲线与误差椭圆
二、误差椭圆
误差椭圆的向径不再是P点在该方向的误差，但只要在垂直于 该方向上作椭圆的切线，则垂足与原点的连线长度即该方向 上位差。每一个待定点可作一个误差曲线或误差椭圆。
显然，任意方向 上 的向径 就OP是该方向
的位差 （ 呈8字形，且关于轴和轴对称）
误差椭圆
Qmin 0
QFF 0
1 2
Qxx Qyy K
或写成
E2
1 2
2 x
2 y
2 x
2 y
2
4
2 xy
F 2
1 2
2 x
2 y
2 x
2 y
2
4
2 xy
其中：E 2
F2
2 x
2 y
2 P
11
第七章 误差椭圆
1
• 7.1 概述 • 一、点位误差 • A－－已知点 • P－－待放样点P的真位置 • P´－－P点平差后的平差值点位
P点在x、y方向的真误差：X
x y
~xP ~yP
xˆP yˆ P
x
P点点位真误差： A
y P´ u
s P
P x2 y2
QXX I C 0
就是QXX的两个特征根。
9
由特征方程：
QXX
I
Qxx
Qxy
Qxy 0
Qyy
,
得
1 2
Qxx Qyy
1 2
Qxx Qyy 2 4 QxxQyy Qx2y
即
1
Qmax QEE
• 4）误差椭圆绘制的比例尺比地形图的比例尺要 大，一般为1：10或1：1等。
19
• 7.4 相对误差椭圆
• 点位误差椭圆－待定点对已知点的点位精度情况
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x
E
E
2 E 2 0 Qx cos2 E Qy sin2 E Qxy sin 2E
E 90
y
F 2 02 Qx cos 2 F Q y sin2 F Qxy sin 2 F
四、位差的极大值和极小值的计算 把 0 代入位差计算式得
x
xE
E
由图可知，任意方向在 两个坐标系中的方位角 有如下关系:
y
yE
E
代入位差计算式得:
2 2 2 2 x cos 2 E y sin2 E xy sin 2 2 E
§10-1 点位误差概述
1 2 0 Qx Q y 2
Q
x
Qy
2
4Q
2 xy
§10-1 点位误差概述
四、位差的极大值和极小值的计算
2
0
1 02 Qx Q y 2
2 Qx Q y 4Qxy 2
令
K
2 Qx Q y 4Qxy 2
1 sin 2 2
2 2 cos 2 x cos 2 E y sin 2 E xy sin 2 E 2
2 2 2 2 sin x cos E y sin E xy sin 2 E 2 2 2
d Qx cos 2 Q y sin 2 Qxy sin 2 d
§10-1 点位误差概述
三、位差极值方向的确定
设位差的极值方向为 0 , 则有
Qx Q y sin 2 0 2Qxy cos 2 0 0
即
tan 2 0
2Qxy Qx Q y
cos 20 2Qxy sin 20 Qx Q y 2 tan 20 2Qxy
02
2Qxy 1 2 0 Qx Q y 2 sin 2 0
§10-1 点位误差概述
四、位差的极大值和极小值的计算
E E E
P s u
§10-1 点位误差概述
一、点位误差概念及点位误差的计算
2. 点位方差及其计算
2 记 P E P 2 ，则有：
2 2 2 2 P x y s2 u ―点位方差计算式
§10-1 点位误差概述
六、应用实例
解: (1) 计算极值方向
X
B
3 4
M
P 8 9 7
5 6
tan 2 0
2Q xy ˆˆ Qx Q ˆ ˆ y
A
2 0.36 3.81 2.93 0.81818
因为 Qxy 0 ，故 ˆˆ
2
1
C
20 39 17 ,
219 17
Q xy＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限，极小值方向在第
Ⅱ、Ⅳ象限；
Q xy＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在第
Ⅰ、Ⅲ象限。
§10-1 点位误差概述
四、位差的极大值和极小值的计算
用 E 表示极大值方向、 90 0 表示极小值方向； F E 用E、F 分别表示位差的极大值和极小值。则有
2 2 0 Qx cos 2 0 Q y sin2 0 Qxy sin 2 0
0
1 cos 2 0 1 cos 2 0 02 Qx Qy Qxy sin 2 0 2 2
02 Qx Qy Qx Qy cos 20 2Qxy sin 20 2
2 0
§10-1 点位误差概述
三、位差极值方向的确定
2
0
2 tan 0 2 2 Qx cos 0 Q y sin 0 Qxy 1 tan2 0
2 0
极值方向的判别方法: Q xy 与 tan 0 同号为极大值，记 为E；异号为极小值记为F，即：
五、用E、F表示的任意方向Ψ上的位差
sin
2
2 2 cos 2 x cos 2 E y sin 2 E xy sin 2 E 2 x 2 sin 2 E y cos 2 E xy sin 2 E 2 x 2 y sin 2 E 2 xy cos 2 E
五、用E、F表示的任意方向Ψ上的位差
2 2 2 2 x cos 2 E y sin2 E xy sin 2 2 E
1 2 2 2 2 cos cos E sin sin E sin 2 sin 2 E 2
2 x
y E y 2 E y y 2 E y y 2 E 2 E y
2 y
故有 同理有：
2 2 E P 2 E x 2 E y 2 x y
2 2 2 2 s 2 u
u
x P
s
P
A
y
§10-1 点位误差概述
一、点位误差概念及点位误差的计算
2. 点位方差及其计算 由方差的定义式可得：
x E x 2 E x 2 E x 2 E 2 E x x x
整理得:
2 E 2 cos 2 F 2 sin2
§10-1 点位误差概述
六、应用实例
例题1 如图，在固定三角形内 插入一点P，经过平差后求得P 点坐标的协因数阵为:
Qx ˆ Qˆ ˆ yx Qxy 3.81 0.36 ˆˆ 0.36 2.93 Q ˆy
0 19 39 , 109 39
F 109 39 , 289 39
E 19 39 , 199 39
§10-1 点位误差概述
六、应用实例
(2) 求位差的极值
K
2 Qxˆ Q ˆy 4Qxyˆ ˆ 2
X
B
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第十章 误差椭圆
介绍点位位差、误差曲线、误 差椭圆和相对误差椭圆的概念，误
差曲线与误差椭圆的关系，误差椭
圆三要素和点位在任意方向上位差 的计算方法。
本章主要内容
§10-1 点位误差概述
§10-2 误差曲线
§10-3 误差椭圆和相对误差椭圆
§10-1 点位误差概述
一、点位误差概念及点位误差的计算
二、P点在任意方向φ上的位差
u
x, y
x P
s
P
Δs ：P点真位差在AP方向的投影，称为
纵向误差。
Δu ：P点真位差在垂直于AP方向上的投
A
y
影，称为横向误差。
§10-1 点位误差概述
一、点位误差概念及点位误差的计算
1. 点位真误差
x
y
P
如图可得：
2 2 2 P x y 2 2 P s2 u
2 d
d
2 0
02 ( Qx Q y ) sin 2 2Qxy cos 2
02 Qx sin 2 Q y sin 2 2Qxy cos 2
02 2Qx cos sin 2Q y sin cos 2Qxy cos 2
2
A
X
B
3 4
M
P 8 9 7 1
6 5
C
ˆ 单位权方差估值为 02 1.96 s 2 试求 (1) 位差的极值方向 E 和 F , (2) 位差的极大值 E 与极小值 F , (3) P点在PM方向上的点位误差（已知 PM 75 29 ）, (4) P点的点位方差。
代入上式, 得
1 E 2 02 ( Qx Q y ) K 2 1 2 F 2 0 ( Qx Q y ) K 2
与 E 2、 2 有下面关系: 2 E 2 F 2 F P
2 P
§10-1 点位误差概述
五、用E、F表示的任意方向上的位差
2 x
1 2 2 2 2 sin cos E cos sin E sin 2 sin 2 E 2
2 y
xy sin 2 cos 2 E cos 2 sin 2 E sin 2 sin 2 E
§10-1 点位误差概述
M
P 8 9 7
5 6
3.81 2.93 4 0.36 2
2
2
A
1
C
1.14
1 ˆ E 2 02 Qx Q ˆy K 7.72 ˆ 2
cm
2
E 2.78 cm F 2.34 cm
上式即为求任意方位角 方向上点位方差的 计算公式。
§10-1 点位误差概述
三、位差极值方向的确定
2 02Q 02 Qx cos 2 Q y sin2 Qxy sin 2
由位差计算式可以看出, P 随着 值的变化而改变， 具有最大值和最小值。为此，令一阶导数等于零，即
上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关,
即与坐标系的选择无关。 用点位方差衡量P 点精度的缺陷：
不能完善说明P 点在任一个方向上的精度情况，不 能确定P 点在哪一个方向上的精度最好（最差）。