反证法

2．2.2 反证法
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学习目标
结合实例
―了―解→
反证法是间接证明 的一种方法
―理―解→
反证法的 思维过程
―掌―握→
运用反证法证 明数学问题
重点难点 重点：了解反证法及其思考过程、特点． 难点：根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点解决 有关问题．
新知初探思维启动
1．反证法 假设原命题_不__成__立__ ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因 此说明__假__设____错误，从而证明了__原__命__题___成立，这种证明 方法叫做反证法．
则n≠m. 若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾； 若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾． 因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 【名师点评】 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两 个命题，即存在性和唯一性．本例用直接证法中的综合法证 明了存在性，反证法证明了唯一性．
证明：假设存在一个实数 λ，使{an}是等比数列，则有 a22＝
a1a3，即
(23λ－
3)2＝
λ(49λ－
4)⇔4λ2－ 9
4λ＋
9＝4λ2－ 9
பைடு நூலகம்4λ⇔
9＝
0，
矛盾．所以对任意实数 λ，{an}不是等比数列．
本部分内容讲解结束
用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式如下
表：
正面词语
否定
正面词语
否定
等于 小于 大于
不等于
都是 不都是(至少有一个不是)
不小于(大于或等于) 至多有一个
至少有两个
不大于(小于或等于) 至少有一个
一个也没有
是
不是
想一想 1.用反证法证明命题“若 p，则 q”时，为什么证出非 q 假， 就说明“若 p，则 q”就真？
bn，证明：数列{cn}不是等比数列．
【证明】 假设{cn}是等比数列， 则当 n≥2 时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)． ∴ a2n＋ 2anbn＋ b2n ＝ an－1an＋ 1＋ an－ 1 bn＋ 1＋ bn－1an＋ 1＋ bn－ 1 bn＋ 1. 设{an}，{bn}的公比分别为 p，q(p≠q)． ∵ a2n＝ an－1 ·an＋ 1， b2n＝ bn－1 ·bn＋ 1，
Δ1＝4a 2＋ 44a－ 3＜ 0， Δ2＝a－ 1 2－ 4a2＜ 0， Δ3＝2a 2－ 4×－2a＜ 0，
－3＜
2
a＜12，
则 a＞13或a＜－1，解得－32＜a＜－1， －2＜a＜0，
与 a≤－32或 a≥－1 矛盾，故原命题成立．
题型三 用反证法证明否(肯)定式命题
例1 设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋
证明：假设 a＋b>2，则 (a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8， 由 a3＋b3＝2，得 3ab(a＋b)>6，
即 ab(a＋b)>2. 又 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2， ∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)． ∴a2－ab＋b2<ab. 即(a－b)2<0，这与(a－b)2≥0 相矛盾， 故 a＋b≤2.
方法感悟
用反证法证题时要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐 一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证，否则，仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就 不是反证法． (3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与定理、公理相违背等，但推导出的矛盾必 须是明显的．
题型三 用反证法证明(或解答)“至多”或“至少”类命题
例3 (2013·临沂高二检测)已知 a、b、c∈(0,1)，求证：
(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 中至少有一个不大于14.
【证明】 假设三式同时大于1， 4
即 (1－ a)b＞14，(1－ b)c＞14， (1－ c)a＞14， 三式相乘，得
提示：“若 p，则非 q”是“若 p，则 q”的否定，二者一 真一假，所以“若 p，则非 q”为假，说明“若 p，则 q” 为真．
想一想 2.“反证法”与“证逆否命题”有什么主要区别？ 提示：(1)两种证法的逻辑原理不同．“反证法”的原理是命 题与命题的否定一真一假，“证逆否命题”的原理是命题与 其逆否命题的等价性(即同真假)． (2)两种证明的推理形式不同，证明逆否命题实际上就是从结 论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设 结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．
2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以
是与已知条件、公理、定义、定理及明显成 立的事实或自相矛盾等．
想一想 3.用反证法证明命题“如果 a＞b，那么3 a＞3 b”时，假 设的内容是什么？
33 假设的内容应是 a≤ b.
典例剖析
题型一 用反证法证明不等式 例1 若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. 分析 本题直接证明不知从何处入手，证明比较困难， 因此，可用反证法证明．
跟踪训练
2．(1)证明：方程2x＝3有且只有一个根． 证明：(1)∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程有一个根． 下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的． 假设方程2x＝3有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1. 如果b1－b2＞0，则2b1－b2＞1，这与2b1－b2＝1相矛盾； 如果b1－b2＜0,2b1－b2＜1，这也与2b1－b2＝1相矛盾． 所以方程2x＝3有且只有一个根．
反证法在数列中的应用 例4 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3 ＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； (2)设 bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都 不可能成为等比数列．
【解】 (1)由已知得a1＝ 2＋1， 3a1＋3d＝9＋3 2，
结 束
∴ 2anbn＝ an－ 1 bn＋ 1＋ bn－1an＋ 1
＝apn·bn·q＋ bqn·an ·p，
∴ 2＝qp＋pq，
∴当
p≠q
时，qp＋pq＞ 2
或q＋p≤－ pq
2
与qp＋pq＝2
矛盾，
∴ { cn}不是等比数列．
【名师点评】 (1)当结论为否定形式的命题时，通过反设， 转化为肯定性命题．可作为条件应用进行推理，因此对此类 问题用反证法很方便． (2)用反证法证明问题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
3. 宜用反证法的题型 (1) 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接证明较困 难． (2) 如果直接从正面证明，需要分多种情况讨论，而从反 面证明只有一种或很少几种情形． (3) 直观判断显然成立的命题，否定性命题，含“至多”， “至少”等字眼的存在性问题宜用反证法．
4．常用正面词语与其否定形式
∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)． (2)证明：由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2.
假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等 比数列，则 b2q＝bpbr， 即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0.
跟踪训练 1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求 证： a， b， c不成等差数列．
题型四 用反证法证明唯一性命题 例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，且
f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增， 求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开,且f(a)＜ 0,f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0， 所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则 f(m)＝0， 假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，
变式训练 2 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋2π，b ＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋6π，
求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明 假设 a，b，c 都不大于 0，则 a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c ＝(x2－2y＋2π)＋(y2－2z＋3π)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
题型二 用反证法证明存在性命题 例 2 已知 x，y>0，且 x＋y>2， 求证：1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2. 分析 用反证法．
证明 假设1＋y x，1＋x y都不小于 2， 即1＋y x≥2，1＋x y≥2.
∵x>0，y>0， ∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋(x＋y)≥2(x＋y)． ∴x＋y≤2. 这与已知相矛盾． ∴1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
∵p、q、r∈N*，∴q22q－－ppr－＝r0＝，0，
∴
p＋ (
r)2＝
pr，(p－
r)2＝
0，∴
p＝
r.
2
这与 p≠r 矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
跟踪训练
4．已 知数列{an}和 {bn}满足： a1＝ λ， an＋ 1＝23an＋ n－ 4，其 中 λ 为实数，n 为正整数．对任意实数 λ，证明数列{an}不 是等比数列．