第五章线性空间与线性变换PPT课件

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线性空间与线性变换重要PPT课件

(5) a a;
(6) a ( a) ( a);
(7) a b a b；
(8) 1 a a1 a.
故在该加法和数乘运算下，对应集合构成实数域上的线性空间。
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注：线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.
线性空间的简单性质：
若 (II) 组中的每个向量都能由向量组 (I) 线性表示, 则称向量组 (II) 可由向量组 (I)线性表示, 若向量组 (I) 与向量组 (II) 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
性质设A, B,C是向量组，则
(1)反身性：A与A等价 (2)对称性：A与B等价，则B与A等价 (3)传递性: A与B等价，B与C等价,则A与C等价.
即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.
同理，对 1, 2 ,令
k11 k22 0
即
kk1120k2 0
k1 5k2 0
得k1 k2 0. 故 1, 2 线性无关.
注：向量组只包含两个非零向量 1,时2，则
1,2线性相关，使2 =1或1=2
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线性相关性的判定
定理1 n维列向量组 1,2, ,s线性相关的充要条
特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
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例1 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 Rmn．
Amn Bmn Cmn , Amn Dmn ,
易验证加法和数乘满足八条运算律.
Rmn是实数域上的线性空间.
3.1 线性空间的定义与性质
常见的几何空间：

线性代数课件PPT复习四五章

0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充要条件及方法.

5.4第5章线性空间与线性变换

7
4. 线性变换T的象集T (V n )是一个线性空间V n ( 的子空间), 称为线性变换T的象空间. 证明设 1 , 2 T (Vn ), 则有 1 , 2 Vn ,
使 T1 1 , T 2 2 , 从而
1 2 T1 T 2 T (1 2 ) T (Vn ), (因1 2 Vn ); k1 kT1 T (k1 ) T (Vn ), (因k1 Vn ),
所以， B X AX
1
18
例19 设V是一个二维线性空间， 1 , 2 是一组基，线性变换在 1 , 2 下的矩阵是 2 1 1 0
1 1 1 , 2 为V的另一组基，且 (1 ,2 ) (1 , 2 ) 1 2 求在基 1 , 2 下的矩阵.
19
小结
R 给定了线性空间 R 的一组基以后，中的线性变换与 R nn 中的矩阵形成一一对应．因此，在线阵．
n n
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
20
思考题
已知R 的两个线性变换
22
T ( X ) XN , S ( X ) MX , X R22
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的 n n 矩阵的一个 13 映射.
定理3 设 1 , 2 ,, n 是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，V的每个线性变换都唯一对应一个 n n 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.

线性代数-线性空间与线性变换PPT课件

例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章线性空间与线性变换 25

第讲线性空间与线性变换课件

即
0 x 0, x 0,1
f 的负元素为 f1 x f1 x, x 0,1
（2）下证 dimV ，即证存在任意多个线性无关的函数。令
f0 x 1, f1 x x, f2 x x2, , fn x xn , x 0,1
则可证 f0, f1, , fn 线性无关，由于 n 任意大，所以
2、线性空间的简单性质
（1）零元素是唯一的；（2）任意元素的负元素是唯一的；
（3）0 , k ,1 ;
（4）如果 k ，则 k 0 或 .
例1、设V 是定义在闭区间0,1 上所有实函数的集
合，在V 上定义的加法为：对 f1, f2 V , f1 f2 为函数
f1 f2 x f1 x f2 x
设，存在 Vi ,1 i m 1. 若 Vm ，得证。否则， Vm ，必存在 Vm 。我们证明存在正整数 k , 使 k Vi 对所有的 i 1, 2, , m 成立。
首先注意 k Vm。否则，我们有 Vm ，矛盾。
我们证明上述断言成立，只需证明存在正整数 k ，使
k Vi 对 i 1, 2, , m 1 成立即可。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
例2、设V1,V2 是数域P上的线性空间，对 k P,
1,2 , 1, 2 V1 V2 , 规定 1,2 1, 2 1 1,2 2 k 1,2 k1, k2
（1）证明：V1 V2 关于以上运算构成P上的线性空间；
（2）设 dimV1 m,dimV2 n ，求 dimV1 V2 .
A
s
，作齐次线性方程组
Ax O
T s
可得它的基础解系1, 2, , ns（其中i 为 n 维列向量），
则有 iT j

第五章线性空间与线性变换第三讲

fi ( A) xi fi ( A)ui ( A)gi ( A) x ui ( A) f i ( A)gi ( A) ui ( A) f ( A) x 0, 即 xi V 于是V V1 Vk
下面证明若 x Vi
V ，则
j i j j i
x 0.
x Vi，即f i ( A) x 0，x V j，即x＝ y j，其中y j V j，将x＝ y j 代入(*)中得到
第三讲
多项式与子空间
1.
设A是域F上的线性空间V的线性变换,f(t)是域F上的多项式，f(A)= 0,且 f(t)= f(t) 1
-1 fk(t)，f1 , ,fk 两两互质,且Vi＝f(A) (0), 1 i k. i
证明：V = V1⊕ ⊕Vk 证：令gi (t ) f (t ) , 显然g1 (t ), fi (t ) , g k(t)是两两互质的，即它们的最大公因式是1. gk (t )uk(t)＝1, 于是
故 V Vx1 Vx2
4.
设λ 是线性变换A的r重特征值,A是n维线性空间V的线性变换,Vλ 是 A的特征子空间，V1是A的属于λ 的根向量构成的根子空间. 证明： Vλ 的维数 ≤ r，V1的维数＝r x 取V的一组基使A的矩阵为若当标准形. A= 其中j , j 1 s 1 x s 0 0 x A1 0 s n r ，故 I A x = 其中 A1 1 A2 0 s 1 x A2 x . 因j ， 1 j s, 于是r ( A2 ) s, 易验证A1r 0, s 于是 I A的秩 s n r，故( I A)X 0的解空间的维数 r , 即V的维数 r. 又( I A)r的秩等于n r，故( I A)r X 0的解空间V1的维数等于r.

线性代数课件PPT第五章线性变换 S1 线性变换的定义

由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2,
所以
T1(p+q)T1(p)+T1(q).
18
5
T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1).
所以, 变换T是线性变换.
y P'
记
x y
r cos r sin
, 于是
T
x y
x cos x sin
y sin y cos
p
o
x
r r
cos cos
cos sin
r sin sin r sin cos
r r
cos( sin(
)),
例5 设V是数域F上的线性空间，k是F中的某个数，定义V的变换如下：
k
这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换.
当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换 .
8
例6: 在R3中定义变换: T(x1, x2, x3)= (x12, x2+x3, 0),
则T不是R3的一个线性变换.
证明: 对任意的=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)R3, T( + )=T(a1+b1, a2+b2, a3+b3)
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.
一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵, xRn, 变换 T(x)=Ax是本节所定义的线性变换.
事实上, 对任意的x, xRn,
T(x+x) =A(x+x) =Ax+Ax =T(x)+T(x),
T(kx) =A(kx)=kAx =kT(x).
6

线性空间及线性变换71页PPT

线性空间及线性变换
1、纪律是管理关系的形式。——阿法纳西耶夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响，而是让儿童练习良好道德行为，克服懒惰、轻率、不守纪律、颓废等不良行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养成儿童自觉的纪律性，这是儿童道德教育最重要的部分。—— 陈鹤琴
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯

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定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在 V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足 (1) +=+(加法交换律);
(2) (+)+=+(+)(加法结合律);
(3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) k(+)=k+k , , V, kK; (6) (k+l)=k+l , V, k, lK; (7) (kl)=k(l ) , V, k, lK; (8) 1= , V, 1K; 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V.
解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.
所以, 向量在基1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T.
也可以写成:
2 1 1 , 2 , 3 2 1 2
一般地, 向量在基1, 2,…, n下的坐标为(x1, x2,…xn)T,
向量组1, 2,…r的一个极大线性无关组, 就是线性
空间L(1, 2,…r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.
定理5.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组1, 2,…, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量m+1, m+2,…,n, 使得1, 2,…, m, m+1, m+2,…,n是V的一组基.
Rmn是mn维线性空间, 如R23的一组基为:
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V 的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩. 例如
齐次线性方程组Ax=0的基础解系就是方程组解空间 U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r, 则U是n-r维线性空间. K[x]n是n维线性空间, 1, x, x2,…,xn-1 是它的一组基.
第五章
线性空间与线性变换
线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.
§1 线性空间的概念
一. 数域
定义5.1 设K是一个数集, 如果 (1) 0, 1K ; (2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域. 可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域.
线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量. 例如: 数域K上的所有n维向量组成的集合Kn, 对向量的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间. 数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn, 对矩阵的加法和
乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间.
实系数齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U, 对解
向量的加法和乘数两种运算, 构成实数域R上的一个线性
空间. 数域K上的所有次数小于n的多项式的集合K[x]n, 对多项式的加法和乘数两种运算, 构成K上的一个线性空间.
线性空间具有下列简单性质: 1. 零向量是唯一的. 01=01+02=02 2. 每个向量的负向量是唯一的. -1=(-1)+0=(-1)+(+(-2)) =((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2 3. 0=0, k0=0, V, kK 0+=0+1=(0+1)=, 由1.得0=0 . 4. 若k=0, 则, k=0或=0. =1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0
三. 子空间定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U 对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的
子空间.
按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间,
V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它
的称为非平凡子空间. 定理5.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V 的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的. 即 , U, kK, 都有+U, kU
也可表示为:
x1 x2 1 , 2 , ..., n xn
二. 基变换与坐标变换
线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系. 设1, 2,…,n和1, 2,…, n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果
数集
Q (2 ) { a + b 2 | a , b Q }
也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于
有理数域. 二. 线性空间的定义和例子
对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域
上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间.
由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.
定义5.5 设1, 2,…, n是线性空间VK的一组基, 如
果VK可以表示为:
=x11+x22+…+xnn
则称(x1, x2,…xn)T为向量在基1, 2,…, n下的坐标.
可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的.
例1 试求线性空间R3中向量=(1, 2, 3)T在基:
1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 1, -1)T, 3=(1, -1, -1)T
下的坐标+x33 即
x1 x 2 x 3 1 x1 x 2 x 3 2 x x x 3 2 3 1