增长率利润问题
九年级数学一元二次方程的应用之利润与增长率问题
例3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。
为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
变式训练
1、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万。
（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利＝销售利润＋返利）
2、某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲。
（注：宾馆客房是以整间出租的）
（1）若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是___________元；
（2）设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是_____________；
y 元，试求这天每间客房的价格是多少元？
（3）在（2）中，如果某天宾馆客房收入17600。
增长率利润问题
第课时§2.5.2 增长率、利润问题教学目标1、经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题，解决问题的能力教学重点和难点重点：利用一元二次方程解决增长率、利润问题难点：利用一元二次方程解决增长率、利润问题教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题一元二次方程的解法我们已经熟悉了。
这几节课，我们将学习如何利用一元二次方程解决一些现实问题。
二、师生共同研究形成概念1、增长率练习1）某工人原来的月收入为1000元，提薪20%后收入达到元，再在现有的基础上提薪20%，工资额达到元。
2）小明摸底考试的数学成绩为50分，第一次测验的成绩退步了20%，即只有分，第二次再退步20%后，分数已变成分。
2、讲解例题例1某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，求该公司缴锐的年平均增长率为多少？例2一批电视机，经过两次降价后价格从原来每台2250元降为每台1440元，问平均每次降价百分率是多少？分析：有了前面的针对性练习，学生解决此问题应该不会太难，放手让学生自己尝试解决。
3、巩固练习1）九江的粮食产量在两年内由50万千克增加到60.5千克，求平均每年的增长率是多少？2）某工厂的年总产值两年内由45万元增加到88.2万元，每年产值的平均增长率是多少？3）一件衣服原来每件240元，经过两次降价后每件194.4元，如果每次降价的百分率相同，求平均每次降价的百分率。
4、利润练习1）某种空调的进货价为1000元，售价为1200元，则利润为元，售出6台后可获利元。
若每台的售价降低50元，则利润为元，降价后每天多买出2台，则一天可获利元。
2）一种游戏，5元可玩3次，则10元可玩次，20元可玩次，100元可玩次。
3）某种空调，当售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，则降低100元后，平均每天可多售出台。
利润问题习题加答案
利润问题习题加答案利润问题习题加答案在商业运营中，利润是企业经营的核心目标之一。
利润的大小直接关系到企业的生存和发展。
因此，掌握利润的计算方法和解决利润问题的能力对于企业经营者和管理者来说至关重要。
本文将介绍几个常见的利润问题习题，并提供详细的解答。
一、单品利润计算问题：某电子产品的制造成本为100元，销售价格为150元，每月销售量为1000台。
请计算该产品的单品利润。
解答：单品利润可以通过销售收入减去制造成本得出。
销售收入 = 销售价格× 销售量。
所以，销售收入 = 150元× 1000台 = 150000元。
单品利润 = 销售收入 - 制造成本 = 150000元 - 100元× 1000台 = 50000元。
二、利润率计算问题：某服装店在一季度总收入为100000元，总成本为80000元。
请计算该季度的利润率。
解答：利润率可以通过利润与总收入的比值计算得出。
利润 = 总收入 - 总成本= 100000元 - 80000元 = 20000元。
利润率 = 利润 / 总收入× 100% = 20000元 / 100000元× 100% = 20%。
三、利润增长率计算问题：某公司去年的利润为50000元，今年的利润为60000元。
请计算今年的利润增长率。
解答：利润增长率可以通过今年的利润与去年的利润的差值与去年的利润的比值计算得出。
利润增长额 = 今年的利润 - 去年的利润 = 60000元 - 50000元 = 10000元。
利润增长率 = 利润增长额 / 去年的利润× 100% = 10000元 / 50000元× 100% = 20%。
四、利润分配问题问题：某公司今年的利润为100000元，根据公司规定，40%的利润用于分红给股东，30%的利润用于扩大生产，剩下的利润用于再投资。
请计算分红金额、扩大生产金额和再投资金额。
解答：分红金额 = 利润× 40% = 100000元× 40% = 40000元。
列一元二次方程解应用题的四种类型 利润、增长率、面积、动点问题
列一元二次方程解应用题的四种类型（利润、增长率、面积、动点问题）1、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的盈利元；商场每天可以多销售件，则商场降价后每天售出的数量为件。
根据：利润=单件的利润╳数量，我们可以列出方程：解这个方程得：答：；例1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？练习：1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题
二次函数的综合应用二次函数的实际应用（1）增长率问题一月a增长率为x 二月a(1+x)增长率为x三月a(1+x)2（2）利润问题在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题矩形面积=长×宽材料总长a 矩形长x矩形宽1(a-2x)2题型一二次函数的应用—销售问题例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函1数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为2xy=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．2（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；1（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总 费用 W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式 （2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解 【答案与解析】解：（1）依题意当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30∴y 1＝30x当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得，解得∴y 1＝20x+600综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W＝整理得故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：时间 t （天 ) 1 3 5 10 36日销售量 m94 90 86 76 24（件 )未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．题型二 二次函数的应用—面积问题例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m；（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S＝112.5，最大此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，∴BC×DF＝BC×FC，∴2FC＝DC，2BC+8FC＝120，∴FC＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，所以当x＝2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．【答案与解析】解：（1）由题意可得，y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵24﹣3x≤10，3x＜24，解得，x≥∴且x＜8，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（（2）当y＝45时，45＝﹣3x2+24x，解得，x1＝3（舍去），x2＝5，答：AB的长应为5m．题型三二次函数的应用—抛物线问题）；例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，解得：a＝﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，故这次她可以拦网成功；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，，变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．1752已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，解得：x＝±1.5，∵x＞0，∴x＝1.5；当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，由1.5+2.5＝4（m），故他距离篮筐中心的水平距离是4米．变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为处时，乙扣球成功，求a的值．125m的Q【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣解得：h＝；×16+h＝1，②把x＝5代入y＝﹣∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，（2）把（0，1）、（7，，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：解得：，∴a＝﹣．变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面20m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并9在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．【答案与解析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，解得a＝﹣，∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；≠3，＝∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．（3）由（1）求得的函数解析式，当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x 2＝1.3∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．题型四 二次函数与图形面积的综合例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S∆ABC 的值．【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过 C 作 CD⊥x 轴，将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得0＝a（2﹣1）2﹣3，解得：a＝3，∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；（2）由题意，得，解得：．∵交点不是原点，∴B（3，9）．如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，△+S，△+S△+S解得：，∴y＝6x﹣9．当y＝0时，y＝1.5．∴E（1.5，0），∴OE＝1.5，△∴SAOB＝SA OE BOE＝+，＝9．答：B（3，9），△AOB的面积为9；变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM△＝SAOM OCM BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．△+S + ＝设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，∴P（﹣ ，﹣ ）．（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2﹣x+2，S四边形 ABCM△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．（1）求 a ， b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．△＝△＝△＝△+S△+S【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，SOADOD•AD＝×2×4＝4；SACDAD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；SBCDBD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝SOAD ACD BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．。
洋葱数学平均增长率j利润问题公式
洋葱数学平均增长率j利润问题公式净利润是指利润总额减所得税后的余额，是当年实现的可供出资人(股东)分配的净收益，也称为税后利润。
它是一个企业经营的最终成果，净利润多，企业的经营效益就好;净利润少，企业的经营效益就差，它是衡量一个企业经营效益的重要指标。
净利润的多寡取决于两个因素，一是利润总额，其二就是所得税。
企业所得税等于当期应纳税所得额乘以企业所得税税率。
我国现行的企业所得税税率为25%，对符合国家政策规定条件的企业，可享受企业所得税优惠，如高科技企业所得税率为15%。
净利润增长率代表企业当期净利润比上期净利润的增长幅度，指标值越大代表企业盈利能力越强。
净利润增长率的计算公式
净利润的计算公式为：
净利润=利润总额-所得税
净利润增长率=(当期净利润/基期净利润)*100%
本年净利润增长额=本年净利润-上年净利润
净利润增长率=(本年净利润增长额÷上年净利润)×100%
如果基期为负数时，怎么办?
有两种观点：
1、基期为负数和0时，只谈扭亏为盈xxx元。
2、当期-基期/基期的绝对值。
1、平均增长率是指我们单位从第一年到第N年的每一年的产值、利润、营业额等的平均增长率。
2、计算平均增长率的公式是：a(1+x)^n=c，其中a是基期数额，n为年限，c是期末数额，x为平均增长率。
3、如果我们需要计算X的话，数学公式里：x=(c/a)^(1/n)-1,意思就是说我们用期末数额除以基期数额开年限次方减1，而开年限次方就是乘年限倒数次方。
22.2.8一元二次方程应用(利润与增长率问题)
问题1 ：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商 场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范 围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2 件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元， 衬衫的单价应降多少元？
验
答
答:吉利公司平均每月要盈利24000000元， 那么每辆汽车应降价4000元。
1、某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱
利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降
价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。如果
要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？
题目中的每天总销售利润： × 每天销售量 =14000 若设每箱降价x元， 则可列出方程 （120-x）（100+2x）=14000 .
3.某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的
盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平 均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平 均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每 盆应该植多少株?
思考:这个问题设什么为x?有几种设法? 如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量? 如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？ 相等关系: 平均单株盈利×株数=10元 (x+3) 株,平均单 解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有______ (3-0.5x) 元. 由题意,得 株盈利为__________ (x+3)(3-0.5x)=10 化简，整理，得 x2-3x+2=0 解这个方程,得:x1=1, x2=2 经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
第3讲增长率
3、“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为 2400kg，含油率为40%，“丰收2号”油菜籽比 “丰收1号”的平均每公顷产量提高了300kg， 含油率提高了10个百分点。某村去年种植“丰收 1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种 植面积比去年减少3hm² ，但是所产油菜籽的总 产油量比去年提高3750kg.这个村去年和今年种 植油菜的面积各是多少公顷？ 解：设这个村去年种植油菜的面积是xhm² ， 则今年种植油菜的面积是（x-3）hm² 。 （2400+300）×（40%+10%） × （x-3） =2400 × 40%x+3750
跟踪练习1：某商店有两种进价不同的计算 机都卖了64元，其中一个赢利60%另一个 亏本20%，在这次买卖中这家商店 （ ） A、不赔不赚 B、赚了8元 C、赔了8元 D、赚了32元 解：①设第一种计算机的成本为x元，根据 题意列方程得： （1+60％）x=64 解：①设第二种计算机的成本为y元，根据 题意列方程得： （1-20％）x=64
解：设这种债券的年利率是x％。据题意 列方程得： 100000（1+x％×4）=106400
附加题：1、现对某商品降价20％促销， 为了使销售总金额不变，销售量 要比按原价销售时增加百分之几？
解：设销售量要比按原价销售时增
加x，商品原价为m，销售量为n。
(1 - 20%) m×(1 + x)n = mn
基本公式： 初始数据×（1＋增长率）＝最终数据 或：初始数据×增长率＝增加量
变式1：利润问题 在利润问题中，初始数据是进价，增长 率就是利润率，也叫盈利率，增长后的 数据就是售价。 基本公式：①利润=售价－进价 ②利润率（盈利率）=×100％
常用的等量关系： 进价×（1＋利润率）＝售价
第2课时 变化率与利润问题
初中同步学习·数学
解:设每件衬衣应降价x元. 根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200, 整理,得x2-30x+200=0, 解得x1=10,x2=20. 因为“扩大销售量,减少库存”, 所以x1=10不合题意,舍去, 所以x=20. 答:每件衬衣应降价20元.
初中同步学习·数学
1.(2016大连)某文具店三月份销售铅笔100支,四、五两个月销售量连续 增长.若月平均增长率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是( B ) (A)100(1+x) (B)100(1+x)2 (C)100(1+x2) (D)100(1+2x) 2.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每 株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达 到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是( A ) (A)(3+x)(4-0.5x)=15 (B)(x+3)(4+0.5x)=15 (C)(x+4)(3-0.5x)=15 (D)(x+1)(4-0.5x)=15
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解:(1)设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x, 根据题意得6 000(1+x)2=8 640, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). 答:这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%.
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(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2017年该
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(1)增长率问题所列方程一般用直接开平方法求解. (2)增长(下降)率不能是负数,下降率要小于1.
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探究点二:利润问题 【例2】 某商场销售一批名牌衬衣,平均每天可售出20件,每件衬衣盈利40元, 为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经 调查发现,如果每件衬衣降价10元,商场平均每天可多售出20件.若商场平均每 天盈利1 200元,每件衬衣降价多少元? 【导学探究】 设每件衬衣应降价x元, 1.每件衬衣的利润为 (40-x) 元. 2.每天实际销售量为 (20+2x) 件.
湘教版九年级数学上册《增长率问题与经济利润问题》精品教案
年的生产量达到了 b，三者之间的数量关系为：a(1+x)2=b
（第一年到第三年 n=2，增长量为+.）
结合导入的
我们看一个具体的例子：
思考和老师
讲授新课 【例 1】为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 的讲解，利用
+
某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元.求平 探 究 理 解 和
【例 3】某地 2015 年为做好“精准扶贫”工作，投
入资金 2000 万元用于异地安置，并规划投入资金逐
年增加，2017 年投入资金 2880 万元，求 2015 年到 2017 年该地投入异地安置资金的年平均增长率． 老 师 在 例 题
讲解的时候，
自己先思考， 让 学 生 知
然后再听老 道 本 节 课
（1）从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的
年平均增长率为多少？
（2）在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投
入资金不低于 500 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前
1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元，1000 户以后
每户每天奖励 5 元，按租房 400 天计算，求 2017 年该地至
店计划从这批商品中获取 400 元利润（不计其他成本），问
需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
解：（售价-进价）×销售量=利润.根据等量关系得
（x-21)(350-10x)=400
讲授新课
整理，得 x²-56x+775=0，解得 x1=25，x2=31.
+
∵21×120%=25.2，即售价不能超过 25.2 元，∴x=31 不
【做一做】2012 年生产 1 吨甲种药品的成本是 10000
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增长率利润问题 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-
第课时
§增长率、利润问题
教学目标
1、经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重
要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤
2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题，解决问题的能力
教学重点和难点
重点：利用一元二次方程解决增长率、利润问题
难点：利用一元二次方程解决增长率、利润问题
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
一元二次方程的解法我们已经熟悉了。
这几节课，我们将学习如何利用一元二次方程解决一些现实问题。
二、师生共同研究形成概念
1、增长率练习
1）某工人原来的月收入为1000元，提薪20%后收入达到元，再在现有的基础上提薪20%，工资额达到元。
2）小明摸底考试的数学成绩为50分，第一次测验的成绩退步了20%，即只有分，第二次再退步20%后，分数已变成分。
2、讲解例题
例1 某公司前年缴税40万元，今年缴税万元，求该公司缴锐的年平均增长率为多少
例2 一批电视机，经过两次降价后价格从原来每台2250元降为每台1440元，问平均每次降价百分率是多少
分析：有了前面的针对性练习，学生解决此问题应该不会太难，放手让学生自己尝试解决。
3、巩固练习
1）九江的粮食产量在两年内由50万千克增加到千克，求平均每年的增长率是多少
2）某工厂的年总产值两年内由45万元增加到万元，每年产值的平均增长率是多少
3）一件衣服原来每件240元，经过两次降价后每件元，如果每次降价的百分率相同，求平均每次降价的百分率。
4、利润练习
1）某种空调的进货价为1000元，售价为1200元，则利润为元，售出6台后可获利元。
若每台的售价降低50元，则利润为元，降价后每天多买出2台，则一天可获利元。
2）一种游戏，5元可玩3次，则10元可玩次，20元可玩次，100元可玩次。
3）某种空调，当售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，则降低100元后，平均每天可多售出台。
若在平均每天售出8台的情况下再降价200元，则每天可售出台。
5、讲解例题
例3 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。
市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。
商
场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时会有一定的难度。
在审清题意的前提下应注重解题思路的分析。
6、巩固练习
1）（书本练习）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。
若每件降价1元，则每天可多售5件。
如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元
2）（白22、2）进货单价为40元的书包按60元出售时，每天能卖100个，若每个降价1元，则每天可多售出10个，如果每天要赢利2210元，每个应降价多少元
7、列一元二次方程解应用题的一般步骤
与列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤也可归纳为“审、设、列、解、检、答”六个步骤。
1）审：读懂题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的相互关系；
2）设：设未知数；
3）列：列方程，这是最重要的步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就能得到方程；
4）解：解方程，求出未知数的值；
5）检：检验方程的解能否保证实际问题有意义；
6）答：写出应用题的答案。
注意
1）在一道应用题中，往往含有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个未知数用含x的代数式表示；
2）列方程时，要注意方程两边为同一类的量，并且单位要统一；
3）设和答必须写清单位名称。
三、随堂练习
1、书本 P 68 随堂练习 1
2、《练习册》 P 22
四、小结
列一元二次方程解决实际问题的步骤与方法。
五、作业
书本 P 68 习题 1
六、教学后记。