平均增长率与利润问题
九年级数学一元二次方程的应用之利润与增长率问题
例3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。
为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
变式训练
1、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万。
（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利＝销售利润＋返利）
2、某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲。
（注：宾馆客房是以整间出租的）
（1）若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是___________元；
（2）设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是_____________；
y 元，试求这天每间客房的价格是多少元？
（3）在（2）中，如果某天宾馆客房收入17600。
增长率利润问题
第课时§2.5.2 增长率、利润问题教学目标1、经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题，解决问题的能力教学重点和难点重点：利用一元二次方程解决增长率、利润问题难点：利用一元二次方程解决增长率、利润问题教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题一元二次方程的解法我们已经熟悉了。
这几节课，我们将学习如何利用一元二次方程解决一些现实问题。
二、师生共同研究形成概念1、增长率练习1）某工人原来的月收入为1000元，提薪20%后收入达到元，再在现有的基础上提薪20%，工资额达到元。
2）小明摸底考试的数学成绩为50分，第一次测验的成绩退步了20%，即只有分，第二次再退步20%后，分数已变成分。
2、讲解例题例1某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，求该公司缴锐的年平均增长率为多少？例2一批电视机，经过两次降价后价格从原来每台2250元降为每台1440元，问平均每次降价百分率是多少？分析：有了前面的针对性练习，学生解决此问题应该不会太难，放手让学生自己尝试解决。
3、巩固练习1）九江的粮食产量在两年内由50万千克增加到60.5千克，求平均每年的增长率是多少？2）某工厂的年总产值两年内由45万元增加到88.2万元，每年产值的平均增长率是多少？3）一件衣服原来每件240元，经过两次降价后每件194.4元，如果每次降价的百分率相同，求平均每次降价的百分率。
4、利润练习1）某种空调的进货价为1000元，售价为1200元，则利润为元，售出6台后可获利元。
若每台的售价降低50元，则利润为元，降价后每天多买出2台，则一天可获利元。
2）一种游戏，5元可玩3次，则10元可玩次，20元可玩次，100元可玩次。
3）某种空调，当售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，则降低100元后，平均每天可多售出台。
人教版初中数学九年级 微专题3 一元二次方程的应用(一)——平均变化率与利润问题
解得x1＝3，x2＝9． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝9，此时38－x＝29． 答：这种水果的销售价格应定为29元/kg．
5．（菏泽中考）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调 查员的对话． 小王：该水果的进价是22元/kg； 小李：当销售价格为38元/kg时，每天可售出160 kg，且每千克销售价格降低3元， 则每天的销售量增加120 kg． 根据他们的对话，解答下面所给问题： 到实惠，则这种水 果的销售价格应定为多少？
2．（张家界中考）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展以“弘 扬红色文化，重走长征路”为主题的教育学习活动，张家界市“红二方面军长征 出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，2021年3月份该基地接待参观人 数10万人，5月份接待参观人数增加到12．1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x． 由题意，得10（1＋x）2＝12．1， 解得x1＝0．1＝10%，x2＝－2．1（不合题意，舍去）． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12．1×（1＋10%）＝13．31（万人）． 答：预计6月份的参观人数是13．31万人．
类型二 利润问题 3．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元，若每份盒饭的售价为16元， 每天可卖出360份．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40 份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1 680元，设每份盒饭涨价x元，则符 合题意的方程为（ A ）
微专题3 一元二次方程的应用（一） ——平均变化率与利润问题
类型一 平均变化率问题 1．某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两 年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，且使得这三年的总产量达到1 400 件．若设这个百分数为x，则可列方程为（ B ）
洋葱数学平均增长率j利润问题公式
洋葱数学平均增长率j利润问题公式净利润是指利润总额减所得税后的余额，是当年实现的可供出资人(股东)分配的净收益，也称为税后利润。
它是一个企业经营的最终成果，净利润多，企业的经营效益就好;净利润少，企业的经营效益就差，它是衡量一个企业经营效益的重要指标。
净利润的多寡取决于两个因素，一是利润总额，其二就是所得税。
企业所得税等于当期应纳税所得额乘以企业所得税税率。
我国现行的企业所得税税率为25%，对符合国家政策规定条件的企业，可享受企业所得税优惠，如高科技企业所得税率为15%。
净利润增长率代表企业当期净利润比上期净利润的增长幅度，指标值越大代表企业盈利能力越强。
净利润增长率的计算公式
净利润的计算公式为：
净利润=利润总额-所得税
净利润增长率=(当期净利润/基期净利润)*100%
本年净利润增长额=本年净利润-上年净利润
净利润增长率=(本年净利润增长额÷上年净利润)×100%
如果基期为负数时，怎么办?
有两种观点：
1、基期为负数和0时，只谈扭亏为盈xxx元。
2、当期-基期/基期的绝对值。
1、平均增长率是指我们单位从第一年到第N年的每一年的产值、利润、营业额等的平均增长率。
2、计算平均增长率的公式是：a(1+x)^n=c，其中a是基期数额，n为年限，c是期末数额，x为平均增长率。
3、如果我们需要计算X的话，数学公式里：x=(c/a)^(1/n)-1,意思就是说我们用期末数额除以基期数额开年限次方减1，而开年限次方就是乘年限倒数次方。
专题(四) 一元二次方程的实际应用——平均变化率与利润问题
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至
多少元？
解：设这种水果每斤的售价降价 x 元，则(2－x)(100＋200x) 1 ＝300，即 2x2－3x＋1＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当 x＝1 时，每天的 2 1 销量为 300 斤；当 x＝ 时，每天的销量为 200 斤．为保证每天至 2 1 少售出 260 斤，∴x2＝ 不合题意，舍去．此时每斤的售价为 4－1 2 ＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每 斤的售价降至 3 元
4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每
斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤
的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260 斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 ___________________ 斤(用含x的代数式表示)； (100＋200x)
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予
以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物
业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优
惠？
解：(1)设平均每次下调的百分率为 x，依题意得 5000(1－x)2 19 ＝4050，解得 x1＝10%，x2＝ (不合题意，舍去)，则平均每次下 10 调 的 百 分 率 为 10% (2) 方 案 ① 的 房 款 是 4050×100×0.98 ＝ 396900( 元 ) ， 另外需在两年内付物业管理费 1.5 × 100 × 12 × 2 ＝ 3600(元)；方案②的房款是 4050×100＝405000(元)，故在同等条 件 下 方 案 ① 需 付 款 396900 ＋ 3600 ＝ 400500( 元 ) ． ∵400500 ＜ 405000，∴选方案①更优惠
新人教版数学九上课件：平均增长率、销售类问题
5.(2017烟台)今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足 球大课间”活动,现需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球 2015年单价为200元,2017年单价为162元. (1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率; (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案: A商场:买十送一;B商场:全场九折. 试问去哪个商场购买足球更优惠?
【导学探究】 设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x,则 (1)2015年为 2(1+x) 亿元,2016年为 2(1+x)2 亿元.
解:(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x, 由题意得2(1+x)2=2.88. 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). 答:该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润能否超过 3.4亿元? 【导学探究】 (2)由2016年的2.88亿元可得2017年为 2.88(1+x) 亿元.
解:(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率,那么2017年该企业的利润为 2.88(1+20%)=3.456, 3.456>3.4, 所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
2.某商品的进价为每件40元,当售价为每件80元时,每星期可卖出200件,现需降价 处理,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出8件,店里每周利润要达到8 450元. 若设店主把该商品每件售价降低x元,则可列方程为( B ) (A)(80-x)(200+8x)=8 450 (B)(40-x)(200+8x)=8 450 (C)(40-x)(200+40x)=8 450 (D)(40-x)(200+x)=8 450 3.(2017黑龙江)某种药品原来售价100元,连续两次降价后售价为81元,若每次下降 的百分率相同,则这个百分率是 10% . 4.某服装店经销一种品牌服装,平均每天可销售20件,每件赢利44元,经市场预测发 现:在每件降价不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多销售5件,若该服 装店要使该品牌服装每天的赢利为1 600元,则每件应降价 4 元.
17 专题 一元二次方程的应用(二)增长率与利润问题
专题一元二次方程的应用（二）增长率与利润问题
1.某渔船出海捕鱼，2010年平均捕鱼量为10吨，2012年平均捕鱼量为8．1吨，求2010年－2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率？
2.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比3月份增加10%，5月份的营业额达到633．6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率．
3．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．
⑴写出y与x的关系式；
⑵如何定价才能使每星期的利润为1560元？每星期的销量是多少？
4.为落实国务院房地产调控政策，使居者有其屋，某市加快了廉租房的建设力度，2011年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计2013年底共累计投资9．5亿元人民币建设廉租房，若后两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率．
（2）若后两年内的建设成不变，求到2013年底共建设了多少平方米廉租房．。
第2课时 变化率与利润问题
初中同步学习·数学
解:设每件衬衣应降价x元. 根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200, 整理,得x2-30x+200=0, 解得x1=10,x2=20. 因为“扩大销售量,减少库存”, 所以x1=10不合题意,舍去, 所以x=20. 答:每件衬衣应降价20元.
初中同步学习·数学
1.(2016大连)某文具店三月份销售铅笔100支,四、五两个月销售量连续 增长.若月平均增长率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是( B ) (A)100(1+x) (B)100(1+x)2 (C)100(1+x2) (D)100(1+2x) 2.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每 株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达 到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是( A ) (A)(3+x)(4-0.5x)=15 (B)(x+3)(4+0.5x)=15 (C)(x+4)(3-0.5x)=15 (D)(x+1)(4-0.5x)=15
初中同步学习·数学
解:(1)设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x, 根据题意得6 000(1+x)2=8 640, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). 答:这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%.
初中同步学习·数学
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2017年该
初中同步学习·数学
(1)增长率问题所列方程一般用直接开平方法求解. (2)增长(下降)率不能是负数,下降率要小于1.
初中同步学习·数学
探究点二:利润问题 【例2】 某商场销售一批名牌衬衣,平均每天可售出20件,每件衬衣盈利40元, 为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经 调查发现,如果每件衬衣降价10元,商场平均每天可多售出20件.若商场平均每 天盈利1 200元,每件衬衣降价多少元? 【导学探究】 设每件衬衣应降价x元, 1.每件衬衣的利润为 (40-x) 元. 2.每天实际销售量为 (20+2x) 件.
湘教版九年级数学上册《增长率问题与经济利润问题》精品教案
年的生产量达到了 b，三者之间的数量关系为：a(1+x)2=b
（第一年到第三年 n=2，增长量为+.）
结合导入的
我们看一个具体的例子：
思考和老师
讲授新课 【例 1】为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 的讲解，利用
+
某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元.求平 探 究 理 解 和
【例 3】某地 2015 年为做好“精准扶贫”工作，投
入资金 2000 万元用于异地安置，并规划投入资金逐
年增加，2017 年投入资金 2880 万元，求 2015 年到 2017 年该地投入异地安置资金的年平均增长率． 老 师 在 例 题
讲解的时候，
自己先思考， 让 学 生 知
然后再听老 道 本 节 课
（1）从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的
年平均增长率为多少？
（2）在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投
入资金不低于 500 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前
1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元，1000 户以后
每户每天奖励 5 元，按租房 400 天计算，求 2017 年该地至
店计划从这批商品中获取 400 元利润（不计其他成本），问
需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
解：（售价-进价）×销售量=利润.根据等量关系得
（x-21)(350-10x)=400
讲授新课
整理，得 x²-56x+775=0，解得 x1=25，x2=31.
+
∵21×120%=25.2，即售价不能超过 25.2 元，∴x=31 不
【做一做】2012 年生产 1 吨甲种药品的成本是 10000
2第2课时 增长率及商品利润问题PPT课件(人教版)
知识点2：商品利润问题 6．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3 株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少 0.5元，要使每盆的盈利到达15元，每盆应多植多少株？设每 盆多植x株，则可以列出的方程是( A ) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
10．股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10% 后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌， 叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原 价．若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是
(B ) A．(1＋x)2＝1110 B．(1＋x)2＝190 C．1＋2x＝1110 D．1＋2x＝190
9．(202X·抚顺)某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10 万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元， 已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的 月增长率为x，那么x满足的方程为( ) D A．10(1＋x)2＝36.4 B．10＋10(1＋x)2＝36.4 C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
解：设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润
为28－[27－0.1(x－1)]＝(0.1x＋0.9)万元，当0≤x≤10时，由题
意得x(0.1x＋0.9)＋0.5x＝12，整理得x2＋14x－120＝0，解得
x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6；当x＞10时，由题意得 x(0.1x＋0.9)＋x＝12，整理得x2＋19x－120＝0，解得x1＝－ 24(不合题意，舍去)，x2＝5，因为5＜10，所以x＝5舍去．综 上可知，需要售出6部汽车
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小结
拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位;
源于生活,服务于生活
我是商场精英
x (44 x)( 20 5 ) 1600. 1 2 整理得 : x 40x 144 0. 解这个方程, 得 x1 4, x2 36. （不合题意，舍去）
答：每件服装应降价4元.
2、某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.在 每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元 ,则每天可多售5件.如果每天盈利1600元,每件应降价 多少元? 解 : 设每件服装应降价x元, 根据题意, 得
开启
智慧
精神食粮
1、（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都
是x，那么一年后的销售收入将达到____ _ x) _万元（用代数 a(1
式表示） （2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x， 那么两年后的销售收入将达到__
2 万元（用代数式表 a(1____ x)
分析：等量关系为：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×
（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求得正 数解即可． 解：设每张贺年卡应降价x元，依据题意，得 (0.3-x)(500+ 200
x )=180， 0.05
x2 =0.1． 解得 x1=0.075（舍去）， 答：每张贺年卡应降价0.1元．
• 6.答:答案也必须是完整的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
回顾与思考 2
有关利润的知识基本知识
（1）利润=售价-进价 （2）利润率=
利润 售价 -进价 = 进价 进价
（3）售价=进价× (1+利润率） （4）总利润=单价利润×数量
驶向胜利 的彼岸
例题欣赏 1
示）
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 二次增长后的值为 依次类推n次增长后的值为
a(1 x)
a(1 x) a(1 x)
2 n
（2）降低率问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 二次降低后的值为 依次类推n次降低后的值为
a(1 x)
a(1 x)2
a(1 x)
答 : 每台冰箱的定价应为2750元.
源于生活,服务于生活
我也参与商场竞争
(做一做)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能 售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售 价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少 个？ 分析：主要的等量关系是： 每个台灯的销售利润×平均每月销售台灯的数量=10000 如果设每个台灯涨价x元，那么每个台灯的定价就是 (40+x) 元， 每个台灯的销售利润为 (40+x-30） 元，平均每月销售台灯的数量为 （600-10x） 个，再列方程解应用题。 解：设每个台灯涨价x元，根据题意，得 (40+x-30)(600-10x)=10000 解得 x1 10, x2 40(不合题意，舍去) ∴40+x=40+10=50 600-10x=600-10×10=500 答：每个台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个。
解这个方程,得整理得:x230 x2
源于生活,服务于生活
我是商场精英
1、某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年 发给每个经济困难学生400元，今年上半年发了500 元，设每半年发的资助金额的平均增长率为x，则下 列方程中正确的是（ B ） A、500（1+x）2 = 400 B、400（1+x）2 = 500 C、400（1+2x） = 500 D、500（1+2x） = 400
我是商场经理
• 例1 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查 发现:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销 价每降低50元时,平均每天就能多售4台.商场要想使这种 冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价 应为多少元?
分析 : 主要相等关系是 每台冰箱的销售利润 平均每天销售冰箱的数量 5000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价为 （2900-x） 元， （2900-x-2500） 每台冰箱的销售利润为 元。平均每天销售冰箱的 x 数量为 (8 4 50 ) 台。这样就可以列出一个方程，进而解决 问题。
例题欣赏
我是商场经理
解 : 设每台冰箱降价x元, 根据题意, 得
x (2900 x 2500)(8 4 ) 5000. 50
整理得 : x 2 300 x 22500 0. 解这个方程, 得 x1 x2 150.
2900 x 2900 150 2750.
应用一元二次方程 （第二课时）
九年级7班
回顾与复习 1 • 列方程解应用题的一般步骤是:
解应用题
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么，已知,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程;
• 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
n
开启
智慧
精神食粮
2.某商品经过两次降价，销售价由原来的125元降到 了80元，则平均每次降价的百分率是多少？
解 : 设平均每次降价的百分率为x, 根据题意, 得
125(1 x) 2 80.
x 0.2, x
1
解这个方程, 得：
2
1.8(不合题意，舍去)
答：平均每次降价的百分率为20%.
源于生活,服务于生活
我也参与商场竞争
某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均 每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，摊主决 定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降 低0.05元，那么平均每天可多售出200张，摊主要想平均每天盈利 180元，每张贺年卡应降价多少元？