古代希腊数学黄金时代
数学的发展历史
数学的发展历史一、古代数学的萌芽数学的历史可以追溯到公元前1800年的古巴比伦，那时候出现了一些代数问题和几何问题。
他们使用类似于解谜游戏的方法来解决问题，这些解题方法在那个时代已经很先进了。
在公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派开创了完整的数学理论，这阶段被认为是古代数学的黄金时代。
他们发现了自然数、几何元素和研究了三角形的一些基本理论。
二、欧几里得与数学元素欧几里得是古希腊的数学家、几何学家，他发表了著名的《几何原本》一书，成为了古代希腊数学理论的代表。
欧几里得的《几何原本》对许多几何概念和证明进行了全面的系统总结，成为了数学教育中的经典教材。
三、中世纪的数学沉寂中世纪的欧洲数学长期受到罗马帝国的灭亡和各种教会的禁忌的影响而停滞不前。
然而，在伊斯兰世界，穆斯林数学家保留下了希腊的数学遗产，发展出了乘法表和代数学，同时也为十进制数学系统提供了发展思路，这大大促进了基础数学的发展。
四、文艺复兴与数学的繁荣在文艺复兴时期，欧洲兴起的人文主义和启蒙思想极大地推动了数学的发展。
意大利数学家费拉利和巴西科等人提出了大量的代数方法和解决方案，而德国数学家克拉默在线性代数和矩阵理论上的突破对现代数学的发展产生了深刻的影响。
五、科技革命与数学的重要角色随着科技的飞跃，数学的应用价值也越来越受到重视。
数学提供了解决数值计算问题和控制系统问题的数学方法，使得机械、电子和计算机技术得到了迅速的发展。
现代数学的很多理论和方法都是为了解决这些工程和科学问题而发展起来的。
六、现代数学的哲学与未来现代数学不仅让人们更好的理解世界，更开启了理解科学和宇宙的新的宏观和微观层次。
随着技术的飞速发展，数学的应用也不断得到了创新和拓展，预示着数学将在未来担任越来越重要的角色，成为推动人类进步的重要力量。
希腊数学——古代世界逻辑思维发展的高峰
希腊数学——古代世界逻辑思维发展的高峰希腊数学的发展历史可以分为三个时期。
第一个时期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二个时期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三个时期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。
希腊古典时期的数学（公元前6世纪-公元前3世纪）这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。
稍后有毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以“万物皆数”为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，给予数学以特殊独立的地位。
公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。
埃利亚学派的芝诺提出四个著名的悖论（二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题），迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。
智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。
希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。
正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；“化圆为方”问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。
哲学家柏拉图在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。
欧多克斯（Eudoxus）是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。
柏拉图的学生亚里士多德是形式逻辑的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
亚历山大时期的数学（公元前146年，希腊陷于罗马为止）这一阶段以公元前30年罗马帝国吞并希腊为分界，分为前后两期。
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上的四个高峰
数学作为一门古老的学科，在其发展历史中出现了许多重要的里
程碑事件。
以下是数学发展史上的四个高峰：
一、古希腊数学
古希腊数学被认为是人类数学研究的重要阶段之一。
在这一时期，一些杰出的数学家，比如欧多克索斯、毕达哥拉斯、亚里士多德等人，开创了无数数学的领域。
在古希腊数学中，最突出的成就包括几何学
和三角学。
几何学由欧多克索斯和毕达哥拉斯创立，三角学则由希波
克拉底斯和菲洛拉斯发展。
二、魏尔斯特拉斯时代的数学
魏尔斯特拉斯时代被认为是数学发展中的重要阶段。
在这一时期，泛函分析、微分几何和复分析等领域取得了重大突破。
此外，魏尔斯
特拉斯本人也开创了拓扑学的领域，并制定了现代数学严谨证明的标准。
三、十九世纪的数学
十九世纪是数学发展的又一个重要时期，其突出成果包括群论、
代数和数论等领域的发展。
代数学家高斯创建了代数学和数论学，研
究了整数的性质和代数方程的解法。
拉格朗日、阿贝尔和狄利克雷等
人则成立了群论，研究群的结构与性质。
四、现代数学的发展
现代数学作为一门新的学科，出现在二十世纪。
在这一时期，数
学家们找到了创新的方法来解决以前无法解决的难题。
其中，集合论、拓扑学、数学逻辑和复杂性理论等领域是现代数学的主要分支。
伯特兰·罗素和阿尔弗雷德·诺思·怀特海成为现代数学中最具影响力的
思想家之一。
总之，数学的发展突破是源自一个时代的数学家们不断追求创新
和挑战，他们为今天的数学学科提供了坚实的基础和丰富的活力。
第2讲 古代希腊数学(上)
（１）万物皆数
毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数（仅指整 数），对数进行分类，分数被看成两个整数之比。 最重要的数是1、2、3、4，认为分别代表水、火、 气、土四种元素。而10则是一个完美的数，因为 10=1+2+3+4学派自认为足够“包罗万象”了。相应 地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元） 和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都 服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支 配，形成天体的和谐。
亲和数（即a是b的因数之和,b也是a的因数之和）
220的因子： 1，2，110，4，55，5，44，10，22，11，20 因子之和为284 284的因子： 1，2，142，4，71 因子之和为220 过剩数（即因数之和大于该数） 不足数（即因数之和小于该数）
（２）毕达哥拉斯学派的形数
(ⅰ)三角形数： N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ;
A
D
C
B
芝诺悖论: 阿基里斯 阿基里斯(善跑英雄)追龟说，阿基 里斯追乌龟，永远追不上。因为当他追 到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一 段，他再追完这一段，龟又向前爬了一 小段。这样永远重复下去，总也追不上。
阿基里斯追不上乌龟
飞箭静止说，每一瞬间箭总在 一个确定的位臵上，因此它是不 动的。
芝诺悖论: 飞矢不动
下列矩形中,哪些比较匀称?
① ③ ⑦ ④
5×8
8×13
⑥
13×21
② ⑤ ⑧
21×34
下列矩形中,哪些比较匀称?
① ③ ⑦ ④
5×8
8×13
⑥
13×21
② ⑤ ⑧
21×34
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上存在着许多重大的事件和里程碑式的发现，但是其中仍然有一些是无法被忽略的重要高峰。
下面将介绍数学发展史上的四个高峰。
第一高峰：古希腊数学
古希腊数学是数学发展史上的第一个高峰。
早在公元前6世纪，古希腊人就开始研究数学，并取得了一些重要的成果。
他们用几何学方法解决了很多数学问题，比如平方根和三角函数的计算。
古希腊人还开发了一套形式化的逻辑系统，这成为了现代数学的基础。
第二高峰：文艺复兴数学
文艺复兴时期，数学经历了第二个高峰。
在欧洲，数学家们开始对古希腊数学的成果进行研究，并进行了深入的发展。
他们开发了代数学、微积分学和概率论等重要分支，这些成果为现代科学的发展奠定了基础。
第三高峰：19世纪数学革命
19世纪是数学发展史上的第三个高峰。
这是由于当时许多重要的数学家在短时间内取得了很多重要的成果，这些成果大大推动了数学的发展。
比如高斯、欧拉和拉格朗日等人在代数和分析领域做出了很多突破性的贡献。
第四高峰：20世纪数学
20世纪是数学发展史上的最后一个高峰。
在这个时期，数学经历了巨大的变革和发展。
比如，20世纪初，G·庞加莱提出了拓扑学
的想法，这引发了一个新的分支的发展。
随后，数学家们还在计算机科学和数学物理学等领域做出了很多重要的发现，这些成果深刻地改变了数学的面貌。
第三讲 古代希腊数学(下)
8R3 / 3) ＝ 8R 4 2R (球体积＋
球体积＝ 4R3 / 3 *
阿基米德认为:每一小片至定点的力矩和相当于整体置于中心至同一点的力矩.
应用数学家阿基米德
与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数 学家。在《论浮体》中论述了浮力原理、在《论 平面图形的平衡或其重心》中论述了杠杆原理。 曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王亲 手移动了一只巨大的三桅货船，他说：“给我一 个支点，我可以移动地球”。在保卫叙拉古的战 斗中发明了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马 士兵杀害，死时75岁。传说曾下令不要杀死阿基 米德的罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德建 墓。
第Ⅱ、Ⅵ卷中涉及所谓“几何代数”的内容，即 以几何形式处理的代数问题。例如Ⅱ卷命题4： 若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正 方形等于两段上的正方形加上以两段为边的矩 形（如图）。
相当于代数关系式：
(a b) a 2ab b
2 2
2
第Ⅴ卷讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。有 人认为这一卷代表了《原本》的最大成就，因为它 在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数 学危机。
五条公理：
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的.
5. 整体大于部分.
五条公设：
Ⅰ
从任意一点到任意一点可作直线（线段）（也就是：两点
决定一条直线）；
Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
有限直线可以继续延长； 以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆； 所有直角都相等； 同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的 两个内角和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧
西方数学发展史
西方数学发展史以下是各个时期的简要概述：1.古希腊数学（公元前600年-公元500年）：o古典希腊时期是西方数学的黄金时代，伊奥尼亚学派的泰勒斯、毕达哥拉斯学派对数论和几何有重大贡献，比如毕达哥拉斯定理。
o欧几里得编写了《几何原本》，奠定了欧氏几何的基础，包括公理化方法。
o阿基米德在静力学与浮力原理、圆周率的计算等方面做出了杰出成就。
o阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究也对后世产生了深远影响。
2.中世纪数学（公元500年-1500年）：o在中世纪早期，欧洲数学的发展相对缓慢，但阿拉伯世界翻译并注解了大量的希腊数学著作，使得数学知识得以传承。
o中世纪晚期，欧洲开始出现复兴迹象，斐波那契的著作《算盘书》对商业计算和数学教育有着重要推动作用，他著名的“斐波那契数列”成为数论研究的一个经典课题。
3.文艺复兴与近代数学（1500年-1700年）：o文艺复兴时期，科学和艺术的繁荣带动了数学的发展。
笛卡尔发明了解析几何，将代数方法应用于几何问题，开辟了新的数学领域。
o帕斯卡和费马分别在概率论和数论方面做出了开创性的工作，如帕斯卡定律和费马大定理。
o牛顿和莱布尼茨独立发明了微积分，这是数学史上的一个里程碑事件，为后续物理学和其他学科提供了强大的工具。
4.18世纪到现代数学（1700年至今）：o18世纪启蒙时代的数学家如欧拉、拉格朗日和高斯等人在分析学、数论、代数学等领域取得了众多突破。
o19世纪初，随着非欧几何的发现（如黎曼几何），数学逐渐脱离了纯粹直观和经验的束缚，更加抽象和严谨。
o近代数学分支繁多，群论、拓扑学、集合论、逻辑学等新兴领域纷纷崛起，计算机科学的发展也促进了离散数学和计算数学的繁荣。
5.19世纪：o伽罗华提出了群论，为代数学开辟了新的研究方向，解决了根式解代数方程的可能性问题。
o库默尔在数论中引入理想数概念，发展了解析数论的雏形。
o戴德金和康托尔分别在实数理论与集合论方面取得了革命性进展，其中康托尔创立了现代无限集合论，并提出了著名的连续统假设。
第二讲：古代希腊数学
第二讲古代希腊数学1、古典时期的希腊数学公元前600－前300年。
1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯（公元前625－前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。
1.2 毕达哥拉斯学派数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。
1.3 伊利亚学派芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。
1.4 诡辩学派（智人学派）古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。
1.5 柏拉图学派柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387－公元529），讲授哲学与数学。
1.6 亚里士多德学派（吕园学派）亚里士多德（公元前384－前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。
集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。
2、亚历山大学派时期希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。
2.1 欧几里得（公元前325－前265年）公元前300年成为亚历山大学派的奠基人，用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，成为后人难以跨跃的高峰。
《原本》13卷：由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成了历史上第一个数学公理体系。
2.2阿基米德（公元前287－前212年）数学之神，与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。
最为杰出的数学贡献是《圆的度量》，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。
墓碑：球及其外切圆柱。
2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年）贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是《圆锥曲线》，希腊演绎几何的最高成就。
《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。
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古代希腊数学黄金时代
希腊世界的雅典、巴斯达等国在经历了多次战争而逐渐衰落的时候，北方新兴的马其顿国在其国王腓力二世的率领下，开始了征服世界的进程。
在征服希腊各城邦后两年，腓力二世遇刺去世，其子亚历山大（公元前336年——公元前323年在位）继位，从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国。
公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉（欧洲部分），塞流卡斯（亚洲部分）和托勒密（埃及部分）三个王国，历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期。
欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学园，他是希腊论证几何学的集大成者。
雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作，他是亚历山大学派的奠基人。
欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。
为此，他首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明，使其达到无懈可击的地步。
然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重要意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。
它是在公元前300年左右完成的。
他的《几何原本》：五条公设：
⑴从任一点到任一点作直线（是可能的）。
⑵将有限直线不断沿直线延长（是可能的）。
⑶以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）。
⑷所有直角是相等的。
⑸若一直线与两条直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
五个公理：
⑴与同一东西相等的一些东西彼此相等。
⑵等量加等量，其和相等。
⑶等量减等量，其差相等。
⑷彼此重合的东西是相等的。
⑸整体大于部分。
欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。
其后用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，内容涉及三角形、垂直、平行、平行四边形和正方形，最后两个命题给出了勾股定理及其逆定理的证明。
阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。
他的父亲是天文学家。
母亲出生于名门望族，且知书达理。
青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，当时亚历山大的学术空气较为自由，学生们可以自由地选择内容听讲并参加讨论和研究。
在亚历山大期间，阿基米德系统地阅读了欧几里得的《几何原本》，研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法，特别是安提丰和欧多克索斯的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本工具。
阿基米德学成后返回故乡，并一直住在叙拉古。
他是亚历山大学派最杰出的代表。
公元前212年，罗马人其统帅马塞露斯的率领下围攻叙拉古，由于叛徒出卖，罗马人趁叙拉古人庆祝女神节的狂欢之夜，攻占了城市，阿基米德死于士兵剑下，临死前他还在思考几何问题。
据说曾下令勿杀阿基米德的马塞露斯事后特意为他建墓，并按照他的遗愿将死者最引以自豪的数学发现的象征图形——球及外切圆柱刻在了墓碑上。
阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》，《论球和圆柱》、《论劈锥曲面体和球体》、《圆之度量》、《沙粒计》，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。
解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摈弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情。
”
在平面几何方面的主要贡献：
①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得
3(10/71)＜π＜3(1/7)。
②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积。
③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的
4/3。
④定义了螺线ρ=aΦ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为2πa的圆面积的1/3。
⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比。
在立体几何方面的主要贡献：
①球表面积等于大圆面积的4倍。
②圆的外切圆柱体的体积是球体积的3/2，其表面积也是球表面积的
3/2。
③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积。
④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积。
⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积。
⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式。
此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等。
这是阿基米德用杠杆原理求二次幂和公式。
他说：
“只要给我一个可靠的支点，我可以移动地球。
”
当然，这个是不可能的~
阿基米德用力学方法探索数学结论的基本思想是：为了找出所求图形的面积和体积，可将它分成很多窄的平行条和厚的平行层，接着，将这些条或层挂在杠杆的一端，使它平衡于体积的重心为已知的图形，利用杠杆平衡原理及已知图形的面积、体积，便可探求出未知图形的面积和体积来。
这个就是很有名的阿基米德螺线。
总的来说我很喜欢阿基米德这个人。