计算方法第五章
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第五章_管道的抗震设计计算
Kv Ka KH DL Kv
管线变形后形状
2.1 考虑管沟敷设参数的土弹簧刚度计算方法
•管轴方向—ASCE指南 •水平和垂直方向—实际管沟截面内的平面应变有限元分析
60000 40000 20000 0 -0.0010 -0.0005
力（N）
60000 40000
位移 （m）
力 (N)
20000 位移 (m) 0 -0.0010 0.0000 -20000 -40000 0.0010 0.0020 0.0030
• 断层对管道的作用：
破坏模式
三种可能的破坏模式：拉裂、局部屈曲和梁式屈曲
–埋地钢管在穿越正断层或以 90的交角穿越 走滑断层时，主要承受拉力，破坏模式为拉裂。 通常极限拉应变取4%，大于该值即认为管道已 发生拉裂破坏。
–地下管道穿越逆断层或以 > 90的交角穿越走 滑断层时，主要承受压力，其可能的破坏模式 包括局部屈曲和梁式屈曲。
• 烈度X，质量好的木造房屋倒塌，多数砖石结构和 架桥结构连同基础一起遭到破坏，地面开裂，钢轨 弯曲，斜坡与堤防滑移； • 烈度XI，砖石结构几乎全部倒塌，桥梁破坏。地面 全面出现裂缝，地下埋设管道不能使用，软弱地基 发生滑移，钢轨显著弯曲。
• 烈度XII，全部遭到震灾，地面波动传播可知，地形 变动，物体被抛起来。
抗震设防烈度
• 抗震设防烈度是按国家规定的权限批准作为一个 地区抗震设防依据的地震烈度。 • 我国抗震设防范围为七、八、九度。九度以上的 地区不宜建包括油罐在内的工业设施。
5-2 场地及地基土类别的划分
震害表明，同一烈度区内，局部土质条件不同，
建筑物的破坏程度差异很大。
–对地面运动的影响：软弱地基与坚硬地基相比，前者
平均照度计算方法
A0
As－顶棚(或地板)空间内所有表面的总面积，单位为m2 A0－顶棚(或地板)平面面积，单位为m2
ρ －顶棚(或地板)空间各表面的平均反射比
1 平均照度计算
(三) 室内平均照度的确定 1、确定房间的各特征量 计算RI、RCR、CCR、FCR 2、确定顶棚空间有效反射比ρcc
i i
A A
用一定周期后，在规定表面上的平均照度或平均 亮度与该装置在相同条件下新装时在同一表面上 所得到的平均照度或平均亮度之比。
维护系数K
环境污染特征 清洁 一般 污染严重 室外 工作房间或场所 办公室，阅览室，仪器、仪表装配车间 商店营业厅，影剧院观众厅，机加工车间 铸工、锻工车间，厨房 道路和广场 维护系数 灯具擦洗次数/(次/年) 0.8 2 0.7 2 0.6 2 0.7 2
第五章 照明计算
逐点计算法，是以被照面上的一点为对 象，计算不同形状、不同位置的光源在该点 产生的直射照度（不考虑反射光通量产生的 照度），这种计算方法称作逐点计算法。 内容包括点光源、线光源和面光源的直 射照度的基本计算公式、实用计算公式及简 化计算公式。 适用于房间高大、反射光较少的场所， 一般用于验算工作点的照度和被照面照度分 布的均匀度。
1 平均照度计算
U f S
U－利用系数 Фf－由灯具发出的最后落到工作面 上的光通量，单位为lm Фs－每个灯具中光源额定总光通 量，单位为lm
利用系数与照明器的光强分布（配光特 性）、照明器的效率、照明器的悬挂高度、 房间的大小及形状和室内各反射面的反射 比等因素有关。 美国的“带域－空间法” 法国的“实用照明计算法” 国际照明委员会的“CIE法”
1 平均照度计算
(3) 确定ρfc、γ
地板空间各面平均反射 比
计算方法PPT课件第五章 插值与拟合
因此
li (x)
(x x0 )(x x1 ) (xi x0 )(xi x1 )
(x ( xi
xi1 )(x xi1 ) ( x xi1 )( xi xi1 ) ( xi
xn ) xn
)
n x x j . j0 xi x j ji
5.2.2 拉格朗日插值多项式
设用试验或观测方法得到函数 的如下函数y 值f表(x)
xi x0 , x1, , xn
yi y 0 , y1 , , y n
(5.11)
其中：yi f (xi )(i 0,1,..., n).我们用插值基函数li (x)(i 0, 1,..., n)的线性组合来构造满足式(5.11)的插值多项式，令
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
17
(2) 将x 2.5代入，得L2 (2.5) 1.2625，因此
f (2.5) L2 (2.5) 1.2625.
(3)
f
(x)
ln(1
x), 求出f
''' ( x)
2 (1 x)3
,
从而max f ''' ( x) 1 .
1 x3
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
,
(5.6)
其中： （a,b)且依赖于x,而x [a,b].
证明（见P111)略
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
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在实际插值问题中，由 于一般不知道，且实
际插值中f (x)一般较复杂或者未知， 因此用余项公 式（5.6）求误差是较困难的， 只能对其进行估计。 若
计算方法(8) 第五章 插值法(2)
由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) ali ( xi ) 2(axi b)l i ( xi )l i ( xi ) 0 i i
li ( xi ) 1, axi b 1, a 2l ( xi ) 0
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
i j 1 (2) i ( x j ) ij i j 0 'i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n)
n
利用Lagrange插值基函数li ( x ) (
j 0 ( ji )
x xj xi x j
)ห้องสมุดไป่ตู้
设
i ( x ) (ax b)l 2 i ( x )
由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) al ( x ) 2( ax b ) l ( x ) l i i i i i i i i ( xi ) 0
i 0
n
2
F ( t )关于t 有n 2个零点：x0，x1， ，xn，x 。 但F ' ( t )关于t 有2n 2个零点，由Rolle(罗尔)定理 必存在点 （a , b），使 F
（2 n 2）
( ) f
（2 n 2）
( ) 0 K ( x )(2n 2)! 0
n
n
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
短路电流的计算方法
b)
k(2)
负荷
4
3.单相接地(c,d)
A
电源 0
B
C
Ik(1)
电源 负荷 0
k(1)
c) 4.两相接地 (e,f)
电源 0
A
(1,1)
B
Ik
C
I
(1
k
,
1
)
k( 1 , 1 )
电源
负荷
0
A
B
C
Ik(1)
N
负荷
k(1)
d)
A
(1,1)
B
Ik
C
I
(
k
1
,
1
)
k( 1 , 1 )
负荷
e)
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6
5.2 短路过渡过程和短路电流计算
一、无穷大容量系统
无穷大容量系统：指电源内阻抗为零，供电容量相
对于用户负荷容量大得多的电力系统。不管用户的负 荷如何变动甚至发生短路时，电源内部均不产生压降， 电源母线上的输出电压均维持不变。
在工程计算中，当电源系统的阻抗不大于短路回路 总阻抗的5%～10%，或者电源系统的容量超过用户容 量的50倍时，可将其视为无穷大容量电源系统。
目的：简化短路计算
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二、 无穷大容量系统三相短路暂态过程
1、正常运行
R∑
X∑
k(3)
RL
XL
短路前电路中电流为：
G
iW IM s i n t(0)Q 电源
式中： a)
I M—— 短路前电流的幅值 IM U m / (R R )2 (X X )2
—0 — 短路前回路的阻抗角 0 ar (X c X t )/ g R ( R ) —— 电源电压的初始相角，亦称合闸角；
计算方法 第五章第二节最佳平方逼近
b n
n
2
i 0
a
i 0
上述方程组称为正规方程组。也可以写为
( p, j ) ( f , j )，j 0,1,..., n.
由于0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 线性无关，由性质5.2.3，该方程组 的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。
可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。
b
j i,
j i,
则称多项式族 {g n ( x)} 在[a, b] 上带权 ( x) 正交，并称 g n ( x)是[a, b] 上带权 ( x)的 n 次正交多项式。
一般情况下，当权函数 ( x)及区间[a, b] 给定后，人们 可通过Gram－Schmidt正交化过程，由{1, x,..., x n }构造 出相应的正交多项式。
2
的最小值。
由多元函数取极值的必要条件 S 0,
a j
j 0,1,..., n,
得
n aii ( x) f ( x) j ( x)dx 0， j 0,1,..., n. a ( x) i 0
b
于是有
)，j 0,1,..., n. ( , ) a ( f , S (a0 , ai1 ,...,jan ) :i ( x) j aii ( x) f ( x) dx
2
2
2
2
f g f g 2 f g
2
2
2
2
,
f , g Y.
二、 函数的最佳平方逼近
已知函数 f ( x) C[a,b] 及C[a,b]中的一个子集 span{0 , 1 ,..., n }，如果 p( x) span{0 , 1,..., n}，使得
n
2
i 0
a
i 0
上述方程组称为正规方程组。也可以写为
( p, j ) ( f , j )，j 0,1,..., n.
由于0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 线性无关，由性质5.2.3，该方程组 的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。
可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。
b
j i,
j i,
则称多项式族 {g n ( x)} 在[a, b] 上带权 ( x) 正交，并称 g n ( x)是[a, b] 上带权 ( x)的 n 次正交多项式。
一般情况下，当权函数 ( x)及区间[a, b] 给定后，人们 可通过Gram－Schmidt正交化过程，由{1, x,..., x n }构造 出相应的正交多项式。
2
的最小值。
由多元函数取极值的必要条件 S 0,
a j
j 0,1,..., n,
得
n aii ( x) f ( x) j ( x)dx 0， j 0,1,..., n. a ( x) i 0
b
于是有
)，j 0,1,..., n. ( , ) a ( f , S (a0 , ai1 ,...,jan ) :i ( x) j aii ( x) f ( x) dx
2
2
2
2
f g f g 2 f g
2
2
2
2
,
f , g Y.
二、 函数的最佳平方逼近
已知函数 f ( x) C[a,b] 及C[a,b]中的一个子集 span{0 , 1 ,..., n }，如果 p( x) span{0 , 1,..., n}，使得
计算方法第五章第四节其他类逼近方法
（四）快速 Fourier 变换
Fourier变换或反变换中的计算可归结为
d j ak w jk ,
k=0
N -1
称为规模为N j 0,1,..., N 1---------(5.4.20) 的变换问题
2 N i 2 N i
的计算问题，其中 w e （正变换）或 w e （反变换）， a （ ）为已知复数。 k k 0,1,..., N 1
e i 1得
i 0 i i i 0 i i i 0 i i
m
n
q ( x)
例5.4.3 P204
.
然后利用类似于Pade技术的方法
二、三角函数逼近
如果函数 g ( x)是周期为T 的函数，则函数 f ( x) g (Tx /(2 )) 的周期为2。因此，我们将针对周期为2的连续函数或分段 连续函数讨论其逼近问题。
ak N / 2 w
2 j ( k N / 2)
N / 2 -1
k=0
ak w2 jk
N / 2 -1
ak N / 2 w2 jk w jN
N / 2 -1
(ak ak N / 2 ) w2 jk .
而利用 wN / 2 e
N -1 k=0
i
2 N . N 2
2
0
0, sin lx sin jx dx ,
l j; l , j 1, 2,..., l j 1, 2,...,
2
0
sin lx cos jx dx 0,
l 1, 2,...; j 0,1,...,
函数族 1,cos x,sin x,..., cos nx,sin nx,...是区间[0, 2 ] 上正交的函数族。
第五章产品成本计算的辅助方法
再次以各种产品的实际产量乘以各种产品的折算系数计 算出全部产品的标准产品产量（即总系数），如有期末 在产品可按约当产量先折算成该完工产品的产量，再按 系数折算为标准产品产量；
最后按标准产品产量的比例计算出各种产品的完工产品 成本和在产品成本。
为保证产品成本的可比性，系数一经确定，应保持相对 稳定。
原材料费用定额＝产品原材料消耗定量×原材料计划 单价
人工费用定额＝产品生产工时定额×计划小时薪酬率 制造费用定额＝产品生产工时定额×计划小时制造费
用率
（2）定额成本与计划成本的异同
两者的相同之处，都是以产品生产的消耗定额和计划 价格确定的目标成本，其计算公式均为：
原材料费用定额＝产品原材料消耗定额×原材料计划单价 人工费用定额＝产品生产工时定额×计划小时薪酬率 制造费用定额＝产品生产工时定额×计划小时制造费用率
常用的分配标准有定额消耗量、定额工时、定额费 用、产品出厂价、产品的体积、重量、长度等。
具体进行选择时往往考虑分配标准与产品成本之间的关 联关系、分配标准取得的难易程度和计算过程是否方便 可行等因素。
企业划分类内各完工产品成本的常用方法主要是定 额比例法和系数法。
1.定额比例法
企业可以按类内各种产品的定额成本或定额消耗量 的比例，对各类产品的总成本进行分配，这种按定 额比例确定类内各种产品成本的方法，通常称为定 额比例法。其计算公式为：
以产品类别作为产品成本计算对象 产品成本计算期由产品成本计算的基本方法决定 月末通常要在完工产品与月末在产品之间分配生
产费用
（三）分类法的适用范围
凡是生产的产品品种繁多，而且可以按照一 定的要求划分为若干类别的企业或车间，都 可以采用分类法计算产品成本。
同原料、同工艺生产不同规格产品的企业 生产联产品的企业 生产出副产品的企业 生产零星产品的企业 生产等级产品的企业
最后按标准产品产量的比例计算出各种产品的完工产品 成本和在产品成本。
为保证产品成本的可比性，系数一经确定，应保持相对 稳定。
原材料费用定额＝产品原材料消耗定量×原材料计划 单价
人工费用定额＝产品生产工时定额×计划小时薪酬率 制造费用定额＝产品生产工时定额×计划小时制造费
用率
（2）定额成本与计划成本的异同
两者的相同之处，都是以产品生产的消耗定额和计划 价格确定的目标成本，其计算公式均为：
原材料费用定额＝产品原材料消耗定额×原材料计划单价 人工费用定额＝产品生产工时定额×计划小时薪酬率 制造费用定额＝产品生产工时定额×计划小时制造费用率
常用的分配标准有定额消耗量、定额工时、定额费 用、产品出厂价、产品的体积、重量、长度等。
具体进行选择时往往考虑分配标准与产品成本之间的关 联关系、分配标准取得的难易程度和计算过程是否方便 可行等因素。
企业划分类内各完工产品成本的常用方法主要是定 额比例法和系数法。
1.定额比例法
企业可以按类内各种产品的定额成本或定额消耗量 的比例，对各类产品的总成本进行分配，这种按定 额比例确定类内各种产品成本的方法，通常称为定 额比例法。其计算公式为：
以产品类别作为产品成本计算对象 产品成本计算期由产品成本计算的基本方法决定 月末通常要在完工产品与月末在产品之间分配生
产费用
（三）分类法的适用范围
凡是生产的产品品种繁多，而且可以按照一 定的要求划分为若干类别的企业或车间，都 可以采用分类法计算产品成本。
同原料、同工艺生产不同规格产品的企业 生产联产品的企业 生产出副产品的企业 生产零星产品的企业 生产等级产品的企业
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只有当f (x)为不超过4次的多项式时,可使用公式求出其解
可以使用试探法,二分法进行近似的数值求解
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 方程求根法
可以使用逐次逼近法或迭代法获得f (x) 0的比较准确的近似解
需要讨论以下几个问题 (1)迭代格式的构造 (2)迭代的初始条件x(0)的选取 (3)迭代产生的序列{x( k ) }的收敛性 (4)迭代的终止条件和误差估计 两种方法
x(0) 1.5时收敛 当x(0) (1.841406, )时收敛 当x(0) (2, 1.841406)时不收敛
第5章 方程和方程组的迭代解法
例.非线性方程求解
演示
第5章 方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.2 牛顿迭代法
设第k次近似x(k)已知 ,以x(k)处的两个函数信息f (x(k) )和f (x(k) ) 构造Newton插值多项式
)
,
k
0,1,
2,...
x(k ) x(k 1)
x(k)
x(k ) x(k 1) f (x(k) ) f (x(k1) )
f (x(k) ), k
0,1, 2,...
或
x(k 1)
x
(
k
1) f (x(k f (x(k)
)) )
x(k) f f (x(k
(x( 1) )
k
1)
)
,
k
0,1, 2,...
特点 (1)速度快:Newton迭代法比简单迭代法收敛快 (2)由于要计算导数,因此计算量稍大
可以使用一点Newton迭代法
x(k 1)
x(k)
f (x(k)) f (x(k) )
x(k)
f f
(x(k) ) (x(0) )
,
k
0,1, 2...
第5章 方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.3 割线法
a.第k次迭代后,x(k)充分接近于x* b.第k次迭代后,有 f (x(k) )
第5章 方程和方程组的迭代解法
5.1 方程求根法 5.1.2 简单迭代法
简单迭代公式 ,构造(x)使
x(k1) (x(k) ), k 0,1, 2,...
(5-3)
当给定初始近似值x(0)后,只需逐次计算函数值, 可获得迭代序列{x( k ) }
当f (x*) 0时, f (x) 0的解x*必为方程(x)的不动点
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
5.1.2 牛顿迭代法
Newton迭代法的几何意义 它在点(x(k) , f (x(k) ))邻近的局部范围内,以过此点的切线近似
代替曲线y f (x),以切线与x轴的交点,作为下一次的近似x(k1)
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
5.1.3 割线法
几何意义 x(k1)为过(x(k1) , f (x(k1) ))和(x(k) , f (x(k) ))的割线与x轴的交点
割线法的迭代公式可以写为
x(k1) (x(k ) , x(k-1) )
因此,称其为两步法方法
其速度比简单方法快,比Newton方法慢
当x(k) , x(k1)接近于x*时, f (x(k) ), f (x(k-1) )也较接近,因此会引起较大误差
x(k 1)
x(k)
(
x(k
1)
x(k) )
f (x(k)) f (x(k1) )
/
1
f (x(k))
f
(
x(k 1)
)
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
不收敛 收敛
例 5.2 设方程x ex 2 0,在[2, 1],[1, 2]中各有一根 取x(k1) ex(k) 2, k 0,, 2,... 演示
x(0) 0时收敛 x(0) 1时收敛 x(0) 1.5时不收敛 取x(k1) ln(x(k) 2), k 0,1, 2,...
5.1.4 区间方法
思想: 迭代过程确定了一个区间的序列{I (k)} ,使每个区间I (k)
都包含方程的一个解x*, 且区间I (k)长度趋向于零 ,则当区间长度 足够小时, 必有区间中的任一点与x*的差小于给定误差值 ,则 可取区间中的任一点作为x*
l(x) f (x(k) ) f (x(k) )(x - x(k) )
在局部代替函数f (x) ,有 f (x(k) ) f (x(k) )(x - x(k) ) 0
得到
x
x(k)
f (x(k)) f (x(k) )
x(k 1)
这一迭代方法称为Newton迭代法
其迭代函数为
(x)
x
f (x) f (x)
由于这一迭代过程十分简单,因此称为简单迭代法
(x)称为迭代函数
迭代格式的获得
将(5 1)改写为x (x),可得到形如(5 - 3)的等价方程
不动点
若(x)为连续函数,则当迭代式(5 - 3)产生的序列{x(k)}收敛 并且满足 lim x(k) x*时,有x* (x*)
k
则x*为方程(5-1)的解,也称为 (x)的不动点
第5章 方程和方程组的迭代解法
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 方程求根法
一个变量的非线性方程是指形如以下形式的方程
f (x) 0
(5-1)
其中,f (x)是实变量x的非线性实单值函数
满足方程(5 -1)的实数x*, 使f (x*) 0成立 ,称为非线性方程(5 1)的解
一元非线性方程是指f (x)是多项式的非线性方程 ,即形如 f (x) an xn an-1xn-1 a1x a0 0的方程,其中 n 1
为避免求导数值,可以通过(x(k1) , f (x(k1) ))和(x(k) , f (x(k) ))
的线性插值公式近似f (x)
f (x(k) ) f [x(k1) , x(k) ](x x(k) ) 0 得到割线法的迭代式
x(k1) x(k )
f
f (x(k)) (x(k) ) f (x(k1)
第5章 方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.1 简单迭代法
例 5.1 设方程x ex - 2 0,在[0,1]中有一解
得到迭代格式(x) x - f (x),取x(0) 0
x(k1) 2 ex(k) , k 0,1, 2,...
演示
x(k1) ln(2 x(k) ), k 0,1, 2,...
可以使用试探法,二分法进行近似的数值求解
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 方程求根法
可以使用逐次逼近法或迭代法获得f (x) 0的比较准确的近似解
需要讨论以下几个问题 (1)迭代格式的构造 (2)迭代的初始条件x(0)的选取 (3)迭代产生的序列{x( k ) }的收敛性 (4)迭代的终止条件和误差估计 两种方法
x(0) 1.5时收敛 当x(0) (1.841406, )时收敛 当x(0) (2, 1.841406)时不收敛
第5章 方程和方程组的迭代解法
例.非线性方程求解
演示
第5章 方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.2 牛顿迭代法
设第k次近似x(k)已知 ,以x(k)处的两个函数信息f (x(k) )和f (x(k) ) 构造Newton插值多项式
)
,
k
0,1,
2,...
x(k ) x(k 1)
x(k)
x(k ) x(k 1) f (x(k) ) f (x(k1) )
f (x(k) ), k
0,1, 2,...
或
x(k 1)
x
(
k
1) f (x(k f (x(k)
)) )
x(k) f f (x(k
(x( 1) )
k
1)
)
,
k
0,1, 2,...
特点 (1)速度快:Newton迭代法比简单迭代法收敛快 (2)由于要计算导数,因此计算量稍大
可以使用一点Newton迭代法
x(k 1)
x(k)
f (x(k)) f (x(k) )
x(k)
f f
(x(k) ) (x(0) )
,
k
0,1, 2...
第5章 方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.3 割线法
a.第k次迭代后,x(k)充分接近于x* b.第k次迭代后,有 f (x(k) )
第5章 方程和方程组的迭代解法
5.1 方程求根法 5.1.2 简单迭代法
简单迭代公式 ,构造(x)使
x(k1) (x(k) ), k 0,1, 2,...
(5-3)
当给定初始近似值x(0)后,只需逐次计算函数值, 可获得迭代序列{x( k ) }
当f (x*) 0时, f (x) 0的解x*必为方程(x)的不动点
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
5.1.2 牛顿迭代法
Newton迭代法的几何意义 它在点(x(k) , f (x(k) ))邻近的局部范围内,以过此点的切线近似
代替曲线y f (x),以切线与x轴的交点,作为下一次的近似x(k1)
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
5.1.3 割线法
几何意义 x(k1)为过(x(k1) , f (x(k1) ))和(x(k) , f (x(k) ))的割线与x轴的交点
割线法的迭代公式可以写为
x(k1) (x(k ) , x(k-1) )
因此,称其为两步法方法
其速度比简单方法快,比Newton方法慢
当x(k) , x(k1)接近于x*时, f (x(k) ), f (x(k-1) )也较接近,因此会引起较大误差
x(k 1)
x(k)
(
x(k
1)
x(k) )
f (x(k)) f (x(k1) )
/
1
f (x(k))
f
(
x(k 1)
)
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
不收敛 收敛
例 5.2 设方程x ex 2 0,在[2, 1],[1, 2]中各有一根 取x(k1) ex(k) 2, k 0,, 2,... 演示
x(0) 0时收敛 x(0) 1时收敛 x(0) 1.5时不收敛 取x(k1) ln(x(k) 2), k 0,1, 2,...
5.1.4 区间方法
思想: 迭代过程确定了一个区间的序列{I (k)} ,使每个区间I (k)
都包含方程的一个解x*, 且区间I (k)长度趋向于零 ,则当区间长度 足够小时, 必有区间中的任一点与x*的差小于给定误差值 ,则 可取区间中的任一点作为x*
l(x) f (x(k) ) f (x(k) )(x - x(k) )
在局部代替函数f (x) ,有 f (x(k) ) f (x(k) )(x - x(k) ) 0
得到
x
x(k)
f (x(k)) f (x(k) )
x(k 1)
这一迭代方法称为Newton迭代法
其迭代函数为
(x)
x
f (x) f (x)
由于这一迭代过程十分简单,因此称为简单迭代法
(x)称为迭代函数
迭代格式的获得
将(5 1)改写为x (x),可得到形如(5 - 3)的等价方程
不动点
若(x)为连续函数,则当迭代式(5 - 3)产生的序列{x(k)}收敛 并且满足 lim x(k) x*时,有x* (x*)
k
则x*为方程(5-1)的解,也称为 (x)的不动点
第5章 方程和方程组的迭代解法
第5章 方程和方程组的迭代解法 5.1 方程求根法
一个变量的非线性方程是指形如以下形式的方程
f (x) 0
(5-1)
其中,f (x)是实变量x的非线性实单值函数
满足方程(5 -1)的实数x*, 使f (x*) 0成立 ,称为非线性方程(5 1)的解
一元非线性方程是指f (x)是多项式的非线性方程 ,即形如 f (x) an xn an-1xn-1 a1x a0 0的方程,其中 n 1
为避免求导数值,可以通过(x(k1) , f (x(k1) ))和(x(k) , f (x(k) ))
的线性插值公式近似f (x)
f (x(k) ) f [x(k1) , x(k) ](x x(k) ) 0 得到割线法的迭代式
x(k1) x(k )
f
f (x(k)) (x(k) ) f (x(k1)
第5章 方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.1 简单迭代法
例 5.1 设方程x ex - 2 0,在[0,1]中有一解
得到迭代格式(x) x - f (x),取x(0) 0
x(k1) 2 ex(k) , k 0,1, 2,...
演示
x(k1) ln(2 x(k) ), k 0,1, 2,...