数轴绝对值培优
七年级数学上册数轴、绝对值培优训练
七年级数学上册数轴、绝对值培优训练一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。
我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比较有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
二、知识点反馈1、利用数轴能形象地表示有理数；例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练：1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、把满足52≤<a 中的整数a 表示在数轴上，并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数；例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。
拓广训练：1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。
3、利用数轴比较有理数的大小；例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。
（用“<”号连接） 拓广训练：1、 若0,0><n m 且n m >，比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小，并用“>”号连接。
例4：已知5<a 比较a 与4的大小拓广训练：1、已知3->a ，试讨论a 与3的大小2、已知两数b a ,，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
绝对值培优类型题
绝对值培优类型题一、绝对值的代数意义绝对值表示一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
用“|a|”来表示，读作“绝对值”。
二、绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示该数的点离开原点的距离。
三、绝对值的基本性质1. 当a为非负数时，|a|=a；当a为负数时，|a|=-a；当a=0时，|a|=0。
2. 绝对值总是非负的，即|a|≥0。
3. 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。
4. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0。
四、绝对值的运算性质1. |a|=-|a|当且仅当a=0；|a|=|b|当且仅当a=b或a=-b。
2. 两个负数，绝对值大的反而小。
3. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
4. |ab|=|a||b||ab|=|a||b|。
5. 互为相反数的两个数的绝对值相等。
6. 符号法则：正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0。
五、绝对值的取值范围一个数的绝对值越小，则该数越接近于0；反之，一个数的绝对值越大，则该数越远离于0。
六、绝对值在函数中的应用1. 一次函数：y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
其中b是y轴上的截距，可以表示该函数在y轴上的取值范围。
函数的图象是一条直线。
当直线在x轴上方时，y为正值；在x轴下方时，y为负值。
因此，一次函数的绝对值表示该函数在x轴上方的部分所对应的面积。
2. 二次函数：y=ax²+bx+c，函数的图象是一条抛物线。
当抛物线开口向上时，最低点为该函数的极小值点；当抛物线开口向下时，最高点为该函数的极大值点。
抛物线与x轴的交点表示该函数在x轴上的取值情况。
因此，二次函数的绝对值表示该函数在x轴上方的部分所对应的面积。
3. 分式函数：y=f(x)=x/m(x≠±√m)，函数的图象是一条折线段。
由于分母不为零，因此该函数在x轴上方的部分所对应的面积即为该函数的正值范围。
走进重高 培优讲义七上 第二讲 数轴和绝对值
第二讲 数轴和绝对值例1 若有理数m 在数轴上对应的点为M ，且满足1||>m 且,0<m 则下列数轴表示正确的是( )．例2 已知a 是最大的负整数的相反数，,2|4|=+b 且.0|3||5|=++-d c(1)写出d c b a ,,,的值．(2)计算||||||d b c a -+-+的值．例3 如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，点A 表示-4，点G 表示8．(1)点B 表示的有理数是________，表示原点的是点________.(2)图中的数轴上另有点M 到点A 、点G 的距离之和为13，则这样的点M 表示的有理数是_______．(3)若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D ，则点C 表示的有理数是_______，此时点B 与点____表示的有理数互为相反数．例4 如图，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ，其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2019，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000.(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数．(2)若原点0在A ，B 两点之间，求||||||c b b a -++的值．(3)若O 是原点，且,19=OB 求c b a -+的值.例5 (1)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B 重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B 时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A 时，它的左端在数轴上所对应的数为5(单位：cm)，由此可得木棒的长为 cm.(2)由题(1)的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大，我就116岁了，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁了.例 观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答下列各题．(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？(2)若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-1，则点A 与点B 两点间的距离可以表示为______.(3)结合数轴求得|3||2|++-x x 的最小值为________，取得最小值时x 的取值范围为__________.(4)满足3|4||1|>+++x x 的x 的取值范围为__________.拓展训练A 组1．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是( )．（第1题）A.点B 与点D B ．点A 与点C C ．点A 与点D D ．点B 与点C2．符号语言“”)0(||≤-=a a a 所表达的意思是( )．A.正数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C.非正数的绝对值等于它的相反数 D ．负数的绝对值是正数3．如图，点A 表示的有理数是a ，则1,,a a -的大小顺序为( )．1.<-<a a A 1.<<-a a B a a C -<<1. a a D <-<1.（第3题） （第4题）4．如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上“0 cm”和“3 cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.4 cm”对应的数轴上的数为( )．4.5.A 4.2.-B 6.2.-C 6.1.-D5．已知点A 在数轴上的位置如图，则点A 表示的数的相反数是．（第5题） （第6题）6．如图，数轴上点Q 、点P 、点R 、点S 和点T 分别表示五个数，如果点R 和点T 表示的数互为相反数，那么这五个点所表示的数中，点__________对应的数绝对值最大．7．推理题．(1)5的相反数是5,5--的相反数是______，那么-x 的相反数是________n m 21,+的相反数是______. (2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系),62(214+=那么到点100和到点999距离相等的点表示的数是_______，到点m 和点一n 距离相等的点表示的数是 ________.(3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系,495-=那么点10和点-3之间的距离是_________，点m 和点n 之间的距离是__________.8．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当0≥a 时，;||a a =当0<a 时，.||a a -=根据以上阅读完成：=-|14.3|)1(π_______________.(2)计算：⋅-++-+-+-|1001991||4131||3121||211| 9．已知,0|5||3||2|=-+++-z y x 求：z y x ,,)1(的值．||||||)2(z y x ++的值．10.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是____；表示-3和2的两点之间的距离是_________，一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于.||n m -如果表示数a 和一2的两点之间的距离是3，那么=a ___________.(2)若数轴上表示数a 的点位于-4与2之间，求|2||4|-++a a 的值．11.有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图，且a ，b ，c 满足条件.10||2||5||10===c b a(1)求a ，b ，c 的值．(2)求|2||2||2|a c c b r b -+----α的值．（第11题）12.如图1，已知数轴上有三点A ，B ，C ，它们对应的数分别为a ，b ，c ，且,a b b c -=-点C 对应的数是10.(1)若.15=BC 求a ，b 的值．(2)如图2，在(1)的条件下，0为原点，动点_P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，点Q 向右运动，运动速度为每秒1个单位长度，N 为OP 的中点，M 为BQ 的中点．①用含t 的代数式表示PQ ．MN.②在点P ，Q 的运动过程中，PQ 与MN 存在一个确定的等量关系，请指出它们之间的关系，并说明理由．（第12题）B 组13.对于任何有理数n ，下列一定为负数的是( )． )3(.a A +-- a B -. |1|.+-a C 1||.--a D14.有理数a ，b 在数轴上的对应位置如图，则下列四个选项正确的是( )．a b b a A -<-<<. b a b a B <-<-<.0.>-b a C 0.>+-b a D（第14题） （第15题）15.如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数-2020的点与圆周上表示数字( )的点重合．0.A 1.B 2.C 3.D16.根据给出的数轴，解答下面的问题．（第16题）(1)请你根据图中A ，B （在一2，-3的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A ：________，B ：__________．(2)在数轴上画出与点A 的距离为2的点（用不同于A ，B ，M ，N 的其他字母表示），并写出这些点所表示的数：____________．(3)若经过折叠，点A 与-3表示的点重合，则点B 与数___________表示的点重合.(4)若数轴上M ，N 两点之间的距离为9(M 在N 的左侧)，且M ，N 两点经过(3)中的折叠后重合，那么M ，N 两点表示的数分别是：M____，N____．17.如图，从数轴上的原点开始，先向左移动2 cm 到达点A ，再向左移动4cm 到达点B ，然后向右移动10 cm 到达点C(1)用1个单位长度表示lcm ，请你在题中所给的数轴上表示出A ，B ，C 三点的位置．(2)把点C 到点A 的距离记为CA ，则=CA ________.cm(3)若点B 以每秒3 cm 的速度向左移动，同时点A ，C 分别以每秒lcm ，5 cm 的速度向右移动，设移动时间为t(s)(t>0)，试探究CA-AB 的值是否会随着t 的变化而变化，请说明理由．（第17题）18.当x 为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．..|3||2||1|)1(-+-++x x x.|1||3||2||1|)2(-+-+-++x x x x.|20||6||4||2|)3(-++-+-+-x x x x走进重高1．【娄底】已知点M,N ，P ，Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是( )．M A . N B . P C . Q D .（第1题） （第2题）2．【贵阳】如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A ，B ，C ，若点A ，B 表示的数互为相反数，则图中点C 对应的数是( )．2.-A 0.B 1.C 4.D3．【福建】已知A ，B ，C 是数轴上的三个点，且点C 在点B 的右侧，点A ，B 表示的数分别是1，3，如图，若,2AB BC =则点C 表示的数是________.（第3题） （第5题）4．如果一个零件的实际长度为a ，测量结果是b ，则称||a b -为绝对误差，a a b ||-为相对误差．现有一零件实际长度为5.0 cm ，测量结果是4.8 cm ，则本次测量的相对误差是_________.5．如图，数轴上点A 表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点,1A第2次从点,1A 向右移动6个单位长度至点,2A 第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点 3A 按照这种移动方式进行下去，点2019A 表示的数是_________.6．已知数轴上两点A ，B ，其中点A 表示的数为-2，点B 表示的数为2，若在数轴上存在一点C ，使得,n BC AC =+则称点C 为点A ，B 的“n 节点”，例如：若点C 表示的数为0，有2=+BC AC ,42=+ 则称点C 为点A ，B 的“4节点”，请根据上述规定回答下列问题：(1)若点C 为点A ，B 的“n 节点”，且点C 在数轴上表示的数为-4，求n 的值．(2)若点D 是数轴上点A ，B 的“5节点”，请你直接写出点D 表示的数：____．(3)若点E 在数轴上（不与点A ，B 重合），满足,21AE BE =且此时点E 为点A ，B 的“n 节点”，求n 的值．（第6题）高分夺冠1．如图，在数轴上有A ，B ，C ，D 四个整数点（即各点均表示整数），且.32CD BC AB ==若A ，D 两点表示的数分别为-5和6，E 为线段BD 的中点，则中点E 表示的数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D（第1题） （第2题）2．已知a 在数轴上的位置如图所示，则1|||1|-+a a 的值为________. 3．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示-3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2021的点与正方形上表示数字____ 的点重合．（第3题）4．【归纳】(1)观察下列各式的大小关系：|,36||3||6||,32||3||2|+->+-+->+-|8||0||,32||3||2|-+--=-+-.|80|-= 归纳：||||b a +⋅__________||b a +（填””“”“”““≥=<>或”“≤)． 【应用】(2)根据上题中得出的结论，若,1||,13|ln ||=+=+n m m 求m 的值，【延伸】(3)当a ，b ，c 满足什么条件时，.||||||||c b a c b a ++>++5．已知202021,,,x x x 都是不等于0的有理数，请你探究以下问题：(1)若,||111x x y =则=1y ___________. (2)若,||||22112x x x x y +=则=2y __________. (3)若,||||||3322113x x x x x x y ++=求3y 的值． (4)由以上探究可知，,||||||2020202022112020x x x x x x y +++=共有___________个不同的值；在2020y 这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于_________2020,y 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于_______.。
2024年浙教版七年级上册数学期末培优复习第2招与绝对值有关的常见题型
A. ①④
B. ①③
C. ②③
D. ②④
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分类训练
绝对值的非负性在求字母取值中的应用
3. 如果｜－2 a ｜＝－2 a ，那么 a 的取值范围是(
A. a ＞0
B. a ≥0
C. a ≤0
D. a ＜0
4. 如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取值范围是
C
)
x ≤2
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分类训练
5. 已知｜ x －2｜＋｜ y －3｜＝0.
(1)求 x ， y 的值；
【解】由题意得， x －2＝0， y －3＝0，
所以 x ＝2， y ＝3.
(2)已知｜ x ＋ y ＋ z ｜＝7，求 z 的值.
【解】因为 x ＝2， y ＝3，｜ x ＋ y ＋ z ｜＝7，
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分类训练
(4)当 m 为何值时，式子8－｜ m －2｜有最大值？最大值
是多少？
【解】要使式子8－｜ m －2｜有最大值，则｜ m －2｜
取得最小值.
因为｜ m －2｜≥0，所以当 m ＝2时，｜ m －2｜取得
最小值，最小值为0，
所以当 m ＝2时，式子8－｜ m －2｜取得最大值，最大
值为8－0＝8.
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分类训练
绝对值在数轴中的应用
培优专题一绝对值
专题一 绝对值题型一、基本定义化简【典型例题】例1、（1）已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++-- (2)已知有理数a , b, c,在数轴上的位置如图所示，化简：a c c b b a ++--+.例2、已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 例3、已知0,>-<ba b a ，化简a b a b ab -+++【课后练习】 1、实数,,a b c 在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-0cb a2、已知有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简a a b c b a c -++-++3、⑴若有理数a 、b 满足|a+4|+|b-1|=0，则a+b=_______⑵若|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a ，则a+b=________.⑶若m 是有理数，则|m|-m 一定是( ) A.零 B.非负数 C. 正数 D 负数⑷如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在b a +，a b 2-，a b -，b a -，2+a ，4--b 中，负数共有（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个-232b a1-1题型二、绝对值零点分段化简【典型例题】例4、阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【课后练习】化简： ⑴3x- ⑵12x x +++⑶523x x ++- ⑷212x x ---⑸12m m m +-+- ⑹121x x --++（7）3243m m m ++-+- （8）32264m m m ++-+-题型三、关于aa的探讨应用【典型例题】 例5、已知a b c abc x a b c abc =+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值。
人教版七年级上册数学 第1章 有理数 数轴与绝对值 综合培优练习题
人教版七年级上册数学第1章有理数数轴与绝对值综合培优练习题一．数轴动点综合1．已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置．（2）C店离A店有多远？（3）快递员一共骑行了多少千米？2．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P 到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P 关于A→B的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．3．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．4．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B 重合．（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为cm；（2）图中点A所表示的数是，点B所表示的数是；（3）由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，琪琪去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？5．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．二．绝对值与最值问题6．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．7．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：8．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离为2，那么x值为．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为，此时x的取值是；（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值和最小值．9．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；（2）当x＝时，点P到点A，点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．10．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是．②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为．③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值＝．④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x的是．⑤若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为．三．有理数大小比较与化简问题11．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示．（1）用“＜”号把a，b，c连接起来；（2）化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|．12．a、b、c在数轴上的位置如图，则：（1）用“＞、＜、＝”填空：a 0，b 0，c 0．（2）用“＞、＜、＝”填空：﹣a 0，a﹣b 0，c﹣a 0．（3）化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|．13．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，（1）用“＞”或“＜”填空：c+b 0，ac 0，abc 0，ab+c 0．（2）＝．14．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：（1）判断正负，用“＞”、“＜”或“＝”填空：a+b 0，a﹣b 0，a+b+c 0；（2）化简：|a+c|﹣|a+b+c|+|a﹣b|．15．（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣4），﹣|﹣3.5|，+（﹣）．（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：①在数轴上表示﹣x，|y|；②试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接．③化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．。
绝对值培优
和绝对值有关的问题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：，，且，那么的值（ C ）A．是正数 B．是负数C．是零D．不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x，乙数为y由题意得：，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程的解的个数是（ D ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。
沪科版数学七年级上册(培优练习)1.2《数轴、相反数和绝对值》
《1.2 数轴、相反数和绝对值》培优练习1. 已知有理数a，b，c满足|a－1|＋|b－3|＋|c－4|＝0，则a，b，c的值分别为( ). A．1，－3，4 B．－1，3，4 C．－1，－3，－4 D．1，3，42. 如果|m|＝6，m的相反数是小于0的数，则|m－4|＝( ).A. －2B. 2C. 10D. －103. 某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查结果如下：则质量最好的零件是( ).A．第1个 B. 第2个 C. 第3个 D. 第4个4. 一探险队，要沿着一条东西走向的河流进行考察，第一天沿河岸向上游走了5 km，第二天又向上游走了4.3 km，第三天开始计划有变，第三天又向下游走了4.8 km，第四天又向下游走了3 km，你知道第四天之后，该探险队在出发点的上游还是下游吗？距离出发点多远？5. a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，化简式子：|a|a +|b|b+|c|c.答案和解析【答案】1. D2. B3. D4. 探险队在出发点的上游，距离出发点1.5 km.5. 1．【解析】1. 解：因为|a－1|≥0，|b－3|≥0，|c－4|≥0，且|a－1|＋|b－3|＋|c－4|＝0，所以|a－1|＝0，|b－3|＝0，且|c－4|＝0.所以a＝1，b＝3，c＝4.应选D.根据绝对值的非负性，由|a－1|＋|b－3|＋|c－4|＝0可知，|a－1|＝0，|b－3|＝0，|c－4|＝0，进而可以求出a、b、c的值.此题考查的是绝对值的非负性，任意一个数的绝对值都大于等于0，解题关键是由绝对值的非负性分析出|a－1|＝0，|b－3|＝0，|c－4|＝0.2. 解：因为m的相反数是小于0的数，所以m大于0，又因为|m|＝6，所以m＝6，所以|m－4|＝|6－4|＝2.故选B.根据m的相反数是小于0的数可知，m大于0，进而可以得到m的值，最后求出|m－4|的值即可.此题考查的是对相反数和绝对值的理解，解题关键是掌握相反数和绝对值的定义.3. 解：因为|＋0.5|＝0.5，|－0.3|＝0.3，|＋0.1|＝0.1，|0|＝0，0.5＞0.3＞0.1＞0，所以第4个零件的质量最好．故选D.质量的好坏取决于质量偏离标准质量的绝对数值，即偏离标准质量的数值越小越好．此题考查的是绝对值的实际应用，解题关键是要明确偏离标准质量的数值越小，零件的质量越好.4. 解：设出发点为原点，向上游走为正方向，那么向下游走为负，画出数轴如图所示．利用数轴分析，得第四天后，探险队在出发点的上游，距离出发点1.5 km.根据题意，规定正方向，画出数轴，然后借助数轴进行分析即可.本题主要考查了数轴的应用，解题关键是结合题意，借助数轴，画出探险队的运动轨迹.5. 解：观察数轴上a ，b ，c 的位置知：a 是正数，b 是正数，c 是负数，因此|a|＝a ，|b|＝b ，|c|＝－c ，则|a |a +|b |b +|c |c =a a +b b +c c =1+1−1=1. 观察数轴可知，a 是正数，b 是正数，c 是负数，进而可以得到|a|＝a ，|b|＝b ，|c|＝－c ，代入求出|a |a +|b |b +|c |c 的值即可.本题考查的是对数轴和绝对值的应用，解此题的关键是结合数轴可知a 是正数，b 是正数，c 是负数，进而可以确定|a |a ，|b |b ，|c |c 的值.。
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初一数学培优竞赛数轴与绝对值知识要点：数轴上的点与有理数的关系 2、利用数轴比较有理数的大小1、 3、去绝对值的符号法则0)?(aa??0)?0(a|a|?
??0)?(a?a?|ab|=|a||b| 5、绝对值的几何意义：；4、绝对值的基本性质非负性：|a|≥0 二、例题选讲：，则a 0引例：|a|=-a
的值a+1）+|b-2|=0，求a、例题1：已知：（1）（
2 b
的值，|b|=2，且a<b,求 a-b （2）|a|=5cba的值?c均为非零有理数，求?若a、b、 2 例题cba互为相反数，试求代数式与|b-1|例题3 已知|ab-2|1111????的值
(a?2)(?b?2)2011)(b?2011)?ab(a1)(b?1)(a
例题4 有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示：
cab10 1-c│，│a-c│-?│-m=若│a+b│-│b-1│1000m=
则在数轴上的位置如图所示，练习：如图：a , b , c
oabc a-b|+|-2c|+|c+b|+|3b|
试化简：︳ b）|ab|+|a+b|=1的所有整数对（a，例题6 已知求满足【基础夯实】
一、选择题a,b,c在数轴上的位置如图所示，则a,b, -c由小到大的顺序是 1．数（）
A. a,-c,b
B. b,a,-c
C. a, b,-c
D. b,-c,a
2．四个互不相等的整数的积是9，那么这四个整数的和等于（）
A.27
B.0
C.9
D.以上答案都不对
?a=-a,那么 ( )
3．如果A.-a一定是负数; ;
一定非负数B.-a
;..
.
aa.
D.- 不能是零C.一定是正数;
( )
成立的是4．下列各式的结论,nmnm A.则若若m>n,> = ,则m=n B.
nmmn.
若m<n<0,则>>,则m>n 若 C.D.
（）a+b>0，则a-b的值是，且5．若|a|=8，|b|=5-13 或-3 D.-3或A.3或13 B.13或 -13 C.3 二、解答题 c-b│．│a+c│
+│6．设有理数在数轴上对应点如图所示，化简│b-a│+
|2x-1|+|x-2| ．化简7
【能力拓展】a?3?2a?4,?0?a（）的最大值等于1、已知那么
A. 1
B. 5
C. 8
D. 3
） 2、满足|a-b|=|a|+|b|成立的条件是
（1??0D.abCabA.?0B.ab?1.ab
绝对有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值是我们初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、、函数中距离等问题、解不等(组))值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：)a?0_____(??
)0?a?_____(a l．绝对值的代数意义：??)0_____(a??a；长度，非负表示
_____________________的距离() 2．绝对值的几何意义从数轴上看，ba?．表示
__________________________ 3．绝对值基本性质;..
.
aa222baa?0ab??)0?(b?aaa??；③；④①非负性：；②．bb培优讲解（一）、
绝对值的非负性问题??zx?y05?x?3?y?1?z?】若。
，则【例1。
总结：若干非负数之和为0，
、绝对值中的整体思想（二）b?a4,ab??5a?b?a?b．2【例，那么，且】已知= m_______1; 1，则|m－1|>m－－1|=m－1，则m_______1; 若若变式1. |m 、绝对值相关化简问题（零点分段法）（三）】阅读下列材料并解决有关问题：【例3??0xx?????0x?x0?，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式我们知道????0x??x?
2,1?2??x?1,x2x?12x??xx?1?0?x?10x?2?的，分别求得与和（称时，可令分别为
1x??2x? 3零点值）。
在有理数范围内，零点值和种情况：可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下????1?x?x?1??2x??21??x; ）当时，原式=（1??3?2?x1??x2?1??x；时，原式=（2）当12x?1?x?2??x2x?时，原式（3）当=。
??1?1x???2x????2?x3??1综上讨论，原式=????2?x1x?2?通过以上阅读，请你解决以下问题：4?2x??4xx2??x 2）化简代数式（1（）分别求出和的零点值；
;..
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12x?3??xx?1；(2) 变式1.化简(1) ；
2x?x3?x?2?3?x?aba?b已知的值。
，求的最大值为的最小值是，变式2.
bb?a a表示数轴上表示数、（四）的两点间的距离．、数42??2?6?与，与3与【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与5，， 3.
并回答下列各题：. ）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：（1___ 两点间的距离A与Bx，点B表示的数为―1，则（2）若数轴上的点A表示的数为______________.
可以表示为
3??xx?2___. ，取得最小值时x的取值范围为（3的最小值为）结合数轴求得
x3??x?4x?1. （4）______ 满足的的取值范围为
?3??x2?x?2008?x?1x?的值为常数，试求（5）的取值范围．若x
（五）、绝对值的最值问题xx2?x?5x?3有最取何值时，2有最小值？这个最小值是多
少？（】【例5（1）当取何值时，）当5?4x?x?97x??x?8x?? 4）求大值？这个最大值是多少？（3的最小值。
（）求的最小值。
;..
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