高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案10-3
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案12-1
选考内容 第12章 第1节一、填空题1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案：4 3解析：直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.2．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________． 答案：52解析：两圆方程分别为x 2＋y 2＝2x ，x 2＋y 2＝y ，知两圆圆心C 1(1,0)，C 2(0，12)，∴|C 1C 2|＝12＋(12)2＝52.3．在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．答案：ρ＝4sin θ解析：由参数方程消去α得圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x 的方程变为____．答案：y ′＝3sin2x ′解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin2x ′.5．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________． 答案：22解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x ＋y －2＝0，故点(1,0)到直线距离d ＝|1＋0－2|2＝22.6．(2010·皖南联考)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点，则MN 的中点P 在平面直角坐标系中的坐标为________．答案：(1，33) 解析：由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1，从而得C 的直角坐标方程为x ＋3y＝2，所以M (2,0)，N (0，233)，∴P (1，33)．7．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则极点到这条直线的距离是________．答案：22解析：因为ρsin(θ＋π4)＝ρ(sin θcos π4＋cos θsin π4)＝22(ρsin θ＋ρcos θ)，所以原方程可化为22(ρsin θ＋ρcos θ)＝22，即ρsin θ＋ρcos θ＝1. 则将其化为平面直角坐标方程为x ＋y ＝1，极点对应于平面直角坐标原点，故极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.8．(2010·江南联考)在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离的最大值是________．答案：7解析：根据ρ＝4得圆的方程为x 2＋y 2＝16.根据ρ(cos θ＋3sin θ)＝6得ρcos θ＋3ρsin θ＝6，即直线的方程为x ＋3y ＝6.根据圆心到直线的距离d ＝61＋(3)2＝3得直线与圆相交，因此圆上的点到直线的距离的最大值为d ＋r ＝3＋4＝7.9．(2010·广东一模)在极坐标系中，设圆ρ＝32上的点到直线ρ(7cos θ－sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值为________．答案：2解析：将圆和直线的极坐标方程化为普通方程，分别为：x 2＋y 2＝94和7x －y －2＝0，圆心(0,0)到直线7x －y －2＝0的距离为12，小于圆的半径32，即直线与圆相交，所以圆上的点到直线7x －y －2＝0的距离的最大值为12＋32＝2，故填2.二、解答题10．求极坐标方程ρ＝cos(π4－θ)所表示的曲线．解：所给方程可化为ρ＝22(cos θ＋sin θ)， 所以ρ2＝22(ρcos θ＋ρsin θ)．转化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝22(x ＋y )， 即(x －24)2＋(y －24)2＝14， 即以(24，24)为圆心，12为半径的圆． 11．(2010·江苏一模)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)∵ρ＝2，∴ρ2＝4，即x 2＋y 2＝4. ∵ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，∴ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2.∴x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22.12．(2010·东北联考)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∵θ∈(0，π)，∴ρ＝x 2＋y 2＝1，θ＝π2.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案1-2
第1章 第2节一、选择题1．原命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：BA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件答案：A解析：若0<a <b ，则(14)a >(14)b 成立；反之，若(14)a >(14)b ，只需a <b 即可． 5. (2010·宜昌调研)若a 、b 、c 是实数，则“ac <0”是“不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件∴n 的取值范围只要包含在(－2,2)内即可，故选D.二、填空题7．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①AB ⇔对任意x ∈A ，有x ∈B ； ②A B ⇔A ∩B ＝∅；③A B⇔A⊉B；④A⊆B⇔任意x∈A，使得x∈B，其中真命题的序号是________．答案：④解析：①错误．对②A B但A、B可能有公共元素，故②错．对③A不是B的子集，但可能B是A的子集．对④由A⊆B得，A中的元素均在B中，故④正确．(x2＋x－5)<0，则綈p是綈q的________(填充8．已知命题p：|2x－3|>1，命题q：log12p对于④，∵A∩B＝A，∴A⊆B，∁U B⊆∁U A，反之也成立．三、解答题10．若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假．解：逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．否命题：若m >0且n >0，则m ＋n >0，真命题．逆否命题：若m ＋n >0，则m >0且n >0，假命题．11．已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0.命题q ：1－m ≤x ≤1＋m .若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由题意知p ：－2≤x ≤10，。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案10-1
第10章 第1节一、选择题1．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( )A ．10B ．15C ．20D ．25答案：D解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25(种)．2．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种 答案：C解析：自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案：D解析：当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为32时，等比数列可为4、6、9. 同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．4．如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数共有( )A ．240个B ．285个C ．231个D ．243个 答案：A解析：当十位数字是9时，百位数字有8种取法，个位数字有9种取法，此时取法种数为8×9；当十位数字是8时，百位数字有7种取法，个位数字有8种取法，此时取法种数为7×8，依此类推，直到当十位数字是2时，百位数字有1种取法，个位数字有2种取法，此时取法种数为1×2，所以总的个数为1×2＋2×3＋3×4＋…＋8×9＝240.5．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要() A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元答案：D解析：从01至10的三个连号的个数有8种；从11至20的两个连号的个数有9种；从21至30的单选号的个数有10种，从31至36的单选号的个数有6种，故总的选法有8×9×10×6＝4320种，可得需要钱数为8640元．6．已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对答案：D解析：依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.二、填空题7．五名旅客在三家旅店投宿的方法有________种．答案：243解析：完成这件事，可分成五个步骤：第一步安排一名旅客，有3种投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步都各自有3种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)．8．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．答案：32解析：和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.9．如右图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．答案：30解析：由列举法知，当A染为红色时，共有10种染色方法，同理可得，当A染为黄色或绿色时，也分别有10种染色方法，故共有30种染色方法．三、解答题10．设x ，y ∈N *，直角坐标平面中的点为P (x ，y )．(1)若x ＋y ≤6，这样的P 点有多少个？(2)若1≤x ≤4,1≤y ≤5，这样的P 点又有多少？解：(1)当x ＝1、2、3、4、5时，y 值依次有5、4、3、2、1个，不同P 点共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．(2)x 有1、2、3、4这4个不同值，而y 有1、2、3、4、5这5个不同值，共有不同P 点4×5＝20(个)．11．从{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？解：抛物线经过原点，得c ＝0，当顶点在第一象限时，a <0，－b 2a>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0，则有3×4＝12(种)； 当顶点在第三象限时，a >0，－b 2a<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0，则有4×3＝12(种)； 共计有12＋12＝24(种)．12．甲、乙、丙、丁四人传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者再传给其他三人中任一人，这样共传了4次，求第4次仍传回到甲的方法共有多少种？解：第一步甲传给其余三人共有3种方法；第二步由持球者再传给其他三人可分两类：第一类由持球者传给甲，此时第三步由甲传给其他三人，有3种方法；第四步由持球者再传给甲；第二类由持球者传给甲以外的另两人有两种方法，此时第三步由持球者传给甲以外的另两人(因为第三步不能传给甲，否则第四步不能传给甲)，有两种方法；第四步由持球者传给甲，故共有传球方法3×(1×3×1＋2×2×1)＝21种．。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案9-1
第9章 第1节一、选择题1．给出以下四个问题，①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1 (x ≤0)x 2＋1 (x >0)的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( )A ．1个B ．2个4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A.1321B.2113C.813 D.138答案：D解析：由程序框图知，x 依次取1,1,2,3,5,8，y 依次取1,2,3,5,8,13，z 依次取2,3,5,8,13,21.故输出结果为138. 5．(2010·课标全国卷)如果执行下面的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( ) A.54B.45C.65D.56答案：D ＝1，＝1＋1＝2，＝2＋1＝3＝3＋1＝现输入如下四个函数，1＋sin x －cos x二、填空题7．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为18，则输入的实数x 的值为________．答案：34解析：由流程图可知：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x x ≤0，2x 2－1 x >0当x ≤0时，由(12)x ＝18，得x ＝3，∴无解． 当x >0时，由2x 2－1＝18，得x ＝34.符合题意． 8．(2010·安徽卷)如下图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________.(1)根据图1和图2，试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致？当n ＝20时分别求它们输出的结果；(2)若希望通过对图2虚框中某一步(或几步)的修改来实现“求首项为2，公比为3的等比数列的前n 项和”，请你给出修改后虚框部分的程序框图．解：(1)图1中程序的功能是求2＋4＋6＋8＋…＋2n 的和，当n ＝20时，S ＝2＋4＋6＋…＋40＝420.图2中程序功能是求2＋4＋6＋…＋2n 的和，当n ＝20时，S ＝2＋4＋6＋…＋40＝420.所以甲、乙两位同学编写的程序输出的结果是一致的．(2)修改后部分程序框图为12．已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和＝10. 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)可知：b n ＝2a n ＝22n －1，∴b 1＋b 2＋…＋b m＝21＋23＋…＋22m －1＝2(1－4m )1－4＝2m－1)．3(4。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案10-6
第10章 第6节一、选择题1．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC ，∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案：D解析：假设在扇形中∠AOC ＝∠BOC ′＝15°，则∠COC ′＝60°，当射线落在∠COC ′内时符合题意，故所求概率为P ＝60°90°＝23.2．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.13答案：B解析：P ＝S 阴影S 正方形，∴S 阴影＝23×4＝83.3．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为( ) A.12B.13C.14D.34答案：C解析：由Δ＝1－4n ≥0得n ≤14，又n ∈(0,1)，故所求事件的概率为P ＝14.4．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π答案：C解析：由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|P A |<1，根据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π4，故选C.5．(2010·潍坊质检)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.38答案：C解析：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝127，应选C. 6．(2010·抚顺二模)若a 是从区间[0,3]内任取的一个实数，b 是从区间[0,2]内任取的一个实数，则关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋b 2＝0有实根的概率为( )A.23B.14C.35D.13答案：A解析：方程有实根，则Δ＝4a 2－4b 2≥0，则a ≥b ≥0，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤30≤b ≤2a ≥b所满足的可行域如图中阴影部分所示，则根据几何概型概率公式可得，所求概率P ＝S 四边形OABD S 矩形OABC ＝46＝23，故选A.二、填空题7．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为910，那么该台每小时约有________分钟广告．答案：6解析：60×110＝6分钟．8．(2010·东北联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x y ≥－x2x －y －4≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．答案：3π64解析：如图，△OAB 即为可行域M .图中的阴影区域即所求豆子要落的区域．阴影区域的面积为14π，且S △OAB ＝12|AO ||OB |＝12·432·42＝163，故所求概率为P ＝14π163＝3π64.9．(2010·广州测试)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案：23解析：先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.三、解答题10．公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min 的概率．解：设事件A ＝{候车时间不超过3 min)．x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后一辆公共汽车来到的时刻为t ，如图所示，乘客必然在(t －5，t ]来到车站，t －5<x ≤t ，欲使乘客的候车时间不超过3 min ，必有t －3≤x ≤t ，所以P (A )＝35＝0.6.11．(2010·北京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤20≤y ≤2，从区域W 中随机取点M (x ，y )． (1)若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第一象限的概率； (2)若x ∈R ，y ∈R ，求|OM |≤2的概率．解：(1)若x ，y ∈Z ，则点M 的个数共有12个，列举如下： (－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)．当点M 的坐标为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)时，点M 位于第一象限， 故点M 位于第一象限的概率为13.(2)如图，若x ，y ∈R ，则区域W 的面积是3×2＝6. 满足|OM |≤2的点M 构成的区域为{(x ，y )|－1≤x ≤2,0≤y ≤2，x 2＋y 2≤4}，即图中的阴影部分．易知E (－1，3)，∠EOA ＝60°，所以扇形BOE 的面积是4π3，△EAO 的面积是32.故|OM |≤2的概率是4π3＋326＝8π＋3336.12．向边长为2的正方形ABCD 内任投一点，设此点为P ，求∠APB 为钝角的概率． 解：以AB 为直径，在正方形ABCD 内画半圆，当点P 在半圆内时∠APB 为钝角．记事件A 为“∠APB 为钝角”，则事件A 发生的区域面积为π2，试验的全部结果构成的区域面积为4.∴P(A )＝π8.。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案9-3
第9章第3节一、选择题1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验答案：D解析：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．2．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是() A．7 B．5C．4 D．3答案：B解析：由系统抽样知第一组确定的号码是5.3．某市将大、中、小学生的视力进行抽样分析，其中大、中、小学生的人数比为2∶3∶5，若已知中学生被抽到的人数为150人，则应抽取的样本容量n等于()A．1500 B．1000C．500 D．150答案：C解析：设抽到的大、中、小学生人数为2x、3x、5x，由3x＝150，∴x＝50，∴n＝500.4．从400个形状大小相同的球(其中20个黄球，380个其他颜色的球)中，采用按颜色分层抽样的方法抽取80个进行质量检测，则应抽取的黄球个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：D解析：依题意，应抽取的黄球个数是20400×80＝4，选D.5．(2010·南昌调研)某学校共有2008名学生，现将从中选派5名学生在某天去国家大剧院参加音乐晚会，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2008名学生中剔除8名学生，再从2000名学生中随机抽取5名，则其中学生甲被选派的概率是()A.1400 B.12008C.12000 D.52008答案：D解析：依题意得，对于简单随机抽样来说，每个个体被选取的概率均相等，因此学生甲被选取的概率是52008，选D.6．某企业在今年9月份生产了A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下统计表格：A 产品的样本容量比C产品的样本容量多10件．根据以上信息，可得C产品的数量是() A．30件B．300件C．800件D．80件答案：C解析：设C产品的样本容量为x，因为抽样比例为1301300＝110.则(x＋130＋x＋10)×10＝3000，解得x＝80.所以C产品的数量是80×10＝800件，选C.7．某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人．若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是________．答案：80解析：设在中年人中的抽样人数为x，则701400＝x1600，解得x＝80.二、填空题8．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝________.答案：192解析：由题意知801000＝n 200＋1200＋1000， 解之得n ＝192.9．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4∶1，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是________．答案：40解析：设n A 、n B 分别表示A ，B 两层的总个体数，由题设易知B 层中应抽取的个体数为2，∴C 22C 2n B ＝128，即2n B (n B －1)＝128，解得n B ＝8或n B ＝－7(舍去)，∵n A ∶n B ＝4∶1，∴n A＝32，n A ＋n B ＝40.三、解答题10．某工厂有1003名工人，从中抽取10人作某项调查，试简述抽样过程． 解：(1)将每个人编一个号由0001到1003. (2)利用随机数表法找到3个号将这3名工人排除． (3)将剩余的1000名工人重新编号0001至1000.(4)分段，取间隔k ＝100010＝100，将总体均分为10组，每组含100个工人．(5)从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l . (6)按编号将l,100＋l,200＋l ，…，900＋l 共10个号选出． 将这10个号所对应的工人抽出即可．11．某学校为了了解2009年高考语文科的考试成绩，计划在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科300名考生，理科600名考生，艺术类考生200人，体育类考生70人，外语类考生30人，如果要抽120人作为调查分析对象，则按科目分别应抽多少考生？解：从1200名考生中抽取120人作调查由于各科目考试人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层抽样，抽样时每层所抽人数按1∶10分配．∴300×110＝30(人)，600×110＝60(人)，200×110＝20(人)，70×110＝7(人)，30×110＝3(人)．所以抽取的文科，理科，艺术，体育，外语类考生分别是30人，60人，20人，7人，3人．12．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师人数为n 36×6＝n6(人)，抽取技术人员n 36×12＝n3(人)，抽取技工n 36×18＝n2(人)．所以n 应是6的倍数，36的约数即n ＝6,12,18,36.当样本容量为(n ＋1)时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量为6.。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案3-4
第3章 第4节一、选择题1．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位答案：C解析：y ＝sin x ＝cos(π2－x )＝cos(x －π2)，令x －π2＝0，得x 1＝π2，再令x ＋π3＝0得到x 2＝－π3，∴向左平移了|－π3－π2|＝5π6个长度单位．2．已知函数y ＝sin(x ＋π6)cos(x ＋π6)，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( )A ．2π，x ＝π6B ．2π，x ＝π12C ．π，x ＝π6D ．π，x ＝π12答案：D解析：∵y ＝sin(x ＋π6)cos(x ＋π6)＝12sin(2x ＋π3) ∴T ＝2πω＝π，再将x ＝π12代入y ＝12sin(2x ＋π3)，得y ＝12，函数取得最大值，即x ＝π12是一条对称轴．3. 如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间t (s )与小球相对平衡位置(即静止的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h ＝4sin(6πt ＋π3)(t ∈[0，＋∞))，则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为( )A ．4、3B ．8、3C ．8、2πD ．4、2π答案：B解析：∵在关系式h ＝4sin(6πt ＋π3)中，振幅A ＝4，周期T ＝2π6π＝13，∴小球最高点与最低点的距离d ＝2A ＝8，每秒能往复振动的次数f ＝1T＝3.选择B.4. (2010·惠州调研)已知f (x )＝cos(ωx ＋π3)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( )A ．向左平移512π个单位B ．向右平移512π个单位C ．向左平移712π个单位D ．向右平移712π个单位答案：A解析：依题意，y ＝f (x )的最小正周期为π，故ω＝2，因为y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)，所以把y ＝sin2x 的图象向左平移512π个单位可得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．5．函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象经怎样平移后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称( )A ．向左平移π12B ．向左平移π6C ．向右平移π6D ．向右平移π12答案：D解析：由题意设y ＝sin(2x ＋θ)的对称中心为(－π12，0)，则2×(－π12)＋θ＝kπ(k ∈Z )，∴θ＝kπ＋π6(k ∈Z )，∴函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象的对称中心为(－π12，0)，又y ＝sin(2x ＋π6)＝sin2(x ＋π12)，y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，所以y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象．6．关于函数f (x )＝sin(2x －π4)，有下列命题①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋π4)；②直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴；③f (x )的图象可由g (x )＝sin2x 的图象向右平移π4个单位得到；④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立． 则其中真命题为( ) A ．②③ B ．①② C ．②④D ．③④答案：C解析：对于①，f (x )＝sin(2x －π4)＝cos[π2－(2x －π4)]＝cos(2x －34π)，故①错．对于②，当x ＝－π8时，f (－π8)＝sin[2×(－π8)－π4]＝sin(－π2)＝－1，故②正确．对于③，g (x )＝sin2x 的图象向右平移π4个单位得到的图象解析式为y ＝sin2(x －π4)＝sin(2x－π2)，故③错． 对于④，∵f (x )的周期为π，故当α＝π2时，f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，所以④正确． 二、填空题7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数A >0，ω>0)在 闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.答案：3解析：观察函数图象可得周期T ＝2π3，又由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)得T ＝2πω，则T ＝2π3＝2πω，所以ω＝3.8．设函数y ＝cos π2x 的图象位于y 轴右侧的所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…，则A 50的坐标是________．答案：(99,0)解析：由π2x ＝π2＋kπ，得x ＝2k ＋1(k ∈Z )，即对称中心横坐标为x ＝2k ＋1，k ≥0且k ∈N ， 当k ＝49时，x ＝99， 则A 50的坐标为(99,0)．9．(2010·福建卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案：[－32，3]解析：f (x )＝3sin(ωx －π6)的对称轴方程为ωx －π6＝kπ＋π2，即x ＝kπω＋2π3ω(k ∈Z )，g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的对称轴方程为2x ＋φ＝kπ，即x ＝kπ2－φ2(k ∈Z )．由题意kπω＋2π3ω＝kπ2－φ2知ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，56π]，f (x )的取值范围为[－32，3]．三、解答题10. 已知函数f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x .(1)在给定的坐标系中，作出函数f (x )在区间[0，π]上的图象． (2)求函数f (x )在区间[－π2，0]上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x ＝cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π4)．列表：(2)∵－π2≤x ≤0，∴－34π≤2x ＋π4≤π4.故当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝ 2.即f (x )在[－π2，0]上的最小值为－1，最大值为 2.11. (2010·山东卷)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x ·cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)． 所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12，所以12＝12·cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－φ，即cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以4x ∈[0，π]， 因此4x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 故－12≤cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3≤1. 所以y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14. 12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？解：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4，所以f (x )＝2sin(π4x －π4)＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)，g (x )＝2sin(π4x －34π)＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)．(2)g (x )>f (x )，得sin π4x <22.2kπ＋34π<π4x <2kπ＋94π，k ∈Z ，∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z ，∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3<x <9， ∴x ＝4,5,6,7,8；k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12. ∴x ＝4,5,6,7,8,12.答：其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案1-1
第1章 第1节一、选择题1. 集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A. {t |0≤t ≤3}B. {t |－1≤t ≤3}C. {(－2，1)，(2，1)}D. Ø 答案：B解析：∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．故选B.2. 已知全集U 为实数集R ，集合M ＝{x |x ＋3x －1<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是( )A. [－1,1]B. (－3,1]C. (－∞，－3]∪[－1，＋∞)D. (－3，－1)答案：D解析：∵M ＝{x |x ＋3x －1<0}＝{x |－3<x <1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩∁U N ＝{x |－3<x <－1}，所以选D.3. 若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( )A. A ⊆CB. C ⊆AC. A ≠CD. A ＝Ø答案：A解析：因为A ⊆A ∪B 且B ∩C ⊆C ，A ∪B ＝B ∩C ，由题意，得A ⊆C ，所以选A.4. 定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,5}，则A *B 的子集个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 答案：D解析：由题意知：A *B ＝{1,7}．故A *B 的子集有22＝4个．故选D.5. (2010·福建质检一)已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B＝Ø的充要条件是( )A. 0≤a ≤2B. －2<a <2C. 0<a ≤2D. 0<a <2 答案：A解析：如果A ∩B ＝Ø，根据数轴有⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2a ＋2≤4，解得0≤a ≤2.6. (2010·衡水调研)已知集合A ＝{x |x 2＋52x ＋1＝0}，B ＝{y |y ＝x 2＋a ，x ∈R }，若A ∩B ≠Ø，则a 的取值范围是( )A. (－∞，－12] B. (－12，＋∞) C. [－4，－14] D. (－∞，－2]答案：A解析：依题意得，A ＝{x |x 2＋52x ＋1＝0}＝{－12，－2}，B ＝{y |y ＝x 2＋a ，x ∈R }＝{y |y ≥a }，若A ∩B ≠Ø，则需a ≤－12，故选A. 二、填空题7. 已知集合A ＝{x |x 2－2x <3}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝________.答案：(－1,2]解析：因A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}＝(－1,3)，所以A ∩B ＝(－1,2]．8. (2010·南京调研)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．答案：±2解析：根据题意知a 2＝4，所以a ＝±2.9. (2010·宜昌调研)对于集合N ＝{1,2,3，…，n }及其每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集中的元素，然后从最大数开始交替地减，加后所得的数，例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为5，当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3的情况，计算它的“交替和”的总和S 3＝________，并根据其结果猜测集合N ＝{1,2,3，…，n }的“交替和”的总和S n ＝________.答案：n ·2n －1解析：当n ＝3时，集合N ＝{1,2,3}的所有非空子集是{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，它的“交替和”的总和S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12.由S 1＝1，S 2＝4＝2×2，S 3＝12＝3×22，归纳猜想S n ＝n ·2n －1. 三、解答题10. (2010·湖北调研)设全集U ＝R ，函数y ＝log 2(6－x －x 2)的定义域为A ，函数y ＝1x 2－x －12的定义域为B . (1)求集合A 与B ；(2)求A ∩B 、(∁U A )∪B .解：(1)函数y ＝log 2(6－x －x 2)要有意义需满足：6－x －x 2>0，解得－3<x <2， ∴A ＝{x |－3<x <2}．函数y ＝1x 2－x －12要有意义需满足x 2－x －12>0，解得x <－3或x >4， ∴B ＝{x |x <－3或x >4}．(2)A ∩B ＝Ø.∁U A ＝{x |x ≤－3或x ≥2}，∴(∁U A )∪B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}．11. 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．12. (2010·揭阳模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，∴a >0.∴解不等式f (x )＝ax 2＋x <0，得集合A ＝(－1a，0)． (2)由B ＝{x ||x ＋4|<a }，解得B ＝(－a －4，a －4)，∵集合B 是集合A 的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－a －4≥－1a a －4≤0，，解得0<a ≤5－2.。
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第10章 第5节一、选择题1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为14答案：D解析：基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.2．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( )A.16B.14C.13D.12答案：C解析：“20”，“08”，“北京”三字块的排法共有“2008北京”、“20北京08”、“0820北京”、“08北京20”、“北京2008”、“北京0820”6种情况，而得到奖励的情况有2种，故婴儿能得到奖励的概率为26＝13.3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e >32的概率是( ) A.118 B.536C.16D.13答案：C 解析：e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况．则概率为66×6＝16.4．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16B.15C.13D.25答案：C解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13(分类计数即可)，选C.5．(2010·皖南联考)为了迎接2010年上海世界博览会，在上海市民中选8名青年志愿者，其中有3名男青年志愿者，5名女青年志愿者，现从中选3人中参加“城市，让生活更美好”户外活动导引的工作，则这3人中既有男青年志愿者又有女青年志愿者的概率为( )A.45512B.75512C.1564D.4556答案：D解析：基本事件总数为C 83＝56,3人中既有男青年志愿者又有女青年志愿者可分为两种情况：(1)1男2女，有C 31C 52＝30种选法；(2)2男1女，有C 32C 51＝15种选法，所以满足题意的选法共有30＋15＝45种，所求概率为4556.所以答案为D.6．(2010·江南联考)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.34答案：C解析：因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a －b ≤0f (2)＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.二、填空题7．在5个数字1、2、3、4、5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．答案：310解析：C 32C 52＝310.8．(2010·上海春招)连续掷两次骰子，出现向上的点数之和等于4的概率为________(结果用数值表示)．答案：112解析：连续掷两次骰子出现向上的点数记作点坐标(x ，y )，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而出现向上的点数之和为4的点坐标有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3个．所以连续掷两次骰子出现向上的点数之和为4的概率为P ＝336＝112.9．(2010·南昌调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲、乙两人所选的课程中至少有1门不相同的选法的概率是________．答案：56解析：甲、乙两人所选的课程完全相同的概率为C 42·1C 42·C 42＝16，因此甲、乙两人所选的课程中至少有1门不相同的概率为1－16＝56.三、解答题10．(2009·福建卷)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率． 解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A .事件A 包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事件A 包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8， 所以事件A 的概率为P (A )＝38.11．(2010·天津卷)有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个． ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率．解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．所以P (B )＝615＝25.12．(2010·陕西卷)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．解：(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5，故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p 1＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝915＝3 5.。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案10-7
第10章 第7节一、选择题1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤5答案：C解析：“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 2．若离散型随机变量ξ的分布列为( )则常数c 的值为( ) A.23或13B.23C.13D ．1答案：C解析：由题意知(9c 2－c )＋(3－8c )＝1， 解得c ＝23或c ＝13，当c ＝23时，3－8c ＝－73<0，不合题意，当c ＝13时，3－8c ＝13，9c 2－c ＝23，∴c ＝13.3．某射手射击所得环数X 的分布列为：A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.51答案：C解析：P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 74C 86C 1510的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)答案：C解析：X 服从超几何分布， 故P (X ＝k )＝C 7k C 810－kC 1510，k ＝4.5．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．n ＝9答案：C解析：∵P (X ＝k )＝1n(k ＝1,2,3，…，n )，∴0.3＝P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n，∴n ＝10.6．(2010·衡阳模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220B.2755C.27220D.2155答案：C解析：“X ＝4”表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P (X ＝4)＝C 32C 91C 123＝27220.二、填空题7．已知随机变量ξ的分布列为若η＝2ξ－3，则η答案：解析：由η＝2ξ－38．随机变量ξ的分布列如下：若a 、b 、c 成等差数列，则答案：23解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1， ∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.9．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．答案：[－13，13]解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为 a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， ∴a ＝13，由⎩⎨⎧0≤13－d ≤10≤13＋d ≤1得－13≤d ≤13.三、解答题10．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x ＋y ，求η的分布列．解：依题意，η可取5,6,7,8,9,10,11，则有 P (η＝5)＝14×4＝116，P (η＝6)＝216，P (η＝7)＝316，P (η＝8)＝416，P (η＝9)＝316，P (η＝10)＝216，P (η＝11)＝116.∴η的分布列为11.1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人．将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片上队员的跳高成绩为X ，跳远成绩为Y ，设X ，Y 为随机变量(注：没有相同姓名的队员)．(1)求X ＝4的概率及X ≥3且y ＝5的概率； (2)求m ＋n 的值；(3)若Y 的均值为10540，求m ，n 的值.解：(1)当X ＝4时的概率为P 1＝940；当X ≥3且Y ＝5时的概率为P 2＝440＝110.(2)m ＋n ＝40－37＝3.(3)P (Y ＝1)＝8＋n 40；P (Y ＝2)＝14；P (Y ＝3)＝14；P (Y ＝4)＝4＋m 40；P (Y ＝5)＝18.因为Y 的均值为10540，所以99＋n ＋4m 40＝10540，于是m ＝1，n ＝2.12．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个，现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次，取出蓝球则不再取球．求：(1)最多取两次就结束的概率． (2)正好取到2个白球的概率． (3)求取球次数X 的分布列．解：(1)记事件A 为“取一次就结束”，事件B 为“取两次结束”，事件C 为“最多取两次就结束”，则C ＝A ∪B .又P (A )＝C 21C 101＝15，P (B )＝C 21C 8110×10＝425，∴P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝15＋425＝925.(2)记事件D 为“正好取到2个白球”，则事件D 可分为以下三种情况：白球，白球，非白球或白球，红球，白球或红球，白球，白球．∴P (D )＝3×3×C 7110×10×10＋3×5×310×10×10＋5×3×310×10×10＝1531000.(3)X 的可能取值为1、2、3， 则P (X ＝1)＝15，P (X ＝2)＝425，P (X ＝3)＝8×8×1010×10×10＝1625，∴X 的分布列为。
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第10章 第3节
一、选择题
1．(x 2＋2x
)8的展开式中x 4的系数是( ) A ．16 B ．70
C ．560
D ．1120
答案：D
解析：设二项式展开式的第r ＋1项含有x 4，
则T r ＋1＝C 8r (x 2)8－r (2x )r . ∴16－2r －r ＝4，∴r ＝4.
∴x 4的系数为C 84·24＝1120.
2．在(x ＋1
3x
)24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项 答案：C
解析：T r ＋1＝C 24r (x )24－r (1
3x )r ＝C 24r x 12－5r 6， 故当r ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
3．(1＋x )n ＋1的展开式中含x n
－1项的系数是( ) A.n (n －1)2
B.n (n ＋1)2
C.(n ＋1)(n ＋2)2
D.2n n ＋1 答案：B
解析：(1＋x )n
＋1的展开式的通项为T k ＋1＝C n ＋1k x k ，所以含x n －1项的系数为C n ＋1n －1＝C n ＋12＝(n ＋1)n 2
，故选B. 4．(2010·武汉调研)x (1＋x )(1＋x 2)10的展开式中x 4的系数为( )
A ．45
B ．10
C ．90
D ．50 答案：B
解析：注意到二项式(1＋x 2)10的展开式的通项是C 10r ·(x 2)r ＝C 10r ·x 2r ，因此x (1＋x )(1＋x 2)10的展开式中x 4的系数等于C 101＝10，选B.
5．若二项式(3x 2－1x
)n 的展开式中各项的二项式系数之和是29，则展开式中的常数项为
( )
A ．－9C 94
B ．9
C 94 C ．－27C 93
D ．27C 93
答案：D
解析：由二项式系数之和是29，得n ＝9，∵T r ＋1＝C 9r (3x 2)9－r (－1x
)r ＝(－1)r 39－r C 9r x 18－3r ，∴令18－3r ＝0得r ＝6，则展开式中的常数项为27C 93，选D.
6．(2010·南昌调研)(C 41x ＋C 42x 2＋C 43x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为( )
A ．64
B ．224
C ．225
D ．256 答案：C
解析：在已知代数式中取x ＝1得，其展开式的所有项的系数和等于(C 41＋C 42＋C 43＋C 44)2＝152＝225，选C.
二、填空题
7．(2010·茂名一模)已知n 为正偶数，且(x 2－12x
)n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是________．(用数字作答)
答案：－52
解析：n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 63(－12)3＝－52
. 8．在(1－x 3)(1＋x )6的展开式中，x 5的系数为______．
答案：－9
解析：因为(1＋x )6的通项是T r ＋1＝C 6r x r ，令r ＝5得T 6＝C 65x 5；令r ＝2得T 3＝C 62x 2，所以(1－x 3)(1＋x )6展开式中x 5的系数为C 65－C 62＝－9.
9．(2010·合肥质检一)在(x ＋1x
－2)20的展开式中含x －17项的系数是________(用数字作答)．
答案：－9880
解析：因为(x ＋1x －2)20＝(x －1x )40，其二项展开式的通项为T r ＋1＝C 40r (x )40－r (－1x
)r ＝C 40r (－1)r ·x 20－r ，令20－r ＝－17，得r ＝37，所以(x ＋1x
－2)20的展开式中含x －17项的系数为C 4037(－1)37＝－9880.
三、解答题
10．已知(x －124x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列． (1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C n 1(12)，C n 2(12)2，且2C n 1·12＝1＋C n 2(12
)2， 即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，
∴展开式的第k ＋1项为C 8k (x )8－k (－124x )k
＝(－12)k C 8k ·x 8－k 2·x －k 4＝(－1)k ·C 8k 2k ·x 16－3k 4
. (1)证明：若第k ＋1项为常数项，
当且仅当16－3k 4
＝0，即3k ＝16， ∵k ∈Z ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．
(2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k 4
为整数， ∵0≤k ≤8.k ∈Z ，∴k ＝0,4,8.
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256
x －2. 11．(2010·宁德月考)已知(x x ＋2
3x )n 展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是
否含有常数项、一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来．
解：∵T r ＋1＝C n r (x x )n －r ·(23x
)r ＝C n r 2r x 9n －11r 6
(r ＝0,1,2，…，n )， ∴由题意得C 2020＋C n 1·2＋C n 2·22＝129，
∴1＋2n ＋2(n －1)n ＝129，∴n 2＝64，∴n ＝8.
故T r ＋1＝C 8r 2r x 72－11r 6
(r ＝0,1,2，…，8)． 若展开式存在常数项，则72－11r 6
＝0， ∴72－11r ＝0，∴r ＝7211
∉N ， ∴展开式中没有常数项．
若展开式存在一次项，则72－11r 6
＝1， ∴72－11r ＝6，∴r ＝6，
∴展开式中存在一次项，它是第7项，
T 7＝C 8626x ＝1792x .
12．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11.
(1)求x 2的系数的最小值；
(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和． 解：(1)由已知C m 1＋2C n 1＝11，∴m ＋2n ＝11，
x 2的系数为C m 2＋2
2C n 2＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116
. ∵m ∈N *，∴m ＝5时，x 2的系数取最小值22，此时n ＝3.
(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，
∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3.
设这时f (x )的展开式为
f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，
令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33，
令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，
两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，
故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.。