必修一同步6函数的表示法

第六节 函数的表示法
1.函数的表示法：解析法、列表法、图像法。

2.函数解析式的求法：
（1）代入法：已知)(x f 、)(x g 求)]([x g f ，即用)(x g 代)(x f 中的x 。

例1.设32)(+=x x f ，1)(-=x x g ，求下列各式： （1）)2(-f ； （2）)1(a f -； （3）))((x g f ； （4）)1)((-x f g .
演变1.已知19)(+=x x f ，2)(x x g =，则=)]([x g f ________， =)]([x f g _________ 习题1.已知2()3f x x x =-+，则(1)f x += _____ ，1
()f x
=_____ （2）换元法：
例1.已知569)13(2+-=+x x x f ，求)(x f 。

令13+=x t ，则3
1-=t x ，84)(2+-=t t t f ，故84)(2
+-=x x x f 。

演变1.已知)
11f
x =+，则)(x f 的表达式为__________。

例2.已知2
1)1(x
x
x
f -=
，则)(x f 的表达式为__________ 演变1.若x
x
x f -=1)1(，则()f x =
演变2.已知2
2
11()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为_____________ 例3.已知221
)1(x x
x x f +=-
，则)(x f 的表达式为__________。

（3）待定系数法：
例1.若)(x f 是二次函数，且满足1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

演变1.已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f 。

例 2.已知二次函数)(x f 的图象经过三点13
(,),(1,3),(2,3)24
A B C -，求此二次函数的解析式。

演变1.若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为
9，求此二次函数的表达式。

例3.已知,a b 为常数，2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++，求b a -5的值。

3.分段函数：
在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。

例1.若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪
==⎨⎪<⎩
，则((0))f f = ．
演变1.已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)
0(2)
0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = 。

例2.设2,10
()[(6)],10x x f x f f x x -≥⎧
=⎨+<⎩，则(5)f 的值为__________。

4.映射的定义：
若A 、B 是两个非空的集合，按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射
例1.设集合{(,),}A B x y x R y R ==∈∈，在从A 到B 的映射
:(,)(2,2)f x y x y x y →+-下，A 中的元素为（1，1）对应的B 中元素为__________
强化练习
一、选择题：
1.已知a 、b 为两不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，映射:f M N →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a b +等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.下列集合中M 到P 的对应f 是映射的是( ) A ．{2,0,2}M =-，{4,0,4}P =-，:f M 中数的平方. B ．{0,1}M =，{1,0,1}P =-，:f M 中数的平方根. C ．M Z =，P Q =，:f M 中数的倒数.
D ．M R =，P R +
=，:f M 中数的平方.
3.设集合{(,),}A B x y x R y R ==∈∈，从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-，在映射下，B 中的元素为（1，1）对应的A 中元素为（ ）
A ．（1，3）
B ．（1，1）
C ．31
(,)55 D ．11(,)22
4.如果二次函数13)(2++=bx x x f 满足)3
1
()31(-=--
x f x f ，则b 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 二、填空： 5.已知40
()40
x x f x x x +<⎧=⎨
->⎩，，，则[(3)]f f -的值为 .
6.已知53
()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f =_ _．
7.已知x x x f 2)1(2
-=+，则)(x f = .
8.已知函数)(x f =⎪⎩
⎪
⎨
⎧<-≥+)
0(2)0(12x x x x 并且)(x f =10，那么x =
9.
已知1)f x =+()f x = ，2()f x =
10.设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =的两实根的平方和为10，
)(x f 的图象过点(0，3)，则)(x f 的解析式为 .
三、解答：
11.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >，求证： （1）0a >且21b
a
-<
<-； （2）方程()0f x =在（0，1）内有两个实根。

答案：
一、选择：D 、A 、C 、D
二、填空：－3、－26、342+-x x 、3或－5、2
()1(1)f x x x =-≥；2224()()11(1)f x x x x =-=-≥、2()43f x x x =-+ 三、解答： 11.证明：（1）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；
由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>.
故21b
a
-<<-．
（2）抛物线2
()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2
3(,)33b ac b a a
--，
在21b a -<<-的两边乘以13
-，得12
333b a <-
<． 又因为(0)0,(1)0,f f >>
而22()0,33b a c ac
f a a
+--=-<
所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -
与(,1)3b
a
-内分别有一实根． 故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．。