2020高二下学期期中考试数学(文)试卷

数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合}31|{},06|{2≤≤=<-+=x x N x x x M ，则=N M I ( ) A.]2,1[B.)2,1[C.(2,3]D.]3,2[2.已知△ABC 中，“4π=∠A ”是“22sin =A ”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内,复数i 32i15-+对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最大值为( )A.10B. 9C.8D. 4 5.已知是等差数列的前项和,若,,则=6S ( ) A.40B.80C.57D.366.己知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A.3 B. 2C. 2D.5ˆ,0.82 1.27,,x y y x x y =+7.己知的线性回归直线方程为且之间的一组相关数据如下表，则下列说法错误的是()A ．变量,x y 之间呈现正相关关系B. 2.09m =C. 可以预测当5x =时，ˆ 5.37y =D.由表可知，该回归直线必过点()1.5,2.5()()()()()()21121,212,0.32,1,.32x f x x f x f x x x x x f f a b f c -<--==--=-8.已知函数是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有记则()A ．a c b <<B.a b c <<C.c b a <<D.b c a <<9.已知平面四边形ABCD 中，135BAD ∠=o ，120ADC ∠=o ， 45BCD ∠=o ，60ABC ∠=oBC =AC 长度的取值范围是( )A．B.32⎡⎢⎣C.D.32⎛ ⎝10.{}4361-=a a a n 中，若在等比数列，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=( ) A.1B.34-C.3-D.4311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．13⎡⎢⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.定义在()∞+，0上的函数()x f 的导函数()x f '满足()21'<x f x ，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．()()()1491-16+<<f f f B.()()()1-16914f f f <<+ C.()()()1-1425f f f <<+D.()()()25411+<<-f f f第II 卷（非选择题，共90分） 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数212log ,0,()log (),0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是____________.14.已知1x >-，则函数()()()125+++=x x x x f 的最小值为________.15.设直线t x =与函数()2x x f =，()x x g ln 2=的图象分别交于点N M ，，则当MN 达到最小值时，t 的值为．16．已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，03≥-a x .命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知，在AB C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且A bB a cos 3sin =．（1）求角A 的大小；（2）设AB C ∆的面积为33，求a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，31=a ，244=a ，数列{}n b 满足11=b ，84-=b ，且{}n n b a +是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n n b a +的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.19.（本小题满分12分）在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为54. （1）根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.（2)现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率. 附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22K （ 其中 d c b a n +++=）20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：13222=+y a x 的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足AFeOA OF 311=+，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()10，的直线l 与椭圆交于N M ，两点，求OMN ∆面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当2a =-时，若直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围.选做题：（本小题满分10分）两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 442(其中为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为015sin 82=+-θρρ.(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程; (2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4π的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,则||||22B C A C +的值.23.已知|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；(2)若R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围数学（文科）试卷参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BADBCCBABCDA13 ()()∞+⋃，，101-． 14 9 ． 151． 1612=-≤a a 或． 三解答题17（1）解：A b B a cos 3sin =．∴由正弦定理可得：A B B A cos sin 3sin sin =……………………………2分又sin 0B ≠Q ，得()tan 3,0,A A π∈又3A π∴=……………………………5分（2）因为3A π=，ABC ∆的面积为1sin 2bc A ==，解得12bc =………………………8分由余弦定理可得：a ==当且仅当b c ==综上，边a 的取值范围为)+∞．………………………12分 18解：（1）{},n a q 设等比数列的公比为由题意得3418,2a q q a ===解得 11132n n n a a q --==⨯所以……………………………2分{}n n a b +设等差数列的公差为d,由题意得()()4411441a b a b d +-+==-.()()1114.n n a b a b n d n +=++-=所以……………………………6分（2）由（1）知1432n n b n -=-⨯由(1)知，{}()421;n n n n +数列的前项和为{}()132321n n n -⨯⨯-数列的前项和为……………………………10分{}22232 3.n n b n n n +-⨯+所以，数列的前项和为……………………………12分19解：（1）Θ从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为54∴使用手机支付的人群中的青年的人数为486054=⨯人，……………………………2分则使用手机支付的人群中的中老年的人数为1248-60=人，所以22⨯列联表为：()()()()()()22210048281212K 2510.82860406040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.…………………………6分 （2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有3100605=⨯人， 123;2记编号为，，不使用手机支付的人有人，记编号为a,b ……………………………8分则从这个样本中任选3人有()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,1,,,2,3,,2,3,,2,,,3,,a b a b a b a b a b a b 共10种其中至少有2人是使用手机支付的()()()()()()()1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,2,3,,2,3,,1,2,3a b a b a b 共7种，故所求概率为107.……………………………12分 20.解：（1）,,.c OF c OA a AF a c ===-设椭圆的焦半距为,则222113,,3e c e b a c c a a c a+====--所以其中又,2, 1.a c ==联立解得221.43x y C +=所以椭圆的方程是……………………………4分（2）.x 由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形,1l x k l y kx =+当直线与轴不垂直时，设其斜率为那么的方程为.……………………………6分()22,43880.l C y k x kx ++-=联立与椭圆的方程，消去得()()22832430,.k k ∆=++>于是直线与椭圆由两个交点的充要条件是这显然成立()()1122,,,.M x y N x y 设点12122288,.4343k x x x x k k +=-=-++由根与系数的关系得12243MN x O l k =-=+所以又到的距离12OMNS d MN ∆∴===……………………………10分2433,3.3t k t =+≥=≤=令那么当且仅当时取等号OMN ∆所以……………………………12分 21解：（1）()2ln f x x a x =--定义域为()0,+∞，()1a x af x x x'-=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值…………2分②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值.……………6分（2）当2a =-时，()22ln f x x x =-+，直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+在()0,+∞上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,+∞上没有实数解， 即2ln 1xk x-=在()0,+∞上没有实数解.……………………………8分 令()2ln xg x x=，则有()()221ln x g x x -'=.令()0g x '=，解得e x =， 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为2e；当x →+∞时，()0g x →， 从而()g x 的取值范围为2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.……………………………10分所以当()21,e k ⎛⎫-∈+∞⎪⎝⎭时，方程()12ln k x x -=无实数解， 解得k 的取值范围是21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.…………………………………………12分 22.解：(1)曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x = (2)分曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分代入24y x =可知22320t t ++=,.....8分因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=4......10分23. (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,当211≤≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]210(，, 当21>x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,21(, 综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分(2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,则max ])([32x x f a -≥-,.....6分令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分则1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分 所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。