高中常见分段函数题型归纳

分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数， 它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．1．求分段函数的定义域和值域例1.求函数的定义域、值域.解析：作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为（-1，2]U ｛3｝.例2.求函数的值域.解析：因为当x≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，-x 2<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).2．求分段函数的函数值例1.已知函数求. 解析：因为, 所以. 例2.已知函数 ，求f{f[f(a)]} (a<0)的值.分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a ，又0<2a<1,,，所以，.注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．练1.设则__________练2.设则__________3．求分段函数的最值1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩()f x [1,)-+∞2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩12[()]f f 311222()|1|2f =--=-312223214[()]()1()13f f f =-==+-,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩1(())2g g =1232(2),()(1)(2).log x x f x x e x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩[(2)]f f =例1.求函数的最大值.解析：当时, , 当时, , 当时,, 综上有.例2.设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1,x ∈R,求f(x)的最小值. 分析：因为原函数可化为所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.解：当x<a 时，函数f(x)=x 2-x+a+1,所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a 2+1.若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；当x≥a 时，函数；若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当时，函数f(x)的最小值是；当时，函数f(x)的最小值是a 2+1；当时，函数f(x)的最小值是.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的. 4．求分段函数的解析式例1.在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩0x ≤max ()(0)3f x f ==01x <≤max ()(1)4f x f ==1x >5154x -+<-+=max ()4f x =()y f x =()yg x =y x =()y g x =x y的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ）解析：当时,, 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式为, 所以, 当时,, 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式, 所以, 综上可得, 故选A.例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：(I)写出图l 表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)； (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?解析：(I)由图l 可得市场售价与时间的关系为由图2可得种植成本与时间的函数关系为（0≤t≤300）。

(II)设t 时间的纯收益为h(t)，由题意得()f x 222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩[2,0]x ∈-121y x =+x y 1122(2)111y x x =-+-=-()22([1,0])f x x x =+∈-[0,1]x ∈21y x =+x y 2(2)1124y x x =-+-=-12()2([0,2])f x x x =+∈222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩h(t)=f(t)-g(t)再求h(t)的最大值即可。

注：观察图1，知f(t)应是一个关于t 的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t 的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。

5．作分段函数的图像例1.函数的图像大致是（ ）例2.已知函数f(x)=|x 2-2x-3|的图象与直线y=a 有且仅有3个交点，求a 的值. 解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,所以由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a 有且仅有3个交点，求a 的值. 解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,∴由图象易知a=4.|ln ||1|x y e x =--Byx11OCyxO11D yxO11注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.6．求分段函数得反函数例1.求函数的反函数.解：∵ f(x)在R 上是单调减函数， ∴ f(x)在R 上有反函数. ∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是(x≥1),y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x<1),∴ 函数f(x)的反函数是注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.例2.已知是定义在上的奇函数, 且当时,, 设得反函数为, 求的表达式.解析：设, 则, 所以, 又因为是定义在上的奇函数, 所以, 且, 所以, 因此, 从而可得.例3.已知 ⎩⎨⎧ －log3(x + 1)(x>6) 3x －6(x ≤6)，若记为的反函数，且则__________.7．判断分段函数的奇偶性例1.判断函数的奇偶性. 解析：当时, ,, 当时, , 当, , 因此, 对于任意都有, 所以为偶函数.注：分段函数奇偶性必须对x 值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论.8．判断分段函数的单调性()y f x =R 0x >()31xf x =-()f x ()yg x =()g x 0x <0x ->()31xf x --=-()f x R ()()f x f x -=-(0)0f =()13x f x -=-31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩=)(x f )(1x f -)(x f ),91(1-=fa =+)4(a f 22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩0x >0x -<22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=0x =(0)(0)0f f -==0x <0x ->22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=x R ∈()()f x f x -=()f x例1.判断函数的单调性.解一：分析：由于x ∈R ，所以对于设x1>x2必须分成三类： 1.当x 1>x 2>0时，则f(x 1)-f(x 2)==(x 1-x 2)(x 1+x 2)>0；2.当0>x 1>x 2时，则；3.当x 1>0>x 2时，则综上所述：x ∈R ，且x 1>x 2时，有f(x 1)-f(x 2)>0。

所以函数f(x)是增函数.注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.解二：显然连续. 当时, 恒成立, 所以是单调递增函数, 当时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以在上是单调递增函数;或画图易知在上是单调递增函数.例2.写出函数的单调减区间.解析：, 画图知单调减区间为. 9．解分段函数的方程例1.设函数, 则满足方程的的值为__________ 解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若, 则, 解得, 所以即为所求.例2.设函数, 则满足方程的的值为__________ 解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若, 则, 解得, 所以即为所求.练1：函数f(x)=，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>132(0)()(0)x x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩()f x 0x ≥'2()311f x x =+≥()f x 0x <'()20f x x =->()f x ()f x R ()f x R ()|12||2|f x x x =++-121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩12(,]-∞-812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩1()4f x =x 142x -=222x --=2(,1]x =∉-∞2x =1814log x =1481x =3(1,)x =∈+∞3x =812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩1()4f x =x 142x -=222x --=2(,1]x =∉-∞2x =1814log x =1481x =3(1,)x =∈+∞3x =⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x练2：设定义为R 的函数则关于的方程有7个不同的实数解的充要条件是（ ）A. 且B. 且C. 且D. 且练3：设函数在上满足，，且在闭区间上，只有.（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.10．解分段函数的不等式例1：设函数, 若, 则得取值范围是（ ）解一：首先画出和的大致图像, 易知时, 所对应的的取值范围是.解二：因为, 当时, , 解得, 当时, , 解得, 综上的取值范围是. 故选D.例2：设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ） A ． B. C. D.解析：当时,, 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 故选A 项.lg 1,1,()0,0.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩x 2()()0f x bf x c ++=0b <0c >0b >0c <0b <0c =0b ≥0c =()f x (,)-∞+∞(2)(2)f x f x -=+(7)f x -=(7)f x +[0,7](1)(3)0f f ==()y f x =()0f x =[2005,2005]-1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩0()1f x >0x .(1,1)A -.(1,)B -+∞.(,2)(0,)C -∞-⋃+∞.(,1)(1,)D -∞-⋃+∞()y f x =1y =0()1f x >0x (,1)(1,)-∞-⋃+∞0()1f x >00x ≤0211x -->01x <-00x >1201x >01x >0x (,1)(1,)-∞-⋃+∞2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩()1f x ≥x (,2][0,10]-∞-⋃(,2][0,1]-∞-⋃(,2][1,10]-∞-⋃[2,0][1,10]-⋃1x <2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或21x x ≤-≤<或01x ≥()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤110x ≤≤2x ≤-010x ≤≤例3：设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ） A ． B. C. D.解析：当时,, 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 故选A 项.练1：已知，则不等式的解集是________ 练2：设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为________(A)（1，2）（3，+∞）(B)（，+∞）(C)（1，2） （ ，+∞）(D)（1，2）练3：设(x)=，使所有x 均满足x ·(x)≤(x)的函数g(x)是（ ）A ．(x)=sinxB ．(x)=xC ．(x)=x2D ．(x)=|x|点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径， 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩()1f x ≥x (,2][0,10]-∞-⋃(,2][0,1]-∞-⋃(,2][1,10]-∞-⋃[2,0][1,10]-⋃1x <2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或21x x ≤-≤<或01x ≥()141310f x x ≥⇔-≥⇔≤⇔≤110x ≤≤2x ≤-010x ≤≤1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ (2)(2)5x x f x +++≤1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩⋃10⋃10f 1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)f g g g g g。