【工程力学】弯曲应力【工程类精品资料】

第七章弯曲应力7.1预备知识一、基本概念 1、二、重点与难点 1、 2、 3、三、解题方法要点 1、 2、7.2典型题解一、计算题长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知h=0.18m ，b=0.12m,y=0.06m,a =2m,F=1.5kN ，求C 截面上K 点的正应力。

解：先算出C 截面上的弯矩m N m N Fa M C ⋅⨯-=⨯⨯-=-=331032105.1截面对中性轴（即水平对称轴）的惯性矩为4433310583.01218.012.012m m m bh I z -⨯=⨯==将C M 、z I 及y 代入正应力公式（7—7）。

代入时，C M 、y 均不考虑正负号而以绝对值代入，则MPa Pa m mm N y I M z C K09.31009.306.010583.01036443=⨯=⨯⨯⋅⨯=⋅=-σ C 截面的弯矩为负，K 点位于中性轴上边，所以K 点的应力为拉应力。

在我国法定计量单位制中，应力的单位为Pa 在计算梁的正应力时，弯矩用N.m 、y 用m 、惯性矩用m 4，则算得的应力单位即为Pa 。

二、计算题一矩形珙面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l =4m ，b=140mm,h=210mm,q=2kN/m ，弯曲时木木材的许用正应力[]σ=10MPa ，试校核该梁的强度。

解：梁中的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为m N m m N ql M ⋅⨯=⨯⨯⨯==32232m ax 1044/1028181弯曲截面系数为3222210103.021.014.0616m m m bh W z -⨯=⨯⨯==最大正应力为[]σσ<=⨯=⨯⋅⨯==-MPa Pa m m N W M z 88.31088.310103.01046323max max所以满足强度要求。

二、计算题就计算题一，求梁能承受的最大荷载（即求m ax q ）。

解：根据强度条件，梁能承受的最大弯矩为[]σz W M =m ax 跨中最大弯矩与荷载q 的关系为2m ax 81ql M = 所以[]281ql W z =σ 从而得[]m kN m N mPam lW q z /15.5/51504101010103.088226322==⨯⨯⨯⨯==-σ即梁能承受的最大荷载为m kN q /15.5m ax =。

上面是根据强度条件求最大荷载的一般方法。

对此例来说，在例7—2中，已求得在m kN q /2=时的最大正应力MPa 88.3m ax =σ，根据应力与荷载成正比（在弹性范围内），最大荷载也可通过下式求得，即[]σσ=q q max则[]m kN m kN MPaMPaq q /15.5/288.310m ax =⨯==σσM bh28ql三、计算题简支梁上作用两个集中力，已知：l =6m ，F 1=15kN ，F 2=21kN ，如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用应力[]σ=170MPa ，试选择工字钢的型号。

解：先画出弯矩图，最大弯矩发生在F 2作用截面上，其值为38kN.m 。

根据强度条件，梁所需的弯曲截面系数为[]33363max22310223.010*******cm m Pam kN M W z=⨯=⨯⋅⨯=-σ根据算得的W z 值，在型钢表上查出与该值相近的型号，就是我们所需的型号。

在附录的型钢表中，20a 号工字钢的W z 值为237cm 3，与算得的W z 值相近，故选取20a 号工字钢。

因20a 号的W z 值大于按强度条件算得的W z 值，所以一定满足强度条件。

如选取的工字钢的W z 值略小于按强度条件算得的W z 值时，则应再校核一下强度，当m ax σ不超过[]σ的5%时，还是可以用的，是工程中所允许的。

四、计算题T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示。

铸铁的抗拉许应力[]MPa t 30=σ，抗压许应力为[]MPa c 160=σ。

已知截面对形心轴z 的惯性矩为I z =763cm 4，且mm y 521=。

试校核梁的强度。

解：由静力平衡方式程求出梁的支反力为R A =2.5kN ，R B =10.5kN作弯矩图如图所示。

最大正弯矩在截面C 上，M C =2.5kN •m 。

最大负弯矩在截面B 上， M B =－4kN •m 。

MT 形截面对中性轴不对称，同一截面上的最大拉应力和压应力并不相等。

计算最大应力时，应以y 1和y 2分别代入应力计算公式。

在截面B 上，弯矩是负的，最大拉应力发生于上边缘各点（图c ），且[]MPa MPa I y M t z B t 302.271076310521048631=<=⨯⨯⨯⨯==--σσ 最大压应力发生于下边缘各点，且[]MPa MPa y y I y M c z B c1604652521402.27122=<-⨯=⋅=σσσ 在截面C 上，虽然弯矩M C 的绝对值小于M B ，但M C 是正弯矩，最大拉应力发生于截面的下边缘各点，而这些点到中性轴的距离却比较远，因而就有可能发生比截面B 还要大的拉应力[]MPa MPa I y M z C t 308.281076310)52140(105.28332=<=⨯⨯-⨯⨯==--σσ 从所得结果可以看出，无论是最大拉应力还是最大压应力都未超过许用应力，强度条件是满足的。

五、计算题简支梁AB 如图所示。

m a m l 2.0,2==。

梁上的载荷q=10kN/m ，=200kN 。

材料的许用应力为[][]MPa MPa 100,160==τσ。

试选择适用的工字钢型号。

P 1=9kNP 2=4kNE —E 截面截面C截面B（a ）（b ）（c解：计算梁的支反力。

然后作剪力图和弯矩图，如图b 和c 所示。

由弯矩图知m kN M ⋅=45m ax 。

据弯曲正应力强度条件有：[]363max281101601045cm M W z=⨯⨯=σ查型钢表，选用22a 工字钢，其W z =309cm 3。

现在校核梁的切应力。

由表中查出I z /S z =18.9cm ，腹板厚度d=0.75cm 。

由剪力图知kN Q 210m ax =。

代入切应力强度条件[]ττ>=⨯⨯⨯⨯=-MPa bI S Q z z 1481075.0109.1810210223max maxm ax τ超过[]τ很多，应重新选择更大的截面。

现以25b 工字钢进行试算。

由表查出，I z /S *z =21.3cm ，=1cm 。

再次进行切应力强度校核[]ττ<=⨯⨯⨯⨯=--MPa 6.98101103.2110210223m ax因此，要同时满足正应力和切应力强度条件，应选取用型号为25b 的工字钢。

六、计算题一铁路枕木承受两个集中载荷P=2000kN ，如图（a ）所示，路基的反力q 可假设均布在枕木的长度上。

枕木横截面的尺寸为b=300mm ，h=250mm ，设L=145mm ，α=50mm 。

（1）画出剪力图和弯矩图；（2）计算最大的弯曲正应力m ax σ和剪应力m ax τ。

x210((b)(c)解：（1）画Q 、M 图，由静力平衡方程∑=0y02)2(=-+P a L q得均匀分布的路基反力m kN a L P q /258105.0245.11020002223=⨯+⨯⨯=+=作Q 、M 图如图（b ）,由图可知kNQ 187m ax =kNm M 675m ax =（2）求m ax σ和m ax τ。

3662210321561025306m bh W --⨯=⨯⨯==24410750102530m bh A --⨯=⨯⨯==187112912918716753.233.23Q （kN ）M （kNm ）（b ）(a)Mpa W M 2161031251067563max max=⨯⨯=-σMPa A Q 4.3710750210187132343m ax m ax=⨯⨯⨯⨯==-τ七、计算题工字形钢梁，截面尺寸如图所示，已知I z =1184cm 2，材料容许应力[]σ=170MPa ，梁长6m ，支座B 的位置可以调节，试求：（1）最大容许载荷及支座B 的位置；（2）在最大容许载荷q 作用下，梁中横截面上的最大剪应力。

（注：可用AB 跨中截面弯矩代替m ax M ）解：（1）应调节B 支座位置，使梁中最大负弯矩和最大正弯矩数值相等,22qx M B -=M 中=22)6(84x q qx -+-则222)6(842x q qx qx -+-=- 解得m x 74.1= 所以草药M M ≈m ax中q qx 514.122==q100由梁的强度条件[]σσ≤=z I y M m ax m ax ，即68210170101184107514.1⨯≤⨯⨯⨯--q 得m kN q /19≤（2）由,0)74.16(36,0=-⨯-⨯⨯=∑B A R q M 得kN R B 28.80=因而B 左截面上剪力为最大，kN q R Q B 22.4774.1m ax -=⨯+-=[]MPa b I S Q z z 74.21101184102105.2256271022.478263max max max-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-==---τ 讨论在进行梁的设计时，应尽量使梁上最大拉应力和最大压应力同时达到许可数值。

在本题中，梁的截面是对称的，所以应使梁上的最大正弯矩和最大负弯矩数值相等，以确定支座的位于置。

梁上的最大弯曲正应力和梁上的最大弯曲剪应力不发生在同一截面上，也不在截面的同一点。

7.3练习题一、概念题1、是非判断题试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“╳”。

（1）设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。

（╳）（2）中性轴是梁的横截面与中性层的交线。

梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。

（√）（3）在非均质材料的等截面梁中，最大正应力maxσ不一定出现在maxM的截面上。

（╳）（4）若梁的横截面具有两根对称轴，则横截面的形心和弯曲中心必位于该两对称轴的交点。

（√）（5）平面弯曲时，中性轴垂直于载荷作用面。

（√）（6）等截面梁产生纯弯曲时，变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。

（╳） （7）梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。

（╳）（8）梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上最大剪应力作用点的正应力不一定为零。

（√）（9）梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上最大正应力作用点剪应力一定为零。

（╳）（10）受纯弯曲的梁发生平面弯曲时，外力偶作用平面可以不通过弯曲中心。

（√） （11）弯曲中心的位置与载荷的大小无关，与载荷的方向有关。