数学建模作业
数学建模课后习题作业
【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。
【模型建立】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学建模一周作业题目
对作业题目的说明1. 本次数学建模周一共提供十五道题目供大家选择。
每支队伍（2-3人/队）必须从以下题目中任意选取一题（只须选择一道），并完成一篇论文，对论文的具体要求参阅《论文格式规范》。
2. 题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。
（一）乒乓球赛问题 (A)A 、B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。
根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜ija 局。
由此得矩阵()ij R a =如下：123123214034531R βββααα⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？（二）野兔生长问题在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。
（三）停车场的设计问题在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。
容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。
为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。
数学建模作业练习
优化作业(1)1.（本题只写模型不求解）某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40台，第二季度末交60台，第三季度末交80台。
工厂的最大生产能力为每季度100台，每季度的生产费用是22.050)(x x x f +=元，其中x 为该季度生产发动机的台数。
若工厂生产得多，多余的发动机可移到下季度向用户交货，这样，工厂就需要支付存储费用，每台发动机每季度的存储费用为4元。
问该厂每季度生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存货）？2.（本题只写模型不求解）某市为方便小学生上学，拟在新建的8个居民小区821,,,A A A 增设若干所小学，经过论证知备选校址有621,,,B B B ，它们能够覆盖的居民小区如下表所列，试建立一个数学模型，确定出最小个数的建校地址，使其能覆盖所有的居民小区。
备选校址B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 覆盖小区 A 1,A 5,A 7 A 1,A 2,A 5,A 8 A 1,A 3,A 5 A 2,A 4,A 8 A 3,A 6 A 4,A 6,A 83.写出下面LINGO 程序所对应的完整数学模型。
SETS: HANG/1..3/:B; LIE/1..4/:X,C; XISHU(HANG,LIE):A;ENDSETSDATA:A= 1 2 3 12 5 1 23 1 6 -2;B=4 5 7;C=1 3 4 5;ENDDATAmin=@sum(LIE(I):C(I)*X(I));@FOR(HANG(I):@SUM(LIE(J):A(I,J)*X(J))>B(I));4.根据下面LINGO 程序的集合段和模型段写出其所对应的数学模型。
SETS: HANG/1..3/:A;LIE/1..4/:B;XISHU(HANG,LIE):C,X;ENDSETSmin=@sum(XISHU(I,J):C(I,J)*X(I,J));@FOR(HANG(I):@SUM(LIE(J):X(I,J))=A(I));@FOR(LIE(J):@SUM(HANG(I):X(I,J))=B(J));5.某校篮球队准备从十名预备队员中选择五名作为正式队员，队员的各种情况如下表：队员号码身高（厘米）技术分位置1 185 8.6 中锋2 186 9 中锋3 193 8.4 中锋4 190 9.5 中锋5 182 9.1 前锋6 184 9 前锋7 188 8.1 前锋8 186 7.8 后卫9 190 8.2 后卫10 192 9.2 后卫队员的挑选要满足下面条件：（1）至少补充一名前锋。
数学建模作业题+答案
数学建模MATLAB 语言及应用上机作业11. 在matlab 中建立一个矩阵135792468101234501234A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦答案：A = [1,3,5,7,9;2,4,6,8,10;-1,-2,-3,-4,-5;0,1,2,3,4]2. 试着利用matlab 求解出下列方程的解（线性代数22页例14）123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 答案：A=[2 ,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6]; B=[8;9;-5;0]; X=A\B 或A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6] b=[8,9,-5,0]' X=inv(A)*b3. 生成一个5阶服从标准正态分布的随机方阵，并计算出其行列式的值，逆矩阵以及转置矩阵。
答案:A=randn(5) det(A) inv(A) A'4. 利用matlab 求解出110430002A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量。
答案：A=[-1,1,0;-4,3,0;0,0,2] [V,D]=eig(A)5.画出衰减振荡曲线3sin3t y et -=在[0,4]π上的图像。
要求，画线颜色调整为黑色，画布底面为白色。
（在实际中，很多打印机时黑白的，因此大多数作图要考虑黑白打印机的效果。
） 给出恰当的x ，y 坐标轴标题，图像x 轴的最大值为4π。
6. 生成一个0-1分布的具有10个元素的随机向量，试着编写程序挑选出向量中大于0.5的元素。
数学建模和Matlab 上机作业2（2016-9-20）跟老师做（不用整合进作业中）：上机演示讲解：函数，递归的两个例子的写法。
附：1. Fibonacci Sequence （斐波那契数列）在数学上，费波那西数列是以递归的方法来定义： F1= 1；F2= 1；F （n ）=F （n-1）+F （n-2） 2. 阶乘举例：数学描述：n!=1×2×……×n ；计算机描述：n!=n*(n-1)!自己做（需要整合进作业中，提交到系统中）：1. 写一个m 文件完成分值百分制到5分制的转换（即输入一个百分制，转换后输出一个5级对应的得分，联系条件控制语句）。
数学建模作业(1)
数学建模作业(1)
数模
数模
1.学校共学校共1000名学生，235人住在宿名学生，人住在A宿名学生人住在人住B宿舍人住在C宿舍舍，333人住宿舍，432人住在宿舍人住宿舍，人住在宿舍.学生们要组织一个10人的委员会人的委员会，学生们要组织一个人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：列办法分配各宿舍的委员数：(1)按比例分配取整数的名额后，剩下的名按比例分配取整数的名额后，按比例分配取整数的名额后额按惯例分给小数部分较大者。
额按惯例分给小数部分较大者。
(2)用Q值方法。
值方法。
用值方法
数模
如果委员会从10人增至人如果委员会从人增至15人，用以上人增至2种方法再分配名额。
将2种方法两次分配种方法再分配名额。
种方法再分配名额种方法两次分配的结果列表比较。
的结果列表比较。
(3)你能提出其它的方法吗？用你的方你能提出其它的方法吗？你能提出其它的方法吗法分配上面的名额。
法分配上面的名额。
数模
2.考察模拟水下爆炸的比例模型.爆炸物质量m,在距爆炸点距离r处设置仪器，接收到的冲击波压强为p,记大气初始压强p0,水的密度ρ,水的体积弹性模量k,用量纲分析法已经得到
p0ρrp=p0(,)km3
数模
设模拟实验与现场的p0,ρ,k相同，而爆炸物模型的质量为原模型的1/1000.为了使实验中接收到与现场相同的压强p,问实验时应如何设置接收冲击波的仪器，即求实验仪器与爆炸点之间的距离是现场的多少倍？
p0,ρ,k。
数学建模第四套
徐州工程学院个性化教育数学建模（大作业）试卷班级 学号 姓名 得分1、某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。
动物从第二年龄组开始繁衍后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3，第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。
假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？解：由于年龄分为五岁一段，所以时间周期取5年。
设(k)i x 表示第k 个时间周期，第i 组年龄阶段动物的数量。
因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组的动物数量是由上一周期上一年龄组存活下来的动物的数量决定的，所以有(k)(k 1)(k)(k 1)213211,22x x x x --== 又因为某一时间周期，第一年龄组的动物数量是由上一时间周期各个年龄组出生的动物数量决定的，所以有(k)(k 1)(k 1)12343x x x --=+由此得到递推关系式： (k)(k 1)(k 1)123(k)(k 1)21(k)(k 1)32431214x x x x x x x ----⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 用矩阵表示为： (k)(k 1)11(k)(k 1)22(k)(k 1)3304310021004x x x x x x ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦即(k)(k 1)x Lx -=，其中(n)043100100,10021001004L x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦则有()()()(3)(2)(1)(0)1437.5137.587.5x Lx L Lx L L Lx ⎡⎤⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算过程代码如下： >> x0=[100;100;100];>> L=[0,4,3;1/2,0,0;0,1/4,0]; >> x1=L*x0; >> x2=L*x1; >> x3=L*x2x3 =1.0e+03 * 1.4375 0.1375 0.0875结果分析：由于动物的数量不可能出现小数，所以根据实际，15年后农场饲养动物的数量2、深洞的估算： 假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG 的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S ，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。
(完整word版)数学建模作业
结果：
Untitled2
j =
80.1000
b =
9.7106
p =
-0.4682
f =
3.1529
极差：
用z表示极差。
编写M文件：Untitled1.m
x1=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91];
x2=[88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81];
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83
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53
55
(1)计算均值，标准差，极差，偏度，峰度，画出直方图；
(2)检验分布的正态性；
检验结果
（1）布尔变量h=0，表示不拒绝零假设，说明提出的假设学生成绩均值80是合理的。
（2）95%的置信区间为[77.6，82.6]，它完全包括80，且精度很高。
（3）sig的值为0.9367，远超过0.5，不能拒绝零假设。
数学建模例题和答案
数学建模例题和答案
题目：
一个汽车公司拥有两个工厂，分别生产两种型号的汽车，A型和B型，每种型号的汽车都有一定的销售价格。
现在，该公司需要在两个工厂中生产A型和B型汽车，使得总收入最大。
答案：
1、建立数学模型
设A型汽车在第一个工厂生产的数量为x，在第二个工厂生产的数量为y，A型汽车的销售价格为a，B型汽车的销售价格为b，则该公司的总收入可以表示为：
总收入=ax+by
2、确定目标函数
由于题目要求使得总收入最大，因此可以将总收入作为目标函数，即：
最大化Z=ax+by
3、确定约束条件
由于两个工厂的生产能力有限，因此可以设置约束条件：
x+y≤M，其中M为两个工厂的总生产能力
4、求解
将上述模型转化为标准的数学规划模型：
最大化Z=ax+by
s.t. x+y≤M
x≥0,y≥0
由于该模型是一个线性规划模型，可以使用数学软件进行求解，得到最优解：
x=M，y=0
即在第一个工厂生产M件A型汽车，在第二个工厂不生产B型汽车，此时该公司的总收入最大，为Ma。
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题目：线性规划模型问题
摘要：本次数学建模论文，旨于通过本次论文活动不断增加大学生数学建模能投资问题数学建模力，提高本班同学的数学建模技巧及其综合数学素养。
关键词：投资. 收益. 线性规划.最大值
主要内容；
1.问题：
某部门现有资金10万元，五年内有以下投资
项目供选择：
项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；
项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；
项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；
问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？
2.建立模型思路：
用ij x 表示第i 年对第j 个项目的投资金额
要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将所有可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只讨论年初的投资情况：
第一年：101411=+x x
第二年：手上资金（即第一年年末收回资金）为14%106x ，全部用来对
可投资项目投资，则有14%106x =242321x x x ++
第三年：同理，有2411%106%115x x +=343231x x x ++
第四年：3421%106%115x x +=4441x x +
第五年：4431%106%115x x +=54x
第五年年末本息和为41233254%115%140%125%106x x x x +++（即第五年所
能收回的所有资金）
3.建立模型：
max 233241544.125.115.106.1x x x x f +++=
st 101411=+x x
1406.1x =242321x x x ++
241106.115.1x x +=343231x x x ++
342106.115.1x x +=4441x x +
443106.115.1x x +=54x
323≤x ，432≤x
4..1,
5..1,0==≥j i x ij
4.求解模型：
Lingo 解法：
可编写lingo 程序如下：
Model :
max =1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;
x11+x14=10;
1.06*x14=x21+x23+x24;
1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;
1.15*x21+1.06*x34=x41+x44;
1.15*x31+1.06*x44=x54;
x23<=3;
x32<=4;
end
运行结果如下：
所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:
x11=7.169811,
x14=2.830189,
x23=3,
x32=4,
x34=4.245283,
x41=4.5,
其余值为0
即第一年对A 项目投资7.169811万元，
对D 项目投资2.830189万元；
第二年对C 项目投资3万元；
第三年对B 项目投资4万元，
对D 项目投资4.245283万元；
第四年对A 项目投资4.5万元。
加工奶制品的生产计划
1.问题 品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A 。
根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间魏480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下三个附加问题：
1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
3）由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划？
2.问题分析 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A ，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的工作能力。
按照题目所给，将决
策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。
3.基本模型:设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A 。
设每天获利Z 元。
1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利1324x ⨯，2x 桶
牛奶可生产42x 公斤2A ，获利2416x ⨯，故Z=216472x x +.
生产1A ，2A 的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50
桶；
生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即
121x +82x ≤480小时；
1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100；
1x ，2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0。
综上可得 Max Z=216472x x + (1)
s.t. 1x +2x ≤50 (2)
121x +82x ≤480 (3)
31x ≤100； (4) 1x ≥0，2x ≥0 (5)
4.模型求解
生产规划问题求解
某工厂在计划期内安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料如下表所示：
假设该工厂每生产一件产品甲可以获利2元，每生产一件产品乙获利3元。
(1) 问应如何安排生产计划才能使该工厂获利最多？试建立该问题的数学模型;
(2) 用图解法求解(1)中的数学模型(提示：梯度方向是函数值增加最快的方向，负梯度方向是函数值减少最快的方向)；
(3) 对于线性规划模型，如果有最优解，那么其最优解一定可以在其可行域的某个顶点处达到。
试根据该结论为(1)中的数学模型设计一个可行的求解算法（图解法除外），并给出详细的算法步骤；(4) 请给出求解该问题的Lingo程序
解：1)设x为甲产品的件数，y为乙产品的件数。
于是有MAX=2x+3y
又4x<=16;
4y<=12.
x+2y<=8;
x>0
y>0
2)如下图所示：
由约束条件可以画出可行域，在画出的可行域的基础上和目标函数z=2x+3y分析可得（4,2）是目标函数的最值点，故
MAXz=2x+3y=2*4+3*2=14
3) MAX=2x+3y
St 4x<=16;
4y<=12.
x+2y<=8;
x>0
y>0
4)
Lingo程序
model:
max=2*x+3*y;
4*x<=16;
4*y<=12;
x+2y<=8;
x>0;
y>0
end
程序运行结果可知当生产甲种产品4件，乙种产品2件时，该工厂获利最多，最大获利为14元。
4.模型特点
（1）本次模型主要运用的是线性规划模型，线性规划模型由目标函数，约束条件组成，其中目标函数可以求最大化，也可以求最小化，约束条件由资源约束和自然约束组成，也可以求最小化；约束条件由资源约束和自然约束组成，资源约束条件可以是大于等于，小于等于，或严格等于，自然约束条件常称为非负约束
（2）线性规划模型的优点在于有统一的算法，任何线性问题都能求解，不过它未必是最精确的算法.而且线性规划模型求解模型类型比较少，求解范围比较狭小。
1-31 2(1-28,2-12) 3(1-21,2-24) 4()。