高考数学总复习高考研究课(四)曲线与方程求解3方法-直接法、定义法、代入法课件理
高考数学总复习考点知识专题讲解54---曲线与方程
[思路引导] 设重心 G 的坐标(x，y)→用 x，y 表示点 P
坐标→点 P 在椭圆上→求出 x，y 满足的关系．
[解析] 依题意知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)，G(x， y)，由三角形重心坐标关系可得
x＝x0－31＋1， y＝y30
即xy00＝＝33xy，， 代入x420＋y302＝1，
则 MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1， 所以|PM|＝ |MA|2＋|PA|2＝ 2， 即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2. 即(x－1)2＋y2＝2 为点 P 的轨迹方程．
考点二 定义法 【例 2】 已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋ y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程．
那么，这个方程叫做 曲线的方程 方程的曲线 ．
，这条曲线叫做
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
1．“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上 的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两 个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无 解，两条曲线就没有交点．
[解] 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”)
(1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要 条件．( √ )
(2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) (4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( × )
高三数学一轮复习曲线的轨迹方程的求法
知识依托 : 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点 .
错解分析 : 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关
键.
技巧与方法 : 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程
典型题例示范讲解 : 例 1 如图所示，已知 P(4 ，0) 是圆 x2+y2=36 内的一
A、 B 是圆上两动点，且满足∠ APB=90°，求矩形 APBQ 顶点 Q的轨迹方程 .
y
BQ
R
点， 的
命题意图 : 本题主要考查利用 “相关点代入法” 求曲 的轨迹方程 .
A
线
o
P
x
知识依托 : 利用平面几何的基本知识和两点间的距
难点 .
重难点归纳 :
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
.
(1) 直接法 : 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系， 直接坐标化， 列出等式化简
即得动点轨迹方程 .
(2) 定义法 : 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 ( 如椭圆、双曲线、抛物线、圆
等) ，可用定义直接探求 .
2 pk)
k
由 OM⊥ AB，得
M既在以 OA为直径的圆 : x 2
y2
2p k2 x
2p y
k
0 ……①上，
又在以 OB为直径的圆 : x2 y2 2 pk2 x 2 pky 0 ……②上（ O点除外），
① k 2 +②得 . x2+y2－ 4px=0( x≠ 0) 故动点 M的轨迹方程为 x2+y2－ 4px=0( x≠ 0) ，它表示以 (2 p,0) 为圆心，以 2p 为半径的
(3) 相关点法 : 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法
高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法高考要求求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点重难点归纳求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 典型题例示范讲解例1如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程错解分析 欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程解 设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR | 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程例2设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托 直线与抛物线的位置关系错解分析 当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论 技巧与方法 将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a 由OM ⊥AB ，得m =－y x由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22122()(4)y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以244a pa a p =⇒= 故x =my +4p ,用m =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2(2)1ky x p k =--，过定点(2,0)N p ， 由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外） 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM ⊥AB ，得M 既在以OA 为直径的圆 222220p p x y x y k k+--=……①上， 又在以OB 为直径的圆 222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）， ①2k ⨯+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点例3某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力知识依托 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键技巧与方法 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程 解 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则|PA |+|PO |=(1+r)+(1 5－r)=2 5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+- 故所求圆柱的直径为76cm 例4已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 解 建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0) 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴) (2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0 点M 的轨迹是以(－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆 学生巩固练习1 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A 圆B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线2 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A 14922=+y xB 14922=+x y C 14922=-y x D 14922=-x y 3 △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________4 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________5 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程6 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程7 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率8 已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值 参考答案1 解析 ∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆 答案 A2 解析 设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得 答案 C3 解析 由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=- 答案 )4(1316162222ax a y a x >=-4 解析 设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0答案 4x 2+4y 2－85x +100=05 解 设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P 由切线的性质知 |BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6 解 设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ) ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0)由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2 即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为 a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a )7 解 (1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为 y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为 y =－)(11m x mx y -- ②①×②得 y 2=－)(2222121m x mx y -- ③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1 此即为M 的轨迹方程(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-8 解 (1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2| 又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0)|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2 故R 的轨迹方程为 x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2此时弦心距|OC |=21|2|kak +在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC课前后备注友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
高三数学复习(理)：第8讲 曲线与方程
第8讲 曲线与方程[学生用书P192]1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(5)y＝kx与x＝1k y表示同一直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则（x－2）2＋（y－2）2x2＋y2＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴离相等，其轨迹是抛物线，且p2左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．答案：(1)圆(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．解析：由角的平分线性质定理得|P A|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)3．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点的轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)[学生用书P192]直接法求轨迹方程(师生共研)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，22)，定点P (1，1)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ，F 两点，求弦EF 中点的轨迹方程．【解】 (1)由题意得AC 的中点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k AC ＝2，k AB ＝1，故AC 中垂线的斜率为－22，AB 中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y －2＝－22x ，AB 的中垂线的方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －2＝－22x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以△ABC 的外接圆圆心为(2，0)，半径r ＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)设弦EF 的中点为M (x ，y )，△ABC 外接圆的圆心为N ，则N (2，0)， 由MN ⊥MP ，得NM →·PM →＝0， 所以(x －2，y )·(x －1，y －1)＝0， 整理得x 2＋y 2－3x －y ＋2＝0，所以弦EF 中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，若过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由|MP |＝5|MQ |，得（x －26）2＋（y －1）2＝5（x －2）2＋（y －1）2，化简得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为2×52－32＝8，所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心(1，1)到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512， 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0， 即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.定义法求轨迹方程(师生共研)已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0，1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．【解】 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0，2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，所以圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0，1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y .定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又因为|CD |＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，所以点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，所以点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1，0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y 2＝2px (p >0)，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， 所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2，2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]，所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．1.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN →＝λNM →. (1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， 所以PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 则x 214＋y 21＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，故MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.由于MB →＝－2MA →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1.因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎨⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b ·（－1）2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝14. 所以曲线E 的方程为x 2＋y24＝1.[学生用书P407(单独成册)][A 级 基础练]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.以下结论正确的个数是( )①若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上；②若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为n ；③若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －mn x ；④若m＝0，n >0，则C 是两条直线．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于①，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 21n ＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于②，因为m＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n 的圆，错误；对于③，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝± －mn x ，正确；对于④，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n ，该方程表示两条直线，正确．3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D.当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 项图象所示，故选D.4．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选A.设P (x ，y )．因为M (－2，0)，N (2，0)，所以MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .故选A.5．动点M 在圆x 2＋y 2＝25上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( )A.4x 225＋y 225＝1 B ．x 225＋4y 225＝1 C.4x 225－y 225＝1D.x 225－4y 225＝1解析：选B.如图，设线段MD 的中点为P (x ，y )，M (x 0，y 0)，D (x 0，0)，因为P 是MD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又M 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 20＋y 20＝25，即x 2＋4y 2＝25，x 225＋4y 225＝1，所以线段MD 的中点P 的轨迹方程是x 225＋4y 225＝1.故选B.6．设D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为________．解析：设点P 坐标为(x ，y )．因为D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝2 5.又|PD |＝|BD |，所以|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋(y ＋2)2＝20，所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.答案：x 2＋(y ＋2)2＝207．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －28．△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .则|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)9．如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．解：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故P 点的轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．已知动圆P 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，且与直线x ＝－14相切．(1)求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；(2)在正方形ABCD 中，AB 边在直线y ＝x ＋4上，另外C ，D 两点在轨迹M 上，求该正方形的面积．解：(1)由题意得动圆P 的圆心到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离相等，所以圆心P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0为焦点，直线x ＝－14为准线的抛物线，且p ＝12，所以动圆P 圆心的轨迹M 的方程为y 2＝x . (2)由题意设CD 边所在直线方程为y ＝x ＋t . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，y 2＝x ，消去y ，整理得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0.因为直线CD 和抛物线交于两点，所以Δ＝(2t －1)2－4t 2＝1－4t ＞0，解得t ＜14. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－2t ，x 1x 2＝t 2. 所以|CD |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[（1－2t ）2－4t 2]＝2（1－4t ）.又直线AB 与直线CD 之间的距离为|AD |＝|t －4|2，|AD |＝|CD |，所以2（1－4t ）＝|t －4|2，解得t ＝－2或t ＝－6，经检验t ＝－2和t ＝－6都满足Δ＞0. 所以正方形边长|AD |＝32或|AD |＝52， 所以正方形ABCD 的面积S ＝18或S ＝50.[B 级 综合练]11．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A.设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．12．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．13．(2021·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)和一动点P ，给出下列结论：①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1||PF 2|＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．其中正确的是________．(填序号)解析：对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确．对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．对于③，设P (x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x 2＋y 2＋（2＋2λ2）1－λ2x ＋1－λ21－λ2＝0，所以点P 的轨迹是圆，故③正确．对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2.又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，因为（－x ＋1）2＋（－y ）2·（－x －1）2＋（－y ）2＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2，所以点P ′(－x ，－y )也在曲线（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称，故④正确．对于⑤，设P (x ，y )，则k PF 1＝y x ＋1，k PF 2＝y x －1，由题意得k PF 1·k PF 2＝y x ＋1·yx －1＝y 2x 2－1＝m (m ≠0)，整理得x 2－y 2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确． 综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④14．如图，已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．解：(1)方法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2.又因为x 2018＋y 209＝1，所以y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0.又x 2018＋y 209＝1，所以x ＝－x 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1，得y 29＋x 292＝1. 所以动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1k x －3，①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 则直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .所以直线NB 2：y ＝2kx ＋3.②由①②得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(2)由(1)方法三得直线NB 1：y ＝－1k x －3，① 直线NB 2：y ＝2kx ＋3，②联立①②解得x ＝－6k2k 2＋1，即x N ＝－6k2k 2＋1，故四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722.[C 级 提升练]15．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3，0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，①直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2，0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)， 只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需证x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6tt 2＋3＝0成立，得证．。
高考研究：曲线方程常见解题方法
y2＝－2x2＋x.
探究2 (1)相关点法求曲线方程时一般有两 个动点，一个是主动的，另一个是次动的， 如本题中P是主动点，R是次动点．
(2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一 般可以用相关点法求其轨迹方程：
x＝x1＋2 x2，
并且y＝y1＋2 y2，
⑦
y－x 1＝xy11－－xy22，
将⑦代入⑥并整理，得4x2＋y2＝y.⑧ 当x1＝x2时，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．
这时点P的坐标为(0,0)，也满足⑧.
所以点P的轨迹方程为
x2 1
＋y－1 122＝1.
16 4
【答案】 4x2＋y2－y＝0
例4
已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的一个焦点为
(
5，0)，离心率为
5 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两 条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【思路】 (1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长 半轴长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方 程；(2)讨论两条切线的斜率是否存在，斜率存在时， 设出切线方程，利用直线与椭圆相切得判别式Δ＝0， 建立关于k的一元二次方程，利用两根之积为－1， 求出点P的轨迹方程．
【解析】 如下图，由切线性质，得
|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以
B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC
中点为原点建立坐标系得 P点轨迹方程为8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)． 【答案】 8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)
高中曲线方程的求解方法
高中曲线方程的求解方法
曲线方程是高中数学的重中之重內容，都是一整难题。
曲线方程的定义:在直角坐标系中，如果曲线c上的一点(被认为是一组点或适合某些条件的点轨迹)与二元方程f(x，y)=0的实解建立了以下关系:
(1)曲线上各点的坐标都是这个方程的解;
(2)以该方程解为坐标的点都是曲线上的点。
然后，这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程曲线。
找到曲线方程的步骤如下:
(1)建立合适的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意点m的坐标;
(2)用合适的条件写一组p(M)，P = { M | P(M)};
(3)条件p(M)用坐标表示，并列出公式f(x，y)= 0;
(4)方程f(x，y)=0被简化为最简单的形式;
(5)简化方程的解是坐标的点都在曲线上。
求解曲线方程的常用方法:
(1)待定系数法(Unfinished coefficient method)这种方法需要事先知道曲线的方程，先把它建立起来，然后根据条件列出方程(组)来求解未知数。
(2)直译法是直接表达移动点所满足的主题条件，从而获得水平坐标和垂直坐标之间的关系式。
(3)定义方法是从曲线的定义中直接得到曲线方程。
(4)轨道相交法:在寻找两条运动曲线交点的轨迹方程时，联立方程剔除参数，得到交点的轨迹方程。
这种方法常用于解决交叉问题。
(5)参数法是通过中间变量找出Y和X之间的间接关系，然后通过参数消去得到其直接关系。
(6)相关点法是通过寻找运动点和已知运动点之间的关系来寻找曲线方程的方法。
超实用高考数学专题复习教学课件：求曲线轨迹方程的方法
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得
|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为
(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方
法主要有:
(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
其中 x0,y0 满足02 + 02 =8,x0∈[2,2 2],
2 = 2,
由
得 x0y2+2y0y-16=0,
0 + 0 = 8,
则
20
1 + 2 = ,
0
代入
16
1 2 = - ,
0
可得 M(x,y)满足
代入02 +
=
=
=
=
8
- ,
0
0 即
- ,
2× 52 -32 =8,所以 l:x=-2 符合题意.
当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0,
圆心(1,1)到 l 的距离 d=
|3+2|
.
2 +1
2
由题意,得
|3+2|
2 +1
求曲线方程的几种常见方法
求曲线方程的几种常见方法求曲线方程的几种常见方法2011-04-20 13:59 来源：文字大小：【大】【中】【小】解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题．下文将讨论几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题．一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些的等量关系变成含，的等式就得到动点的轨迹方程．这种方法不需要其它技巧，故称为直接法．例1已知P，Q是平面内的2个定点，=2,点M为平面内的动点，且M到点P的距离与到点Q的距离的比值为（﹥0），求点M 的轨迹．解析以线段PQ的中点O为坐标原点，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系．点为（-1，0），点为（1，0），设点为（，）．，（﹥0），，，化简可得．（1）时，点的轨迹为轴，其方程为；（2）﹥0且时，点的轨迹方程可化为，即，当﹥0且时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（，）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将上述等量关系式转化为方程式；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义．二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法．例2 如图,已知两圆，，动圆在圆内且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹．解析设动圆圆心为，由题意可知．根据椭圆的第一定义，点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，其中，动圆圆心的轨迹方程为．点评解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点轨迹是以点，为焦点的椭圆，假若根据几何条件列方程求解就复杂了．三、相关点法有些求轨迹的问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动．假若相关点所满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法．例3 已知曲线与直线交于两点和,且﹤．记曲线在点A点B 之间的那段为L，设点P（s,t）是L上的任意一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析由，解得A（-1，1），B（2，4）．由中点坐标公式可得点Q的坐标为（），设点M的坐标为（）．于是，，，又-1﹤s﹤2,﹤﹤,即﹤﹤．又点P（s,t）在曲线C上，．将代入得，即（﹤﹤）．点评相关点法是一种常考的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（），再设在曲线上与动点P相关的点为Q （），所以；（2）找出P,Q的坐标之间的关系式，并表示为（3）将代入，即可得所求的轨迹方程．本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分．四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程．这种方法叫交轨法．例4 如图，椭圆与轴的交点为A(2,0),B(-2,0),与轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q 的轨迹方程．解析直线MN的方程为，设M和N的坐标分别为（），（），则，即．M，N为不同的两点，，直线AM，BN的方程分别为因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得，将代入上式可得，即．又交点Q不可能在轴上，．交点Q的轨迹方程是．点评交点Q不可能在轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视．五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，并可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化．例5 如图，设点A、B为抛物线（p﹥0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型．解析设点A，点B（），M（）．，，，，．,即，．又,即，化简得．又∥,，化简可得．消去可得，又因为A、B异于原点，所以．点M的轨迹方程为，它表示一点（2p，0）为圆心，2p为半径的圆（不包含原点）．点评利用向量可以将几何问题化为代数计算，在此设点A，点B（），而不设点，是为了尽量减少参数．六、参数法动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等）或动点运动过程中受到某个参数制约，我们建立以这个变量为参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法．例6 过点P（4，1）的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，在线段AB上取点Q，满足,证明：点Q总在某定直线上．证明设点Q，A，B的坐标分别为（），（），（）．由题设知，，，均不为0，记,则﹥0，且．又A，P，B，Q四点共线，从而．于是，，，．从而，………………①．………………②又因为点A、B在椭圆C上，即，………………③，………………④①+2②得，结合③、④得．即点Q（）总在定直线上．点评在此选取比值作参数，得到轨迹的含的参数方程，最后消去参数得到轨迹的普通方程．本题中点Q的轨迹只是直线的一部分．七、点差法例7 给定双曲线，过点A（2，1）的直线与所给双曲线交于两点，求线段中点P的轨迹方程．解析设P（），，，则两式相减得．又．又，，A，P四点共线，，，即所求轨迹方程为．点评点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法．【练习】1．动点与两点连线的斜率之积为（﹤0），求点的轨迹方程，并根据值变化讨论其轨迹是什么曲线．2．已知圆：与定直线，动圆与圆外切，并且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．3．已知O为坐标原点，A为椭圆（a﹥b﹥0）上任意一点，且,求点P的轨迹方程．4．如图，设点A、B分别为（-1，0）、（1，0），N为单位圆上的动点（不与点A、B重合），单位圆上过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点，四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为P，求交点P的轨迹．5．已知点A（1，0）为圆内的一点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？6．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程．7.线段AB是经过抛物线焦点的弦，求弦AB的中点的轨迹方程．【参考答案】1．（1）﹤-1时，轨迹方程为（），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）；（2）时，轨迹方程为，点的轨迹为圆（不含,两点）；（3）-1﹤﹤0时，轨迹方程为，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）．2．3．4．设切点N的坐标为（cos,sin）,则切线CD的方程为，求出点C、D的坐标，进而写出直线BD、AC的方程，消去即可．点P的轨迹为椭圆：除去A、B两点的部分．5．（用向量法和参数法）．6．7．。
高考数学解析几何专题-第01讲 曲线与方程
高考数学解析几何专题第01讲曲线与方程知识与方法解析几何主要研究两方面的内容:一是根据条件求曲线的方程(即轨迹方程)，二是根据曲线方程,研究曲线的性质.1.求轨迹方程求曲线的轨迹方程是高考命题的热点,其一般步骤为:建(坐标系)、设(动点坐标)、限(限制条件,点满足的条件)、代(坐标代入)、化(化简整理),最后检验轨迹的纯粹性与完备性.即:①建系;②设点;③列式;④化简;⑤检验.求轨迹方程的常用方法:已知曲线类型——待定系数法未知曲线类型——①定义法:②直接法:③代入法;④交轨法;⑤参数法.2.研究曲线的性质主要是图形形状、对称性、范围、最值等.典型例题【例1】已知点集{(,)|}M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（）A ．1B ．34+πC ．πD ．22+π【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C ;③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.① B.② C.①②D.①②③【例3】在数学中有这样形状的曲线:22||||x y x y +=+.关于这种曲线，有以下结论：①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【例4】（多选题）双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -,2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双扭线C .已知点()00,P x y 是双扭线C 上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线C 关于原点O 中心对称;B.022a ay - ;C.双扭线C 上满足12PF PF =的点P 有两个;D.||PO .【例5】（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的最近距离为32【例6】（多选题）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物，曲线C ：22322()16x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A .曲线C 经过5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）B .曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C .曲线C 围成区域的面积大于4πD .方程22322()16(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【例7】(双空题)曲线C 是平面内到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是_______；又已知点()1B a ，(a 为常数)，那么PB PA +的最小值()d a =______．【例8】如图所示,直线1l 和2l 相交于点12,M l l ⊥,点1N l ∈,以A B 、端点的曲线段C 上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若AMN ∆是锐角三角形,3AM AN ==且||6BN =,建立适当的坐标系,求曲线C 的方程.【例9】已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点1121(,),(,)P x y Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程.【例10】如图,设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点,已知,OA OB OM AB ⊥⊥,则点M 的轨迹方程为（）A.2220x y px +-=(原点除外)B.2220x y py +-=（原点除外)C.2220x y px ++=(原点除外)D.2220x y py ++=(原点除外)强化训练1.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（）A.B.3C. D.42.由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为（）A.24π+B.28π+C.44π+ D.48π+3.如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A ．22(||1)(1)0x y x y --×-+=B 22(1)0x y -+=C ．(||1)0x y --D 0=4．方程1x -=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14；③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大为18；④四叶草面积小于4π.其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.①③④D.①②④6.曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的个数为（）(1)曲线C 一定经过原点；(2)曲线C 关于x 轴、y 轴对称；(3)△MPN 的面积不大于8；(4)曲线C 在一个面积为64的矩形范围内.A.1 B.2 C.3 D.47.双曲线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xoy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 的距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有()①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO .A.①②B.①②④C.②③④D.①③8.已知点(A B ,动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ⋅⋅=,则点P 的轨迹方程为.9.设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=-+=中的一个内切,另一个外切.求C 的圆心轨迹L 的方程.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，Q 是椭圆外的动点，满足1||2F Q a =，点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅= ，2||0TF ≠，求点T 的轨迹C 的方程.11.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点、 A B 满足A O B O ^(如图所示）,求A O B D 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.参考答案【例1】已知点集{(,)}M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（）A ．1B ．34+πC ．πD ．22+π【答案】D【解析】由题意，当0xy ≤时，只需满足21x ≤，21y ≤；当0xy >xy 两侧平方，整理得221x y +≤，综上可得集合M 对应的图象，如图所示，所以其面积为2121121242S =创+创=+ππ．【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C ;③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.① B.② C.①②D.①②③【答案】C【解析】由221||x y x y +=+得，22||1y x y x -=-，22||3124x x y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，23104x - ，243x ，所以x 可为的整数有0，1-，1，从而曲线C ：221||x y x y +=+恰好经过(0,1)，(0,1)-，(1,0)，(1,1)，(1,0)-，(1,1)-六个整点，结论①正确.由221||x y x y +=+得，222212x y x y +++，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点结论②正确.如图所示，易知(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1,)C ，(0,1)D ，四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.【例3】在数学中有这样形状的曲线:22||||x y x y +=+.关于这种曲线，有以下结论：①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【答案】A 【解析】22222222111,(0,0)222111,(0,0)222111,(0,0)222111,(0,0)22200x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫-+-=>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪-++=>< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫++-=<>⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+++=<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪==⎪⎪⎩且如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，①曲线C 中，1212,22x ⎡++∈-⎢⎣⎦，1212,22y ⎡+∈-⎢⎣⎦,经过的整点有:(0,0),(1,1),(1,0),(1,1)-,(1,1)-,(1,0)-,(1,1)--,(0,1),(0,1)-共9个，命题①正确;②如图，曲线上任意两点距离范围为(0,4)R ，即两点距离范围为(0,22)，命题②错误;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为S ，2214(2)4252S R R ππ=⨯+=+>，命题(3)正确.故选：A.【例4】（多选题）双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -,2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双扭线C .已知点()00,P x y 是双扭线C 上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线C 关于原点O 中心对称;B.022a ay - ;C.双扭线C 上满足12PF PF =的点P 有两个;D.||PO 2a .【答案】ABD【解析】对A ，设动点(,)C x y ，由题意可得C 的轨迹方程为2222()()2x a y x a y a -+++.把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程，显然成立；对B ，因为()00,P x y ，故12121212011sin 22PF S PF PF F PF F F y Γ=⋅⋅∠=⋅△.又212PF PF a ⋅=，所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅，即012sin 22a a y F PF =∠ ，故022a ay -.故B 正确；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上．故此时00x =，代入2222()()2x a y x a y a -+++，可得00y =，即(0,0)P ，仅有一个，故C 错误；对D ，因为12POF POF ∠+∠=π，故12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212||||02||2||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅因为12OF OF a ==，212PF PF a ⋅=，故2222122||2OP a PF PF +=+.即()2221212||22OP a PF PF PF PF +=-+⋅，所以()22122||OP PF PF =-.又12122PF PF F F a -= ，当且仅当P ，1F ，2F 共线时取等号．故()222122||(2)OP PF PF a =- ，即22||2OP a，解得||2OP a ，故D 正确.故选：ABD .【例5】（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--+C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的最近距离为32【答案】ACD【解析】当0x >，0y >时，曲线22:4224C x y x y +=++即22(1)1142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，将2214x y +=中心平移到11,2⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限的部分；因为点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --都在曲线C 上，所以曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出图象如图所示:对于选项A ：由图知曲线C 关于原点对称，故选择项A 正确；对于选项B ：令2214x y +=中令0y =得2x =，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知33x -≤≤，故选项B 不正确；对于选项C ：令2214x y +=中0x =可得1y =，向上平移12个单位可得纵坐标最大值为32，曲线C 39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确；对于选项D ：令22(1)1()142x y -+-=中0x =，可得122y =±，所以到点1(0,)2的最近D 正确；综上所述，选ACD .【例6】（多选题）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物，曲线C ：22322()16x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A .曲线C 经过5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）B .曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C .曲线C 围成区域的面积大于4πD .方程22322()16(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【答案】BD【解析】把2x =，2y =代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C 在第一象限过点(2,2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M对于A 选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1)1，，(1)2，和(2)1，代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0)0，，即A 错误；对于B 选项，因为222(0,0)x y xy x y +≥>>，所以222x y xy +≤，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=≤⨯=+，所以224x y +≤，即B 正确．对于C 选项，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即C 错误；对于D 选项，因为0xy >，所以x 与y 同号，仅限与第一和三象限，即D 正确．故选：BD ．【例7】(双空题)曲线C 是平面内到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是_______；又已知点()1B a ，(a 为常数)，那么PB PA +的最小值()d a =______．【答案】(0,3)222, 1.41,4, 1.41,1 <2, 1. a a a a a a a a -+≤-≥+-≤-⎨⎪--<<⎪⎩或【解析】(1)设点P 坐标)为()x y ，，因为动点P 到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3222(1)(1)x y x -++，当0x ＝时，代入求得3y =y 轴交点为(0,3).（2）当312x -≤≤-时，曲线C 可以化为21015y x =+当312x -<≤时，曲线C 可以化为223y x =-+，令1y ＝，则10151x ＋＝或231x －＋＝，解得14x ＝－．或1x ＝；①当 1.4a 或1a 时,PB PA BA +≥,所以22()||(1)122d a AB a a a ==-+=-+;②当11a -<<时当直线1y =与232312y x x ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭相交时,交点P 满足PB PA +取得最小值因为抛物线准线方程为2x =,所以直线1y =与准线交点坐标为(2,1),此时()2d a a =-;③当 1.41a -<- 时当直线1y =与23101512y x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭相交时,交点P 满足PB PA +取得最小值此为抛物线准线方程为4x =所以直线1y =与准线交点坐标为(4,1)-,此时()4d a a =+.综上所述, 1.41,()4, 1.41,2,1 1.a a d a a a a a -=+-<≤-⎨⎪--<<⎪⎩或者 【例8】如图所示,直线1l 和2l 相交于点12,M l l ⊥,点1N l ∈,以A B 、端点的曲线段C 上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若AMN ∆是锐角三角形,3AM AN ==且||6BN =,建立适当的坐标系,求曲线C 的方程.【答案】28(14,0)y x x y = .【解析】解法1:已知曲线类型,-待定系数法1l 为x 轴,线段MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系如图所示,依题意知:曲线段C是以点N 为焦点,2l 为准线的抛物线的一段,其中A B 、分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为22(0)(0)A B y px p x x x y =>≤≤>，，其中A x ，B x 分别为A 、B 横坐标，p MN =，∴(0)2p M -，(0)2pN ，，由AM ，=3AN 得：2()2172A A p x px ++= ①2()292A A px px -+= ②解由①、②组成的方程组得4A x p =，代入①并由0p >解得41A p x =⎧⎨=⎩或22Ap x =⎧⎨=⎩，因为AMN △是锐角三角形，∴2A px >，故应舍去22Ap x =⎧⎨=⎩，所以4p =，1A x =.由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=，综上，得曲线段C 的方程为28(140)y x x y =≤≤>，.解法2：利用抛物线定义求标准方程以1l 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系如图所示，依题意知：曲线段C 以点N 为焦点，2l 为准线的抛物线的一段，过点A 作1l ，2l 垂线，垂足分别为H 、1A ，由抛物线定义可知13AA AN ==，则1AH A M ====1HN ===，13MH AA ==，所以314MN MH HN =+=+，即4p =，故抛物线的方程为28y x =.由||3,||6AN BN ==，结合抛物线定义，得3,622A B p px x +=+=，所以1,4A B x x ==.综上，得曲线C 的方程为24,08(1)x y y x >=≤≤.【注】求曲线方程时，为了使得最终的结果具有简单的形式，需要建立适当的坐标系，一般要考虑两点:①图形的对称性;②使尽可能多的点落在坐标轴上.【例9】已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点1121(,),(,)P x y Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程.【答案】221(02x y x +=≠且x ≠【解析】由题设知112||(x A A >，则有1:A P y x =+①，2:A Q y x =②解法1：联立①②解得交点坐标为11122,x y x x ==，即1122,x y x x ==③，则0,||x x ≠<，而点11(,)P x y 在双曲线上，所以221112x y -=，将③式带入上式，整理得所求轨迹E 的方程为221(02x y x +=≠且x ≠.解法1：设(,)M x y 是直线1A P 与2A Q 交点，①②两式相乘得222121(2)2y y x x -=--（3）而点11(,)P x y 在双曲线上，所以221112x y -=，即221112x y =-，代入（3）式整理得2212x y +=.因为,P Q 是双曲线上不同的两点，所以他们与点12,A A 均不重合，故点12,A A 不在轨迹E 上.过点(0,1)，以及2A 的直线l的防尘为0x +=，解方程组2212x x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩得0x y ==.所以直线l与双曲线只有唯一交点2A ，故轨迹E 不经过点(0,1)，同理轨迹E 也不经过点(0,1)-.综上，轨迹E 的方程为221(02x y x +=≠且x ≠.【注】用交轨法求曲线方程时，要特别注意变量的取值范图.【例10】如图,设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点,已知,OA OB OM AB ⊥⊥,则点M 的轨迹方程为（）A.2220x y px +-=(原点除外)B.2220x y py +-=（原点除外)C.2220x y px ++=(原点除外)D.2220x y py ++=(原点除外)【答案】A【解析】当斜率存在时,设(,)M x y ,直线AB 的方程为y kx b =+,由OM AB ⊥得x k y=-,联立22y px =和y kx b =+,消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=,所以2122b x x k=,所以()()()22121212122pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=,由OA OB ⊥得12120x x y y +=,所以2220b pbk k +=,所以2b kp =-,所以(2)y kx b k x p =+=-,把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠,当斜率不存在时,设直线AB 的方程为()()00000,,,,x x A x y B x y =-,由OM AB ⊥得点M 在x 轴上,即()0,0M x ,∵2200,0OA OB x y ⊥∴-=,又点()00,A x y 在抛物线上,故2002y px =,整理得02x p =,故点(2,0)M p ,满足方程2220x y px +-=,综上所述：动点M 的轨迹方程为2220x y px +-=（除原点外)故选：A .强化训练1.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（）A. B.3C. D.4【答案】B【解析】422x y +=的参数方程为：2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线是关于点(0,0)中心对称的图形，所以曲线422x y +=上点00(,)x y 到原点距离为直径长的一半，d ====当2cos 4θ=时，d 取得最大值为32，所以直径为3.2.由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为（）A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+【答案】D【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当0x ≥，0y ≥时，解析式为22(1)(1)2x y -+-=，故可得此曲线所围成的图形由一个边长为2的半圆组成，所围成的面积是214842ππ+⨯⨯⨯=+，故选D .3.如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A ．22(||1)(1)0x y x y --×-+=B22(1)0x y -+=C．(||1)0x y --=D=【答案】C【解析】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项，等价于||10x y --=或2210x y -+=，表示折线||1y x =-的全部和双曲线，故错误；B 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+=ïî≥或||10x y --=，又||10x y --=表示折线||1y x =-的全部，故错误；C 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥或2210x y -+=，\22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥表示折线||1y x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，2210x y -+=表示双曲线221x y -=，符合题中的图象，故C 正确；D 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥或22||1010x y x y ì--ïí-+ïî≥=，22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥表示折线||1y x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，和22||1010x y x y ì--ïí-+ïî≥=表示双曲线在x 轴正文的部分，故错误．4.方程1x -=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆【答案】A【解析】1x -=⇒22(1)(1)x y +--＝１,表示一个圆,选A.5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14；③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大为18；④四叶草面积小于4π.其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.①③④D.①②④【答案】C 【解析】①当x 变为－x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为－y 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y ＝x 轴对称；当y 变为－x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y ＝－x 轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；②因为22322()x y x y +=，所以22222322()2x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤，所以2212x y +≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③设任意一点P （x ，y ），所以围成的矩形面积为xy ，因为22322()x y x y +=，所以222233()(2)x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时42==y x ，所以围成矩形面积的最大值为81，故正确；④由②可知4122≤+y x ，所以四叶草包含在圆4122=+y x 的内部，因为圆的面积为：441ππ=⋅=S ，所以四叶草的面积小于4π，故正确.故选:C.6.曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的个数为（）(1)曲线C 一定经过原点；(2)曲线C 关于x 轴、y 轴对称；(3)△MPN 的面积不大于8；(4)曲线C 在一个面积为64的矩形范围内.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】设点P 的坐标为),(y x ，由题意可得16)2()2(2222=+-⋅++y x y x ，对于命题(1)，将原点坐标代入方程得16422≠=⨯，所以命题(1)错误；对于命题(2)，点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为),(1y x P -，),(2y x P -，∵16)2()2()()2()()2(22222222=+-⋅++=-+-⋅-++y x y x y x y x ∵16)2()2()2()2(22222222=++⋅+-=+--⋅++-y x y x y x y x 则点1P ,2P 都在曲线C 上，所以，曲线C 关于x 轴、y 轴对称，命题(2)正确；对于命题(3)，设a PM =，b PN =，θ=∠MPN ,则16=ab ，由余弦定理得21321623216216cos 2222=-≥-+=-+=ab b a ab b a θ，当且仅当4==b a 时等号成立，则θ为锐角，所以，23cos 1sin 2≤-=θθ，则△MPN 的面积为834231621sin 21<=⨯⨯≤=∆θab S MPN 命题(3)正确；对于命题(4)，4)2()2()2()2(162222222-=-⋅+≥+-⋅++=x x x y x y x ，可得164162≤-≤-x ，得202≤x ，解得5252≤≤-x ，由（3）知，11||||4||22MPN S MN y y ∆=⋅=⨯⨯≤，得||y ≤曲线C 在一个面积为64=<的矩形内，命题（4）正确.因此，正确的命题序号为（2）（3）（4）.故选C.7.双曲线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xoy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 的距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有()①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO .A.①②B.①②④C.②③④D.①③【答案】B【解析】对①，设动点(,)C x y ，由题可得C 的轨迹方程2a =，把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②因为00(,)P x y ，故12121212011||||sin ||||.22PF F S PF PF F PF F F y ∆=⋅∠=又212||||PF PF a ⋅=，所以2120sin 2||a F PF a y ∠=,即012||sin 22a ay F PF =∠≤，故022a ay-≤≤，②正确.对③，若12||||PF PF =，则00(,)P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上.故此时00x =，代入2a =，可得00y =,即(0,0)P ,仅有一个.故③错误;对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,即222222112212||||02||2||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅，因为21212,OF OF a PF PF a ==⋅=,故2222122||2OP a PF PF +=+.即()22212122||22OP a PF PF PF PF +=-+⋅,所以()22122||OP PF PF =-.又1212|2PF PF F F a -= ,当且仅当12,,P F F 共线时取等号.故()222122||(2)OP PF PF a =- ,即22||2OP a ,解得||OP .故④正确.故①②④正确.故选：B8.已知点(A B ,动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ⋅⋅=,则点P 的轨迹方程为.【答案】2213x y +=【解析】由已知得,1cos ||||12PA PB θ+⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭,即||||||||cos 2PA PB PA PB θ⋅+⋅⋅=由余弦定理得,222||||||2||||cos AB PA PB PA PB θ=+-⋅⋅,即228||||2(2||||)PA PB PA PB =+--⋅整理得2(||||)12,||||PA PB PA PB +=+=,故P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆,其中1a c ==,故所求轨迹方程为2213x y +=.9.设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切,另一个外切.求C 的圆心轨迹L 的方程.【答案】2214x y -=【解析】（1）设(F '，F ，圆C 的半径为r ，则||2)(2)||||||4(CF r CF r +--==<'-，C ∴的圆心轨迹L 是以F '，F 为焦点的双曲线，2a =，c =，1b =，C ∴的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，Q 是椭圆外的动点，满足1||2F Q a =，点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅= ，2||0TF ≠，求点T 的轨迹C 的方程.【答案】222x y a +=【解析】方法一：设点T 的坐标为(,)x y .当||0PT = 时，点(,0)T a 和点(,0)a -在轨迹上，当||0PT ≠ 且2||0TF ≠ 时，由20PT TF ⋅= ，得2PT TF ⊥ .又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点.在12QF F ∆中，11||||2OT F Q a ==，所以有222x y a +=，综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=.方法二：设点T 的坐标为(,)x y ，当||0PT = 时，点(,0)T a 和点(,0)a -在轨迹上，当||0PT ≠且2||0TF ≠时，由20PT TF ⋅= ，得2PT TF ⊥ ，又2|||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点.设点Q的坐标为(),x y ⅱ,则22x c x y y ìï¢+ï=ïïíï¢ï=ïïïî,因则22x x c y y ìï¢=-ïíï¢=ïî(1)由12F Q a =uuu r,得()2224x c y a ¢¢++=(2)将(1)代入(2),可得222x y a +=.综上所述,点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=.11.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点、 A B 满足A O B O ^(如图所示）,求A O B D 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.【答案】2233y x =+.【解析】设A O B D 的重心为()()1122(,),,,,G x y A x y B x y ,则121233x x x y y y ìï+ï=ïïï¼íï+ï=ïïïî(1)∵1O A O B O A O B k k ^\×=-,即12120,.(2)x x y y +=技又点,A B 在抛物线上,有221122,y x y x ==,代入（2）化简得121x x =-∴()()2222212121212111222(3)3333333y y y x x x x x x x x +轾==+=+-=´+=+犏犏臌.。
求曲线方程的常用方法
曲线的方程摘要：通过曲线方程常见题型的分析，归纳总结曲线的方程的解题巧，对于常见的一些问题，给出规律性的解答.关键词：曲线的方程 轨迹曲线的方程是高考中常出现的问题，要熟练掌握求曲线方程的基本步骤，能利用图像将题目中所给的条件转化为数学表达式. 下面介绍五种求解曲线方程的方法.求轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、转移法（或称代入法）、参数法.一、直接法建立适当的坐标系后，设动点为),(y x P ，根据几何条件直接寻求y x ,之间的关系，其一般步骤为：（1）建立坐标系（选取原点位置及坐标轴的方位）；（2）设动点坐标为),(y x P ；（3）依据题意找出等量关系，列出方程；（4）化简方程，并讨论取值范围，说明轨迹曲线特征.【例1】已知两点)0,3(-A ，)0,3(B ，动点M 与A 、B 的连线的斜率之积是32，则点M 的轨迹方程为 .讲解：设点M 的坐标为),(y x ，点M 属于集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅=32|MB MA k k M P . 由经过两点的直线的斜率公式，得3233=-⋅+x y x y ，化简，整理得)3(0183222±≠=--x y x . 此即为所求的轨迹方程.练习1：已知两定点)0,1(-A ，)0,2(B ，动点P 满足21||||=PB PA ，求P 点的轨迹方程. 答案：4)2(22=++y x .二、定义法如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的定义，建立动点的方程，化简整理即得轨迹方程.【例2】一动圆过定点)0,2(-A 且与定圆12)2(22=+-y x 相切. 求动圆圆心C 的轨迹M 的方程.解：设动圆与定圆的切点为T ，定圆的圆心为B ，由题意知动圆内切于定圆，则22||32||||||||||=>==+=+AB BT CT CB CB CA ，∴点C 的轨迹方程是以A 、B 为焦点的椭圆， 则322=a ，222=c . 3=∴a ，2=c . 12=∴b .∴动圆圆心C 的轨迹M 的方程为1322=+y x . 练习2：ABC ∆中，已知的方程)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 21sin sin =-，则点C 的轨迹方程是（ ） 1124.22=+y x A )0(1124.22<=-x y x B )0(1124.22<=+x y x C )0(14_12.22<=x y x D 答案：B .三、待定系数法当已知动点的轨迹方程是所学过的曲线，如：直线、圆、圆锥曲线等，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程，其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.【例3】已知二次函数)(x f 同时满足条件：（1）)1()1(x f x f -=+；（2）)(x f 的最大值为15；（3）0)(=x f 的两根的立方和等于17，求)(x f 的解析式.解：由已知，可设)0(15)1()(2<+-=a x a x f ，即152)(2++-=a ax ax x f ，设方程01522=++-a ax ax 的两根分别为21,x x ，由韦达定理得221=+x x ，ax x 15121+=⋅.而aa x x x x x x x x 902151232)(3)(321213213231-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯-=+-+=+， 17902=-∴a，6-=∴a . 9126)(2++-=∴x x x f .练习3：已知函数)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(且)(x f 在区间]4,1[-上的最大值是12. 求)(x f 的解析式.答案：)(102)(2R x x x x f ∈-=.四、转移法（或称代入法）若已知动点),(1βαP 在曲线0),(:11=y x f C 上移动，动点),(y x P 依动点1P 而动，它满足关系：（1）⎩⎨⎧==),(),(βαβαy y x x 则关于βα,反解方程组（1）得 （2）⎩⎨⎧==),(),(y x h y x g βα 代入曲线方程0),(1=y x f ，即可得动点P 的轨迹方程0),(:=y x f C .【例4】已知直线134:=+y x l ，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，求把有向线段AB 分成的比2=λ的动点P 的轨迹方程.解：设),(00y x M ，),(y x P ，则)0,(0x A ，),0(0y B ，点P 分有向线段AB 分成的比2=λ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.233,2120,2100000y y x x y y x x 又 )23,3(y x M 在直线134:=+y x l 上， ∴132343=+y x ，即0423=-+y x .练习4：求曲线x y 42=关于点)3,1(M 对称的曲线方程.答案：)2(4)6(2x y -=-.五、参数法当动点),(y x P 中坐标y x ,之间的关系直接找不出时，可设动点),(y x P 满足关于参数t 的方程组⎩⎨⎧==)()(t y y t x x （t 是参数），则由方程消去参数t ，即求得动点),(y x P 的普通方程：0),(=y x f .【例5】设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：动点P 的轨迹方程.解：线l 过点)1,0(M ，设其斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .设),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得：032)4(22=-++kx x k ， 由韦达定理得：22142k k x x +-=+ ∴22148k y y +=+ 于是，)44,4()2,2()(21222121kk k y y x x OB OA OP ++-=++=+=. 设点P 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2244,4k y k k x消去参数k 得0422=-+y y x .当斜率不存在时，A 、B 中点为坐标原点)0,0(，也满足上式，所以点P 的轨迹方程为0422=-+y y x .练习5：已知抛物线x y C 4:2=，O 为原点，动直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于A 、B 两点，求满足+=的点M 的轨迹方程.答案：)2(842>+=x x y .参考文献：[1] 任志鸿《十年高考分类解析与应试策略》南方出版社2006年7月第2版[2] 曲一线《高中习题化知识清单数学》首都师范大学出版社2007年5月第3版[3] 曲一线《5年高考3年模拟》（2009B版）首都师范大学出版社2007年7月第1版[4] 贾鸿玉《高考绿色通道数学》中国致公出版社2007年3月第6版[5] 全日制普通高级中学教科书《数学》第二册（必修）人民教育出版2006年11月第2版。
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答案：x2＋y2－x－8＝0
定义法
定义法：若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则 可根据定义法直接设出所求方程，再确定系数求出动点的 轨迹方程．
[典例] (2017·唐山一模)已知圆O：x2＋y2 ＝4，点A( 3，0)，以线段AB为直径的圆内切于 圆O，记点B的轨迹为F.
(1)求曲线F的方程； (2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB 的方程． [解] (1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN，则 |OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A′，连接A′B，故 |A′B|＋|AB|＝2|OM|＋|MN|＝4. 所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a＝2，c＝ 3，b＝1，则曲线F的方程为x42＋y2＝1.
(2)因为B为CD的中点， 所以OB⊥ CD，则―O→B ⊥―A→B . 设B(x0，y0)，则―A→B ＝(x0－ 3，y0)． 由―O→B ·―A→B ＝0，得x0(x0－ 3)＋y20＝0. 又x420＋y20＝1，解得x0＝ 23，y0＝± 23. 则kOB＝± 22，kAB＝∓ 2， 则直线AB的方程为y＝± 2x－ 3， 即 2x－y－ 6＝0或 2x＋y－ 6＝0.
(2)当直线PN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝2或x＝－2. 显然与轨迹E相切．
当直线PN的斜率存在时，设PN的方程为y＝kx＋t(k≠0)． ∵直线PN与圆O相切，∴ k|2t＋| 1＝2，即t2－4k2－4＝0.
又∵直线MN的斜率为k2，点N的坐标为－kt ，0， ∴直线MN的方程为y＝k2x＋x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心 轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点 F(0,1)与点M(x，y)的距离为n. (1)求圆C的圆心轨迹L的方程； (2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程． 解：(1)两圆半径都为 1，两圆圆心分别为 C1(0，－4)，C2(0,2)， 由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直 平分线，C1C2 的中点为(0，－1)，直线 C1C2 的斜率不存在，故 圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线，直方程为 y＝－1， 即圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y＝－1.
高考研究课(四)
曲线与方程求解 3 方法——直接法、定义法、代入法
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
定义法求轨迹方程 5年1考
直接法求轨迹方程 5年2考 代入法求轨迹方程 未考查
考查角度 由圆与圆位置关系求动点
轨迹、求弦长 求中点的轨迹方程
直接法 直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，只需把 这种关系“翻译”成含 x，y 的等式，就得到曲线的轨迹方程. 由于这种求轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据 求解，所以称之为直接法.
三角形重心坐标关系可得x＝x0－31＋1， y＝y30.
即xy00＝＝33yx.，
代入x420＋y320＝1得重心G的轨迹方程为94x2＋3y2＝1(y≠0)．答案：C
1．(2014·全国卷Ⅰ)已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与 圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点． (1)求 M 的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16， 所以圆心为C(0,4)，半径为4. 设M(x，y)，则―CM→＝(x，y－4)，―M→P ＝(2－x,2－y)． 由题设知―CM→·―M→P ＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部， 所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即xy＝＝λ31λ＋1－3λλ22，，
解得λλ12＝ ＝y3＋y11－003xx， ，
又 λ1＋λ2＝1，所以y＋103x＋3y1－0 x＝1，
即 x＋2y＝5，所以点 C 的轨迹为直线，故选 A. [答案] A
(2)在直角坐标平面 xOy 中，过定点(0,1)的直线 l 与圆 x2＋y2＝4 交 于 A，B 两点．若动点 P(x，y)满足―O→P ＝―O→A ＋―O→B ，则点 P 的轨 迹方程为________________． [解析] 设 AB 的中点为 M， 则―OM→＝12(―O→A ＋―O→B )＝12―O→P ， Mx2，2y.又因为 OM⊥AB，―A→B 的方向向量为x2，2y－1， ―OM→＝x2，2y，所以x2，2y－1·x2，2y＝0，即 x2＋y(y－2)＝0， 整理得点 P 的轨迹方程为 x2＋(y－1)2＝1. [答案] x2＋(y－1)2＝1
2．(2016·全国丙卷)已知抛物线 C：y2＝2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条 直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)． 当AB与x轴不垂直时， 由kAB＝kDE可得a＋2 b＝x－y 1(x≠1)． 而a＋2 b＝y，所以y2＝x－1(x≠1)． 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)， 满足方程y2＝x－1. 所以所求的轨迹方程为y2＝x－1.
[典例] (1)(2017·津南一模)平面直角坐标系中 ， 已知两点
A(3,1)，B(－1,3)，若点 C 满足―O→C ＝λ1―O→A ＋λ2―O→B (O 为原点)，
其中 λ1，λ2∈R，且 λ1＋λ2＝1，则点 C 的轨迹是
()
A．直线 B．椭圆
C．圆
D．双曲线
[解析] 设 C(x，y)，因为―O→C ＝λ1―O→A ＋λ2―O→B ，
(2016·全国丙卷)已知抛物线 C：y2＝2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条 直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．
解：设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)， 则 S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－2 b|. 由题意可得|b－a|x1－12＝|a－2 b|， 所以 x1＝1 或 x1＝0(舍去)．
解：由题意知 F12，0，设直线 l1 的方程为 y＝a， 直线 l2 的方程为 y＝b，则 ab≠0，且 Aa22，a，Bb22，b，P－12，a， Q－12，b，R－12，a＋2 b.记过 A，B 两点的直线为 l， 则 l 的方程为 2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1＋ab＝0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1＝1a＋－ab2＝aa2－－abb＝1a＝－aab＝－b＝－b－12－012＝k2.所以 AR∥FQ.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心， 2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上， 又P在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3， 所以l的斜率为－13， 故l的方程为y＝－13x＋83. 又|OM|＝|OP|＝2 2，O到l的距离为4 510， |PM|＝4 510，所以△POM的面积为156.
[典例] 在圆O：x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂 线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．
(1)当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程； (2)若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与 轨迹E的位置关系． [解] (1)设M(x，y)，则P(x,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋(2y)2＝4， 即点M的轨迹E的方程为x42＋y2＝1.
[即时训练]
已知点A(－2,0)，B(3,0)，若动点P满足
―→ PA
―→ ·PB
＝2，则动点P
的轨迹方程为________． 解析：设点P的坐标为(x，y)，则―PA→＝(－2－x，－y，)
―→ PB
＝(3－x，－y)．由
―→ PA
―→ ·PB
＝2，得(－2－x)(3－x)＋y2＝
2，整理得动点P的轨迹方程为x2＋y2－x－8＝0.
已知圆 C 与两圆 x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1 外切，圆 C 的圆 心轨迹方程为 L，设 L 上的点与点 M(x，y)的距离的最小值为 m， 点 F(0,1)与点 M(x，y)的距离为 n. (2)求满足条件 m＝n 的点 M 的轨迹 Q 的方程．
解：因为 m＝n，所以 M(x，y)到直线 y＝－1 的距离与到点 F(0,1)的距离相等，故点 M 的轨迹 Q 是以 y＝－1 为准线， 点 F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，从而p2＝1，即 p＝2， 所以轨迹 Q 的方程是 x2＝4y.
由yx4＝2＋12y2k＝x＋1，t，
得(1＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.
∵Δ＝(2kt)2－4(1＋k2)(t2－4)＝－4(t2－4k2－4)＝0，
∴直线MN与轨迹E相切．综上可知，直线MN与轨迹E相切．
[方法技巧] 代入法求轨迹方程的4个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)． (2)寻求与所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的 关系． (3)建立P，Q两坐标的关系表示出x′，y′. (4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
[即时训练] 已知F1，F2分别为椭圆C：x42＋y32＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的
动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为
()
A．3x62＋2y72 ＝1(y≠0)