第六章 二自由度系统的振动分析
《自由度系统的振动》课件
4
自由度系统的受迫振动
研究自由度系统在外力作用下的受迫振动，包括共振和谐振现象。
多自由度系统的振动
多自由度系统的模型
介绍多自由度系统的建模方法，了解多个振 动自由度是如何相互关联的。
自由度系统的本征振动
研究多自由度系统的本征振动模态，解析系 统在每个振动频率上的振型和振幅。
自由度之间的耦合
讨论多自由度系统中自由度之间的耦合效应， 以及它们对系统振动特性的影响。
单自由度系统的振动
1
单自由度系统的模型
学习如何建立单自由度系统的数学模型，该模型描述了系统的运动和其物理特性。
2
自由度系统的简谐振动
研究单自由度系统在无阻尼情况下的简谐振动，其产生的周期性运动和特征。
3
自由度系统的阻Βιβλιοθήκη 振动了解自由度系统的阻尼振动，包括过阻尼、欠阻尼和临界阻尼，以及其对系统运动的 影响。
自由度系统的模态分析
学习如何进行自由度系统的模态分析，揭示 系统固有振动模态和特征频率。
应用实例
1 汽车悬挂系统的振动分析
探讨汽车悬挂系统的振动特性和分析方法，以提高车辆的稳定性和乘坐舒适度。
2 建筑物的应变振动分析
研究建筑物的应变振动，了解结构的固有频率和防震措施的重要性。
3 振动台模拟地震波
介绍振动台的工作原理和应用，以模拟地震波对结构物和产品的振动响应。
自由度系统的振动
本课件将介绍自由度系统的振动。通过深入讨论单自由度系统和多自由度系 统的模型和特性，帮助大家理解振动分析的意义和应用。
简介
什么是自由度系统
探索什么是自由度系统，它如何被定义，并且理 解为什么自由度是振动分析中的重要概念。
什么是振动
第6章 两自由度系统的振动
第六章 两自由度系统的振动§6.1 概述前一章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，有广泛的应用价值。
但在实际工程问题中，经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题。
因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究方法有质的不同。
但从两自由度系统到多自由度系统的振动，无论从模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等，却没有什么本质上的区别，而主要是量上的差别。
因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度系统的振动系统。
图6-1所示的磨床磨头系统为例来分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的、具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而砂轮架与进刀拖板的结合看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m 1是砂轮架的质量，k 1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m 2是砂轮及其主轴系统的质量，k 2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x 1及x 2分别作为各质量的独立坐标。
这样x 1及x 2就是用以确定磨头系统运动位置的两个彼此独立的参数，也就是这个振动系统的广义坐标。
1k 2k)(a )(b图6-1 两自由度系统及其动力学模型在多自由度系统中，阻尼的作用与在单自由度系统中的作用相同。
二自由度系统的振动
二自由度系统的振动1.概述在实际工程中，真正的单自由度振动是很少的，而是根据需要将被研究对象简化成单自由度系统来研究。
但是许多问题不能简化为单自由度系统，为满足工程精度上的需要，必须按多自由度系统来研究。
一般讲，三自由度以上的系统要得到闭合解是相当困难的。
在这种情况下，可以用坐标变换的方法，将描述实际问题的广义坐标用一组新的坐标来代替。
新坐标所描述的系统运动方程与实际系统是相同的，但用新坐标描述的系统微分方程之间已不存在耦合，称为各自独立的微分方程，就可以按单自由度系统的微分方程那样一一单独求解。
这种新坐标主坐标或模态坐标。
二自由度系统是最简单的多自由度振动系统，许多多自由度喜用的物理概念及解题思路可以从二自由度系统的分析中得到启迪，也是分析多自由度系统的基础。
二自由度振动系统的结构具有两个固有频率。
当系统按其中某一固有频率作自由振动时，称之为主振动。
主振动是简谐振动。
当发生主振动时，描述振动的两个独立变量与振幅之间有确定的比例关系，即两个振幅比决定了整个系统的振动形态，称之为主振型。
任意初始条件下的自由振动一般是这两个不同频率的主振动的叠加，其叠加后的振动不一定是简谐振动。
当外界激扰为简谐激扰时，系统对其响应是与激扰频率相同的简谐振动。
当激扰频率接近系统的任意一固有频率时，就会发生共振。
共振时的振型就是与固有频率相对应的主振型。
此时，喜用的两个振动的振幅都趋于最大值。
2.二自由度系统的运动方程图1所示为具有粘性阻尼的二自由度系统。
图1.二自由度系统模型对质量m1、m2绘分离体图，如图2所示。
图2.二自由度系统分析图用牛顿第二定律分别列分离体在水平方向方程得：整理得：由两个联立二阶常微分方程所描述的系统统称为二自由度系统。
上述方程可以方便的表示成矩阵形式。
常数矩阵[m]、[c]和[k]分别为质量、阻尼、刚度矩阵。
{x(t)}和{F(t)}分别称为二维位移向量和力向量。
可以将上述方程写成矩阵形式：对于同一系统当采用不同的独立坐标系来描述时，其[m]、[c]、[k]矩阵中的元素是不同的，但不影响系统的固有特性，系统的固有频率与坐标的选取无关，一定的系统固有频率是一定的。
两个自由度体系的自由振动
根据达朗伯原理，列平衡方程
y1 r1 0 m1 y2 r2 0 m2
(a)
r2 与结构的位移 y1 、 y2 之间 图10-30c中，结构所受的力 r1 、 满足刚度方程。
r1 k11 y1 k12 y2 r2 k 21 y1 k 22 y2
Y1 和 Y不全为零的解答，则： 2 k12 k11 2 m1 0 D 2 k22 m2 k21
(4-3a)
式(4-3a)称为频率方程或特征方程，可求频率。
将式（4-3a）展开：
Hale Waihona Puke (k11 m1 )(k22 m2 ) k12k21 0
2 2
2 2
（4-3b)
（4-2）
Y11 k12 Y21 k11 12 m1
（4-5a）
这个比值确定的振动形式：第一圆频率1相对应 的振型，称为第一振型或基本振型。 同样，由
第二振 型中质 点1的振 幅
2
得：
Y12 k12 2 Y22 k11 2 m1
第二振型中质 点2的振幅
（4-5b）
求出的两个振型分别如图10-31b、c
在一般情况下，两个自由振动体系的自由振动可 看作是两个频率及其主振型的组合振动，即，
方程（41）的全 解
y1 (t ) AY 1 11 sin(1t 1 ) A2Y 12 sin(2t 2 ) y2 (t ) AY 1 21 sin(1t 1 ) A2Y22 sin(2t 2 )
1
2
2 (11m1 22m2 ) (1122m1m2 1221m1m2 ) 0
(11m1 22 m2 ) (11m1 22 m2 ) 2 4(11 22 12 21 )m1m2 1 2 2
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利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析一、实验思想Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。
二、二自由度系统振动分析固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。
对于二自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。
主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。
系统作主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。
强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。
三、二自由度系统自由振动1.建立二自由度系统振动模型1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。
2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。
3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。
弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。
添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。
弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm)滑块质量分别为1.0 2.0滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-0072.模型展示3.运动仿真结果设置x10=12经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：4.matlab验证程序：k1=1000;k2=1000;k3=2000;m1=1;m2=2;a=(k1+k2)/m1;b=k2/m1;c=k2/m2;d=(k2+k3)/m2;[x1x2]=dsolve('D2x1+2000*x1-1000*x2=0','2*D2x2-1000*x1+3000*x2=0','x 1(0)=0.012','x2(0)=0','Dx1(0)=0','Dx2(0)=0','t')t1=0:0.01:2;;x1=subs(x1,'t',t1);x2=subs(x2,'t',t1);figureplot(t1,x1,'-');title('系统响应x(1)曲线');xlabel('时间/s');ylabel('位移/m');figureplot(t1,x2,'-');title('系统响应x（2）曲线');xlabel('时间/s');ylabel('位移/m');计算结果：5.结果分析存在差异的原因是Adams 仿真中并没有完全忽略摩擦力，而Matlab 计算时没有考虑摩擦，故存在差异，但是在允许范围内。
机械振动第6章-多自由度振动系统的数值方法
一、瑞利法 假设系统的主振型以估计固有频率，一般
只用于估计基频上限。
1. 第一瑞利商
KX MX
X T KX X T MX
X T KX X T MX
RI (X )
对精确振型，上式给出 精确的频率值，对假设 振型，上式给出固有频 率估值，一般用于估计 基频。（因高阶振型难
瑞利法：
2 n1
3EI (1 33
)ml
2.43(
EI ml 3
)
140
例
k
k1
k
m1
m2
m1 m2 m ， k1 ck
系统 1 m2 0
k
k1
k
m1
m2
系统 2： m1 0
k
k1
k
m1
m2
12
2 2
(k 2k1 )k (k k1 )m
1 2c 1 c
k m
有：
2 n1
12
2 2
- 0.802]T
ω
2 3
3.247
k m
， x3 [1, -1.247,
0.555]T
五、子空间迭代法
同时假定前 r 阶振型（矩阵迭代法是
每次假定一个振型）求解
运算步骤为
K 1Mxi i xi
1.
令 0 [10 , 20 r0 ]
2.
I K 1M
3. 解特征问题 K I a ω 2 M I a
展开det([D] I ) 0 有
n (D11 D22 L Dnn ) n1 L 0
从代数方程理论
n
i Dii trD
i 1
近似的
1
两自由度系统的振动
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比
自由度系统振动
03 自由度系统振动的特性分 析
固有频率与模态
固有频率
自由度系统振动的固有频率是指系统 在无外力作用下的振动频率，它决定 了系统振动的速度和幅度。
模态
模态是自由度系统振动的特定形式， 每个模态具有特定的固有频率和振动 形态。
阻尼与衰减
阻尼
阻尼是指自由度系统振动过程中能量的耗散，它使得振动逐 渐减弱并最终停止。
被动控制优点
被动控制具有结构简单、成本低、可靠性高等优点。它不 需要外部能源，因此节能且易于维护。
被动控制原理
被动控制通过增加系统的阻尼或改变系统刚度来减小振动 。这通常涉及使用特殊的阻尼材料或结构优化设计。
被动控制限制
被动控制的振动抑制能力相对较低，且其性能受限于所使 用的阻尼材料和结构。此外，它的响应速度较慢，可能无 法适应快速变化的振动环境。
VS
详细描述
在机械工程领域，自由度系统振动理论被 广泛应用于减震降噪。通过对机械设备进 行动力学分析和优化设计，可以有效降低 运转过程中产生的振动和噪音，提高设备 的稳定性和可靠性，延长使用寿命。
航空航天中的振动隔离
总结词
在航空航天领域，自由度系统振动理论用于 实现振动隔离，确保航天器和飞行器的安全 性和稳定性。
制造业
机床、生产线等制造业设备的 机械系统需要进行自由度系统 振动分析，以提高生产效率和
产品质量。
02 自由度系统振动的基本原 理
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化与作用力之间关系的定律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动状态的变化与作用力成正比，加速度的大小与作 用力成正比，方向与作用力相同。在振动问题中，牛顿第二定律用于描述系统 受到的力与产生的加速度之间的关系。
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1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
x1
••
x2
k1
0
0 k2
x1 x2
0 0
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
微分方程组：
Mu(t) Ku(t) 0 u(0) u0,u(0) u0
u1(0) u2 (0)
u10
u20
uu•• 12
(0) (0)
u•• 10
u 20
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。
简写为
Mu(t) Cu(t) Ku(t) f (t)
质量 矩阵
阻尼 刚度 矩阵 矩阵
加速度向量 速度向量 位移向量 激励向量
6.1 建立系统微分方程组
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12
m22
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
固有振动的初始条件
无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使 系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。
M
m1
0
0
m2
K
k11 k21
k12
k22
u1
k1
k2
m1
u2 k3 m2
由于单自由度无阻尼系统自由振动是简谐振动，所以可以设 想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。
由于系统有两个自有度，它们的各自运动未必有相同 的幅值，所以方程解的形式为：
其中，
uu((tt))为解sin的( 二t 维 )向def量，12φsin表( 示t 振幅) 的二频 但维率 振向、 幅量相 不。位 同相。 同 ，12
因此二自由度系统是本章的重要基础部分。
第六章：二自由度系统的振动
建立系统微分方程 无阻尼二自由度系统自由振动 固有频率和主振型
6.1 建立系统微分方程组
u1
u2
6.1.1 分离体受力分析方法-牛顿定律 k1
k2
k3
假设：u1 u2 u1 u2
c1
k1、c1拉伸；k2、c2压缩； k3、c3压缩
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将解的形式代入到方程组得到： sin( t )(K 2M ) 0
要使方程任意时刻成立，必须： (K 2M ) 0
即
k11 m12
k21
k22
k12
m22
12
0 0
为两个未知数的齐 次线性方程组。
要使方程组有非零解，则它 的系数行列式必须为零，即
m1m2
m1m2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为：
1 1211
2
1222
因此，二自由度无阻尼系统可能产生的振动为：
ur
(t)
r
sin(
rt
r
)
1r 2r
sin(
rt
r
)
（r =1,2）
每个根对应一种振动
说明，二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方 程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
k12 12m1
s2
def
12 22
k11
k12 22m1
定义向量
1
21
s1 1
2
22
s2 1
分别为第一、二阶固有振动的振型，简称固有振型。反映了 二自由度系统作固有振动时的形态。
无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的固有模态，因 此固有振型向量也称为模态向量。
1 2 n 为固有振型矩阵，为所有模态向量组成。
u2
k2(u1 u2 )
c2 (u1 u2 )
f2 m2
k3u2 c3u2
6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
k2 u1
k2
k3
u2
f1 f2
初始条件：
det
k11
m12
k21
k22
k12
m22
0
行列式展开得到：
(2 )2 ( k11 k22 )2 k11k22 k122 0
m1 m2
m1m2
可看作是关于ω2的二次方程，解得一对根为：
2 1,2
m1k22 m2k11 2m1m2
1 2
( m1k22 m2k11 ) 4(k11k22 k122)
二自由度微分方程组特点：
k2 u1
k2
k3
u2
f1 f2
1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C 不是常数，而是矩阵。
2、通常K，C矩阵不是对角阵，说明系统运动是关联的。这种运 动的关联称为耦合，是二自由度区别于单自由度的基本特征
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
12
0 0
线性方程组
k11 m12
k12
k21
k22
m22
特征矩阵
r r2
特征值（特征根）
12rr
（r
=1,2）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
s1
def
11 21
k11
f1 (k1 k2 )u1 k2u2 (c1 c2 )u1 c2u2 m1u1
m1u1 (c1 c2 )u1 c2u2 (k1 k2 )u1 k2u2 f1
m1 c2
m2 c3
u1
k1u1 c1u1
k2(u1 u2 )
f1 c2 (u1 u2 ) m1
f2 k2u1 (k2 k3)u2 (c2 c3)u2 c2u1 m2u2 m2u2 (c2 c3)u2 c2u1 k2u1 (k2 k3)u2 f2