江苏南京市盐城市2017届高三数学一模试卷含答案
江苏南京市盐城市2017届高三数学一模试卷（含答案）.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：，其中为底面积,为高；柱体体积公式：，其中为底面积,为高.样本数据的方差，其中.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则▲.2．设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为▲.3．已知样本数据的方差，则样本数据的方差为▲.4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是▲. 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为▲.6．已知实数满足，则的最小值是▲.7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为▲.8．设是等差数列，若，则▲.9．将函数的图象向右平移（）个单位后，所得函数为偶函数，则▲.10．将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是▲.11．在中，已知，，则的最大值为▲.12．如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点、，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是▲.13．在平面直角坐标系中，已知点为函数的图像与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点O，P，M，则的最大值为▲.14．在中，所对的边分别为，若，则面积的最大值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，，,分别是,的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面．16．(本小题满分14分)在中，,,分别为内角,,的对边，且．（1）求角；（2）若，求的值.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.18．(本小题满分16分)如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）19．(本小题满分16分)设函数，（）.（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：，）20．(本小题满分16分)若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差.设数列为“段比差数列”.（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.①当时，求；②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1：几何证明选讲）如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，分别交半圆于点.若，，，求的长.B.（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵的一个特征值对应的特征向量为，求与的值. C．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，已知直线为参数).现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点，求弦的长.D．(选修4-5：不等式选讲）若实数满足，求的最小值.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E(X).23．（本小题满分10分）设，，.（1）求值：①；②（）；（2）化简：.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.2.13.124.95.6.7.8.639.10.411.12.51213.14.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为,分别是,的中点，所以，.2分又因为在三棱柱中，，所以4分又平面，平面，所以∥平面6分（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以8分又，，所以，.10分又平面，且，所以平面12分又平面，所以平面平面．.14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明平面，类似给分）16．解：（1）由，根据正弦定理，得，…………2分因为，所以，…………4分又，所以.…………6分（2）因为，所以，所以，又，所以.…………8分又，即，所以………12分.…………14分17．解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距， (3)分所以，即，所以椭圆的方程为.……………6分（2）方法一：设，，，联立，消去，得，所以，又，所以，所以，，……………10分则.……………14分方法二：设，，，则，两式作差，得，又，，∴，∴，又，在直线上，∴，∴，①又在直线上，∴，②由①②可得，.……………10分以下同方法一.18．解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为，，所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，即，.2分则由，解得或（舍）.故太阳光线所在直线方程为，.5分令，得米米.所以此时能保证上述采光要求7分（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）9分故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得11分所以.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即．.10分由直线与半圆H相切，得．而点H(r，h)在直线的下方，则3r＋4h－100＜0，即，从而．.13分又.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大16分19．解：（1）当时，方程即为，去分母，得，解得或，……………2分故所求方程的根为或.……………4分（2）因为，所以（），……………6分①当时，由，解得；②当时，由，解得；③当时，由，解得；④当时，由，解得；⑤当时，由，解得.综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为……………10分（3）方法一：当时，，，所以单调递增，，，所以存在唯一，使得，即，.……………12分当时，，当时，，所以，记函数，则在上单调递增，.……………14分所以，即，由，且为整数，得，所以存在整数满足题意，且的最小值为……………16分方法二：当时，，所以，由得，当时，不等式有解，.……………12分下证：当时，恒成立，即证恒成立.显然当时，不等式恒成立，只需证明当时，恒成立.即证明.令，所以，由，得，.……………14分当，；当，；所以.所以当时，恒成立.综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为……………16分20．（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，，，.……………3分方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴，，，，，，，…∴当时，是周期为3的周期数列.∴.……………3分②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴，∴是以为首项、6为公差的等差数列，又，，……………6分，，设，则，又，当时，，；当时，，，∴，∴，……………9分∴，得.……………10分方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，∴，易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，，，………………6分以下同方法一.（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，，即恒成立，……………12分①若，则，；②若，则，则为常数，则，为偶数，，；经检验，满足条件的的通项公式为或.……………16分方法二：设的段长、段比、段差分别为、、，①若，则，，，，由，得；由，得，联立两式，得或，则或，经检验均合题意 (13)分②若，则，，，由，得，得，则，经检验适合题意.综上①②，满足条件的的通项公式为或 (16)分附加题答案21.A、解：由切割线定理得：则，解得，…………4分又因为是半圆的直径，故,…………6分则在三角形PDB中有.…………10分B、解：由题意得，…………4分则，…………8分解得，.…………10分C、解：直线为参数)化为普通方程为，…………2分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，…………4分则圆的圆心到直线l的距离为，…………6分所以.…………10分D、解：由柯西不等式，得，即，…………5分又因为，所以，当且仅当，即时取等号.综上，.…………10分22．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为.…………4分（2）由题意得，.…………6分所以X的概率分布表为：X012345P…………8分所以，X的数学期望为.…………10分23.解：（1）①.……………2分②.………………4分（2）方法一：由（1）可知当时.……………6分故.……………10分方法二：当时，由二项式定理，有，两边同乘以，得，两边对求导，得，……………6分两边再同乘以，得，两边再对求导，得.……………8分令，得，即.…………10分。
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={-1，0，1}，B=（-∞，0），则A∩B= ______ ．【答案】{-1}【解析】解：∵A={-1，0，1}，B=（-∞，0），∴A∩B={-1}，故答案为：{-1}由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为______ ．【答案】-1【解析】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为-1．故答案为-1．把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1-i．整理后可得复数z的虚部．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为______ ．【答案】12【解析】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．利用方差性质求解．本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是______ ．【答案】9【解析】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．模拟执行程序，即可得出结论．本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为______ ．【答案】【解析】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1-=．故答案为：．基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6.已知实数x，y满足＞，则的最小值是______ ．【答案】【解析】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7.设双曲线＞的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：双曲线＞的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8.设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ______ ．【答案】63【解析】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9.将函数的图象向右平移φ（＜＜）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ______ ．【答案】【解析】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x-φ）+]=3sin（2x+-2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则-2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=-+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．若所得函数为偶函数，则-2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是______ ．【答案】4【解析】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O-EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O-EFG体积的最大值．本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.在△ABC中，已知，，则的最大值为______ ．【答案】【解析】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是______ ．【答案】512【解析】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（-，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13.在平面直角坐标系x O y中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x-3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为______ ．【答案】【解析】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y-y0=（x-x0），即为x-y+y0-2=0；圆M：（x-3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0-3）（x-3）+yy0=r2，即有（x0-3）x+yy0+9-3x0-r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3-x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3-x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3-x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14.在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为______ ．【答案】【解析】解：由三角形面积公式可得：S=absin C，可得：S2=a2b2（1-cos2C）=a2b2[1-（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8-2c2，∴S2=a2b2[1-（）2]=a2b2[1-（）2]=a2b2-≤-=-+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，-+c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2-，进而利用基本不等式可求S2≤-=-+c，从而利用二次函数的性质可求最值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【答案】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【解析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csin B．（1）求角C；（2）若，求sin A的值．【答案】解：（1）由bsin2C=csin B，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C=sin C sin B，…（2分）因为sin B＞0，sin C＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，，所以，，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[-（B-）]…（12分）=．…（14分）【解析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sin B sin C cos C=sin C sin B，结合sin B＞0，sin C＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B-）的值，由于A=-（B-），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.在平面直角坐标系x O y中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆：（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（-1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2-2k2=1时，求k1•k2的值．【答案】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，所以，又2m2-2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【解析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【答案】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y-4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y-4b=0，由，解得b=h+2r或b=h-2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25-2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y-=-（x-30），即3x+4y-100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h-100＜0，即，从而h=25-2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【解析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25-2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+-3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h （x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【答案】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=或1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+-3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x-3）lnx，h′（x）=lnx-+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=-1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=-（x0+）+6，∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（1，2），∴h（x）不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【解析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+-3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足，，则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．【答案】（1）①方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2-b3n-1=（b3n+1+d）-b3n-1=（qb3n+d）-b3n-1=[q（b3n-1+d）+d]-b3n-1=2d=6，∴{b3n-1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n-2+b3n-1+b3n=（b3n-1-d）+b3n-1+（b3n-1+d）=3b3n-1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n-2+b3n-1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设∠，则λ≥（c n）max，又，当n=1时，3n2-2n-2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2-2n-2＞0，c n+1＜c n，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（c n）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3-b3n=b3n+3-b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{b n}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2-b km+1=d，即bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=-1，k为偶数，d=-2b，；经检验，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则b n=b或，经检验均合题意．…（13分）综上①②，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）【解析】（1）①方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒b n}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2-b3n-1=（b3n+1+d）-b3n-1=（qb3n+d）-b3n-1=[q（b3n-1+d）+d]-b3n-1=2d=6，⇒{b3n-1}是等差数列，又∵b3n-2+b3n-1+b3n=（b3n-1-d）+b3n-1+（b3n-1+d）=3b3n-1，即可求S3n方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3-b3n=b3n+3-b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2-b km+1=d，即bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=-1，k为偶数，d=-2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．21.如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【答案】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故∠，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【解析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【答案】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=-4．…（10分）【解析】推导出，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．23.在平面直角坐标系x O y中，已知直线：为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【答案】解：直线：为参数）化为普通方程为4x-3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【解析】直线：为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．24.若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【答案】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即，时取等号．综上，．…（10分）【解析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．25.某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【答案】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得～，，，，，，，，．…（6分）所以X的概率分布表为：…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【解析】（1）利用对立事件的概率关系求解；立重复试验，服从二项分布．本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26.设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①k C n k-n C n-1k-1；②k2C n k-n（n-1）C n-2k-2-n C n-1k-1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．【答案】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n-1）2n-2+3n（2n-1-1）+（2n-1-n）=2n-2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n-1x+n（n-1）（1+x）n-2x2+2n（1+x）n-1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n-1+n（n-1）2n-2+2n2n-1=，即=2n-2（n2+5n+4）．…（10分）【解析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n-1x+n（n-1）（1+x）n-2x2+2n（1+x）n-1x=．令x=1，即可得出．本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2017年南京盐城高三一模数学
密封线（这是边文，请据需要手工删加）2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学第页（共6页）（这是边文，请据需要手工删加）南京，盐城高三第一次模拟考试2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学（总分160分，考试时间120分钟）参考公式：锥体体积公式:1V= 3Sh,其中S为底面积，h为高；柱体体积公式:V= Sh,其中S为底面积，h为高.样本数据X1,1 nX2,…，X n的方差S2 3 4=门首（X i —X）2，其中X1二 =niG.」、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分•不需写出解答过程）1. ________________________________________________________ 已知集合A = { —1, 0, 1}, B= （—a, 0）,贝U A A B = ________________________________ .x>06. 已知实数x, y满足x+ y w 7，则丫的最小值是____________ .Xx+ 2 w 2yx27. 设双曲线p— y2= 1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30 °，则该双曲线的离心率为a8. 设｛a n｝是等差数列，若a4+ a5 + a6= 21,则S9 = __________ .n n9. 将函数y = 3sin 2x +石的图象向右平移0 0< $ <石个单位后，所得函数为偶函数，3 2贝y $= ________ .10. 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB = 3, BC = 2，圆柱上底面圆心2 设复数z满足z（1 + i）= 2,其中i为虚数单位，则z的虚部为___________ •3 已知样本数据X1, X2, X3, X4 , X5的方差s2= 3，则样本数据2x1, 2x2, 2x3, 2x4, 2x5的方差为_________ .4 如图是一个算法流程图，则输出的x的值是__________ .5. 在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为为O, △ EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是__________11. 在厶ABC中，已知AB = .3, C= nn，则CA • CB的最大值为___________ .312. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y = _3(x+ 1)上从左向右依次取点A k、B k, k= 1, 2,…，其中A1是坐标原点，使△ A k B k A k+1都是等边三角形，则△ A10B10A11 的边长是_________________ .13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y= 2ln x的图象与圆M：(x —3)2+ y2= r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y = f(x)的图象经过点O, P, M,贝U y=f(x)的最大值为__________ .14. ____________ 在厶ABC中，A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2+ b2+ 2c2= 8,则厶ABC面积的最大值为__ .二、解答题(本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B1C1中，BC丄AC , D, E分别是AB , AC的中点.(1) 求证：B1C1 //平面A1DE;(2) 求证：平面A1DE丄平面ACC 1A1.16. (本小题满分14分)在厶ABC中，a, b, c分别为内角A , B, C的对边，且bsin 2C= csin B.(1)求角C;n 3⑵若sin B— §= 5，求sin A的值.17. (本小题满分14分)2 2 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O: x2+ y2= b2经过椭圆E: x+ y2=1(0<b<2)的焦点.4 b(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 设直线I: y = kx + m交椭圆E于P, Q两点，T为弦PQ的中点，M( —1, 0), N(1 , 0)，记直线TM , TN的斜率分别为k1, k2，当2m2—2k2= 1时，求k1 • k2的值.18. (本小题满分16分)如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE = 30米•活动中心东西走向，与居民楼平行•从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆•为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太3阳光线与水平线的夹角B满足tan 0=-.4(1) 若设计AB = 18米，AD = 6米，问能否保证上述采光要求？(2) 在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中n取3)19. (本小题满分16分)a一i设函数f(x) = Inx, g(x) = ax+ ------ —3(a€ R).X(1) 当a= 2时，解关于x的方程g(e x) = 0(其中e为自然对数的底数);(2) 求函数$(x)= f(x) + g(x)的单调增区间；(3) 当a= 1时，记h(x) = f(x) g(x),是否存在整数入使得关于x的不等式2入》h(x)有解? 若存在，请求出入的最小值；若不存在，请说明理由(参考数据：In 2 〜0.693 1, In 3 〜1.098 6)20. (本小题满分16分)n *an+ d, k N，若存在常数k(k€ N , k>2)、q、d,使得无穷数列｛a n｝满足a n +1 = qa n, k € N*,则称数列｛a n｝为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差•设数列｛ b n｝为“段比差数列”.(1) 若｛b n｝的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3.①当q= 0时，求b2 016；②当q= 1时，设｛b n｝的前3n项和为Sn，若不等式S3n<入• 3厂对n € N*恒成立，求实数入的取值范围；(2) 设｛b n｝为等比数列，且首项为b,试写出所有满足条件的｛b n｝，并说明理由.(这是边文，请据需要手工删加)（这是边文，请据需要手工删加2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学附加题第页（共2页）（这是边文，请据需要手工删加）2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分.）A. （选修4—1:几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA, PB分别交半圆O于点D , C. 若AD = 2, PD = 4, PC = 3,求BD 的长.B. （选修4—2 :矩阵与变换）-2m 2 1设矩阵M = 的一个特征值入对应的特征向量为，求m与入的值.C. （选修4— 4 :坐标系与参数方程）x 轴非负半轴为极轴建立极坐标，设圆 C 的极坐标方程为 尸2cos B ，直线I 与圆C 交于A ,B 两点，求弦AB 的长.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I :X=5t（t 为参数）・现以坐标原点 O 为极点，以D. （选修4—5:不等式选讲）若实数x, y, z满足x+ 2y+ z= 1,求x2+ y2+ z2的最小值.【必做题】（第22、23题，每小题10分，计20分.）22. （本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）.23. (本小题满分10分)设n€ N*，n》3，k€ N*.(1) 求值：①ke n—nc n= 1;②k2e n—n(n—1)e n—2—n C§—i(k> 2);(2) 化简：12c n+22c n+ 32c n+…+(k+ 1)2c n+…+ (n+1)2e n.（这是边文，请据需要手工删加）2017届高三年级第一次模拟考试（一）数学参考答案第页（共4页）（南京，盐城市）（这是边文，请据需要手工删加）2017届高三年级第一次模拟考试（一）（南京，盐城市）数学参考答案一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，计70分. 5^31. { — 1}2. 13. 124. 95.6.-6 4 2 35n 39 2 5 7.号 8. 639.10. 4 11.12. 51213. § 14.十二、 解答：本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤. 15. 证明：（1）因为D , E 分别是AB , AC 的中点，所以DE // BC , （2分） 又因为在三棱柱 ABCA 1B 1C 1中，B 1C 1丄// BC ,所以B 1C 1 / DE.（4分） 又B 1C 1 平面 A 1DE , DE 平面A 1DE ,所以B 1C 1 /平面 A 1DE.（6分） （2）在直三棱柱 ABCA 1B 1C 1中，CC 1丄底面 ABC , 又DE 底面ABC ，所以CC 1丄DE.（8分）又 BC 丄 AC , DE // BC ,所以 DE 丄AC , （10 分）又 CC 1 , AC 平面 ACC 1A 1, 且 CC 1A AC = C ,所以 DE 丄平面 ACC 1A 1.（12 分） 又DE 平面A 1DE ，所以平面 A 1DE 丄平面ACC 1A.（14分）（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明 DE 丄平面ACC 1A 1,类似给分） 16. 解: （1）由 bsi n2C = csi nB ,根据正弦定理，得 2s in Bsi nCcosC = si nCsi nB , （2 分）1因为 sinB>0 , sinC>0,所以 cosC =夕（4 分）n又 C € （0, n ），所以 c =§.（6 分）n2 n⑵因为C =亍，所以B € 0, -3-,n所以B — — €3 又sin B —专"2 n . n — — _ _ —3 —B = sin[ 3 — （B — 3 ）] = sin 3 cos B — 3 — cos 3 sin B —3（12 分） 3 41 3 4 .'3 — 3n所以cos B -3cn1—sin2B —n4 八 =5.（82n3，2 n 即A =晋-B , 所以 sinA = sin4X _ —_X _= ----- （14 分）2 5 2 5 10 分）T(x o ,y o = kx o + m ,②2 kmm 八由①②可得X o =— 1十2k 2, yo = 1十2k 2.(10分) 以下同方法一.18. 解：如图所示，以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.17.解：⑴ 因为0<b<2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上， 又圆O : x 2 + y 2= b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c = b , （32 2所以2b 2= 4,即b 2= 2,所以椭圆E 的方程为X4 +牙=1.（6分） (2)方法一：设 P(X 1, y 1), Q(X 2, y 2), T(x o , y o ),x 2亡彳 —+ 1联立 4 2'消去 y ,得(1 + 2k 2)x 2 + 4kmx + 2m 2— 4= 0,y = kx + m , 4km 所以 X1 + X =— 1 + 2k ,2k又 2m 2— 2k 2= 1，所以 X 1 + X 2=——,m所以 X o =— m , y o = m — k m = 2m , (10 分) 丄“ 2m 贝 H k 1 - k 2= k—-十11 2mk — 4k 2— 4m 2— — 2 (2m 2— 2k 2) —1夕（14分）方法二：设 P (X 1, y 1), Q(X 2, y 2), T(x o , y o )，则 x 2 y 2+匚=1 4十2 , 2 2 两式作差，得 X 2 V 2 , _十丄=1,(X 1+ X 2)( X 1 — X 2) , (y 1+ y 2)( y 1 — y 2): 十一 =0,4 又 X 1 + X 2= 2x o , y 1 + y 2 = 2y o ,x o ( X 1 — X 2) 所以+ y o (y 1 — y 2)=所以X o y o (y 1 — y 2) 3+ = 0,X 1 — X 2 又点 P(X 1,y 1 ——y 2y 1), Q(X 2, y 2)在直线 y = kx + m 上，所以 =k ,X — X所以 X o + 2ky o = 0,又点 所以 y o )在直线y = kx + m 上,（1）因为AB = 18, AD = 6,所以半圆的圆心为 H （9, 6），半径r = 9•设太阳光线所在直线3方程为y =—+ b ,即 3x + 4y — 4b = 0, （2 分） 则由 |27+24—4b|=9,3 解得b = 24或b = 2（舍）.3故太阳光线所在直线方程为y =— ]x + 24, （5分）令 x = 30,得 EG = 1.5 米＜2.5 米. 所以此时能保证上述采光要求.（7分）⑵ 设AD = h 米，AB = 2r 米，则半圆的圆心为H （r , h ），半径为r.3方法一：设太阳光线所在直线方程为y =—+ b ,|3r + 4h — 4b|解得 b = h + 2r 或 b = h — 2r （舍）.（9 分）3故太阳光线所在直线方程为y =— ]x + h + 2r ,455令 x = 30,得 EG = 2r + h ——，由 EG <鼻，得 h <25 — 2r.（11 分） 所以 S = 2rh + 1 n r 2= 2rh + 3x r 2< 2r （25 — 2r ） + 3 x r 22 2 2当且仅当r = 10时取等号.10）2+ 250 w 250.所以当AB = 20米且AD = 5米时，可使得活动中心的截面面积最大. （16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长 EG 恰为2.5米，则此时点 G 为（30,2.5），5 3设过点G 的上述太阳光线为 h,贝y l i 所在直线方程为y — 2= — N （x — 30）, 即 3x + 4y — 100 = 0, (10 分)|3r + 4h — 100| 由直线11与半圆H 相切，得r = .5而点H(r , h)在直线11的下方，贝U 3r + 4h — 100<0 ,即r =-3r + 4h — 100，从而 h = 25 — 2r.(13 分) 51355又 S = 2rh + 尹 r 2 = 2r(25 — 2r) +1 x P=—刖2+ 50r =—号(r — 10)2+ 250w 250. 当且仅当r = 10时取等号.所以当AB = 20米且AD = 5米时，可使得活动中心的截面面积最大. （16分）119.解：(1)当a = 2时，方程g(e x ) = 0即为2e x + ~x — 3= 0,去分母，得 e12(e x )2— 3e x+ 1 = 0，解得 e x= 1 或 e x= ?, (2 分)故所求方程的根为 x = 0或x =— In2.（4分）a 一 1(2)因为 «x) = f(x) + g(x) = lnx + ax + — — 3(x>0), x① 当a = 0时，由$（x ）>0,解得x>0; ② 当a>1时，由$（x ）>0，解得x>a 一 a③ 当0<a<1时，由$（x ）>0，解得x>0; ④ 当a = 1时，由$（x ）>0 ,解得x>0;当0w a < 1时，0 （x ）的增区间为（0,+^ ）; a 一 1当a>1时，0 （x ）的增区间为 --- ，+^ .（10分）a⑶ 方法一：当 a = 1 时，g(x) = x — 3, h(x) = (x — 3)lnx ,所以 h'(x) = lnx + 1 — 3单调递增,h ' 2 = ln 3 + 1 — 2<0, h ' (2) = ln2+ 1 — 3>0,x 22 2a — 1 ax 2 + x —( a — 1) [ax —( a — 1) ] (x + 1) x 2 (x>0) , (6 分)⑤当a<0时，由$(x)> 0 ,解得 0<x< a —1 a综上所述，当a<0时，© （x ）的增区间为 0,a —193 3所以存在唯一 x o € , 2，使得 h'(x o )= 0，即 inx o + 1 - — = 0, (12 分)X 09 — 记函数r(x) = 6 — x + -，贝U r(x)在—,2上单调递增，(14分)x 2 所以 r 3 <h(X 0)<r(2)， 3 1即 h(X 0) € —2，— 2 ,3 由2X>— 3■，且入为整数，得入》0,所以存在整数 入满足题意，且 入的最小值为0.(16分) 方法二：当 a = 1 时，g(x) = x — 3，所以 h(x) = (x — 3)lnx , 由h(1) = 0得，当入=0时，不等式2X>h(x)有解，(12分)下证：当 入w — 1时，h(x) >2入恒成立，即证(x — 2)lnx> — 2恒成立. 显然当x € (0, 1] U [3 ,+^ )时，不等式恒成立，只需证明当x € (1, 3)时，(x — 3)lnx> — 2恒成立. 2 2即证明 lnx + <0.令 m(x) = lnx + :,x —3 x — 3当 x € (0, x o )时，h ' (x)<0，当 x € (x o ,+8 )时, — 所以 h(x)min = h(x o )= (x o — —)lnx o = (x o -3) •_ — 1h ' (x)>0 , = 6 —Xx 0+ x 0S 3n = (b l + b 2+ b 3)+ (b 4 + b 5+ b 6)+ •••+ (b 3n — 2+ b 3n — 1 + b 3n )T S 3n W 入・ 3n 1 ,. 3—' WA.,设 C n = 37—!，则入》(C n )max ,3n3n —1当 n = 1 时，3n 2—2n — 2<0, C i <c 2；当 n 》2 时,C i <C 2>C 3> •••,.•• (C n )max = C 2= 14, (9分).入》14,得入€ [14 ,+s ）. （10 分）方法二：••• ｛b n ｝的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、1、3, .b 3n +1 = b 3n ,b 3n + 3 — b 3n = b 3n + 3— b 3n + 1 = 2d = 6 , . ｛b 3n ｝是首项为 b 3=7、公差为 6 的等差数列，易知｛b n ｝中删掉｛b 3n ｝的项后按原来的顺序构成一个首项为 1，公差为3的等差数列,S 3n = (3n 2+ 4n)+(6n 2 — n) = 9n 2+ 3n , (6 分) 以下同方法一.(2)方法一：设｛b n ｝的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ,b k +1一则等比数列｛b n ｝的公比为 —=q ,由等比数列的通项公式有b n = bq n —1,当 m € N *时,b km + 2— b km+1= d ，即 bq km +1 — bq km = bq km (q — 1) = d 恒成立,(12 分) ① 若 q = 1,则 d = 0, b n = b ; ② 若q z 1,则q km = - ，则q km 为常数，则q =— 1, k 为偶数，d = — 2b , b n =(— (q — I 丿 b'1)n —1b ;经检验，满足条件的｛b n ｝的通项公式为b n = b 或b n = ( — 1)广％.(16分) 方法二：设｛b n ｝的段长、段比、段差分别为 k 、q 、d ,① 若 k = 2,贝V b 1 = b , b 2 = b + d , b 3= (b + d)q , b 4= (b + d)q + d , 由 b 1b 3 = b 2, 得 b + d = bq ; 由 b 2b 4= b 3, 得 (b + d)q 2= (b + d)q + d ,d = 0, d =— 2b ,一_联立两式，得或则b n = b 或b n = (— 1)n %,经检验均合题意.(13分)q = 1 q =— 1,② 若 k 》3,贝V b 1 = b , b 2 = b + d , b 3= b + 2d ,由 b 1b 3 = b 2, 得 (b + d)2= b(b + 2d)，得 d = 0,则 b n = b ，经检验适合题意.=3(b 2+ b 5+ — + b 3n-1) = 3[4 n +n (n — 1)2x 6] = 9n 2+ 3n , (6 分) 亍 9(n + 1) 2+ 3 (n + 1) 9n 2+ 3n — 2 (3n 2—2n — 2)又 C n + 1 一 C n3n n —13n 2—2n — 2>0, C n + 1<c n ,b 3+ b 6+ — + b 3n = 7n +n (n —1) x 6= 3n 2 + 4n , b 1+ b 2+ b 4+ b 5+ — + b 3n — 2+ b 3n —1= 2n x 1 +2n (2n — 1)2x 3 = 6n 2 — n ,综上①②，满足条件的｛b n｝的通项公式为b n= b或b n= （—1）甘％.（16分）附加题21. A.解：由切割线定理得：PD PA= PC PB,则4X （2 + 4）= 3X （3 + BC），解得BC = 5, （4 分）n又因为AB是半圆0的直径，故/ ADB = y.（6分）则在三角形PDB 中有BD = PB2-PD2= 64- 16= 4 3.（10 分）m 2B. 解:由题意得2 - 3m—4=入2 + 6=- 2 人（8分）解得m= 0,入=一 4.（10分）C.解：直线I:3X= 5t（t为参数）化为普通方程为4 y=4t4x- 3y= 0, （2 分）圆C的极坐标方程p= 2cos B化为直角坐标方程为（x- 1）2+ y2= 1, （4分）则圆C的圆心到直线l的距离为d=——2⑷2= £（6分）^42+（- 3） 2 5所以AB= 2 1 -d2=轨0分）D.解：由柯西不等式，得（x+ 2y+ z）2w（1 2+ 22+ 仔）（/ + y2+ z2）,即x+ 2y+ z w 12+ 22+ 12- x2+ y2+ z2, （5 分）1又因为x + 2y+ z= 1,所以x2+ y2+ z2》1,6当且仅当1= 2= 1，即x= z=1 y= 1时取等号1综上，（x2+ y2+ z2）min =3 222.解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P= 1 -拦 =2.（4 分）1 1 （2）由题意得X 〜B 5, 3 , P（X = k）= C5 5- k,k= 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5.（6 分）（8分）所以X的概率分布表为:1 5所以，X 的数学期望为E(X) = 5X -=“10分)(2)方法一：由(1)可知当 k >2 时(k + 1)2c n = (k 2 + 2k + 1)C n = k 2C + 2kC n + C = [n(n —1) C n —2+ nc n — 1] + 2n 况—1+ c n = n(n — 1)/— 2+ 3nM —1 + C«(6 分) 故 12c n + 22C + 32c n +…+ (k + 1)2c n +…+ (n + 1)2c n = (12C 0+ 22c n )+ n(n — 1)(C 0-2 + c n -2+・・・+ c n —X) + 3n (C 1-1 + C 2-1 +…+ C 匸1) + (c n + c n + …+ c n )= (1 + 4n) + n(n — 1)2n —2 + 3n(2n —1— 1) + (2n — 1 — n) = 2n —2(n 2+ 5n + 4). (10 分) 方法二：当 n >3 时，由二项式定理，有(1 + x)n = 1 + C 1x + C 2x 2+…+ Cx k +…+ C n x n , 两边同乘以 x ，得(1 + x)n x = x + C 1x 2+ Cx 3+…+ C n x k +1+ C R x n +1, 两边对 x 求导，得(1 + x)n + n(1 + x)n —1x = 1 + 2C l x + 3C 2x 2+…+ (k + 1)血"+…+ (n + 1)C n x n , (6 分)两边再同乘以X ,得(1 + x)n x + n(1 + x)n — 1x 2= x + 2C ；x 2+ 3C ?x 3 + …+ (k + 1)浓+1 + •••+ (n + 1)Cx n +1, 两边再对 x 求导，得(1 + x)n + n(1 + x)n — 1x + n(n —1)(1 + x)n —2x 2+ 2n(1 + x)n —1x = 1 + 22C 1x + 32Cx 2+…+ (k + 1)2c n x k +…+ (n + 1)2C S x n .(8 分)令 x = 1，得 2n + n2n — 1 + n(n — 1)2n —2 + 2n2n —1= 1 + 22C n + 32C n + -+ (k + 1)2c n +-+ (n + 1)2C R ,即 12c n + 22C 1+ 32C 2+…+ (k + 1)2c n +…+ (n + 1)2C R = 2n —2(n 2 + 5n + 4). (10 分)23.解: (1) kC n — nC n ~ 1 = k x n !k ! ( n —k )! (n — 1)! (k — 1)!__( n — k )! n ! (k — 1)!__( n — k )! n ! (k — 1)!__( n — k )!=0.(2 分) ② k 2c n — n(n — 1)c n -2— nC n — 1 = k 2 x 订 n ! (n — k )!n(n — 1) x (n — 2)! (k — 2)!__( n — k )! (n — 1)!(k — 1)!__( n — k )! n ! n ! n !n ! k — 11 2 x2—8x + 9 l所以m(x) = ；-(x —3)2= x(x —3)2，由m' (x) = 0，得x= 4 —箭,(14 分) 当x€ (1 , 4- 7), m' (x)>0 ;当x € (4- 7, 3), m (x)<0 ;所以m max(x) = m(4 —, 7)= ln(4 - . 7) —；〔<1 n(4-2) -2^ = ln2- 1<0. 所以当入W- 1时，h(x)>2入恒成立.综上所述，存在整数入满足题意，且入的最小值为0.(16分)20. (1)①方法一：••• {b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3,二b2 014= 0X b2 013 = 0,「. b2 015= b2 014+ 3 = 3,b2 016= b2 015 + 3 = 6.(3 分)方法二：••• ｛b n｝的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3,b1 = 1, b2= 4, b3= 7, b4= 0x b3= 0, b5= b4+ 3 = 3, b6= b5 + 3= 6, b7= 0 x b6= 0…•••当n>4时，｛b n｝是周期为3的周期数列.b2 016= b6= 6.(3 分)②方法一：••• ｛b n｝的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3,• b3n + 2—b3n —1 = (b3n + 1 + d) —b3nT= (qb3n+ d) —b3n—1 = [q(b3n—1 + d) + d] —b3n-1 = 2d = 6, •- ｛b3n-1｝是以b2= 4为首项、6为公差的等差数列，又T b3n—2+ b3n —1 + b3n= (b3n —1—d) + b3n—1 + (b3n—1 + d) = 3b3n —1 ,。
2017年南京盐城高中三年级一模数学
密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学2017届高三年级第一次模拟考试(一)·数学 第页(共6页)(这是边文，请据需要手工删加)，高三第一次模拟考试2017届高三年级第一次模拟考试(一) 数学(总分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高；柱体体积公式：V ＝Sh ，其中S 为底面积，h 为高． 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n ∑ni ＝1x i.一、 填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程)1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________.2. 设复数z 满足z(1＋i )＝2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________．3. 已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差s 2＝3，则样本数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差为________.4. 如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是________.5. 在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．6. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x>0x ＋y ≤7x ＋2≤2y，则yx的最小值是________．7. 设双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________．8. 设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.9. 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________．10. 将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是________．11. 在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________.12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k 、B k ，k ＝1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y ＝2ln x 的图象与圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y ＝f(x)的图象经过点O ，P ，M ，则y ＝f(x)的最大值为________.14. 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为________.二、 解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点. (1) 求证：B 1C 1∥平面A 1DE ；(2) 求证：平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B. (1) 求角C ；(2) 若sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝35，求sin A 的值.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(0<b<2)的焦点.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M(－1，0)，N(1，0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太线与水平线的夹角θ满足tanθ＝3 4.(1) 若设计AB＝18米，AD＝6米，问能否保证上述采光要求？(2) 在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋a－1x－3(a∈R).(1) 当a＝2时，解关于x的方程g(e x)＝0(其中e为自然对数的底数)；(2) 求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的单调增区间；(3) 当a＝1时，记h(x)＝f(x)·g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6)若存在常数k (k ∈N *，k ≥2)、q 、d ，使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋d ，nkN *，qa n， nk ∈N *，则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．(1) 若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当q ＝0时，求b 2 016；②当q ＝1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式S 3n ≤λ·3n －1对n ∈N *恒成立，数λ的取值围；(2)设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由.密封线(这是边文，请据需要手工删加)密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学 2017届高三年级第一次模拟考试(一)·数学附加题 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】(在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．) A. (选修4—1：几何证明选讲)如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，P A ，PB 分别交半圆O 于点D ，C .若AD ＝2，PD ＝4，PC ＝3，求BD 的长.B. (选修4—2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22 －3的一个特征值λ对应的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求m 与λ的值．C. (选修4—4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝35ty ＝45t(t 为参数)．现以坐标原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．D. (选修4—5：不等式选讲)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】(第22、23题，每小题10分，计20分．) 22. (本小题满分10分)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1) 求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2) 设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E (X )．23. (本小题满分10分)设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *. (1) 求值：①k C k n －n C k －1n －1；②k 2C k n －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1(k ≥2)；(2) 化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n ＋1)2C n n .(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)(，市)数学参考答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分． 1. {－1} 2. 1 3. 12 4. 9 5. 56 6. 347.233 8. 63 9. 5π12 10. 4 11. 32 12. 512 13. 98 14. 255二、 解答：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. 证明：(1) 因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC ，(2分) 又因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，B 1C 1⊥∥BC ，所以B 1C 1∥DE.(4分) 又B 1C 1平面A 1DE ，DE平面A 1DE ，所以B 1C 1∥平面A 1DE.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ， 又DE底面ABC ，所以CC 1⊥DE.(8分)又BC ⊥AC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ，(10分) 又CC 1，AC 平面ACC 1A 1，且CC 1∩AC ＝C ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.(12分)又DE平面A 1DE ，所以平面A 1DE ⊥平面ACC 1A.(14分)(注：第(2)小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面ACC 1A 1，类似给分) 16. 解：(1) 由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ，(2分) 因为sin B>0，sin C>0，所以cos C ＝12，(4分)又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(6分)(2) 因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3， 又sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫B －π3＝45.(8分)又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin [π3－(B －π3)]＝sin π3cos ⎝⎛⎭⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3(12分)＝32×45－12×35＝43－310.(14分)17. 解：(1) 因为0<b<2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，(3分) 所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(6分)(2) 方法一：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，T(x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2km ，所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k·k m ＝12m，(10分)则k 1·k 2＝12m －k m ＋1·12m －k m－1＝14k 2－4m 2＝1－2（2m 2－2k 2）＝－12.(14分)方法二：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，T(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差，得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， 所以x 0（x 1－x 2）2＋y 0(y 1－y 2)＝0，所以x 02＋y 0（y 1－y 2）x 1－x 2＝0，又点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在直线y ＝kx ＋m 上，所以y 1－y 2x 1－x 2＝k ，所以x 0＋2ky 0＝0，① 又点T(x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上， 所以y 0＝kx 0＋m ，②由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2，y 0＝m1＋2k 2.(10分) 以下同方法一．18. 解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．(1) 因为AB ＝18，AD ＝6，所以半圆的圆心为H(9，6)，半径r ＝9.设太线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0，(2分) 则由|27＋24－4b|32＋42＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)．故太线所在直线方程为y ＝－34x ＋24，(5分)令x ＝30，得EG ＝1.5米<2.5米． 所以此时能保证上述采光要求．(7分)(2) 设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H(r ，h)，半径为r. 方法一：设太线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0，由|3r ＋4h －4b|32＋42＝r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －2r(舍)．(9分) 故太线所在直线方程为y ＝－34x ＋h ＋2r ，令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452，由EG ≤52，得h ≤25－2r.(11分)所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r(25－2r)＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号．所以当AB ＝20米且AD ＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分)方法二：欲使活动中心部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30，2.5)， 设过点G 的上述太线为l 1，则l 1所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即3x ＋4y －100＝0，(10分)由直线l 1与半圆H 相切，得r ＝|3r ＋4h －100|5.而点H(r ，h)在直线l 1的下方，则3r ＋4h －100<0， 即r ＝－3r ＋4h －1005，从而h ＝25－2r.(13分)又S ＝2rh ＋12πr 2＝2r(25－2r)＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号．所以当AB ＝20米且AD ＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分) 19. 解：(1) 当a ＝2时，方程g(e x )＝0即为2e x ＋1e x －3＝0，去分母，得2(e x )2－3e x ＋1＝0，解得e x ＝1或e x ＝12，(2分)故所求方程的根为x ＝0或x ＝－ln 2.(4分)(2) 因为φ(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x ＋ax ＋a －1x－3(x>0)，所以φ′(x)＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x －（a －1）x 2＝[ax －（a －1）]（x ＋1）x 2(x>0)，(6分)①当a ＝0时，由φ′(x)>0，解得x>0； ②当a>1时，由φ′(x)>0，解得x>a －1a ；③当0<a<1时，由φ′(x)>0，解得x>0； ④当a ＝1时，由φ′(x)>0，解得x>0； ⑤当a<0时，由φ′(x)>0，解得0<x<a －1a .综上所述，当a<0时，φ(x)的增区间为⎝⎛⎭⎫0，a －1a ；当0≤a ≤1时，φ(x)的增区间为(0，＋∞)； 当a>1时，φ(x)的增区间为⎝⎛⎭⎫a －1a ，＋∞.(10分) (3) 方法一：当a ＝1时，g(x)＝x －3，h(x)＝(x －3)ln x ，所以h′(x)＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ′⎝⎛⎭⎫32＝ln 32＋1－2<0，h ′(2)＝ln 2＋1－32>0， 所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫32，2，使得h′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，(12分) 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x)<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x)>0，所以h(x)min ＝h(x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－3)·⎝⎛⎭⎫3x 0－1＝－（x 0－3）2x 0＝6－⎝⎛⎭⎫x 0＋9x 0， 记函数r(x)＝6－⎝⎛⎭⎫x ＋9x ，则r(x)在⎝⎛⎭⎫32，2上单调递增，(14分) 所以r ⎝⎛⎭⎫32<h(x 0)<r(2)， 即h(x 0)∈⎝⎛⎭⎫－32，－12， 由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.(16分) 方法二：当a ＝1时，g(x)＝x －3，所以h(x)＝(x －3)ln x ，由h(1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h(x)有解，(12分)下证：当λ≤－1时，h(x)>2λ恒成立，即证(x －2)ln x>－2恒成立． 显然当x ∈(0，1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立， 只需证明当x ∈(1，3)时，(x －3)ln x>－2恒成立．即证明ln x ＋2x －3<0.令m(x)＝ln x ＋2x －3，所以m′(x)＝1x －2（x －3）2＝x 2－8x ＋9x （x －3）2，由m ′(x)＝0，得x ＝4－7，(14分)当x ∈(1，4－7)，m ′(x)>0；当x ∈(4－7，3)，m′(x)<0； 所以m max (x)＝m(4－7)＝ln (4－7)－7＋13<ln (4－2)－2＋13＝ln 2－1<0. 所以当λ≤－1时，h(x)>2λ恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.(16分)20. (1) ①方法一：∵ {b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3， ∴ b 2 014＝0×b 2 013＝0，∴ b 2 015＝b 2 014＋3＝3， ∴ b 2 016＝b 2 015＋3＝6.(3分)方法二：∵ {b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴ b 1＝1，b 2＝4，b 3＝7，b 4＝0×b 3＝0，b 5＝b 4＋3＝3，b 6＝b 5＋3＝6，b 7＝0×b 6＝0… ∴ 当n ≥4时，{b n }是周期为3的周期数列． ∴ b 2 016＝b 6＝6.(3分)②方法一：∵ {b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴ b 3n ＋2－b 3n －1＝(b 3n ＋1＋d)－b 3n －1＝(qb 3n ＋d)－b 3n －1＝[q(b 3n －1＋d)＋d]－b 3n －1＝2d ＝6， ∴ {b 3n －1}是以b 2＝4为首项、6为公差的等差数列，又∵ b 3n －2＋b 3n －1＋b 3n ＝(b 3n －1－d)＋b 3n －1＋(b 3n －1＋d)＝3b 3n －1， ∴ S 3n ＝(b 1＋b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6)＋…＋(b 3n －2＋b 3n －1＋b 3n ) ＝3(b 2＋b 5＋…＋b 3n －1)＝3[4n ＋n （n －1）2×6]＝9n 2＋3n ，(6分)∵ S 3n ≤λ·3n －1，∴S 3n 3n －1≤λ，设c n ＝S 3n3n －1，则λ≥(c n )max ， 又c n ＋1－c n ＝9（n ＋1）2＋3（n ＋1）3n －9n 2＋3n 3n －1＝－2（3n 2－2n －2）3n n －1， 当n ＝1时，3n 2－2n －2<0，c 1<c 2；当n ≥2时，3n 2－2n －2>0，c n ＋1<c n ，∴ c 1<c 2>c 3>…，∴ (c n )max ＝c 2＝14， (9分)∴ λ≥14，得λ∈[14，＋∞)．(10分)方法二：∵ {b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴ b 3n ＋1＝b 3n ，b 3n ＋3－b 3n ＝b 3n ＋3－b 3n ＋1＝2d ＝6，∴ {b 3n }是首项为b 3＝7、公差为6的等差数列，∴ b 3＋b 6＋…＋b 3n ＝7n ＋n （n －1）2×6＝3n 2＋4n ，易知{b n }中删掉{b 3n }的项后按原来的顺序构成一个首项为1，公差为3的等差数列， ∴ b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋…＋b 3n －2＋b 3n －1＝2n ×1＋2n （2n －1）2×3＝6n 2－n ，∴ S 3n ＝(3n 2＋4n)＋(6n 2－n)＝9n 2＋3n ，(6分)以下同方法一．(2) 方法一：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列{b n }的公比为b k ＋1b k＝q ，由等比数列的通项公式有b n ＝bq n －1，当m ∈N *时，b km ＋2－b km ＋1＝d ，即bq km ＋1－bq km ＝bq km (q －1)＝d 恒成立，(12分) ①若q ＝1，则d ＝0，b n ＝b ；②若q ≠1，则q km ＝d（q －1）b ，则q km 为常数，则q ＝－1，k 为偶数，d ＝－2b ，b n ＝(－1)n －1b ；经检验，满足条件的{b n }的通项公式为b n ＝b 或b n ＝(－1)n －1b .(16分) 方法二：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若k ＝2，则b 1＝b ，b 2＝b ＋d ，b 3＝(b ＋d )q ，b 4＝(b ＋d )q ＋d ，由b 1b 3＝b 22，得b ＋d ＝bq ；由b 2b 4＝b 23，得(b ＋d )q 2＝(b ＋d )q ＋d ， 联立两式，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2b ，q ＝－1，则b n ＝b 或b n ＝(－1)n －1b ，经检验均合题意．(13分) ②若k ≥3，则b 1＝b ，b 2＝b ＋d ，b 3＝b ＋2d ，由b 1b 3＝b 22，得(b ＋d )2＝b (b ＋2d )，得d ＝0，则b n ＝b ，经检验适合题意． 综上①②，满足条件的{b n }的通项公式为b n ＝b 或b n ＝(－1)n －1b .(16分) 附加题21. A. 解：由切割线定理得：PD ·P A ＝PC ·PB ， 则4×(2＋4)＝3×(3＋BC )，解得BC ＝5，(4分) 又因为AB 是半圆O 的直径，故∠ADB ＝π2.(6分)则在三角形PDB 中有BD ＝PB 2－PD 2＝64－16＝4 3.(10分)B. 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，(4分)则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，(8分) 解得m ＝0，λ＝－4.(10分)C. 解：直线l ：⎩⎨⎧x ＝35t y ＝45t(t 为参数)化为普通方程为4x －3y ＝0，(2分)圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，(4分) 则圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|4|42＋（－3）2＝45，(6分) 所以AB ＝21－d 2＝65.(10分)D. 解：由柯西不等式，得(x ＋2y ＋z )2≤(12＋22＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)， 即x ＋2y ＋z ≤12＋22＋12·x 2＋y 2＋z 2，(5分) 又因为x ＋2y ＋z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥16，当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即x ＝z ＝16，y ＝13时取等号．综上，(x 2＋y 2＋z 2)min ＝16.(10分)22. 解：(1) 这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23.(4分) (2) 由题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.(6分)所以X 的概率分布表为：(8分)所以，X 的数学期望为E(X)＝5×13＝53.(10分)23. 解：(1) k C k n －n Ck －1n －1＝k ×n ！k ！（n －k ）！－n ×（n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝n ！（k －1）！（n －k ）！－n ！（k －1）！（n －k ）！＝0.(2分)②k 2C k n －n(n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1＝k 2×n ！k ！（n －k ）！－n(n －1)×（n －2）！（k －2）！（n －k ）！－n ×（n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝k ×n ！（k －1）！（n －k ）！－n ！（k －2）！（n －k ）！－n ！（k －1）！（n －k ）！＝n ！（k －2）！（n －k ）！⎝⎛⎭⎫k k －1－1－1k －1＝0.(4分) (2) 方法一：由(1)可知当k ≥2时(k ＋1)2C k n ＝(k 2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C k n ＝[n(n －1)·C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C k n ＝n(n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C k n.(6分)故12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n＝(12C0n＋22C1n)＋n(n－1)(C0n－2＋C1n－2＋…＋C n－2n－2)＋3n(C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n－1)＋(C2n＋C3n＋…＋C n n)＝(1＋4n)＋n(n－1)2n－2＋3n(2n－1－1)＋(2n－1－n)＝2n－2(n2＋5n＋4)．(10分)方法二：当n≥3时，由二项式定理，有(1＋x)n＝1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n，两边同乘以x，得(1＋x)n x＝x＋C1n x2＋C2n x3＋…＋C k n x k＋1＋C n n x n＋1，两边对x求导，得(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＝1＋2C1n x＋3C2n x2＋…＋(k＋1)C k n x k＋…＋(n＋1)C n n x n，(6分)两边再同乘以x，得(1＋x)n x＋n(1＋x)n－1x2＝x＋2C1n x2＋3C2n x3＋…＋(k＋1)C k n x k＋1＋…＋(n＋1)C n n x n＋1，两边再对x求导，得(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＋n(n－1)(1＋x)n－2x2＋2n(1＋x)n－1x＝1＋22C1n x＋32C3n x2＋…＋(k＋1)2C k n x k＋…＋(n＋1)2C n n x n.(8分)令x＝1，得2n＋n2n－1＋n(n－1)2n－2＋2n2n－1＝1＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n，即12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n＝2n－2(n2＋5n＋4)．(10分)。
江苏省南京市、盐城市高三数学第一次模拟考试试题
南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式： 锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I ▲ . 2．设复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位， 则z 的虚部为 ▲ .3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本 数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ . 4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ▲ . 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字 中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ .7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ . 8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = ▲ .9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ .10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值 是 ▲ .开始 结束x ←1 y ←9x >y x ←x +4 y ←y -2否 是输出x 第4题图+11．在ABC ∆中，已知3AB =，3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 ▲ .12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线()313y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆ 都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 ▲ .13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点O ，P ，M ，则()y f x =的最大值为 ▲ .14．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =． （1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b+=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程； （2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.A BC A 1B 1C 1D E第15题图 A 1 A 2 A 3A 4B 1B 2B 3…xy18．(本小题满分16分)如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=. （1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x -=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间； （3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）F 第18题图B20．(本小题满分16分)若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.B .（选修4-2：矩阵与变换） 设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值.ABCPDO · 第21(A)图C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.D ．(选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X). 23．（本小题满分10分）设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈. （1）求值：①11k k n n kC nC ---；②()221211kk k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}1-2. 13. 124. 95. 566. 347.2338. 63 9. 512π 10. 4 11. 32 12.512 13. 9814.25 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE . ...............4分又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE . ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC，所以1CC DE ⊥. ...............8分又BC AC⊥，//DE BC，所以DE AC ⊥， ...............10分又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分） 16．解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， …………2分因为sin 0,sin 0B C >>，所以1cos 2C =， …………4分又(0,)C π∈，所以3C π=. …………6分（2）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-，又3sin()35B π-=，所以24cos()1sin ()335B B ππ-=--=. …………8分又23A B π+=，即23A B π=-，所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- ………12分3413433252510=⨯-⨯=.…………14分17．解：（1）因02b <<，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222:O x y b+=经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =， ……………3分所以224b =，即22b =，所以椭圆E的方程为22142x y +=. ……………6分 （2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m=-， 所以0k x m=-，012k y m k m m=-⋅=， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. ……………14分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-， 又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，① 又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②由①②可得02212kmx k=-+，0212my k=+. ……………10分 以下同方法一.18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为(9,6)H ，半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+， 即3440x y b +-=， ...............2分 则由22934=+，解得24b =或32b =（舍）. 故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+，...............5分令30x =，得 1.5EG =米 2.5<米. 所以此时能保证上述采光要求................7分（2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为r ． 方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+， 即3440x y b +-=2234r =+， 解得2b h r=+或2b h r=-（舍）. ...............9分故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++， 令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-. ...............11分所以222133222(252)222S rh r rh r r r r π=+=+⨯≤-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即341000x y +-=． ...............10分由直线1l 与半圆H 相切，得|34100|5r h r +-=．而点H (r ，h )在直线1l 的下方，则3r ＋4h －100＜0， 即341005r h r +-=-，从而252h r =-． ...............13分又221322(252)22S rh r r r r π=+=-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分19．解：（1）当2a =时，方程()0xg e =即为1230xx e e+-=，去分母，得 22()310x x e e -+=，解得1x e =或12x e =， ……………2分故所求方程的根为x =或ln 2x =-. ……………4分 （2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x x ϕ-=+=++->， 所以222211(1)((1))(1)()a ax x a ax a x x a x x x x ϕ-+----+'=+-==（0x >）， ……………6分①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->； ③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >；④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a -<<. 综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-；当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞. .……………10分 （3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->，所以存在唯一03(,2)2x ∈，使得0()0h x '=，即003ln 10x x +-=， .……………12分当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以20min 00000000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+，记函数9()6()r x x x =-+，则()r x 在3(,2)2上单调递增， .……………14分所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--， 由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥， 所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. .……………16分 方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-，由(1)0h =得，当0λ=时，不等式2()h x λ≥有解， .……………12分下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立.显然当(0,1][3,)x ∈+∞U 时，不等式恒成立， 只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立. 即证明2ln 03x x +<-.令2()ln 3m x x x =+-， 所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x -+'=-=--，由()0m x '=，得47x = .……………14分当(1,47)x ∈，()0m x '>；当(47,3)x ∈-，()0m x '<；所以max 7121()(47)ln(47)ln(42)ln 21033m x m +==-<--=-<. 所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立.综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. .……………16分20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=. ……………3分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=，…∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列.∴201666b b ==. ……………3分②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+-----=+-=+-=++-==⎡⎤⎣⎦，∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b ------++=-+++=Q ，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++L()()2253113346932n n n b b b n n n --⎡⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦L ， ……………6分133n n S λ-≤⋅Q ，313n n S λ-∴≤，设313nn n S c -=，则()max n c λ≥， 又()()()2221112322913193333n n n n n n n n n n n c c +-----++++-=-=， 当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<，∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2max 14n c c ==， ……………9分∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞. ……………10分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列，∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+L ， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=-L ， ()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+， ………………6分以下同方法一.（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=， 当m N*∈时，21k m k m b b d++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=恒成立， ……………12分①若1q =，则0d =，n b b =；②若1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b=或()11n n b b -=-. ……………16分方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意. …………13分②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意.综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b=或()11n n b b -=-. ……………16分附加题答案21. A 、解：由切割线定理得：PD PA PC PB ⋅=⋅则4(24)3(3)BC ⨯+=⨯+，解得5BC =， …………4分又因为AB是半圆O 的直径，故2π=∠ADB , …………6分则在三角形PDB 中有34166422=-=-=PD PB BD . …………10分B、解：由题意得2112 322m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………4分则4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩， …………8分 解得0m =，4λ=-. …………10分C、解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)化为普通方程为034=-y x ， …………2分圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()1122=+-y x ， …………4分则圆C的圆心到直线l 的距离为()5434422=-+=d ， …………6分 所以56122=-=d AB . …………10分D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， …………5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ， 当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号. 综上，()61min222=++z y x. …………10分22．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯. …………4分 （2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………6分所以X X 01 2 3 4 5P32243802438024340243102431243………8分所以，X的数学期望为15()533E X =⨯=. …………10分23.解：（1）①()()()()111!!!!1!!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯--- ()()()()!!01!!1!!n n k n k k n k =-=----. ……………2分②()()()()()()2212212!!11!!2!!kk k n n n n n k C n n C nC k n n k n k k n k --------=⨯--⨯--- ()()()1!1!!n n k n k --⨯--()()()()()()!!!1!!2!!1!!n n n k k n k k n k k n k =⨯--------()()!1102!!11n k k n k k k ⎛⎫=--= ⎪----⎝⎭. ………………4分（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时()()2221212kkkkkn n n n n k C k k C k C kC C +=++=++()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦. ……………6分故()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()()()()20210121212221111213n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C --------=++-+++++++L L ()23n n n n C C C ++++L ()()()()21141232121n n n n n n n n --=++-+-+--()22254n n n -=++. ……………10分方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有()12211nkknnn n n n x C x C x C x C x +=++++++L L ，两边同乘以x ，得()1223111nkk n n n n n n x x x C x C x C xC x +++=++++++L L ，两边对x求导，得()()()()11221112311nn k k n nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++L L ，……………6分两边再同乘以x ，得()()()()12122311112311n n k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x-+++++=++++++++L L ，两边再对x 求导，得()()()()()1212111121n n n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++()()222122212311k k n nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++L L . ……………8分 令1x =，得()121221222n n n n n n n n ---++-+()()22212212311k nnn n n C C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++， 即()()2220212212311k nn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()22254n n n -=++. …………10分。
【江苏省南京市、盐城市】2017年高考一模数学试卷（附答案与解析）
江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知集合A={T,0,l},3=(-8,0),则A B=.2.设复数z满足(l+i)z=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为.3.已知样本数据X,,x2,x3,x4,x5的方差s2=3,则样本数据2X],2x2,2x3,2x4,2x5的方差为.4.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是.开始)—95.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为.x>06.己知实数X,，满足<x+y<7,则/的最小值是.x+2<2y X7.设双曲线二-》2=1怎>0)的一条渐近线的倾斜角为30。
，则该双曲线的离心率为.a8.设{%}是等差数列，若a4+a5+a6=21,则S9=.9.将函数y=3sin(2x+：)的图象向右平移^(0<^<|)个单位后，所得函数为偶函数，则"10.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为。
，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是.11.在/XABC中，己知AB=也,C=|,则CA C3的最大值为.12.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线>=季3+1)上从左向右依次取点A*侦，k=l,2,…,其中A是坐标原点，使aa,b,4+1都是等边三角形，则AAoSwAi的边长是.13.在平面直角坐标系xQy中，已知点P为函数y=21nr的图象与圆M:(X-3)2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=/W的图象经过点。
，P,M,则y=fM的最大值为.14.在中，A、B、。
所对的边分别为a、b、c,若a2+b2+2c2=8,则ZVIBC面积的最大值为.二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)15.如图，在直三棱柱A3C-A0G中，BC±AC,D,E分别是A3,AC的中点.(1)求证：B\CJ/平面A.DE；(2)求证：平面A.DE1.平面ACC,4.16.在AA3C中，a,b,c分别为内角*,B,。
江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷[1]
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2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A ∩B= ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 3．（5分）已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差s 2=3，则样本数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差为 ．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．6．（5分）已知实数x ，y 满足，则的最小值是 ．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ． 8．（5分）设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9= ．9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ． 10．（5分）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 ．11．（5分）在△ABC 中，已知，，则的最大值为 ．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为 ．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈，ln3≈）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017•盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= {﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1 ．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017•盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12 ．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017•盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9 ．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017•盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017•盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017•盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017•盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n }是等差数列，a 4+a 5+a 6=21， ∴a 4+a 5+a 6=3a 5=21，解得a 5=7， ∴=63． 故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017•盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k ∈Z ，进而可得答案． 【解答】解：把函数f （x ）=3sin （2x+）的图象向右平移φ个单位， 可得函数y=3sin[2（x ﹣φ）+]=3sin （2x+﹣2φ）的图象， 若所得函数为偶函数， 则﹣2φ=+kπ，k ∈Z ， 解得：φ=﹣+kπ，k ∈Z ， 当k=1时，φ的最小正值为． 故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017•盐城一模）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 4 ．【分析】三棱锥O ﹣EFG 的高为圆柱的高，即高为ABC ，当三棱锥O ﹣EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且G 在EF 的垂直平分线上时，（S△EFG）max =，由此能求出三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG ）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12．（5分）（2017•盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 512 ．【分析】设直线与x 轴交点坐标为P ，由直线的倾斜角为300，又△A 1B 1A 2是等边三角形，求出△A 2B 2A 3、…找出规律，就可以求出△A 10B 10A 11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x 轴交点坐标为P （﹣1，0）， 又∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=600，B 1A 1=1，PA 2=2， ∴△A 2B 2A 3的边长为PA 2=2，同理 B 2A 2=PA 3=4，…以此类推 B 10A 10=PA 10=512，∴△A 10B 10A 11的边长是512， 故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为 ．【分析】设P （x 0，y 0），求得y=2lnx 的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x （3﹣x ），满足经过点P ，O ，M ，即可得到所求最大值．【解答】解：设P （x 0，y 0），函数y=2lnx 的导数为y′=， 函数y=2lnx 在点P 处的切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0）， 即为x ﹣y+y 0﹣2=0；圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的上点P 处的切线方程为（x 0﹣3）（x ﹣3）+yy 0=r 2， 即有（x 0﹣3）x+yy 0+9﹣3x 0﹣r 2=0； 由切线重合，可得 ==，即x0（3﹣x）=2y，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB ＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x，y），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017•盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=米＜米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=米＜米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点G为（30，），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l的下方，则3r+4h﹣100＜0，1即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017•盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈，ln3≈）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x）=0，即lnx=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x，+∞）上单调递增，∴h（x）min =h（x）=﹣（x+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x∈（，2），∴h（x）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017•盐城一模）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an }满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{bn }的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b 5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒bn}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n +d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n方法二：由{bn }的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n }是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（cn）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{bn }中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则bn=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．（2017•盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017•盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017•盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。
【江苏省南京、盐城】2017学年高考一模数学年试题
江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷答 案1．{}1- 2．1- 3．12 4．95．56 6．3478．639．512π 10．4 11．3212．13．981415．证明：（1）因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以//DE BC ，又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE ， 又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以11//B C 平面1A DE ． （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ， 又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE ⊥， 又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， 又1CC ，AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =，所以DE ⊥平面11ACC A ，又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， 因为sin 0B ＞，sin 0C ＞，所以1cos 2C =， 又0πC ∈(,)，所以π3C =． （2）因为π3C =， 所以2π(0,)3B ∈， 所以πππ(,)333B -∈-，又π3sin()35B -=，所以π4cos()35B -==．又2π3A B +=，即2π3A B =-，所以2πππ413sin sin()sin[()]333525A B B =-=--=-⨯=． 17．解：（1）因02b ＜＜，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222O x y b +=:经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =，所以224b =，即22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）设11P x y (,)，22Q x y (,)，00T x y (,)，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222124240k x kmx m +++=()-， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k =-，所以122k x x m+=-， 所以0kx m=-，012k y m k m m =-=， 则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m====-----+--． 18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为96H (,)， 半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +=-，9=，解得24b =或32b =（舍）． 故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+，令30x =，得 1.5EG =米 2.5＜米． 所以此时能保证上述采光要求．（2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为H r h (,)，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +=-r =，解得2b h r =+或2b h r =-（舍）故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-所以2222213355222(252)50(10)25025022222S rh r rh r r r r r r r π=+=+⨯≤-+⨯=-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为302.5(,)， 设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为533024y x =--(-)， 即341000x y +=-由直线1l 与半圆H 相切，得341005r h r +-=．而点H r h (,)在直线1l 的下方，则341000r h +-＜，即341005r h r +-=-，从而252h r =-又2222135522(252)50(10)2502502222S rh r r r r r r r π=+=-+⨯=-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大19．解：（1）当2a =时，0g x =()，可得12x =或1， 0x g e =()，可得12x e =或1x e =， ∴ln 2x =-或0；（2）1ln 3a x f x g x x ax xϕ-=+=++()()()-，2[(1)](1)ax a x x x ϕ--+'=()①0a =，210x x x ϕ+'=()＞，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ②1a =，210x x x x ϕ+'=()＞，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ③01a ＜＜，10a x a-=＜，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ④1a ＞，10a x a-=＞，函数的单调递增区间是1(,)a a -+∞； ⑤0a ＜，10a x a -=＞，函数的单调递增区间是1(0,)a a-； （3）1a =，3ln h x x x =()(-)，3ln 1h x x x'=+()-， 2130h x x x "=+()＞恒成立，∴h x '()在0+∞(,)上单调递增，∴存在0x ，00h x '=()，即003ln 1x x =+-， h x ()在00x (,)上单调递减，0x +∞(,)上单调递增，∴00096min h x h x x x ==++()()-()， ∵10h '()＜，20h '()＞，∴012x ∈(,)， ∴h x ()不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x 的不等式2h x λ≥()有解．20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴2014201300b b =⨯=，∴2015201433b b =+=，∴2016201536b b =+=．方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=， ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列． ∴201666b b ==．②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴32313131331313126[]n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+---=+=+=++==--()-()-()-， ∴31{}n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又∵32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b -----++=+++=﹣(-)()，∴3123456n S bb b b b b =+++++()() 2323132531(1)3)3[46]932n n n n n n b b b b b b n n n --++++=++=+⨯=+--()(， ∵133n n S λ-≤，∴313n n S λ-≤，设2ADB π∠=，则n max c λ≥()， 又2221119(1)3(1)932(322)333n n n n n n n n n n n c c +--++++----=-=， 当1n =时，23220n n --＜，12c c ＜；当2n ≥时，23220n n --＞，1n n c c +＜， ∴123c c c ＜＜＜，∴214n max c c ==()，∴14λ≥，得14[,λ∈+∞)．方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++===--，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列， ∴2363(1)76342n n n b b b n n n -++=+⨯=+， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， ∴2124532312(21)21362n n n n b b b b b b n n n ---++++++=⨯+⨯=-， ∴2223(34)(6)93n S n n n n n n =++-=+，以下同方法一．（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ， 则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=， 当*m N ∈时，21km km b b d ++=-，即11km km km bq bq bq q d +==-(-)恒成立，② 若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则(1)kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，1(1)n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或1(1)n n b b -=-．方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，3b b d q =+()，4b b d q d =++()，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得2b d q b d q d +=++()()，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或1(1)n n b b -=-，经检验均合题意．②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得22b d b b d +=+()()，得0d =，则n b b =，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或1(1)n n b b -=-．21．解：由切割线定理得：PD PA PC PB = 则42433BC ⨯+=⨯+()()，解得5BC =， 又因为AB 是半圆O 的直径，故2ADB π∠=，则在三角形PDB中有BD ==． 22．解：∵矩阵223m M =-的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， ∴4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩，解得0m =，4λ=-．23．解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）化为普通方程为430x y =-， 圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为2211x y +=(-)，则圆C 的圆心到直线l的距离为45d ==，所以65AB ==． 24．解：由柯西不等式，得22222222121x y z x y z ++≤++++()()()，即222x y z x y ++≤++又因为21x y z ++=，所以22216x y z ++≥， 当且仅当121x y z ==，即16x z ==，13y =时取等号． 综上，222min 1()6x y z ++=．25．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯． （2）由题意得1(5,)3XB ，5512()()()33k k k P X kC -==，0,1,2,3,4,5k =．所以X 的概率分布表为：所以，X 的数学期望为()533E X =⨯=．26．解：（1）①11!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯---!!0(1)!()!(1)!()!n n k n k k n k =-=----．②221221!(2)!(1)!(1)(1)!()!(2)!()!(1)!()!k k k n n n n n n k C n n C nC k n n n k n k k n k k n k ---------=⨯--⨯-⨯-----!!!(1)!()!(2)!()!(1)!()!n n n k k n k k n k k n k =⨯--------!1(1)0(2)!()!11n k k n k k k =--=----．（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时，222211211(1)(21)C 2[(1)]2k k k k k k k k k n n n n n n n n n k C k k k C kC C n n C nC nC C ------+=++=++=-+++2121(1)3k k k n n n n n C nC C ----=-++．故20212222123(1)(1)knn n n n nC C C k C n C ++++++++202101212123222111(12)(1)()3()(C )n n n n n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C C C --------=++-+++++++++++2122(14)(1)23(21)(21)2(54)n n n n n n n n n n n ---=++-+-+--=++．方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有122(1)1n k k n nn n n n x C x C x C x C x +=++++++，两边同乘以x ，得122311(1)n k k n n n n n n x x x C x C x C x C x +++=++++++，两边对x 求导，得1122(1)(1)123(1)(1)n n k kn nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++，两边再同乘以x ，得12122311(1)(1)23(1)(1)n n k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++，两边再对x 求导，得1221111121n n n n x n x x n n x x n x x +++++++---()()(-)()()2122222123(1)(1)k kn nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++．令1x =，得121212222221222123(k 1)(1)n n n n knn n n n n n n n C C C n C --+++=++++++++-(-)，即20212222222123(k 1)(1)54knn n n n n n C C C n n n C C -++++=++++++()．江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．3．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．4．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．5．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．6．【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．7．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．8．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．9．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．10．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．12．【考点】数列的求和．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．13．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．14．【考点】余弦定理．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式可求S2≤﹣=﹣+c，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤﹣=﹣+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，﹣ +c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．15．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．17．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．18．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大19．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．20．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【分析】（1）①方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒b n}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n +d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，﹣1即可求S3n方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．22．【考点】特征向量的定义．【分析】推导出，由此能求出结果．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】基本不等式．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．25．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．26．【考点】组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．。
江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟试卷数学试卷
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2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷
2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则 ______．2. 设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为______．3. 已知样本数据，，，，的方差，则样本数据，，，，的方差为______．4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是______．5. 在数字，，，中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为______．6. 已知实数，满足则的最小值是______．7. 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为______．8. 设是等差数列，若，则 ______．9. 将函数的图象向右平移个单位后，所得函数为偶函数，则______．10. 将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是______．11. 在中，已知，，则的最大值为______．12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点，，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是______．13. 在平面直角坐标系中，已知点为函数的图象与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点，，，则的最大值为______．14. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值为 ______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面．16. 在中，，，分别为内角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，求的值．17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于，两点，为弦的中点，，，记直线，的斜率分别为，，当时，求的值．18. 如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足．（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大?（注：计算中取）19. 设函数，．（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：，）．20. 若存在常数，，，使得无穷数列满足，则称数列为“段比差数列”，其中常数，，分别叫做段长、段比、段差、设数列为“段比差数列”．（1）若的首项、段长、段比、段差分别为，，，．①当时，求；②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由．21. 如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，，分别交半圆于点，．若，，，求的长．22. 设矩阵的一个特征值对应的特征向量为，求与的值．23. 在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）．现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点，求弦的长．24. 若实数，，满足，求的最小值．25. 某年级星期一至星期五每天下午排节课，每天下午随机选择节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为，求的概率分布表与数学期望．26. 设，，．（1）求值：①；②；（2）化简：．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为，分别是，的中点，所以，又因为在三棱柱中，，所以．又平面，平面，所以 平面．（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以．又，，所以，又平面，且，所以平面．又平面，所以平面平面．16. （1）由，根据正弦定理，得，因为，，所以，又，所以．（2）因为，所以，所以，又，所以．又，即，所以17. （1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距，所以，即，所以椭圆的方程为．（2）设，，，联立消去，得，所以，又，所以，所以，，则．18. （1）如图所示，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．，，所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，即，则由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得米米．所以此时能保证上述采光要求．（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得．所以截面积当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长恰为米，则此时点为，设过点的上述太阳光线为，则所在直线方程为，即．由直线与半圆相切，得．而点在直线的下方，则，即，从而．又当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．19. （1）当时，，可得或，，可得或，所以或；（2），①，，函数的单调递增区间是；②，，函数的单调递增区间是；③，，函数的单调递增区间是；④，，函数的单调递增区间是；⑤，，函数的单调递增区间是；（3），，，恒成立，所以在上单调递增，所以存在，，即，在上单调递减，上单调递增，所以，因为，，所以，所以，所以存在的最小值，使得关于的不等式有解．20. （1）①方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以，方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，，，，，，，，所以当时，是周期为的周期数列．所以．②方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以所以是以为首项、为公差的等差数列，又因为，所以因为，所以，设，则，又，当时，，；当时，，，所以，所以，所以，得．方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以是首项为、公差为的等差数列，所以，易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为公差为的等差数列，所以，所以，以下同方法一．（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为，，，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，，即恒成立，①若，则，，②若，则，则为常数，则，为偶数，，，经检验，满足条件的的通项公式为或．方法二：设的段长、段比、段差分别为，，，①若，则，，，，由，得；由，得，联立两式，得或则或，经检验均合题意．②若，则，，，由，得，得，则，经检验适合题意．综上①②，满足条件的的通项公式为或．21. 由切割线定理得：，则，解得，又因为是半圆的直径，故，则在三角形中有．22. 因为矩阵的一个特征值对应的特征向量为，所以解得，．23. 直线（为参数）化为普通方程为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为，所以．24. 由柯西不等式，得，即，又因为，所以，当且仅当，即，时取等号．综上，．25. （1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．（2）由题意得，所以的概率分布表为：所以，的数学期望为．26. （1）①②（2）方法一：由（1）可知当时故方法二：当时，由二项式定理，有，两边同乘以，得两边对求导，得两边再同乘以，得两边再对求导，得令，得即第11页（共11 页）。
2017年南京盐城高三一模数学
2017年南京盐城高三一模数学密封线____________号学____________名姓____________级班____________校学(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)·数学第页(共6页)(这是边文，请据需要手工删加)南京，盐城高三第一次模拟考试2017届高三年级第一次模拟考试(一)数学(总分160分，考试时间120分钟) 参考公式：锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面积，h为高；柱体体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h 为高．样本数据x1，x2，…，x n的方差s2＝1n∑ni＝1(x i6. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x>0x ＋y ≤7x ＋2≤2y，则y x 的最小值是________．7. 设双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________．8. 设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.9. 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________．10. 将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是________．11. 在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA→·CB →的最大值为________.12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k 、B k ，k ＝1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________.14. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为________.二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点.(1) 求证：B1C1∥平面A1DE；(2) 求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B.(1) 求角C ；(2) 若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E：x24＋y2b2＝1(0<b<2)的焦点.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 设直线l：y＝kx＋m交椭圆E于P，Q 两点，T为弦PQ的中点，M(－1，0)，N(1，0)，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2－2k2＝1时，求k1·k2的值.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tanθ＝34.(1) 若设计AB＝18米，AD＝6米，问能否保证上述采光要求？(2) 在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋a－1x－3(a∈R).(1) 当a＝2时，解关于x的方程g(e x)＝0(其中e为自然对数的底数)；(2) 求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的单调增区间；(3) 当a＝1时，记h(x)＝f(x)·g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6)20. (本小题满分16分)若存在常数k (k ∈N *，k ≥2)、q 、d ，使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋d ，n k N *，qa n ， n k∈N *， 则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．(1) 若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当q ＝0时，求b 2 016；②当q ＝1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式S 3n ≤λ·3n －1对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；(2)设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由.密封线(这是边文，请据需要手工删加)密封线____________号学____________名姓____________级班____________校学(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)·数学附加题第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】(在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．)A. (选修4—1：几何证明选讲)如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O 外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C.若AD ＝2，PD＝4，PC＝3，求BD的长.B. (选修4—2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22 －3的一个特征值λ对应的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，求m 与λ的值．C. (选修4—4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t y ＝45t (t 为参数)．现以坐标原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．D. (选修4—5：不等式选讲)若实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【必做题】(第22、23题，每小题10分，计20分．)22. (本小题满分10分)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1) 求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2) 设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E(X)．23. (本小题满分10分) 设n∈N*，n≥3，k∈N*.(1) 求值：①k C k n－n C k－1n－1；②k2C k n－n(n－1)C k－2n－2－n C k－1n－1(k≥2)；(2) 化简：12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n.密封线(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)·数学参考答案第页(共4页)(南京，盐城市)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(一)(南京，盐城市)数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. {－1}2. 13. 124. 95. 56 6.347. 2338. 639.5π1210. 411.3212.51213. 9814.255二、解答：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. 证明：(1) 因为D，E分别是AB，AC 的中点，所以DE∥BC，(2分)又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1⊥∥BC，所以B1C1∥DE.(4分)又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE底面ABC ，所以CC 1⊥DE.(8分) 又BC ⊥AC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ，(10分) 又CC 1，AC平面ACC 1A 1，且CC 1∩AC ＝C ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.(12分) 又DE 平面A 1DE ，所以平面A 1DE ⊥平面ACC 1A.(14分)(注：第(2)小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面ACC 1A 1，类似给分)16. 解：(1) 由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ，(2分)因为sin B>0，sin C>0，所以cos C ＝12，(4分) 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(6分)(2) 因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3， 又sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.(8分) 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ， 所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin [π3－(B －π3)]＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3(12分) ＝32×45－12×35＝43－310.(14分) 17. 解：(1) 因为0<b<2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，(3分)所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(6分) (2) 方法一：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，T(x 0，y 0)，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2， 又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m ， 所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k·k m ＝12m，(10分) 则k 1·k 2＝ 12m －k m ＋1· 12m －k m－1＝14k 2－4m 2＝1－2（2m 2－2k 2）＝－12.(14分) 方法二：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，T(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差，得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y1＋y2）（y1－y2）2＝0，又x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以x0（x1－x2）2＋y0(y1－y2)＝0，所以x02＋y0（y1－y2）x1－x2＝0，又点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线y＝kx＋m上，所以y1－y2x1－x2＝k，所以x0＋2ky0＝0，①又点T(x0，y0)在直线y＝kx＋m上，所以y0＝kx0＋m，②由①②可得x0＝－2km1＋2k2，y0＝m1＋2k2.(10分)以下同方法一．18. 解：如图所示，以点A为坐标原点，AB 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．(1) 因为AB＝18，AD＝6，所以半圆的圆心为H(9，6)，半径r ＝9.设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0，(2分) 则由|27＋24－4b|32＋42＝9， 解得b ＝24或b ＝32(舍)．故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24，(5分)令x ＝30，得EG ＝1.5米<2.5米． 所以此时能保证上述采光要求．(7分) (2) 设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H(r ，h)，半径为r.方法一：设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0，由|3r ＋4h －4b|32＋42＝r ， 解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －2r(舍)．(9分)故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋h ＋2r ，令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452，由EG ≤52，得h ≤25－2r.(11分)所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r(25－2r)＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号．所以当AB ＝20米且AD ＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分)方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30，2.5)，设过点G 的上述太阳光线为l 1，则l 1所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即3x ＋4y －100＝0，(10分)由直线l 1与半圆H 相切，得r ＝|3r＋4h－100|5.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100<0，即r＝－3r＋4h－1005，从而h＝25－2r.(13分)又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．(16分)19. 解：(1) 当a＝2时，方程g(e x)＝0即为2e x＋1e x－3＝0，去分母，得2(e x)2－3e x＋1＝0，解得e x＝1或e x＝12，(2分)故所求方程的根为x＝0或x＝－ln2.(4分)(2) 因为φ(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x ＋ax ＋a －1x －3(x>0)，所以φ′(x)＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x －（a －1）x 2＝[ax －（a －1）]（x ＋1）x 2(x>0)，(6分)①当a ＝0时，由φ′(x)>0，解得x>0； ②当a>1时，由φ′(x)>0，解得x>a －1a ；③当0<a<1时，由φ′(x)>0，解得x>0； ④当a ＝1时，由φ′(x)>0，解得x>0； ⑤当a<0时，由φ′(x)>0，解得0<x<a －1a .综上所述，当a<0时，φ(x)的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1a ；当0≤a ≤1时，φ(x)的增区间为(0，＋∞)；当a>1时，φ(x)的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞.(10分)(3) 方法一：当a ＝1时，g(x)＝x －3，h(x)＝(x －3)ln x ，所以h′(x)＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝ln32＋1－2<0，h ′(2)＝ln 2＋1－32>0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2，使得h′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，(12分)当x ∈(0，x 0)时，h ′(x)<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x)>0，所以h(x)min ＝h(x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x 0－1＝－（x 0－3）2x 0＝6－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋9x 0， 记函数r(x)＝6－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋9x ，则r(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，2上单调递增，(14分)所以r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32<h(x 0)<r(2)，即h(x 0)∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，－12，由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.(16分)方法二：当a ＝1时，g(x)＝x －3，所以h(x)＝(x －3)ln x ，由h(1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h(x)有解，(12分)下证：当λ≤－1时，h(x)>2λ恒成立，即证(x －2)ln x>－2恒成立．显然当x ∈(0，1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立，只需证明当x ∈(1，3)时，(x －3)ln x>－2恒成立．即证明ln x ＋2x －3<0.令m(x)＝ln x ＋2x －3，所以m′(x)＝1x －2（x －3）2＝x 2－8x ＋9x （x －3）2，由m ′(x)＝0，得x ＝4－7，(14分)当x ∈(1，4－7)，m ′(x)>0；当x ∈(4－7，3)，m′(x)<0；所以m max (x)＝m(4－7)＝ln (4－7)－7＋13<ln(4－2)－2＋13＝ln2－1<0.所以当λ≤－1时，h(x)>2λ恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.(16分)20. (1) ①方法一：∵ {b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2 014＝0×b2 013＝0，∴b2 015＝b2 014＋3＝3，∴b2 016＝b2 015＋3＝6.(3分)方法二：∵ {b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b2 016＝b6＝6.(3分)②方法一：∵ {b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n＋2－b3n－1＝(b3n＋1＋d)－b3n－1＝(qb3n＋d)－b3n－1＝[q(b3n－1＋d)＋d]－b3n－1＝2d＝6，∴{b3n－1}是以b2＝4为首项、6为公差的等差数列，又∵ b 3n －2＋b 3n －1＋b 3n ＝(b 3n －1－d)＋b 3n －1＋(b 3n －1＋d)＝3b 3n －1，∴ S 3n ＝(b 1＋b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6)＋…＋(b 3n －2＋b 3n －1＋b 3n )＝3(b 2＋b 5＋…＋b 3n －1)＝3[4n ＋n （n －1）2×6]＝9n 2＋3n ，(6分)∵ S 3n ≤λ·3n －1，∴ S 3n 3n －1≤λ，设c n ＝S 3n3n －1，则λ≥(c n )max ，又c n ＋1－c n ＝9（n ＋1）2＋3（n ＋1）3n－9n 2＋3n 3n －1＝－2（3n 2－2n －2）3nn －1， 当n ＝1时，3n 2－2n －2<0，c 1<c 2；当n ≥2时，3n 2－2n －2>0，c n ＋1<c n ，∴ c 1<c 2>c 3>…，∴ (c n )max ＝c 2＝14， (9分)∴ λ≥14，得λ∈[14，＋∞)．(10分) 方法二：∵ {b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴ b 3n ＋1＝b 3n ，b 3n ＋3－b 3n ＝b 3n ＋3－b 3n ＋1＝2d＝6，∴{b3n}是首项为b3＝7、公差为6的等差数列，∴b3＋b6＋…＋b3n＝7n＋n（n－1）2×6＝3n2＋4n，易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1，公差为3的等差数列，∴b1＋b2＋b4＋b5＋…＋b3n－2＋b3n－1＝2n×1＋2n（2n－1）2×3＝6n2－n，∴S3n＝(3n2＋4n)＋(6n2－n)＝9n2＋3n，(6分)以下同方法一．(2) 方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{b n}的公比为b k＋1b k＝q，由等比数列的通项公式有b n＝bq n－1，当m∈N*时，b km＋2－b km＋1＝d，即bq km＋1－bq km＝bq km(q－1)＝d恒成立，(12分)①若q＝1，则d＝0，b n＝b；②若q ≠1，则q km＝d（q －1）b，则q km 为常数，则q ＝－1，k 为偶数，d ＝－2b ，b n ＝(－1)n－1b ；经检验，满足条件的{b n }的通项公式为b n ＝b或b n ＝(－1)n －1b .(16分)方法二：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若k ＝2，则b 1＝b ，b 2＝b ＋d ，b 3＝(b ＋d )q ，b 4＝(b ＋d )q ＋d ，由b 1b 3＝b 22，得b ＋d ＝bq ；由b 2b 4＝b 23，得(b ＋d )q 2＝(b ＋d )q ＋d ，联立两式，得⎩⎨⎧d ＝0，q ＝1或⎩⎨⎧d ＝－2b ，q ＝－1，则b n ＝b或b n ＝(－1)n －1b ，经检验均合题意．(13分)②若k ≥3，则b 1＝b ，b 2＝b ＋d ，b 3＝b ＋2d ，由b 1b 3＝b 22，得(b ＋d )2＝b (b ＋2d )，得d ＝0，则b n ＝b ，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{b n }的通项公式为b n＝b 或b n ＝(－1)n －1b .(16分)附加题21. A. 解：由切割线定理得：PD ·PA ＝PC ·PB ，则4×(2＋4)＝3×(3＋BC )，解得BC ＝5，(4分)又因为AB 是半圆O 的直径，故∠ADB ＝π2.(6分) 则在三角形PDB 中有BD ＝PB 2－PD 2＝64－16＝4 3.(10分)B. 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，(4分)则⎩⎨⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，(8分) 解得m ＝0，λ＝－4.(10分)C. 解：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t y ＝45t(t 为参数)化为普通方程为4x －3y ＝0，(2分)圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，(4分)则圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|4|42＋（－3）2＝45，(6分) 所以AB ＝21－d 2＝65.(10分)D. 解：由柯西不等式，得(x ＋2y ＋z )2≤(12＋22＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)，即x ＋2y ＋z ≤12＋22＋12·x 2＋y 2＋z 2，(5分)又因为x ＋2y ＋z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥16，当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即x ＝z ＝16，y ＝13时取等号．综上，(x 2＋y 2＋z 2)min ＝16.(10分)22. 解：(1) 这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23.(4分)(2) 由题意得X ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.(6分) 所以X 的概率分布表为：X 0 1 2 3 4 5P 32243802438024340243102431243(8分)所以，X的数学期望为E(X)＝5×13＝53.(10分)23. 解：(1) k C k n－n C k－1n－1＝k×n！k！（n－k）！－n×（n－1）！（k－1）！（n－k）！＝n！（k－1）！（n－k）！－n！（k－1）！（n－k）！＝0.(2分)②k2C k n－n(n－1)C k－2n－2－n C k－1n－1＝k2×n！k！（n－k）！－n(n－1)×（n－2）！（k－2）！（n－k）！－n×（n－1）！（k－1）！（n－k）！＝k ×n ！（k －1）！（n －k ）！－n ！（k －2）！（n －k ）！－n ！（k －1）！（n －k ）！＝n ！（k －2）！（n －k ）！⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1－1－1k －1＝0.(4分)(2) 方法一：由(1)可知当k ≥2时(k ＋1)2C kn ＝(k2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C k n ＝[n(n －1)·C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C k n ＝n(n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C k n .(6分)故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C n n ＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n(n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n(C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n)＝(1＋4n)＋n(n －1)2n －2＋3n(2n －1－1)＋(2n －1－n)＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．(10分)方法二：当n ≥3时，由二项式定理，有(1＋x)n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n ，两边同乘以x ，得(1＋x)n x ＝x ＋C 1n x 2＋C 2n x 3＋…＋C k n x k ＋1＋C n n x n ＋1，两边对x求导，得(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＝1＋2C1n x＋3C2n x2＋…＋(k＋1)C k n x k＋…＋(n＋1)C n n x n，(6分)两边再同乘以x，得(1＋x)n x＋n(1＋x)n－1x2＝x＋2C1n x2＋3C2n x3＋…＋(k＋1)C k n x k＋1＋…＋(n＋1)C n n x n＋1，两边再对x求导，得(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＋n(n－1)(1＋x)n－2x2＋2n(1＋x)n－1x＝1＋22C1n x＋32C3n x2＋…＋(k＋1)2C k n x k＋…＋(n＋1)2C n n x n.(8分)令x＝1，得2n＋n2n－1＋n(n－1)2n－2＋2n2n－1＝1＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n，即12C0n＋22C1n＋32C2n＋…＋(k＋1)2C k n＋…＋(n＋1)2C n n＝2n－2(n2＋5n＋4)．(10分)。