轴对称知识点总结及经典练习

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轴对称知识点总结及练习

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够 ；这条直线叫做 。互相重合的点叫 。 2、成轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与 完全重合；这条直线叫做对称轴。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是两图成轴对称；把成轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：如图

（1）成轴对称的两个图形 。 （2）连结“对应点的线段” 被对称轴 。 （3）对应点到对称轴的距离 。

（4）（4）对应点的连线互相 或在同一直线。

5、线段的垂直平分线：

（1）定义：经过线段的中点且 的直线，叫做线段的垂直平分线。符号语言：如图 ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质： 。 ∵直线m 垂直平分AB ，点P 是直线m 上的点。符号语言：如图 ∴PA=PB 。 （3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的 上。 如图，∵PA=PB ，

∴点P 在 上 。

6、等腰三角形： （1）定义：有两边 的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做 。第三条边叫做 。

②两腰的夹角叫做 。③腰与底的夹角叫做 。

说明：底角顶角?-=2180ο

顶角顶角底角2

1

-902180?=-?=

（2）性质：

①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是 ，一般有 条。 ②等腰三角形的两个底角 ；简称 。符号语言： 如图，在△ABC 中 ∵AB=AC

∴∠B=∠C （等边对等角）。

③三线合一：顶角平分线、 和 相互重合。 符号语言：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC AD ⊥BC

∴

（3）判定方法：

①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中，

∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。

②判定：有两个角 的三角形是等腰三角形；简称 。

如图5，在△ABC 中

∵∠B=∠C ∴△ABC 是等腰三角形 。

m C

A

B

D'

D C'A'

K J

I

H

m C

A B

P 图3 底边

底角底角

顶

角

腰

腰D

C

B A

D

C

B A

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7、等边三角形：

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。（说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。） （2）性质：

①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是 ，有 条。 ②等边三角形的三边 三个内角都等于 。

③三条边上的中线、 及 都互相重合且相交于 点。 （3）判定方法：

①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

②判定1：三个内角都相等（或两个角是 °）的三角形是等边三角形。 ③判定2：有一个内角是60°的 是等边三角形。 如图6，在△ABC 中

∵AB=AC （或AB=BC,AC=BC ）

∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°） ∴△ABC 是等边三角形 。

（4）重要结论1：直角三角形30°角所对直角边 。符号语言：

如图，∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°

∴BC=

2

1

AB 或AB=2BC （5）重要结论2：在Rt △中，如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是ο

30。 8、平面直角坐标系中的轴对称： （1）点),()

,(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 （2）点),(),(b a y b a -横反向，纵不变

轴对称

关于

9、画轴对称图形

要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。如课本P67的例1。 10、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。如课本P64中复习巩固的1题。

注意：①有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。 11、经典作图题

1．在直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的位置如图所示.

(1)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′(其中A ′,B ′,C ′分别是A,B,C 的对应点,不写画法).

(2)直接写出A ′,B ′,C ′三点的坐标:A ′( ),B ′( ),C ′( ).

2、如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．

3.．．如图，在．．．．l ．上求作一点．．．．．M ．，使得．．．AM ．．＋．BM ．．最小．．．． 12、等腰三角形常见辅助线或数学思想：

（1）作“三线”中的“一线”利用“三线合一”性质，

A C

·

·

O

B

A

B

C

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如“天府”P64的例3和P71的5题； （．2．）利用“对称性”将一些“不平衡”的图形补“平衡”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 如“百胜”．．．．．P40．．．的．6．题；．．

（．3．）利用“方程思想”（设未知数）解决求等腰三角形中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的．角度问题，如“课本”．．．．．．．．．．P76．．．的例．．1．

轴对称检测

1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）

A ：

B ： C:

C ：

D ： D ： 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）

A ：（－1，－2）

B ：（－1，2）

C ：（1，－2）

D ：（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( )

A ：等腰三角形

B ：正方形

C ：圆

D ：线段 4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）

A ：2 ㎝

B ：4 ㎝

C ：6 ㎝

D ：8㎝ 5、下列说法正确的是( )

A ：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

B ：顶角相等的两个等腰三角形全等

C ：等腰三角形的两个底角相等

D ：等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 6、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）

A ：11cm

B ：7.5cm

C ：11cm 或7.5cm

D ： 以上都不对 7、如图：D

E 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，

则?EBC 的周长为（ ）厘米

A ：16

B ：18

C ：26

D ：28 8、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）

A ：90°

B ： 75°

C ：70°

D ： 60°

9、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ）

A ：75°或15°

B ：75°

C ：15°

D ：75°和30° 10、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论：

①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个

11、在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ； 12、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度；

13、等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为________________；

14、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ； 15、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB ＋BC=12㎝，则AB= ㎝；

C

E

B

D

A

l O

C

B

D

A

C

A

F

E

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16、如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________；

17、等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 ；

18、如图：是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE

垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE 等于 ；

19．．、．如图：．．．某地有两所中学和两条相交叉的公路．．．．．．．．．．．．．．．．

（点．．M ．，．N ．表示中学，．．．．．AO ．．，．BO ．．表示公路）．．．．．.．现计划修建．．．．． 一个饭馆，希望饭馆到两所中．．．．．．．．．．．．．学的距离相等，到两条．．．．．．．．．． 公路的距离也相等。你能确定饭馆应该建在什么位置吗？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 在所给的图形中画出你的设计方案；．．．．．．．．．．．．．．．．

20、如图：在△ABC 中，∠B=90°，AB=BD ，AD=CD ，求∠CAD 的度数。

21、如图：△ABC 和△ADE 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线。求证：BE=BD 。

22、如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE 。

求证：△ABC 是等腰三角形。（过D 作DG ∥AC 交BC 于G ）

C

B

A

N

M

O

B

A

B A

D

C

B

A

D

C

E

D

C

B

A

F

E