北师版数学高二-选修2-1 圆锥曲线的共同特征 同步练习
高中数学选修2-1北师大版 圆锥曲线的共同特征 学案(含答案)
4.2 圆锥曲线的共同特征自主整理1.圆锥曲线的共同特征:圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离___________为定值e,当0<e<1时,圆锥曲线是___________;当e>1时,圆锥曲线是___________;当e=1时,圆锥曲线是___________.其中,e 是___________,定点是圆锥曲线的___________,定直线是圆锥曲线的___________.2.椭圆和双曲线都有两条准线,椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)的准线方程为___________,2222b x a y +=1(a>b>0)的准线方程为___________,双曲线2222b y a x -=1(a>0,b>0)的准线方程为___________,双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的准线方程为___________.3.抛物线有___________焦点___________,准线___________.高手笔记1.理解圆锥曲线的共同特征,由于e 的取值不同,导致圆锥曲线从形状上依次表示椭圆,双曲线和抛物线,应注意定义中的定点与定直线是对应的,如F 为左焦点时,l 为左准线,若F 为右焦点,则l 为右准线等.切记不可以左焦点F 对应右准线l 等情况发生.2.利用圆锥曲线的共同特征可以写出焦半径公式.如椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)上一点P(x 0,y 0),则|PF 1|=a+ex 0,|PF 2|=a-ex 0.再如双曲线方程2222by a x -=1(a>0,b>0),若P(x 0,y 0)为双曲线右支上一点时,|PF 1|=a+ex 0,|PF 2|=ex 0-a.对于双曲线中的焦半径的表达式中,点P 在左,右两支上时,形式有所不同,此问题无需死记,只要运用圆锥曲线的共同特征,便可迅速求出结果来. 名师解惑如何求圆锥曲线的准线方程?剖析:首先应确定圆锥曲线的标准方程,根据焦点所在坐标轴,对应的准线方程形式写出相应的准线方程来.准线方程取决于圆锥曲线在坐标系中的位置,但准线到椭圆,双曲线中心的距离不变,据此可写出准线方程.准线总是垂直于焦点所在的坐标轴.椭圆和双曲线的准线方程形式有x=±c a 2或y=±ca 2,而抛物线的准线方程形式有x=±2p 或y=±2p .若椭圆,双曲线和抛物线方程不是标准方程时,它的准线方程就不是上面的形式,应根据曲线在坐标系中的位置来确定准线方程. 讲练互动【例1】已知定点A(-2,3),点F 为椭圆121622y x +=1的右焦点,点M 在椭圆上运动,求|AM|+2|MF|的最小值,及此时点M 的坐标.解析:应用椭圆的几何性质及圆锥曲线的共同特征,把式子中|MF|用点M 到相应准线的距离表示出来,利用这种转化,问题便迎刃而解.答案:因为a=4,b=23,所以c=22b a -=2.所以e=21.A 点在椭圆内,设M 到右准线的距离为d,则d MF ||=e,即|MF|=ed=21d,右准线l:x=8,所以|AM|+2|MF|=|AM|+d. 因为A 点在椭圆内,所以过A 作AK ⊥l(l 为右准线)于K,交椭圆于点M 0,则A,M,K 三点共线,即M 与M 0重合时,|AM|+d 最小为AK,其值为8-(-2)=10. 故|AM|+2|MF|的最小值为10,此时M 点坐标为(23,3). 绿色通道作出草图帮助分析问题.许多数学问题中常出现具有某种特征的数值,若能抓住这些数值的规律及特殊含义,加以分析,联想,可迅速获得问题的解答策略,否则会造成过程繁杂或在问题解决中产生思维障碍. 变式训练1.已知双曲线16922y x -=1的右焦点为F,点A(9,2),M 为双曲线上的动点,则|MA|+53|MF|的最小值为________________.解析:双曲线的离心率e=35,则dMF ||=e(d 为点M 到右准线l 的距离),右准线l 的方程为x=59,显然当AM ⊥l 时,|AM|+d 最小,而|AM|+53|MF|=|MA|+53de=|MA|+d,而|AM|+d 的最小值是A到l 的距离为9-53659=.答案:536【例2】在双曲线91622y x -=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 解析:用圆锥曲线的共同特征转化两个距离间的关系,即建立方程求解.答案:设P 点坐标为(x 0,y 0),F 1,F 2分别为双曲线的左,右焦点,准线方程为x=±516.由于|PF 1|=2|PF 2|>|PF 2|,故P 在右支上. 所以516||01+x PF =e=516||02-x PF .因为|PF 1|=2|PF 2|,所以2(x 0-516)=x 0+516.所以x 0=548. 因为P 在双曲线上,所以16)548(2-920y =1.所以y 0=±53119.所以P(548,±11953).绿色通道在圆锥曲线的焦半径问题中,常用圆锥曲线的共同特征去转化问题,可使解题过程简便快捷,也可以直接设点构造方程来求解.变式训练2.已知双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0),F 1,F 2为双曲线的左,右焦点,点P 在双曲线上运动时,求|PF 1||PF 2|的最小值.答案:设P 点的横坐标为x 0,则x 02≥a 2.由圆锥曲线的共同特征,知|PF 1|=|x 0+ca 2|e=|a+ex 0|,|PF 2|=e|x 0-c a 2|=|ex 0-a|, 所以|PF 1||PF 2|=|ex 0-a||ex 0+a|=|ca 2x 02-a 2|.因为c 2≥a 2,x 02≥a 2,所以ca 2x 02≥a 2.所以|PF 1||PF 2|=c a 2x 02-a 2≥ca 2×a 2-a 2=c 2-a 2=b 2,即|PF 1||PF 2|的最小值为b 2.【例3】点M(x,y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l:x=325的距离的比是常数53,求点M 的轨迹.解析:由圆锥曲线的共同特征可知,M 点的轨迹为椭圆,但方程是否为标准方程需分析讨论来确定.答案:由题设及圆锥曲线的共同特征,知M 点的轨迹是椭圆,且右焦点F(3,0),相应的右准线l:x=325, 所以ca 2-c=325-3=316,且a c =53.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=316,532c ca a c 解得c=3,a=5.因为c=3且F(3,0),所以椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,故方程为2222by a x +=1(a>b>0),由a=5,c=3,得b=4,故所求点M 的轨迹方程为162522y x +=1. 绿色通道题中没有明确椭圆的中心是否在原点,就不能知道方程是否为标准方程,因此也不能依定点(3,0)而直接得出c=3的结果.焦点坐标,准线方程与椭圆在坐标系中的位置有关,但是焦点到相应准线的距离ca 2-c 与椭圆在坐标系中的位置无关,此类问题也可用直接求轨迹方程的方法直接列出方程,再化简求得. 变式训练3.已知双曲线的右准线为x=4,右焦点F(10,0),离心率e=2,求双曲线的方程. 答案:设双曲线上任意一点M(x,y),由圆锥曲线的共同特征,得|4|)10(22-+-x y x =e=2,化简整理,得所求双曲线的方程为4816)2(22y x --=1. 教材链接【思考交流】曲线上的点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=516的距离的比是常数45,(1)求曲线方程;(2)指出与例2的相同处和不同处,与同学交流.答:(1)设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,曲线上的点M 满足d MF ||=45, 由此得|516|)5(22x y x -+-=45,即有22)5(y x +-=45|516-x|, 化简,得91622y x -=1. (2)本题与例2除常数的值不同外,其余的题设条件相同.由于例2中e=21∈(0,1),故得到的方程是椭圆的方程,本题中e=45>1,故得到的方程是双曲线的方程.。
数学北师大版高中选修2-1(北师大版选修2-1)高二圆锥曲线练习
（北师大版选修2-1第三章）高二圆锥曲线练习 一、选择题1.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）A. 22y x =-B. 24y x =-C. 22y x =-D. 24y x =2.曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同3已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A. 221169x y +=B.2211612x y +=C. 22143x y +=D. 22134x y +=4．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 （（A ）3（B ）3（C （D ）2 5. 双曲线221(0)x y mn m n -=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.836. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A.2± B.43± C.12± D.34±7. 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A. 1716B. 1516C. 78D. 0 8. 已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+ 8.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=9.M 是2y x =上的动点，N 是圆22(1)(4)1x y ++-=关于直线x-y+1=0的对称曲线C 上的一点，则|MN|的最小值是（ ） A.12- B. 12-1 10椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 A ．45 B ．25C.32D ．4511．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条12．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=物线的方程为A ．x y 232= B ．x y 32=C ．x y 292= D ．x y 92=二.填空题13．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k的取值范围是 。
北师版数学高二-选修2-1作业-圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点1.给出下列曲线,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( ) ①4x+2y-1=0;②x 2+y 2=3;③x 22+y 2=1;④x 22-y 2=1.A .①③B.②④C.①②③D.②③④解析:如果不深入思考,采用直线方程y=-2x-3与四个曲线方程分别联立求交点,比较复杂,且易出现差错,作为选择题,可考虑采用排除法.∵y=-2x-3可变形为4x+2y+6=0,显然与直线4x+2y-1=0平行,故排除选项A ,C ;将y=-2x-3代入③x 22+y 2=1,并整理,得9x 2+24x+16=0,即(3x+4)2=0,解得x=-43,y=-13.故已知直线与曲线③有交点,可排除选项B .故选D . 答案:D2.我们把离心率等于“黄金分割比”1+√52的双曲线称为“优美双曲线”.设双曲线x 2a2−y 2b2=1是优美双曲线,F 是其左焦点,A 是它的右顶点,B(0,b)是其虚轴上一点,则∠ABF 等于( ) A .120° B .90° C .75° D .60°解析:由e=c a=1+√52和点F(-c,0),A(a,0),B(0,b),可计算得BF ⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故∠ABF=90°.答案:B3.已知抛物线y 2=4x 与直线x-y=2交于A,B 两点,那么线段AB 的中点坐标是( ) A .(4,2) B.(2,4) C.(-4,-2) D.(-2,-4)解析:设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),把直线y=x-2代入抛物线方程y 2=4x 中,得x 2-8x+4=0,∴x 1+x 2=8,x 1+x 22=4,y 1+y 22=x 1+x 22-2=2. ∴AB 的中点坐标为(4,2). 答案:A4.已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于( ) A .3 B.4 C.3√2 D.4√2 解析:设直线AB 的方程为y=x+b,由{y =-x 2+3,y =x +b⇒x 2+x+b-3=0⇒x 1+x 2=-1,得AB 的中点M (-12,-12+b),又M (-12,-12+b)在直线x+y=0上,∴b=1,∴x 2+x-2=0,∴|AB|=√2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=3√2. 答案:C5.直线y-kx-1=0(k ∈R )与椭圆(或圆)x 25+y 2m=1恒有公共点,则m 的取值范围是( )A .[1,+∞)B.(0,5)C.(0,k)D.(1,5)解析:直线y=kx+1过定点(0,1).依题意,点(0,1)在椭圆(或圆)上或其内部,∴05+1m≤1,且m>0.∴m ≥1. 答案:A6.若AB 为过椭圆x 225+y 216=1中心的弦,F 1为椭圆的焦点,则△F 1AB 面积的最大值为( )A .6 B.12 C.24 D.48 解析:不妨设F 1为左焦点,即F 1(-3,0).当直线AB 斜率不存在时,△F 1AB 的面积为S=12×3×8=12;当直线AB 斜率存在时,设AB 的方程为y=kx.与椭圆方程联立,消去y 得,(16+25k 2)x 2=400. 令A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∴x 1+x 2=0,x 1x 2=-40016+25k2.∴|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =√1+k 2·√160016+25k2.又点F 1到直线AB 的距离为d=1+k ,∴△F 1AB 的面积为 S=12d ·|AB| =2·√1+k·√1+k 2·√160016+25k 2 =60√k216+25k2=60√116k2+25<12.答案:B7.已知动点P 的坐标(x,y)满足√(x -1)2+(y -1)2|x+y+2|√2=12,则动点P 的轨迹是 .解析:√(x -1)2+(y -1)2表示动点P 到定点(1,1),2表示动点P 到定直线x+y+2=0的距离,即原等式表示动点P 到定点(1,1)和定直线x+y+2=0的距离之比等于常数12,且0<12<1,因此动点P 的轨迹为椭圆.答案:椭圆8.(2014安徽高考)设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+y 2b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点,若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为 .解析:设B 在x 轴上的射影为B 0,由题意得,|B 0F 1|=13|F 1F 2|=2c 3,得B 0坐标为(-5c3,0),即B 点横坐标为-5c 3.设直线AB的斜率为k,又直线过点F 1(-c,0),∴直线AB 的方程为y=k(x+c). 由{y =k (x +c ),x 2+y 2b2=1得(k 2+b 2)x 2+2ck 2x+k 2c 2-b 2=0,其两根为-5c3和c,由根与系数的关系得{-53c +c =-2ck2k 2+b 2,-53c ×c =k 2c 2-b 2k 2+b2,解之,得c 2=13,∴b 2=1-c 2=23.∴椭圆方程为x 2+32y 2=1. 答案:x 2+32y 2=19.直线l:ax+by-3a=0与双曲线x 29−y 24=1只有一个公共点,则l 共有 条,它们的方程是 .解析:当b=0时,l:x=3,∴99−y 24=1,∴y=0,此时,l 与双曲线只有一个公共点; 当b ≠0时,{y =a (3-x )b,4x 2-9y 2=36.消去y,得(4b 2-9a 2)x 2+54a 2x-9(9a 2+4b 2)=0.(*) 若4b 2-9a 2=0,即a b =±23时,方程(*)为x=3,只有一个公共点,此时l:y=±23(3-x),即2x±3y-6=0;若4b 2-9a 2≠0,即a b ≠±23时,二次方程(*)的判别式Δ=542a 4+36(4b 2-9a 2)(4b 2+9a 2)=36(81a 4+16b 4-81a 4)=36×16b 4>0,此时直线l 与双曲线必有两个交点.综上所述,l 共有3条,其方程为x-3=0或2x±3y-6=0. 答案:3 x-3=0或2x±3y-6=010.在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k 的取值范围.解:设抛物线y 2=4x 上的B,C 两点关于直线y=kx+3对称,则直线BC 的方程为x=-ky+m(k ≠0),代入y 2=4x,得y 2+4ky-4m=0.①设点B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),BC 的中点M(x 0,y 0),则y 0=y 1+y 22=-2k,则x 0=2k 2+m.∵点M(x 0,y 0)在直线y=kx+3上,∴-2k=k(2k 2+m)+3.∴m=-2k 3+2k+3k.② 又∵直线BC 与抛物线交于不同的两点, ∴方程①中,Δ=16k 2+16m>0. 把②式代入化简,得k 3+2k+3k<0, 即(k+1)(k 2-k+3)k<0,解得-1<k<0,即k 的取值范围是(-1,0).11.(2014重庆高考)如图,设椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=2√2,△DF 1F 2的面积为√22.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解:(1)设F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c 2=a 2-b 2.由|F 1F 2||DF 1|=2√2得|DF 1|=122√2=√22c. 从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=√22c 2=√22,故c=1.从而|DF 1|=√22,由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3√22.所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2√2,故a=√2,b 2=a 2-c 2=1. 因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2,|P 1P 2|=2|x 1|. 由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0), 所以F 1P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),F 2P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 12=0. 由椭圆方程得1-x 122=(x 1+1)2,即3x 12+4x 1=0.解得x 1=-43或x 1=0.当x 1=0时,P 1,P 2重合,此时题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C. 由F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2,知CP 1⊥CP 2. 又|CP 1|=|CP 2|,故圆C 的半径|CP 1|=√22|P 1P 2|=√2|x 1|=4√23. 12.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点且互相垂直,又知C 的一个焦点与A(1,√2-1)关于直线y=x-1对称.(1)求双曲线C 的方程;(2)是否存在直线y=kx+n 与双曲线C 交于P,Q 两点,使PQ 恰被点(23,1)平分?(3)设直线y=mx+1与双曲线C 的右支交于B,D 两点,另一直线l 经过M(-2,0)及BD 的中点,求直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围.解:(1)由于双曲线C 的两条渐近线过坐标原点且互相垂直,则两条渐近线方程为y=±x,设双曲线C 的方程为x 2-y 2=a 2,又A(1,√2-1)关于y=x-1的对称点为(√2,0),即双曲线C 的一个焦点为(√2,0), ∴2a 2=2,a 2=1,得双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(2)假设存在,由{y =kx +n ,x 2-y 2=1⇒(1-k 2)x 2-2knx-n 2-1=0,由x 1+x 22=23,即nk1-k2=23.①∵y 1=kx 1+n,y 2=kx 2+n, ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2n, ∴2=43k+2n.② 由①②得k=23,n=59.此时直线方程为y=23x+59,经检验符合题意.故存在直线y=23x+59与双曲线C 交于P,Q 两点,使PQ 恰被点(23,1)平分.(3)由{y =mx +1,x 2-y 2=1⇒(1-m 2)x 2-2mx-2=0,令f(x)=(1-m 2)x 2-2mx-2,直线与双曲线右支交于两点,等价于方程f(x)=0 在[1,+∞)上有两个不等实根.∴{Δ>0,(x 1-1)+(x 2-1)>0,(x 1-1)(x 2-1)≥0⇒{ Δ>0,2m1-m 2>2,-21-m 2-2m1-m 2+1≥0⇒-√2<m<-1, 又BD 中点为(m 1-m 2,11-m 2),∴直线l 的方程为y=1-2m 2+m+2(x+2),令x=0,得t=2-2m 2+m+2,由-√2<m<-1,得-2-√2<-2m 2+m+2<-1, ∴t ∈(-2,√2-2).备选习题1.设椭圆x 24+y 23=1长轴的两端点为M,N,异于M,N 的点P 在椭圆上,则PM 与PN 的斜率之积为( )A .-34B .-43C .34D .43解析:由已知可设P(x 0,y 0),M(-2,0),N(2,0),则k PM ·k PN =y 0x 0+2·y 0x 0-2=y 02x 02-4. 因为x 024+y 023=1,所以y 02=4-x 024×3.所以k PM ·k PN =34(4-x 02)·1x 02-4=-34.答案:A2.已知曲线C:x 2-y 2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l 与C 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围;(2)若l 与C 交于A,B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 的面积为√2,求实数k 的值.解:(1)由{x 2-y 2=1,y =kx -1消去y,得(1-k 2)x 2+2kx-2=0.由{1-k 2≠0,Δ=4k 2+8(1-k 2)>0,得k 的取值范围为(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2). (2)设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由(1)得x 1+x 2=-2k1-k2,x 1x 2=-21-k2.又∵l 过点D(0,-1), ∴S △OAB =S △OAD +S △OBD =12|x 1|+12|x 2|=12|x 1-x 2|=√2. ∴(x 1-x 2)2=(2√2)2,即(-2k 1-k2)2+81-k2=8,解得k=0或k=±√62. 3.设A,B 是双曲线x2-y 22=1上的两点,点N(1,2)是线段AB 的中点.(1)求直线AB 的方程.(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C,D 两点,那么A,B,C,D 四点是否共圆?为什么?解:(1)由题意,知直线AB 与x 轴不垂直,设其斜率为k,则其方程为y=k(x-1)+2,代入双曲线方程并整理,得(2-k 2)x 2-2k(2-k)x-k 2+4k-6=0.设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由根与系数的关系及点N 是AB 的中点,知x 1+x 2=2k (2-k )2-k2=2.解得k=1.因此,直线AB 的方程为y=x+1.(2)A,B,C,D 四点共圆.理由:线段AB 的垂直平分线的方程为y=-x+3,代入双曲线方程,得 x 2+6x-11=0.设C,D 两点的坐标分别为(x 3,y 3),(x 4,y 4),由根与系数的关系,得x 3+x 4=-6,x 3x 4=-11. 则|x 3-x 4|=√(x 3+x 4)2-4x 3x 4=4√5. 据弦长公式,得|CD|=√1+(-1)2|x 3-x 4|=4√10.又设CD 的中点为M,则M 点的坐标为(-3,6),由直线AB 的方程y=x+1和双曲线方程x 2-y 22=1可求得点A(-1,0),B(3,4),所以点A(-1,0)到点M 的距离为|MA|=2√10,由于点C,D 是线段AB 的垂直平分线上的两点, 所以点B 到点M 的距离等于点A 到点M 的距离. 这样点A,B,C,D 到点M 的距离均等于2√10, 故A,B,C,D 四点共圆.。
高二数学北师大版选修2-1教师用书第3章 4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点 Word版含答案
．圆锥曲线的共同特征．直线与圆锥曲线的交点．掌握圆锥曲线的共同特征．(重点)．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点))．掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．(难点阅读教材“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题.．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ()椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是.( ) ()曲线上的点(，)到定点()的距离和它到定直线：＝的比是常数，则曲线是双曲线．( )()直线＝与抛物线＝的交点是()与()．( )【解析】根据圆锥曲线的共同特征知()中的比不可能大于.()正确．()由(\\(＝＝))解得()，()，故交点为()，()．【答案】()×()√()√．如果双曲线－＝上一点到右焦点的距离等于，那么点到右准线的距离是．【解析】由题知＝，＝，＝，∴＝.由双曲线的第二定义，设所求距离为，则＝.∴＝.【答案】教材整理曲线的交点阅读教材“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题．设曲线：(，)＝，：(，)＝，求曲线与的交点，即求方程组(\\(，＝，＝))的实数解．．过点()与抛物线＝只有一个公共点的直线有( )．条．条．条．条【解析】由于点()在抛物线＝上，所以满足条件的直线有条，一条为切线，一条与轴平行．【答案】．求直线＝－与－＝的交点．【解】两方程联立得(\\(＝－，－＝，))消元得－(－)＝.则＝，＝，代入＝－得＝.所以交点坐标为()．预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：()．椭圆．双曲线。
北师大版数学高二选修2-1练习-4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点课时目标 1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单的应用.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题．1．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到________________的距离与它到____________的距离之比为定值e. 当__________时，该圆锥曲线为椭圆； 当________时，该圆锥曲线为抛物线； 当________时，该圆锥曲线为双曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1：f(x ，y)＝0，C 2：g(x ，y)＝0，M(x 0，y 0)是C 1与C 2的公共点⇒⎩⎪⎨⎪⎧，故求曲线交点即求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0g (x ，y )＝0的实数解．一、选择题1．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1、e 2、e 3、e 4，其大小关系为( ) A ．e 1<e 2<e 3<e 4 B ．e 2<e 1<e 3<e 4 C ．e 1<e 2<e 4<e 3 D ．e 2<e 1<e 4<e 32．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x|(k ∈R 且k ≠0)的公共点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)4．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)5．若直线y ＝mx ＋1和椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，那么m 2的值为( ) A.12 B.23 C.34 D.456．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2二、填空题7．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为______．8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______．9．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_ _____________． 三、解答题10．中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．能力提升12．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF 等于( )A.45B.23C.47D.1213．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1 (a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)若设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．1．圆锥曲线共同特征的应用在涉及到求圆锥曲线上的点到该曲线的焦点的距离时，可以借助圆锥曲线的共同特征将其转化为求该点到定直线的距离，这样只要知道该点的横坐标即可． 2．直线与圆锥曲线位置关系的判定判断直线与圆锥曲线的位置关系时，将直线方程代入曲线方程，消元后得关于x (或y )的方程，当二次项系数不为零时，可由判别式Δ来判断．当Δ>0时，直线与曲线相交；当Δ＝0时，直线与曲线相切；当Δ<0时，直线与曲线相离．3．“点差法”的应用用“点差法”求弦中点和弦斜率．设弦端点坐标，分别代入圆锥曲线方程，作差、变形，结合中点坐标公式和斜率公式，可以建立中点坐标与斜率的关系式，在此关系式中若知中点坐标可求斜率，若知斜率可求弦中点的轨迹方程．4．2 圆锥曲线的共同特征4．3 直线与圆锥曲线的交点知识梳理1．一个定点 一条定直线 0<e<1 e ＝1 e>1 2．f(x 0，y 0)＝0 g(x 0，y 0)＝0 作业设计1．C [椭圆中，b ＝a 2－c 2，所以e 越大，则c 越接近a ，则b 越小，椭圆越扁，所以e 1<e 2；双曲线中，e 越大，开口越大，因此e 4<e 3，因此选C .]2．D [9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x|⇒9k 2x 2－18k 2|x|＋y 2＝0⇒9k 2(x 2－2|x|)＋y 2＝0，x 2＝|x|2. ∴上式变为9k 2(|x|－1)2＋y 2－9k 2＝0. ∴9k 2(|x|－1)2＋y 2＝9k 2.即(|x|－1)2＋y 29k2＝1.①∵是选择题，故不妨设k ＝1，则①变为(|x|－1)2＋y 29＝1，当x>0时，曲线为(x －1)2＋y 29＝1； x<0时，为(x ＋1)2＋y 29＝1.作出图像与y ＝2相交得交点为4个．]3．D [过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应大于等于l 的倾斜角，又l 的倾斜角是60°，从而ba≥3，故ca≥2.] 4．D [过A 、B 的直线方程为y ＝4t x －1代入x 2＝12y ，得：2x 2－4tx ＋1＝0，由题意知Δ＝16t2－8<0，∴t 2>2，即t>2或t<－ 2.]5．C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，得x 2＋4(mx ＋1)2－1＝0，即(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0，由Δ＝64m 2－12(4m 2＋1)＝0，得m 2＝34.]6．B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.] 7.12解析 由已知，得c ＝2，b 2a ＝3⇒b 2＝3a ⇒a 2－4＝3a ⇒a ＝4，e ＝c a ＝24＝12.8.53解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F(1,0)，过F(1,0)且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 代入4x 2＋5y 2＝20得4x 2＋5×4(x 2－2x ＋1)＝20.∴x 1＝0，x 2＝53.∴y 1＝－2，y 2＝43.∴A(0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43.∴|AB|＝ 259＋1009＝553.又点O(0,0)到y ＝2x －2的距离为d ＝25.∴S △OAB ＝12|AB|·d ＝12×553×25＝53.9．2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为P(8,1)， 所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 即2x －y －15＝0.10．解 设椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)．∵e ＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b.∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把直线方程代入化简得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.解得b 2＝58，a 2＝52.所以椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k(x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－kx 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k(2－k)x －k 2＋4k －6＝0， 当Δ>0时，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.12．A [如图所示，设过点M(3，0)的直线方程为y ＝k(x －3)，代入y 2＝2x 并整理， 得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，则x 1＋x 2＝23k 2＋2k 2.因为|BF|＝2，所以|BB ′|＝2.不妨设x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝3⎝⎛⎭⎫32－32，所以x 1＝2. S △BCF S △ACF ＝12|BC|·d12|AC|·d ＝|BC||AC|＝|BB ′||AA ′|＝22＋12＝45.]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得－2<a<2且a ≠±1. 又∵a>0，∴0<a<2且a ≠1. 又∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝ 1a 2＋1， ∴e>62且e ≠ 2. ∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)．∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a>0，∴a ＝1713.。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 4-2 圆锥
4.2 圆锥曲线的共同特征学习目标 1.理解椭圆、双曲线的第二定义.2.了解圆锥曲线的共同特征.3.会用圆锥曲线的统一定义解决问题.知识点一 椭圆的第二定义思考 椭圆是如何定义的？(第一定义)梳理 (1)定义：平面内到一个定点F (c,0)的距离与到一条定直线l ：x ＝a 2c (a ＞c ＞0)的距离之比为常数________的点的轨迹为椭圆(点F 不在直线l 上)，其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).其中，定点F (c,0)为椭圆的右焦点，定直线x ＝a 2c 为椭圆的________，常数ca 就是椭圆的______.(2)两点说明①在上述定义中，只有当0＜e ＜1时才表示椭圆.②焦点与准线的对应关系：对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1(－c,0)对应的准线为直线x ＝－a 2c ，右焦点F 2(c,0)对应的准线为直线x ＝a 2c ；对于椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，上焦点F 2(0，c )对应的准线为直线y ＝a 2c ，下焦点F 1(0，－c )对应的准线为直线y ＝－a 2c .知识点二 双曲线的第二定义 思考 双曲线的第一定义是什么？梳理 (1)双曲线的第二定义内容平面内到一个定点F (c,0)的距离与到一条定直线l ：x ＝a 2c (c ＞a ＞0)的距离之比为常数ca 的点的轨迹为双曲线(点F 不在直线l 上)，其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).其中，定点F (c,0)是右焦点，定直线l ：x ＝a 2c 是右准线，常数ca 就是双曲线的离心率e .(2)两点说明①在上述定义中，只有当e ＞1时才表示双曲线.②左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，对应焦点F 1(－c,0)的准线方程为x ＝－a 2c ，对应焦点F 2(c,0)的准线方程为x ＝a 2c .知识点三 圆锥曲线的共同特征——统一定义圆锥曲线上的点M 到一个定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比为定值e .当0＜e ＜1时，圆锥曲线是__________；当e ＝1时，圆锥曲线是________；当e ＞1时，圆锥曲线是________.此即为圆锥曲线的统一定义.类型一 由圆锥曲线的共同特征确定曲线的形状及方程 例1 方程2·(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝|x ＋y －2|表示的曲线是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线D.不能确定反思与感悟 在圆锥曲线的共同特征中，曲线上的点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一常数，这本身就是一个几何关系.由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线的方程.可以根据常数的大小(与1比较)来判断所求轨迹是什么曲线.跟踪训练1 已知动点M (x ，y )到点F (－22，0)与到定直线x ＝－62的距离之比为33，求点M 的轨迹方程.类型二 依据圆锥曲线的性质求其方程 例2 根据下列条件分别求椭圆的标准方程. (1)经过点(－1，455)，且一条准线为直线x ＝5；(2)两准线间的距离为1855，焦距为2 5.反思与感悟 圆锥曲线的准线方程是圆锥曲线的一个几何性质，已知准线方程可得a ，c 之间的一个关系式，结合其他已知条件可求出圆锥曲线的标准方程.跟踪训练2 已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线的方程为5y ＋33＝0，求此双曲线的方程.类型三 椭圆、双曲线的第二定义及应用例3 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.(0，22] B.(0，12]C.[2－1,1)D.[12，1) 反思与感悟 椭圆(双曲线)上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径. (1)椭圆的焦半径公式当椭圆的焦点在x 轴上时，设F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P (x 0，y 0)是椭圆上任一点，则|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0.推导如下：由统一定义，得|PF 1|d 1＝e (d 1为点P 到左准线的距离)，则|PF 1|＝ed 1＝e (x 0＋a 2c )＝a ＋ex 0.同理，得|PF 2|＝a －ex 0. 简记为：左“＋”右“－”.同理可知，当椭圆的焦点在y 轴上时，焦半径公式为|PF 1|＝a ＋ey 0，|PF 2|＝a －ey 0(F 1为下焦点，F 2为上焦点).综上可知，过焦点的弦的弦长仅与焦点弦中点的横坐标有关. (2)双曲线的焦半径公式对于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(F 1为左焦点，F 2为右焦点)：若点P (x 1，y 1)在左支上，则|PF 1|＝－a －ex 1，|PF 2|＝a －ex 1； 若点P (x 1，y 1)在右支上，则|PF 1|＝a ＋ex 1，|PF 2|＝－a ＋ex 1. 对于双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(F 1为下焦点，F 2为上焦点)：若点P (x 1，y 1)在下支上，则|PF 1|＝－a －ey 1，|PF 2|＝a －ey 1； 若点P (x 1，y 1)在上支上，则|PF 1|＝a ＋ey 1，|PF 2|＝－a ＋ey 1.跟踪训练3 已知双曲线x 2－3y 2＝3上一点P 到左，右焦点的距离之比为1∶2，求点P 到右准线的距离.1.椭圆x24＋y 2＝1的准线方程为( )A.x ＝±12B.x ＝±433C.y ＝±433D.y ＝±122.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离心率是( )A.3B.5C. 3D. 53.如果双曲线x 213－y 212＝1上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是________.4.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.5.已知椭圆x 2100＋y 236＝1上一点P 到直线x ＝252的距离等于10，求它到点(8,0)的距离.应用椭圆和双曲线的第二定义，解题时需要注意“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e (0＜e ＜1或e ＞1)”，其中“定点”是指焦点，“定直线”是指相应准线.一定要注意“左焦点对应左准线，右焦点对应右准线”.椭圆、双曲线的定义从不同的角度反映了椭圆、双曲线的特征，解题时要灵活运用. 一般地，如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第一定义，如果遇到有动点到一定点与一定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第二定义. 椭圆、双曲线的第二定义揭示了椭圆、双曲线上的点到焦点的距离与它到对应准线距离的关系，因此可以把椭圆、双曲线上一点到焦点的距离转化为到其准线的距离. 提醒：完成作业 第三章 §4 4.2答案精析问题导学 知识点一思考 我们把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的焦点，两个焦点F 1，F 2间的距离叫作椭圆的焦距. 梳理 (1)ca 右准线 离心率e知识点二思考 我们把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线.定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用2a (a ＞0)表示，焦距常用2c (c ＞0)表示. 知识点三椭圆 抛物线 双曲线 题型探究 例1 C跟踪训练1 解 由题意得(x ＋22)2＋y 2|x －(－62)|＝33， 整理，得x 224＋y 216＝1，即为点M 的轨迹方程.例2 解 (1)因为椭圆的一条准线为直线x ＝5， 所以椭圆的焦点在x 轴上.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).根据题意，得⎩⎨⎧1a 2＋165b 2＝1，a 2a 2－b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝21，b 2＝8425.故所求椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1或x 221＋y 28425＝1.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2·a 2c ＝1855，2c ＝25，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，c ＝ 5.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.跟踪训练2 解 由题意得双曲线的准线方程为y ＝－335，渐近线方程为3x ±4y ＝0. 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1.根据题意，得⎩⎨⎧a 2c ＝335， ①a b ＝34， ②a 2＋b 2＝c 2. ③设a ＝3k ，b ＝4k (k ＞0)，则c ＝5k ，代入①，得a ＝3，b ＝433.故所求双曲线的方程为y 23－3x 216＝1.例3 D跟踪训练3 解 设F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点， 则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝12|PF 2|，|PF 2|－|PF 1|＝23，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝23，|PF 2|＝4 3.设点P 到右准线的距离为d ， 则|PF 2|d ＝c a ＝233，∴d ＝6， 即点P 到右准线的距离为6. 当堂训练1.B2.D3.1354.65.解 由椭圆的方程x 2100＋y 236＝1，知a 2＝100，b 2＝36，则a ＝10，c 2＝a 2－b 2＝64，解得c ＝8，故点(8,0)是椭圆的右焦点，直线x ＝252是椭圆的右准线，且离心率e ＝c a ＝45.设点P 到点(8,0)的距离为d ，则由椭圆的第二定义，得d 10＝45，解得d ＝8.故点P 到点(8,0)的距离为8.。
数学北师大版高中选修2-1高二数学同步测试—圆锥曲线综合
高二数学同步测试—圆锥曲线综合一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 （ ）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12 ,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ）A ．π22B ．πC ．π)21(+D ．π2221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 （ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为 （ ）A ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值 （ ）A ．21B ．33C ．23D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 ） A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个. 13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|P A |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F（1） 求△21PF F 的面积；（2） 求P 点的坐标．（12分）16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）yPO xA B 及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）． （1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）19．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222by a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222b y a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD的面积相等．（1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321(14． 25 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P 16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y aa a ax ，表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ．又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x .（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22m m m --，∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ． 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当y p =2时，x p =8又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=()（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-即221020p y y p y y +=-+,所以y y y 1202+=-, 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB ,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以k y y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21b bxy y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及ax ≠得，得[0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a . 20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-by a a x ，又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PB PD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+b y a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。
北师大版高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》课时练习(附答案)
5.如图 ,已知椭圆的方程为
= 1,若点 P 在第二象限 ,且∠ PF1F2= 120°,求△PF1F2 的面积 .
6.给出如下定义 :把由半椭圆
= 1(x≥ 0)与半椭圆
=1( x≤0) 合成的曲线称作 “果圆 ”,其中
a2=b 2+c 2,a> 0,b>c> 0,如图 ,点 F0 ,F 1,F 2 是相应椭圆的焦点 ,A1,A2 和 B1,B2 分别是 “果圆 ”与 x,y 轴的交点 . (1) 若 △F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形 ,求“果圆 ”的方程 ;
|PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2| 2-2|PF 1||F 1F2|cos 120°,
即 |PF2 |2=|PF 1|2+ 4+ 2|PF 1|.
①
由椭圆的定义 ,得 |PF 1|+|PF 2|= 4,
即 |PF2 |= 4-|PF 1|.
②
②代入 ①,解得 |PF 1|= .
所以
|PF 1|·|F 1F2 |·sin 120 °=
北师大版高中数学选修 2-1 第三章《圆锥曲线与方程》同步课时作业
3.1.1 椭圆及其标准方程
A组
1.F 1,F2 是定点 ,|F 1F 2|= 6,动点 M 满足 |MF 1|+|MF 2|= 6,则点 M 的轨迹是 (
)
A .椭圆
B .直线
C .线段
D .圆
2.已知椭圆 C 上任意一点 P(x,y)都满足关系式 为( )
B .4
C .6
D.
5.已知 F 1,F2 是椭圆 C: 积为 9,则 b= ( )
A.3
B.9
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圆锥曲线的共同特征 同步练习
【选择题】
1．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 ( ) （A ）
23 （B ）3
3 （C ）3
1
6 （D ）6
1
6
2．椭圆22
1925
x y +
=的准线方程是 ( ) （A ）x =±
254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±254
3．椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a , b , c ，则其焦点到相应准线的距离P 是 ( ) （A ）2a c （B ）2b c （C ）2b a （D ）2
a b
4．圆锥曲线42x +m
y 2
=1有一条准线为x=4，则m 的值只能是（ ）
A ．- 5
B ．5
C ．-3
D ．3
5．如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的（ ）
A ．18倍
B ．12倍
C ．9倍
D ．4倍
6.已知点M 在椭圆上，椭圆方程为252x +16
2
y =1,M 点到左准线的距离为2.5，则它
到右焦点的距离为 ( )
A.7.5
B.12.5
C.2.5
D.8.5
7．双曲线7
92
2y x -=1上一点P 到左焦点的距离为5，则P 到右准线的距离为（ ）
A
415 B 6 C 4
33
D 212 8．设椭圆22
22b
y a x +=1(a>b>0)的离心率为e ，焦距为2c ，则椭圆上的一点M(x 0,y 0)
到它的两个焦点的距离分别是（ ）
A ．ex 0+c,ex 0-c
B .c+ex 0,a-ex 0
C ．a+ex 0,a-ex 0
D ．ex 0+a,ex 0-a 【填空题】
9．动点P(x,y)到直线x=5的距离与它到点F(1,0)的距离之比为3， 则动点P 的轨迹方程为
10．若双曲线14522=-
y x 上一点P 到一条准线的距离是3
5
，则到另一条准线的距离是
11．椭圆13422=+
y x 上有一点A(x 1,y 1)到左焦点的距离为2
5
，则x 1的值为 12．已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切，则p=
【解答题】
13．求经过定点P(1,2)以x 轴为准线，离心率为2
1
的椭圆的左顶点的轨迹方程。
14.已知椭圆22
143
x y +=，能否在椭圆上于y 轴左侧的部分找到一点M 到左准线l 的距离|MN |为点M 到两个焦点F 1、F 2的距离的比例中项？并说明理由.
参考答案
1、B
2、D
3、B
4、D
5、C
6、D
7、C
8、C
9、 10、 5 11、 1 12、 2
13、
14、不存在
1
8
12)1(2
2=++y x 1
)22
3()1(22=-+-y x。