二次根式小结-课件
合集下载
数学八年级下《二次根式》复习课件
a
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
上页
下页
知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
上页
下页
知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
【教学】《二次根式小结》(人教版)精品PPT课件
人民教育出版社 八年级 | 下册
例4 计算：（1）( 2 )2 ；（2）(1 6)2 ；（3）(2 3)2 ；（4）(3 x )2 .
3
2
解：（1）( 2 )2 = 2 ； 33
（2）(1 6)2 = (1)2 ( 6)2 = 1 6 = 3 ；
2
2
4
2
（3）(2 3)2= (2)2 ( 3)2 = 4×3=12；
【小结】
（1） a 表示a的算术平方根； （2） a 中a可以是数，也可以是式子； （3） a 有意义的条件是a≥0； （4）a≥0， a ≥0（双重非负性）.
”称为二次根号.
畅言教育
人民教育出版社 八年级 | 下册
例1
找出下列各式中的二次根式：3 27 ， - 4，
a2
2a 1，
2a 1(a＜ 1)，
梳理四：最简、同类二次根式的概念
人民教育出版社 八年级 | 下册
1.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式. (1)被开方数中不含有分母； (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式.
畅言教育
二、重要知识梳理：
梳理四：最简、同类二次根式的概念
人民教育出版社 八年级 | 下册
2.几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫 做同类二次根式。 判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式都化为最简二次根式； 2、再观察：化简后的二次根式的被开方数是否相同。
2.二次根式的乘法法则： a b ab(a 0，b 0)
3.商的算术平方根性质： a a (a 0，b＞0)
bb
4.二次根式的除法法则： a a (a 0，b＞0)
bb
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
【精品推荐】2020年秋八年级数学上册第5章二次根式章末小结课件新版湘教版
5．已知：实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简： a＋12＋2 b－12 －| a－b2|.
解：从数轴上 a、b 的位置关系可知：－2＜a＜－1,1＜b＜2，且 b＞a，故 a ＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0，原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b －1)＋(a－b)＝b－3.
(2)a1＋1b＝a＋abb＝2－13＝－2 3.
10．化简求值：(a＋a 2＋a2－1 4)÷aa－＋12＋a－1 2，其中 a＝2＋ 2. 解：原式＝a＋a2－1a－2 2×aa＋－21＋a－1 2＝aa－－21＋a－1 2＝a－a 2，当 a＝2＋ 2时，
2＋ 2 原式＝ 2 ＝ 2＋1.
二次根式的运算
6．已知 7＝a， 70＝b，则 4.9等于( D )
a＋b A. 10
b－a B. 10
b
ab
C.a
D.10
1 7．计算 9－2－1＋3 8－|－2|＝ 22 .
8．计算： (1) 2(2 6－ 3)－( 3－1)2；
解：原式＝4 3－ 6－3＋2 3－1＝6 3－ 6－4；
(2)(2 23－ 12)(12 8＋ 23)； 解：原式＝( 6－12 2)( 2＋13 6)＝ 6× 2＋ 6×13 6－12 2× 2－12 2×13
5×
1 5.
4．错用乘法分配律而出错．例： 12－ 3÷(2－ 3)．
【考点分类训练】
二次根式的概念和性质
1．要使代数式 2－3x有意义，则 x 的( A )
A．最大值是23
B.最小值是23
C．最大值是32
D.最小值是23
2．若 1－4a＋4a2＝1－2a，则 a 的取值范围是( C )
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
人教版八年级二次根式知识点总结课件
B
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
二次根式的性质课件
案例二
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
义务教育教科书（浙教）八年级数学下册
第1章 二次根式
不含分母
1. a• b a
2. b
加减，合并
运算
混合运算
最简 二次根式
不含开得尽 的因数因式
a(a≥0)
( ) 性质
1. a2(a≥ 0)
2. a2(任意实) 数
二 次
ab= a• b
(a ≥0, b ≥0)
a= a bb
(a ≥ 0,b > 0 )
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
a（a≥0）， a2＝|a|＝ －a（a<0）.
例 2 计算： －2× x2. x
解：由题意知－2≥0，∴x<0，∴ －2× x2＝ 2 ×
x
x
－x
（－x）2＝
2 ×(－x)＝ －x
2× －x －x 2 ×(－x)＝
－－x2x×(－x)
＝ －2x.
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先 要判断字母的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形 式，再根据a的取值进行计算．
2x－1
A.12≤x≤3
B．x≤3 且 x≠12
C.12<x<3
D.12<x≤3
2．若 y＝ 2x－2015＋ 2015－2x－1，则 2x＝______，y ＝______.
[答案] 2015 －1
► 类型之二 二次根式性质的应用
( ) 对于形如 a 2 , a2的二次根式的化简，用公式
( )a 2 = a(a ≥0),
a2－3a＋1＝0，所以 b＋1＝0，
1 a＋a＝3，b＝－1，所以
a2＋a12＝a＋1a2－
2＝32－2＝7，所以 a2＋a12－|b|＝7－1＝6.
► 类型之四 二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
(1) 1x＋2； (2) x2＋2； 3
(3) xx－＋21；
(4) x＋5 . 3－x
[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于0；② 分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.
【针对训练】
1．要使 3－x＋ 1 有意义，则 x 应满足( D )
根
式
如果一个数的平方等于a，那么这个
数叫做a的平方根。其中正的平方根 a
（读作根号a）也叫做a的算术平方根。
当a≥0时， a 叫做二次根式。
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x 50
2x(xy)2 x2 y2
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式
例 4 计算：
(1)3
20×(－
－1 15)÷ 3
48 ；
2
(2) 18－ 9－ 3＋ 6＋( 3－2)0＋ （1－ 2）2.
2
3
例 5 计算：(－3)0－ 27＋|1－ 2|＋ 1 .
3＋ 2
解：(－3)0－ 27＋|1－ 2|＋ 1
3＋ 2 ＝1－3 3＋ 2－1＋ 3－ 2＝－2 3.
【针对训练】7. 7．[2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
a2 b2
先化简，再求值： a
2ab a
b2
a ，
其中 a＝1＋ 2，b＝1－ 2.
[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分 母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将 分式的除法转化为乘法运算．
【针对训练】
8．已知 x＝2－ 10，试求代数式 x2－4x－6 的值． 解：方法一：∵x＝2－ 10，∴x－2＝－ 10， ∴x2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6， ∴x2－4x－6＝6－6＝0. 方法二：x2－4x－6＝x2－4x＋4－10＝(x－2)2－10. 当 x＝2－ 10时， 原式＝(2－ 10－2)2－10＝10－10＝0.
[解析] 由|a＋2|＋ b－4＝0 可得 a＋2＝0，b－4＝0，解 得 a＝－2，b＝4，所以a2＝1.
b
6．若 a2－3a＋1＋b2＋2b＋1＝0，则 a2＋a12－b＝________． [答案] 6
[ 解 析 ] 依 题 意 ， 得 a2－3a＋1 ＋ (b ＋ 1)2 ＝ 0 ， 所 以
【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x
[解析] D x2－2x＋1＝ （x－1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0，∴原式＝1－x.
4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简：a+│a+b│－ c2 －│b－c│
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
例 3 已知△ABC 的三边 a，b，c 满足(a－5)2＋ b－5＋ | c－1－2|＝0，则△ABC 为( B )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【【针针对对训训练练】】5. 5．[2013·广东] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4＝0，则 a2＝________． b [答案] 1
► 类型之六 二次根式在实际生活中的应用
与二次根式有关的实际生活的应用题主要表现在两个方面：一 是用二次根式或含二次根式的式子表示未知量，二是通过二次根式 的四则混合运算求出未知量，并化简．
例 7 如图 2，某水坝的横斜面是梯形，迎水坡 AD 的坡比为 1: 3 ，背水坡 BC 的坡比为 2:1，斜坡 AD 的长度为 12m，坝顶宽 CD 为 4m，求坝底 AB 的长和斜坡 BC 的长。
①化成最简二次根式后 ②被开方数相同
第一组： 3
1 3
12
第三组： x 3 y
xy
第二组： 0 .8 8 18
y x
a•ba(a b0 ,b0)
a a(aห้องสมุดไป่ตู้,b＞0)
bb
反之亦成立。
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 根据二次根式的定义，式子 a中，被开方数 a 必须是非
负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围． 例 1 x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？
图2
[归纳总结] 坡比是垂直距离与水平距离的比，所以要创造直 角三角形借助方程的思想来计算长度,而BC的长要根据勾股定理 来求解。最终的结果必须化为最简二次根式。
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 3:10:01 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
b c0 a
图1 [解析] 由图 1 可知 a＞0，b＜c＜0，所以 a+b＜0，b-c＜
0,则 a+│a+b│－ c2 －│b－c│＝a-a-b+c+b-c=0
► 类型之三 二次根式的非负性的应用
由 a≥0，b≥0 且 a＋b＝0 得到 a＝b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x＋ y＝0； x＋|y|＝0； x＋y2＋|z|＝0 等．
[答案] －6
[解析] 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ 6－3－2 6－(3 － 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
► 类型之五 与二次根式有关的化简求值
将包含二次根式的代数式化简求值时，可以先把原式化简后再 代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
例6
[2013·襄阳]
第1章 二次根式
不含分母
1. a• b a
2. b
加减，合并
运算
混合运算
最简 二次根式
不含开得尽 的因数因式
a(a≥0)
( ) 性质
1. a2(a≥ 0)
2. a2(任意实) 数
二 次
ab= a• b
(a ≥0, b ≥0)
a= a bb
(a ≥ 0,b > 0 )
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
a（a≥0）， a2＝|a|＝ －a（a<0）.
例 2 计算： －2× x2. x
解：由题意知－2≥0，∴x<0，∴ －2× x2＝ 2 ×
x
x
－x
（－x）2＝
2 ×(－x)＝ －x
2× －x －x 2 ×(－x)＝
－－x2x×(－x)
＝ －2x.
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先 要判断字母的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形 式，再根据a的取值进行计算．
2x－1
A.12≤x≤3
B．x≤3 且 x≠12
C.12<x<3
D.12<x≤3
2．若 y＝ 2x－2015＋ 2015－2x－1，则 2x＝______，y ＝______.
[答案] 2015 －1
► 类型之二 二次根式性质的应用
( ) 对于形如 a 2 , a2的二次根式的化简，用公式
( )a 2 = a(a ≥0),
a2－3a＋1＝0，所以 b＋1＝0，
1 a＋a＝3，b＝－1，所以
a2＋a12＝a＋1a2－
2＝32－2＝7，所以 a2＋a12－|b|＝7－1＝6.
► 类型之四 二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
(1) 1x＋2； (2) x2＋2； 3
(3) xx－＋21；
(4) x＋5 . 3－x
[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于0；② 分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.
【针对训练】
1．要使 3－x＋ 1 有意义，则 x 应满足( D )
根
式
如果一个数的平方等于a，那么这个
数叫做a的平方根。其中正的平方根 a
（读作根号a）也叫做a的算术平方根。
当a≥0时， a 叫做二次根式。
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x 50
2x(xy)2 x2 y2
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式
例 4 计算：
(1)3
20×(－
－1 15)÷ 3
48 ；
2
(2) 18－ 9－ 3＋ 6＋( 3－2)0＋ （1－ 2）2.
2
3
例 5 计算：(－3)0－ 27＋|1－ 2|＋ 1 .
3＋ 2
解：(－3)0－ 27＋|1－ 2|＋ 1
3＋ 2 ＝1－3 3＋ 2－1＋ 3－ 2＝－2 3.
【针对训练】7. 7．[2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
a2 b2
先化简，再求值： a
2ab a
b2
a ，
其中 a＝1＋ 2，b＝1－ 2.
[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分 母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将 分式的除法转化为乘法运算．
【针对训练】
8．已知 x＝2－ 10，试求代数式 x2－4x－6 的值． 解：方法一：∵x＝2－ 10，∴x－2＝－ 10， ∴x2－4x＋4＝10，即 x2－4x＝6， ∴x2－4x－6＝6－6＝0. 方法二：x2－4x－6＝x2－4x＋4－10＝(x－2)2－10. 当 x＝2－ 10时， 原式＝(2－ 10－2)2－10＝10－10＝0.
[解析] 由|a＋2|＋ b－4＝0 可得 a＋2＝0，b－4＝0，解 得 a＝－2，b＝4，所以a2＝1.
b
6．若 a2－3a＋1＋b2＋2b＋1＝0，则 a2＋a12－b＝________． [答案] 6
[ 解 析 ] 依 题 意 ， 得 a2－3a＋1 ＋ (b ＋ 1)2 ＝ 0 ， 所 以
【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x
[解析] D x2－2x＋1＝ （x－1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0，∴原式＝1－x.
4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简：a+│a+b│－ c2 －│b－c│
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
例 3 已知△ABC 的三边 a，b，c 满足(a－5)2＋ b－5＋ | c－1－2|＝0，则△ABC 为( B )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【【针针对对训训练练】】5. 5．[2013·广东] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4＝0，则 a2＝________． b [答案] 1
► 类型之六 二次根式在实际生活中的应用
与二次根式有关的实际生活的应用题主要表现在两个方面：一 是用二次根式或含二次根式的式子表示未知量，二是通过二次根式 的四则混合运算求出未知量，并化简．
例 7 如图 2，某水坝的横斜面是梯形，迎水坡 AD 的坡比为 1: 3 ，背水坡 BC 的坡比为 2:1，斜坡 AD 的长度为 12m，坝顶宽 CD 为 4m，求坝底 AB 的长和斜坡 BC 的长。
①化成最简二次根式后 ②被开方数相同
第一组： 3
1 3
12
第三组： x 3 y
xy
第二组： 0 .8 8 18
y x
a•ba(a b0 ,b0)
a a(aห้องสมุดไป่ตู้,b＞0)
bb
反之亦成立。
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 根据二次根式的定义，式子 a中，被开方数 a 必须是非
负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围． 例 1 x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？
图2
[归纳总结] 坡比是垂直距离与水平距离的比，所以要创造直 角三角形借助方程的思想来计算长度,而BC的长要根据勾股定理 来求解。最终的结果必须化为最简二次根式。
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 3:10:01 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
b c0 a
图1 [解析] 由图 1 可知 a＞0，b＜c＜0，所以 a+b＜0，b-c＜
0,则 a+│a+b│－ c2 －│b－c│＝a-a-b+c+b-c=0
► 类型之三 二次根式的非负性的应用
由 a≥0，b≥0 且 a＋b＝0 得到 a＝b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x＋ y＝0； x＋|y|＝0； x＋y2＋|z|＝0 等．
[答案] －6
[解析] 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ 6－3－2 6－(3 － 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
► 类型之五 与二次根式有关的化简求值
将包含二次根式的代数式化简求值时，可以先把原式化简后再 代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
例6
[2013·襄阳]