北师大版初三数学圆的总复习

北师大版初三数学圆的总复习一. 教学内容：1. 圆锥的侧面积2. 圆的总复习二. 教学目标：1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题2. 灵活运用本章的知识解决综合问题三. 教学重点、难点：1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题2. 灵活运用本章的知识解决综合问题四. 课堂教学：知识要点：1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl。

2. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积3. 本章的知识机构图【典型例题】例1. 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为cm2（结果保留π）。

答案：8π例2. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为。

答案：2例3. 如图，矩形ABCD 的长与宽分别是2cm 和1cm ，AB 在直线l 上。

依次以B 、C ′、D ″为中心将矩形ABCD 按顺时针方向旋转90°，这样点A 走过的曲线依次为 AA′ 、A ′A ″ 、 A ″A ″ ，其中 AA ′交CD 于点P 。

（1）求矩形A ′BC ′D ′的对角线A ′C ′的长； （2）求 AA ′ 的长； （3）求图中的 部分的面积S ；（4）求图中的 部分的面积T 。

解：（1）A C cm ′′=+=2152（2）AA ′ ＝901802π×π=cm 。

（3）S cm ==9053605422ππ()。

（4）连接BP ，在Rt △BCP 中，BC ＝1，BP ＝2，∴∠°，∴∠°∴π×（π）扇形△BPC CP ABP T S S cm ABP PBC ====+=+=+303303036023233222...例4. 如下图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，点E 是AB 边上的一点，AE ＝22。

过D 、E 两点作直线PQ ，与BC 边所在的直线MN 相交于点F 。

QMFEA G H OCDPNB（1）求tan ∠ADE 的值；（2）点G 是线段AD 上的一个动点（不运动至点A 、D ），GH ⊥DE ，垂足为H ，设DG 为x ，四边形AEHG 的面积为y ，请求出y 与x 之间的函数关系式；（3）如果AE ＝2EB ，点O 是直线MN 上的一个动点，以O 为圆心作圆，使⊙O 与直线PQ 相切，同时又与矩形ABCD 的某一边相切。

问满足条件的⊙O 有几个？并求出其中一个圆的半径。

解：（1）∵矩形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝8，AE ＝22∴∠tan ADE =AE AD ==22824（2）∵DE AD AE =+=+=222282262()，∴∠，∠sin cos ADE AE ED ADE AD ED ======226213862223在Rt △DGH 中，∵GD ＝x ，x ADE DG GH 31sin =∠⋅=∴∴·∠DH =DG cos ADE =223x，292313222121x x x GH DH S DGH ===····∴△∴·××△S AD AE AED ===121282282∴－－△△y S S xAED DGH ==82292即y 与x 之间的函数关系式是y x =-+29822。

（3）满足条件的⊙O 有4个。

以⊙O 在AB 的左侧与AB 相切为例，求⊙O 半径如下： ∵AD ∥MN ，∴△AED ∽△BEF 。

∴∠PFN ＝∠EDA 。

∴sin ∠PEN ＝sin ∠EDA ＝13。

∵AE ＝2BE,∴△AED 与△BEF 的相似比为2∶1。

∴AD FB FB ==214，。

过点O 作OI ⊥PQ ，垂足为I ，设⊙O 的半径为r ，那么FO ＝4－r 。

∵∠sin PFN=OIFO =-=rr413，∴r＝1。

（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）例5. 已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系。

有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（-13，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。

（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由。

（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。

解：（1）CD与⊙O相切。

因为A、D、O在一直线上，∠ADC＝90°，所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切线。

CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2＝13.解得a＝2，或a＝－3（舍去）。

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE∽Rt△OBA，所以ODOBDEBAOEOADE===，所以21313。

OE=31313，所以点D1的坐标是（-3131321313，），所以OD所在直线对应的函数表达式为y x =-23。

图①图②②切点在第四象限时（如图②），设正方形ABCD 的边长为b ，则b 2＋（b －1）2＝13， 解得b ＝－2（舍去），或b ＝3。

过点D 作DF ⊥OB 于F ，则Rt △ODF ∽Rt △OBA ，所以，所以，OD OB OF OA DF BA OF DF ====23133313所以点D 2的坐标是（，）2131331313-所以OD 所在直线对应的函数表达式为y x =-32图 ③（2）如图③，过点D 作DG OB ⊥于G ，连接BD 、OD ，则BD BG DG BO OG OD OG x x x2222222213114213=+=-+-=--+-=+()()所以S AB BD x ===+2212713。

因为－1≤x ≤1，所以S 的最大值为137+，S 的最小值为713-。

例6. 如图，形如量角器的半圆O 的直径DE ＝12cm ，形如三角板的△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝12cm 。

半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上。

设运动时间为t （s ），当t ＝0s 时，半圆O 在△ABC 的左侧，DO →E CAB（1）当t 为何值时，△ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切？（2）当△ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直径DE 围成的区域与△ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

解：（1）①如图1，当点E 与点C 重合时，AC OE ⊥，OC ＝OE ＝6cm ，所以AC 与半圆O 所在的圆相切。

此时点O 运动了2cm ，所求运动时间为：t s ==221（）。

O C （E ） AB图1D②如图2，当点O 运动到点C 时，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F 。

在Rt △FOB 中，∠FBO ＝30°，OB ＝12cm ，则OF ＝6cm ，即OF 等于半圆O 的半径，所以AB 与半圆O 所在的圆相切。

此时点O 运动了8cm ，所求运动时间为t s ==824（）。

图 2③如图3，当点O 运动到BC 的中点时，AC ⊥OD ，OC ＝OD ＝6cm ，所以AC 与半圆O所在的圆相切，此时点O 运动了14cm ，所求运动时间为：t s ==1427（）。

图 3④如图4，当点O 运动到B 点的右侧，且OB ＝12cm 时，过点O 作OQ ⊥直线AB ，垂在Rt △QOB 中，∠OBQ ＝30°，则OQ ＝6cm ，即OQ 等于半圆O 所在的圆的半径，所以，直线AB 与半圆O 所在的圆相切，此时点O 运动了32cm ，所求运动时间为：t s ==32216（）。

因为半圆O 在运动中，它所在的圆与AC 所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB 所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC 所在直线始终相交。

所以只有当t 为1s ，4s ，7s ，16s 时，△ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切。

图4（2）当△ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切时，半圆O 与直径DE 围成的区域与△ABC 三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与图3所示的两种情形。

①如图2，设OA 与半圆O 的交点为M ，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm 的扇形，所求重叠部分面积为：S cm EOM 扇形×（）==146922ππ。

②如图3，设AB 与半圆O 的交点为P ，连接OP ，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H 。

则PH ＝BH 。

在Rt △OBH 中。

∠OBH ＝30°，OB ＝6cm ，则OH ＝3cm ，BH cm =33，BP cm =63S cm POB ∆==12633932××（），又因为∠=∠=DOP DBP 260°，所以S cm DOP 扇形×（）==166622ππ。

所求重叠部分面积为：））（（扇形2639cm S S DOP POB π+=+∆。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1. 下列命题中的真命题是（ ） A. 三点确定一个圆B. 平分弦的直径垂直弦C. 圆周角等于圆心角的一半D. 在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等2. 如图，⊙O 的直径为10厘米，弦AB 的长为6cm ，M 是弦AB 上的一动点，则线段OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤B. 5OM 4≤≤C. 5OM 3<<D. 5OM 4<<OA MB3. 如图，ΔABC 为等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，⊙A 与BC 相切，则图中阴影部分的面积为（ ）A.21π-B.31π-C.41π-D.51π-4. 如图，点B 在圆锥母线VA 上，且VA31VB =，过点B 作平行于底面的平面截得一个小圆锥，若小圆锥的侧面积为1S ，原圆锥的侧面积为S ，则下列判断中正确的是（ ）A. S31S 1= B.S41S 1= C.S61S 1=D.S91S 1=VB5. 一机械零件的横截面如图所示，作⊙1O 的弦AB 与⊙2O 相切，且AB//21O O ，如果AB ＝10cm ，则下列说法正确的是（ ）A. 阴影面积为2cm 100πB. 阴影面积为2cm 25πC. 阴影面积为2cm 50πD. 因缺少数据，阴影面积无法计算二、填空题：1. 在ΔABC ，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点O 是ΔABC 的外心，现在以O 为圆心，分别以2、2.5、3、为半径作⊙O ，则点C 与⊙O 的位置关系分别是_____________． 2. 如图在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD ，垂足为P ，∠BAD ＝30°，则∠AOC 的度数是________度．PA BCDO3. 在Rt ΔABC ，斜边AB ＝13cm ，BC ＝12cm ，以AB 的中点O 为圆心，2.5cm 为半径画圆，则直线BC 和⊙O 的位置关系是________________．4. 把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是___________．5. 如图，四边形ABCD 是正方形，曲线Λ1111D C B DA 叫做“正方形的渐开线”，其中弧1DA 、弧11B A 、弧11C B 、弧11D C …的圆心依次按A 、B 、C 、D 循环，它依次连接，取AB ＝1，则曲线1111D C B DA 的长是___________．三、解答题：1. 已知：如图，在⊙O 中，AB 为弦，C 、D 两点在AB 上，且AC ＝BD ，请你仔细观察后回答：图中共有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明你的理由．2. 如图，已知BC 是⊙O 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A 为弧BF 的中点，BF 交AD 于E ，且32EF BE =⋅，AD ＝6， （1）求证：AE ＝BE ； （2）求DE 的长；（3）求BD 的长．3. 如图，OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连接AD 交OC 于点E ．求证：CD ＝CE ； （1）若将图（a ）中的半径OB 所在的直线向上平移交OA 于F ，交⊙O 于B'，其他条件不变（如图（b ）），那么上述结论CD ＝CE 还成立吗？为什么？（a ）（b ）OOAABB'E ECCDD F （2）若将图（a ）中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变（如图（c ）），那么上述结论CD ＝CE 还成立吗？为什么？4. 如图，⊙O 的半径OC 与直径AB 垂直，点P 在OB 上运动（点O 、B 除外），CP 的延长线交⊙O 于点D ，在OB 的延长线上取点E ，使ED ＝EP ．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）当OC＝2，ED＝2时，求∠E的正切值tanE和图中阴影部分的面积．【试题答案】一、1. D2. B3. C4. D5. B 二、1.点c 在圆外，点c 在圆上，点c 在圆内2. 120°3. 相切4. 96π2cm5. 5π三、1. 解：图中有两个等腰三角形，分别是ΔOAB 、ΔOCD ．理由：（1）∵OA ＝OB ，∴ΔOAB 是等腰三角形．（2）∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B ，又∵AC ＝BD ，∴ΔOAC ≌ΔOBD ．∴OC ＝OD ．∴ΔOCD 是等腰三角形．2. （1）连接AF ，因A 为弧BF 的中点，∴∠ABE ＝∠AFB ，又∠AFB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB ．∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，AH ⊥BC ，∴∠BAE ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠BAE ，∴AE ＝BE ．（2）设DE ＝x （x>0），由AD ＝6，BE ×EF ＝32，AE ×EH ＝BE ×EF ，有)x 6)(x 6(+-＝32，由此解得x ＝2，即DE 的长为2．（3）由（1）、（2）有：BE ＝AE ＝6－2＝4．在Rt ΔBDE 中，3224BD 22=-=．3. （1）证明：连接OD ，则OD ⊥CD ，∴∠CDE ＋∠ODA ＝90°．在Rt ΔAOE 中，∠AEO ＋∠A ＝90°，在⊙O 中，∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ODA ，∴∠CDE ＝∠AEO又∵∠AEO ＝∠CED ，∴∠CDE ＝∠CED ，∴CD ＝CE（2）CE ＝CD 仍然成立．∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动，∴CF ⊥AO 于F在Rt ΔAFE 中，∠A ＋∠AEF ＝90°．连接OD ，有∠ODA ＋∠CDE ＝90°，且OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ODA ，∴∠AEF ＝∠CDE ，又∠AEF ＝∠CED ，∴∠CED ＝∠CDE ，∴CD ＝CE ．（3）CE ＝CD 仍然成立．∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动，∴AO ⊥CF延长OA 交CF 于G ，在Rt ΔAEG 中，∠AEG ＋∠GAE ＝90°．连接OD ，有∠CDA ＋∠ODA ＝90°，且OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠OAD ＝∠GAE ∴∠CDE ＝∠CED ，∴CD ＝CEG4. （1）证明：∵ED ＝EP ，∴∠EPD ＝∠EDP ． 又∵∠EPD ＝∠CPO ，∴∠CPO ＝∠EDP ．在ΔOCD 中，∠OCD ＝∠ODC ，∴∠COP ＝∠ODE ＝90°． ∴OD ⊥DE ．ED 是⊙O 的切线．（2）在Rt ΔEOD 中，∵OC ＝OD ＝ED ＝2，∴1ED OD E tan ==． ∴ΔEOD 是等腰直角三角形．222360452DE OD S S S 2EOD ππ-=⨯-⋅=-=∆扇阴．。