高考数学大一轮复习 9.3圆的方程 理 苏教版
E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
思维升华
例(11)直根接据法下：根列据条圆件的，几求何圆性的质方，程直. 接求出圆心坐标和半径，进而
(1写)经出过方P程(－. 2,4)、Q(3，－1)两点, 并(2且)待在定x轴系上数法截得的弦长等于6；
与直线l：x＋y－1＝0相切于点
P(3，－2).
思维升华
(2) 圆 心 在 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且 与直线l：x＋y－1＝0相切于点 P(3，－2).
思维点拨
解析
思维升华
求圆心和半径，确定圆的 标准方程.
思维点拨
解析
(2) 圆 心 在 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且
与解直线方l：法x＋一y－如1图＝，0相切于点
P写(3出，方－程2)..
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据
已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，
依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值.
跟踪训练1 (2014·陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0) 关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_x_2_＋__(_y_－__1_)2_＝__1_.
P(3根，据－已2)知. 条件得y|x300＝－＋－xy020－42＋x01，|＝－r2，－y02＝r2，解得yrx＝00＝＝2－1，24.，
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
思维点拨
解析
(2) 圆 心 在 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且
思维升华
与(1直)直线接l：法：x＋根y据－圆1＝的0几相何切性于质点，直接求出圆心坐标和半径，进而
(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.( × ) (5)圆 x2＋2x＋y2＋y＝0 的圆心是1，12.( × )
题号
1 2 3 4
答案
(2，－3) －1<a<1 (x－2)2＋y2＝10
2
解析
设圆心坐标为(a,0)， 易知 a－52＋－12＝ a－12＋－32，
解得 a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为 10， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
P(设3，圆－心2()x.0，－4x0)，依题意得43x－0－x02＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径 r＝2 2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
思维升华
思维点拨
解析
(2) 圆 心 在 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且
思维升华
与方直法线二l：x＋设y所－求1＝方程0相为切(x于－点x0)2＋(y－y0)2＝r2，
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
例1 根据下列条件，求圆的方程. (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点, 并且在x轴上截得的弦长等于6；
思维升华
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
思维升华
例1 根据下列条件，求圆的方程. 设圆的一般方程，利用待 (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点, 定系数法求解.
4.圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 D2＋E2－4F>0 ，
其中圆心为 －D2 ，－E2 ，半径r＝
D2＋E2－4F
2
.
5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.
6.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上： (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ； (2)点在圆外： (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 ； (3)点在圆内： (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 .
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程 是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ ) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件 是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
数学 苏（理）
第九章 平面解析几何
§9.3 圆的方程
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.圆的定义 在平面内，到 定点的距离等于 定长 的点的 集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 圆心和 半径 . 3.圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心， r 为半径.
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据
已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，
依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.
思维点拨
解析
(2) 圆 心 在ຫໍສະໝຸດ 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且
并且在x轴上截得的弦长等于6；
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
解 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 例1 根据下列条件，求圆的方程.
将P、Q两点的坐标分别代入得 (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点,
2D－4E－F＝20， ① 并且3在Dx－轴E上＋截F＝得－的1弦0.长等②于6；
解析 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1， 所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
题型二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，
思维升华
③ ④
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
思维升华
例1 根据下列条件，求圆的方程. (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点, 并且由在①x、轴②上、截④得解的得弦长D＝等－于26，；E＝－4，F＝－8，或D＝－6，
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
思维升华
例(11)直根接据法下：根列据条圆件的，几求何圆性的质方，程直. 接求出圆心坐标和半径，进而
(1写)经出过方P程(－. 2,4)、Q(3，－1)两点, 并(2且)待在定x轴系上数法截得的弦长等于6；
与直线l：x＋y－1＝0相切于点
P(3，－2).
思维升华
(2) 圆 心 在 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且 与直线l：x＋y－1＝0相切于点 P(3，－2).
思维点拨
解析
思维升华
求圆心和半径，确定圆的 标准方程.
思维点拨
解析
(2) 圆 心 在 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且
与解直线方l：法x＋一y－如1图＝，0相切于点
P写(3出，方－程2)..
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据
已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，
依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值.
跟踪训练1 (2014·陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0) 关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_x_2_＋__(_y_－__1_)2_＝__1_.
P(3根，据－已2)知. 条件得y|x300＝－＋－xy020－42＋x01，|＝－r2，－y02＝r2，解得yrx＝00＝＝2－1，24.，
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
思维点拨
解析
(2) 圆 心 在 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且
思维升华
与(1直)直线接l：法：x＋根y据－圆1＝的0几相何切性于质点，直接求出圆心坐标和半径，进而
(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.( × ) (5)圆 x2＋2x＋y2＋y＝0 的圆心是1，12.( × )
题号
1 2 3 4
答案
(2，－3) －1<a<1 (x－2)2＋y2＝10
2
解析
设圆心坐标为(a,0)， 易知 a－52＋－12＝ a－12＋－32，
解得 a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为 10， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
P(设3，圆－心2()x.0，－4x0)，依题意得43x－0－x02＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径 r＝2 2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
思维升华
思维点拨
解析
(2) 圆 心 在 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且
思维升华
与方直法线二l：x＋设y所－求1＝方程0相为切(x于－点x0)2＋(y－y0)2＝r2，
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
例1 根据下列条件，求圆的方程. (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点, 并且在x轴上截得的弦长等于6；
思维升华
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
思维升华
例1 根据下列条件，求圆的方程. 设圆的一般方程，利用待 (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点, 定系数法求解.
4.圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 D2＋E2－4F>0 ，
其中圆心为 －D2 ，－E2 ，半径r＝
D2＋E2－4F
2
.
5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.
6.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上： (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ； (2)点在圆外： (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 ； (3)点在圆内： (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 .
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程 是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ ) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件 是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
数学 苏（理）
第九章 平面解析几何
§9.3 圆的方程
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.圆的定义 在平面内，到 定点的距离等于 定长 的点的 集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 圆心和 半径 . 3.圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心， r 为半径.
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据
已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，
依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.
思维点拨
解析
(2) 圆 心 在ຫໍສະໝຸດ 直 线 y ＝ － 4x 上 ， 且
并且在x轴上截得的弦长等于6；
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
解 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 例1 根据下列条件，求圆的方程.
将P、Q两点的坐标分别代入得 (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点,
2D－4E－F＝20， ① 并且3在Dx－轴E上＋截F＝得－的1弦0.长等②于6；
解析 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1， 所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
题型二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，
思维升华
③ ④
题型一 求圆的方程
思维点拨
解析
思维升华
例1 根据下列条件，求圆的方程. (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点, 并且由在①x、轴②上、截④得解的得弦长D＝等－于26，；E＝－4，F＝－8，或D＝－6，
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高考数学总复习 83 圆的方程课件 苏教版
第二十三页，共28页。
【点评】 求轨迹方程的步骤： (1)建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标 M(x，y)； (2)写出适合条件的动点所满足的关系式，并用坐标表示，列出 方程f(x，y)＝0； (3)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式； (4)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的 点． 本题关键是：PM＝ 2PN的转化．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
第八页，共28页。
5．(课本改编题)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2 ＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．
解析：圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上， ∴－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1， ∴ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－(a－12)2＋14.∴ab≤14. 答案：－∞，14
得最大值和最小值，此时 |2－0＋b|＝ 2
3 ，即b＝－2± 6 ，故y－x的
最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. (3)x2＋y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它
在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心
到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3，(x2＋y2)min＝ (2－ 3)2＝7－4 3.
将 P、Q 点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20，
①
3D－E＋F＝－10.
②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，
或 D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或 x2＋y2－6x－8y＝0.
【点评】 求轨迹方程的步骤： (1)建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标 M(x，y)； (2)写出适合条件的动点所满足的关系式，并用坐标表示，列出 方程f(x，y)＝0； (3)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式； (4)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的 点． 本题关键是：PM＝ 2PN的转化．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
第八页，共28页。
5．(课本改编题)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2 ＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．
解析：圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上， ∴－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1， ∴ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－(a－12)2＋14.∴ab≤14. 答案：－∞，14
得最大值和最小值，此时 |2－0＋b|＝ 2
3 ，即b＝－2± 6 ，故y－x的
最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. (3)x2＋y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它
在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心
到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3，(x2＋y2)min＝ (2－ 3)2＝7－4 3.
将 P、Q 点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20，
①
3D－E＋F＝－10.
②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，
或 D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或 x2＋y2－6x－8y＝0.
高考数学一轮复习圆的方程
F＝0，
16＋4D＋F＝0， 2－D＋E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－6， F＝0，
易得 D2＋E2－4F>0，所以过这
三点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点， 设过这三点的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点
第二节
圆与方程
第二节 圆与方程
1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
必备知识·系统归纳 先整体系统知识，再分课时研究题点考法
Ⅰ.主干知识的再认再现
圆心到直线 l 的距离为 2 ＝ 2<2，所以直线 l 与圆相交．又圆 心不在直线 l 上，所以直线不过圆心．故选 D. 答案：D
4．(人教 A 版选择性必修①P98·T3 改编)直线 y＝ 3x 被圆 C：x2＋y2－2x
＝0 截得的线段长为
()
A．2
B. 3
C．1
D. 2
解析：圆 C：x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1,0)，半径为 1，圆心到直线 y ＝ 3x 的距离为 d＝ |3＋3| 1＝ 23，弦长为 2· 1－ 232＝1，故选 C.
16＋4D＋F＝0，
可 得 2－D＋E＋F＝0， 20＋4D＋2E＋F＝0，
D＝－156， 解 得 E＝－2，
F＝－156，
易得 D2＋E2－
4F>0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋y2－156x－2y－156＝0，即x－852 ＋(y－1)2＝12659.
高考数学一轮复习 圆的方程课件 苏教
答案：x2＋y2＋2x－4y＝0
5．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0 的距离d＝________.
解析：∵x2＋y2－2x－4y＋4＝0， ∴(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心(1,2)到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 d＝|3×1＋324＋×422＋4|＝3
答案： (x－2)2＋(y＋2)2＝1
3．(2011·苏州模拟)若过点A(－2,0)的圆C与直线3x－4y＋ 7＝0相切于点B(－1,1)，则圆C的半径长等于_____．
解析：设所求圆的圆心为(a，b)，则ba－ ＋11＝－43，①
又 AB 中点为－32，12， 直线 AB 斜率为 1，所以ba－ ＋1232＝－1，②
(3)圆C必过定点(0,1)，(－2,1)， 证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边＝02＋ 12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0,1)； 同理可证圆C必过定点(－2,1)．
已知⊙C 过点 P(1,1)，且与⊙M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0) 关于直线 x＋y＋2＝0 对称． (1)求⊙C 的方程； (2)设 Q 为⊙C 上的一个动点，求 PQ ·MQ 的最小值； (3)过点 P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于 A，B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由．
同理，xB＝k2＋1＋2kk－2 1，所以 kAB＝xyBB－ －yxAA ＝－kxB－xB1－－xAkxA－1＝2k－xkB－xBx＋A xA＝1＝kOP， 所以直线 AB 和 OP 一定平行．
直线与圆的位置关系相结合考查利用待定系数法求圆 的方程是命题热点，多以填空题形式出现，属中低档题．
5．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0 的距离d＝________.
解析：∵x2＋y2－2x－4y＋4＝0， ∴(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心(1,2)到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 d＝|3×1＋324＋×422＋4|＝3
答案： (x－2)2＋(y＋2)2＝1
3．(2011·苏州模拟)若过点A(－2,0)的圆C与直线3x－4y＋ 7＝0相切于点B(－1,1)，则圆C的半径长等于_____．
解析：设所求圆的圆心为(a，b)，则ba－ ＋11＝－43，①
又 AB 中点为－32，12， 直线 AB 斜率为 1，所以ba－ ＋1232＝－1，②
(3)圆C必过定点(0,1)，(－2,1)， 证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边＝02＋ 12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0,1)； 同理可证圆C必过定点(－2,1)．
已知⊙C 过点 P(1,1)，且与⊙M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0) 关于直线 x＋y＋2＝0 对称． (1)求⊙C 的方程； (2)设 Q 为⊙C 上的一个动点，求 PQ ·MQ 的最小值； (3)过点 P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于 A，B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由．
同理，xB＝k2＋1＋2kk－2 1，所以 kAB＝xyBB－ －yxAA ＝－kxB－xB1－－xAkxA－1＝2k－xkB－xBx＋A xA＝1＝kOP， 所以直线 AB 和 OP 一定平行．
直线与圆的位置关系相结合考查利用待定系数法求圆 的方程是命题热点，多以填空题形式出现，属中低档题．
2020届高考数学(理)大一轮复习增分练： 圆的方程 含解析
- 1 - / 72020届高考数学（理）大一轮复习增分练：圆的方程1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：选A.设圆心为(0，a )，则（1－0）2＋（2－a ）2＝1， 解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A.2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝8B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A.因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2.所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8.故选A. 3．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 解析：选 D.由题意得⎩⎨⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎨⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎨⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．4．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d。
高考江苏数学大一轮精准复习课件圆的方程
平面上所有与定点（圆心）距离 等于定长（半径）的点的集合。
圆的标准方程
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其 中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
圆心、半径与方程关系
圆心坐标与方程关系
圆心坐标 (a, b) 直接体现在圆的标准 方程中。
半径与方程关系
半径 r 是圆的标准方程中的关键参数 ，决定圆的大小。
圆与圆的位置关系
利用圆与圆的位置关系，可以确定满足条 件的点或圆的存在性。
代数法
通过代数运算和推理，可以证明或否定满 足条件的点、直线或圆的存在性。
05
典型例题分析与解题技巧
选择题答题技巧指导
审题要仔细
选择题中往往包含一些关键信息，如 圆的方程形式、圆心坐标、半径等， 审题时要特别注意这些信息的提取和 理解。
04
涉及圆的综合问题探讨
最值问题在圆背景下的应用
圆心到直线的距离公式
通过公式可以快速求解圆 心到直线的距离，进而解 决与圆相关的最值问题。
圆的方程与不等式联立
将圆的方程与不等式联立 ，通过求解不等式组可以
得到最值问题的解。
利用数形结合思想
通过图形分析，结合代数 运算，可以直观地找到最
值问题的解决方案。
直线与圆相离条件
直线方程与圆方程联立无实数解
将直线方程代入圆方程，得到一个关于x（或y）的一元二次方程，若该方程无实数解，则直线与圆相 离。
圆心到直线的距离大于半径
利用点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离d，若d大于圆的半径r，则直线与圆相离。
03
圆的切线问题求解策略
切线判定定理及应用
切线判定定理
圆的对称性及其性质
圆的标准方程
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其 中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
圆心、半径与方程关系
圆心坐标与方程关系
圆心坐标 (a, b) 直接体现在圆的标准 方程中。
半径与方程关系
半径 r 是圆的标准方程中的关键参数 ，决定圆的大小。
圆与圆的位置关系
利用圆与圆的位置关系，可以确定满足条 件的点或圆的存在性。
代数法
通过代数运算和推理，可以证明或否定满 足条件的点、直线或圆的存在性。
05
典型例题分析与解题技巧
选择题答题技巧指导
审题要仔细
选择题中往往包含一些关键信息，如 圆的方程形式、圆心坐标、半径等， 审题时要特别注意这些信息的提取和 理解。
04
涉及圆的综合问题探讨
最值问题在圆背景下的应用
圆心到直线的距离公式
通过公式可以快速求解圆 心到直线的距离，进而解 决与圆相关的最值问题。
圆的方程与不等式联立
将圆的方程与不等式联立 ，通过求解不等式组可以
得到最值问题的解。
利用数形结合思想
通过图形分析，结合代数 运算，可以直观地找到最
值问题的解决方案。
直线与圆相离条件
直线方程与圆方程联立无实数解
将直线方程代入圆方程，得到一个关于x（或y）的一元二次方程，若该方程无实数解，则直线与圆相 离。
圆心到直线的距离大于半径
利用点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离d，若d大于圆的半径r，则直线与圆相离。
03
圆的切线问题求解策略
切线判定定理及应用
切线判定定理
圆的对称性及其性质
高考数学一轮总复习 9.3 圆的方程课件 理 苏教版
圆的标准方程(fāngchéng) 为
.
第二页，共32页。
2．圆的一般方程
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 可变形为x＋D2 2＋y＋E22＝
D2＋E42－4F，故有： (1)当 D2＋E2－4F＞0 时，方程表示以
－D2 ，－E2
为圆心，
D2＋E2－4F
以
2
为半径的圆；
(2)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个点 －D2 ，－E2 ；
第十二页，共32页。
•规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：
•(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一 些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切 线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
•(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由 题目给出的条件，列出等式(děngshì)，求出相关 量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，
0)．① 将 P，Q 点的坐标分别代入①得
4D－2E＋F＝－20，
②
D－3E－F＝10，
③
令 x＝0，由①得 y2＋Ey＋F＝0.④
由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1，y2 是方程④的两根， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
第九页，共32页。
解②、③、⑤组成的方程组得DE＝＝0－，2， F＝－12
【例 1】 根据下列条件，求圆的方程． (1)求过 P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长 为 4 3的圆的方程． (2)已知圆的半径为 10，圆心在直线 y＝2x 上，圆被直线 x －y＝0 截得的弦长为 4 2.
第八页，共32页。
解 (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞
高考数学文优化方案一轮复习第8第三圆的方程苏教江苏专用-.ppt
2．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系可以利用点与圆心间的 距离跟半径 r 的大小关系的比较来判断． (1)点 P(x0，y0)与⊙M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的 位 置 关 系 有 ： (x0 － a)2 ＋ (y0 －
b)2 >＝r2r⇔2⇔___点__点__P__P在__在__⊙__⊙__M__M__外__上___；； <r2⇔__点__P_在___⊙__M_内___.
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 求圆的方程
无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都 有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三 个条件来求．一般地，已知圆心或半径的条 件，选用圆的标准式，否则选用一般式．另 外，还有几何法可以用来求圆的方程．要充 分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的 任一条弦的垂直平分线上”“半径、弦心距、 弦长的一半构成直角三角形”等．
答案：(－a，－b) |m|
2．(2019年徐州质检)经过原点，圆心在x轴的 负半轴上，半径等于的圆的标准方程是 ________．
答案：(x＋ 3)2＋y2＝3
3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则 k的取值范围是________． 答案：(－∞，1) 4．圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆 面积最大时，圆心坐标为________． 答案：(0，－1)
D＝1，
E＝5，
解得
F＝－6， m＝－3.
所以圆 C 的方程为 x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
(2)圆心 C(－12，－52)，设圆心到 l1，l2 的距离分别 为 d1，d2，则 d21＋d22＝OC2＝123， 又(E2F)2＋d21＝R2，(G2H)2＋ d22＝R2， 两式相加，得：EF2＋GH2＝74≥2EF·GH，
2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第8章 第3节 圆的方程
本题在求解中要立足了两点：(1)减少动点的个数，借助圆的几何 性质化圆上任意一点到点(a，b)的距离的最大(小)值为圆心到点(a，b)的距离加
(减)半径问题；(2)“曲化直”，即借助对称性把折线段转化为同一直线上的两线
段之和的最值问题解决．
[教师备选例题]
(1)设点 P 是函数 y＝－ 4－x－12图象上的任意一点，点 Q 坐标为
y－b (1)形如 μ＝x－a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如 m＝(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的 平方的最值问题．
已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. y (1)求x的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值； (3)求 x2＋y2 的最大值和最小值． [解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． y (1)x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
4．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为
．
x2＋y2－2x＝0 [设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，
(1,1)，(2,0)，
∴Error! 解得Error!
∴圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.]
考点 1 圆的方程
求圆的方程的 2 种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方 程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求 出 D，E，F 的值．
江苏高考数学理一轮复习课件9.3圆的方程
(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0， 解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0， 这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b. 代入得出E＝－b－1. ∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)． 证明如下：将(0,1)代入圆C的方程， 得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0， ∴圆C必过定点(0,1)．同理可证圆C必过定点(－2,1)．
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
3．P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系 (1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆外； (2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上；
(3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆内．
5 又因为圆心(a，b)到直线 x－2y＝0 的距离为 ， 5 |a－2b| 5 所以 ＝ ，即 a－2b＝± 1. 5 5
a＝－1， ①②联立解得 b＝－1 a＝1， 或 b＝1，
② 于是 r2＝2b2＝2.
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 或(x－1)2＋(y－ 1)2＝2
考向二
与圆有关的最值与范围问题
【例 2】 已知圆心在原点的圆 O 与直线 x－ 3y＝4 相切． (1)求圆 O 的方程； → (2)若圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点，圆 O 内的动点 P 使|AP|、 → → → → |OP|、|BP|成等比数列，求PA· PB的取值范围．
(江苏专版)高考数学一轮复习第九章解析几何第二节圆的方程实用课件文
第六页，共32页。
2．确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
第七页，共32页。
[例 1] (1)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为________________．
(2)已知圆心在直线 y＝－4x 上，且圆与直线 l：x＋y－1 ＝0 相切于点 P(3，－2)，则该圆的方程是________________．
(3)经 过 三 点 (2， － 1)， (5,0)， (6,1)的 圆 的 一 般 方 程 为 ________________．
第八页，共32页。
[解析] (1)依题意，设圆心坐标为 C(a,0)， 则|CA|＝|CB|， 即 a－52＋0－12＝ a－12＋0－32，则 a＝2. 故圆心为(2,0)，半径为 10， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10. (2)过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x－3，与 y＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径 r＝ 3－12＋－2＋42＝2 2， 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
第十一页，共32页。
与圆有关的对称问题
1．圆的轴对称性 圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平 分线．
第十页，共32页。
[方法技巧] 1．确定圆的方程必须有三个独立条件 不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r 或 D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用 待定系数法得到关于 a，b，r(或 D，E，F)的三个方程组成的 方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计 算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂 直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用． 3．A(x1，y1)，B(x2，y2)，以 AB 为直径的圆的方程为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．确定圆心位置的三种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
第七页，共32页。
[例 1] (1)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为________________．
(2)已知圆心在直线 y＝－4x 上，且圆与直线 l：x＋y－1 ＝0 相切于点 P(3，－2)，则该圆的方程是________________．
(3)经 过 三 点 (2， － 1)， (5,0)， (6,1)的 圆 的 一 般 方 程 为 ________________．
第八页，共32页。
[解析] (1)依题意，设圆心坐标为 C(a,0)， 则|CA|＝|CB|， 即 a－52＋0－12＝ a－12＋0－32，则 a＝2. 故圆心为(2,0)，半径为 10， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10. (2)过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x－3，与 y＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径 r＝ 3－12＋－2＋42＝2 2， 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
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与圆有关的对称问题
1．圆的轴对称性 圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平 分线．
第十页，共32页。
[方法技巧] 1．确定圆的方程必须有三个独立条件 不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r 或 D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用 待定系数法得到关于 a，b，r(或 D，E，F)的三个方程组成的 方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计 算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂 直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用． 3．A(x1，y1)，B(x2，y2)，以 AB 为直径的圆的方程为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.