届高考数学复习必备试题空间向量及其应用
高考数学总复习---平面向量知识与空间向量的应用
A、重心 外心 垂心
B、重心 外心 内心
10、在△OAB 中, OA =
a
a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( a
b b
) ，t∈R，则点
P 在(
)
A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上
B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上
a (1,0) m(0,1), m R Q b b (1,1) n(1,1), n R 是两个向量集
合，则 P Q = A． ｛〔1，1〕 ｝
B. ｛〔-1，1〕 ｝
C. ｛〔1，0〕 ｝
D. ｛〔0，1〕 ｝
9、已知 O、N、P 在 ABC 所在平面内，且满足| OA |＝| OB |＝| OC |， NA + NB + NC = 0 ，且
PA PB PB PC PC PA ，则点
O，N，P 依次是 ABC 的 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心
平面向量与空间向量 专题强化练习
一、高考真题展示
1、设
a (4,3) ， a
在 b 上的投影为 5
2 B． 2, 7
2 2
， b 在 x 轴上的投影为 2，且 D． 2,8
b 14 ，则 b
为（
）
A． 2,14 2、设
2 C． 2, 7
a 1 e1 2 e2
。
a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y 2 ) ,则 a // b a b ( b 0 ) 或者
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√)(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案A解析BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案2解析|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.答案26解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______.答案18解析∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＋12b ＋＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1→解析∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于()A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )答案B解析NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB→＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC→＝12(a ＋b －c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .证明(1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解(1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r －12p2－12q ·p ＋r ·q －12r ·2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos2－a 24＋a 22－＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cosθ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2＋12＋6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1，→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案A解析a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于()A.32B ．－2C ．0 D.32或－2答案B解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)答案C 解析设P (0，0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为()A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6答案D解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是()A.3B.2C ．1 D.3－2答案D 解析∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.答案－9解析由题意知c＝x a＋y b，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，x－y＝7，＋2y＝6，3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.答案(3，－2，2)解析因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．12．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB→＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E －65，－145，13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案C 解析∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．15．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案(1，1，2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2)．16．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′，→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
2022版新高考数学总复习试题创新--8.5 空间向量及其在立体几何中的应用
2022版新高考数学总复习--§8.5 空间向量及其在立体几何中的应用应用篇 【应用集训】1.(多选题)(2020山东滨州模拟,10)已知菱形ABCD 中,∠BAD =60°,AC 与BD 相交于点O ,将△ABD 沿BD 折起,使顶点A 至点M ,在折起的过程中,下列结论正确的是( ) A .BD ⊥CMB.存在一个位置,使△CDM 为等边三角形C.DM 与BC 不可能垂直D.直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60° 答案 ABD2.(2020河北衡水中学七调,11)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M 是对角线AC 1上的点(点M 与A 、C 1不重合),则下列结论正确的个数为 ( )①存在点M ,使得平面A 1DM ⊥平面BC 1D ; ②存在点M ,使得DM ∥平面B 1CD 1; ③若△A 1DM 的面积为S ,则S ∈(2√33,2√3); ④若S 1、S 2分别是△A 1DM 在平面A 1B 1C 1D 1与平面BB 1C 1C 的正投影的面积,则存在点M ,使得S 1=S 2. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C3.(2020湖北襄阳优质高中联考,18)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =2,∠ABC =60°,E 为棱BC 的中点,F 为棱PC 的动点.(1)求证:AE ⊥平面PAD ;(2)若锐二面角E -AF -C 的正弦值为√105,求点F 的位置.4.(2019安徽六安一中4月月考,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.5.(2019北京怀柔一模文,18)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC,D,E分别为PA,AC的中点.(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求证:BC⊥平面PAB;(3)在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.[教师专用题组]【应用集训】1.如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.(1)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;(2)已知点D满足BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,在直线AA1上是否存在点P,使DP∥平面AB1C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于点O,连接BO,∴A1O⊥平面ABC.又∠A1AC=60°,且各棱长都相等,∴AO=1,OA1=OB=√3,BO⊥AC.故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A (0,-1,0),B 1(√3,1,√3),A 1(0,0,√3),C (0,1,0), ∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,2,√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0). 设平面AB 1C 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +2y +√3z =0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0,取z =1,得n =(-1,0,1).设侧棱AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ, 则sin θ=|cos<AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n ||=√322=√64, ∴侧棱AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为√64.(2)∵点B 的坐标为(√3,0,0), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,-1,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,0,0), ∴点D 的坐标为(-√3,0,0).假设存在点P 符合题意,则点P 的坐标可设为P (0,y 1,z 1), ∴DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,y 1,z 1). ∵DP ∥平面AB 1C ,且n =(-1,0,1)为平面AB 1C 的一个法向量,∴-√3+z 1=0,即z 1=√3. 易知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{y 1+1=λ,√3=√3λ,∴y 1=0.又DP ⊄平面AB 1C ,故存在点P ,使DP ∥平面AB 1C ,其坐标为(0,0,√3),即恰好为A 1点.2.(2018青海西宁湟中一中月考,18)在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是正方形,且BC =BB 1=√2,∠A 1AB =∠A 1AD =60°. (1)求证:BD ⊥CC 1;(2)若动点E 在棱C 1D 1上,试确定点E 的位置,使得直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为√714.解析 (1)证明:连接A 1B ,A 1D ,AC ,因为AB =AA 1=AD ,∠A 1AB =∠A 1AD =60°, 所以△A 1AB 和△A 1AD 均为正三角形,于是A 1B =A 1D. 设AC 与BD 的交点为O ,连接A 1O ,则A 1O ⊥BD ,又四边形ABCD 是正方形,所以AC ⊥BD ,而A 1O ∩AC =O ,所以BD ⊥平面A 1AC. 又AA 1⊂平面A 1AC ,所以BD ⊥AA 1,又CC 1∥AA 1,所以BD ⊥CC 1.(2)由A 1B =A 1D =√2,及BD =√2AB =2,知A 1B ⊥A 1D , 于是AO =A 1O =12BD =√22AA 1,从而A 1O ⊥AO ,结合A 1O ⊥BD ,AO ∩BD =O ,得A 1O ⊥底面ABCD ,所以OA 、OB 、OA 1两两垂直,如图,以点O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O -xyz ,则A (1,0,0),B (0,1,0),D (0,-1,0),A 1(0,0,1),C (-1,0,0),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), 由DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),得D 1(-1,-1,1). 设D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λD 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈[0,1]), 易知E (-λ-1,λ-1,1), 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ-1,λ,1). 设平面B 1BD 的法向量n =(x ,y ,z ),由{n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{y =0,-x +z =0.令x =1,得n =(1,0,1), 设直线DE 与平面BDB 1所成角为θ,则sin θ=|cos<DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√2×√λ+(-1-λ)2+1=√714,解得λ=12或λ=-13(舍去),所以当E 为D 1C 1的中点时,直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为√714.3.(2019湖北七市(州)教科研协作体3月联考,18)如图,在四棱锥P -ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,AB ⊥AC ,PA ⊥平面ABCD ,且PA =AB =3,AC =2,点E 是PD 的中点. (1)求证:PB ∥平面AEC ;(2)在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ,使得二面角M -AC -E 的余弦值为√1010?若存在,确定M 的位置;若不存在,请说明理由.解析 (1)证明:连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,如图, 在△PBD 中,由已知得EF ∥PB , (2分)又EF ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC , ∴PB ∥平面AEC.(4分)(2)由题意知,AC ,AB ,AP 两两垂直,如图,以A 为坐标原点,以AC ,AB ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系A -xyz. 则C (2,0,0),D (2,-3,0),P (0,0,3),B (0,3,0),E (1,-32,32), 设M (x 0,y 0,z 0),PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1), 则(x 0,y 0,z 0-3)=λ(0,3,-3),得M (0,3λ,3-3λ), (6分) 设平面AEC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),由n 1·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-32,32),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),得{x 1-32y 1+32z 1=0,2x 1=0,取y 1=1,得n 1=(0,1,1). 设平面MAC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),由n 2·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3λ,3-3λ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0), 得{3λy 2+(3-3λ)z 2=0,2x 2=0,取z 2=1,得n 2=(0,1-1λ,1). (9分)设二面角M -AC -E 的大小为θ, ∵二面角M -AC -E 的余弦值为√1010,∴θ为锐角,则cos θ=|n 1·n 2||n 1|·|n 2|=|2-1λ|√2·√(1-1λ)+1=√1010, (10分)化简得9λ2-9λ+2=0,解得λ=13或λ=23.易知λ=23时,θ为钝角,∴λ=13,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PB ⃗⃗⃗⃗⃗.故PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,二面角M -AC -E 的余弦值为√1010. (12分)4.(2020天津北辰第一次诊断测试,17)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,四边形ADPQ 是梯形,PD ∥QA ,∠PDA =π2,平面ADPQ ⊥平面ABCD ,且AD =PD =2QA =2.(1)求证:QB ∥平面PDC ; (2)求二面角C -PB -Q 的大小;(3)已知点H 在棱PD 上,且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315,求线段DH 的长.解析 本题考查线面平行、二面角,考查立体几何中的探索性问题.∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ,平面ADPQ ∩平面ABCD =AD ,PD ⊂平面ADPQ ,∠PDA =π2,∴直线PD ⊥平面ABCD. 以点D 为原点,分别以DA⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),A (2,0,0),Q (2,0,1),P (0,0,2). (1)证明:易知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0)是平面PDC 的一个法向量, QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又直线QB ⊄平面PDC ,∴QB ∥平面PDC.(2)PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),设n 1=(x 1,y 1,z 1)为平面PBC 的法向量,则{n 1·PB ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x 1+2y 1-2z 1=0,2y 1-2z 1=0, 不妨设z 1=1,可得n 1=(0,1,1). 设n 2=(x 2,y 2,z 2)为平面PBQ 的法向量, PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-1),则{n 2·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x 2+2y 2-2z 2=0,2x 2-z 2=0, 不妨设z 2=2,可得n 2=(1,1,2), ∴cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=√32,又知二面角C -PB -Q 为钝二面角,∴二面角C -PB -Q 的大小为5π6.(3)设H (0,0,h )(0≤h ≤2),则AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,h ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2), |cos <PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=7√315,即2√3√4+ℎ=7√315,∴6h 2-25h +24=0,解得h =32或h =83(舍去).故线段DH 的长为32. 创新篇 【创新集训】1.(多选题)(2020山东青岛三模)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1上运动,则下列命题中正确的是 ( )A.若点P 总满足PA ⊥BD 1,则动点P 的轨迹是一条直线B.若点P 到点A 的距离为√2,则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C.若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1,则动点P 的轨迹是椭圆D.若点P 到直线AD 与到直线CC 1的距离相等,则动点P 的轨迹是双曲线 答案 ABD2.(2020湖北荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟联考,12)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是空间中任意一点,下列命题正确的个数是 ( )①若P 为棱CC 1中点,则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为√52;②若P 在线段A 1B 上运动,则AP +PD 1的最小值为√6+√22;③若P 在半圆弧CD⏜上运动,当三棱锥P -ABC 体积最大时,三棱锥P -ABC 外接球的表面积为2π; ④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√34. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C3.(2020湖南湘东六校联考,19)如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD 上,OA =1,OD =2,△OAB ,△OAC ,△ODE ,△ODF 都是正三角形.(1)证明:直线BC ∥平面OEF ;(2)在线段DF 上是否存在一点M ,使得二面角M -OE -D 的余弦值是3√1313?若不存在,请说明理由;若存在,请求出M 点所在的位置.。
高考数学复习点拨 空间向量的直角坐标运算的运用
空间向量的直角坐标运算的运用空间向量的直角坐标运算是空间向量的重要内容，也是用向量法解决立体几何问题的基础．下面举例说明空间向量的直角坐标运算在解答有关空间向量问题中的作用．一、求向量例1已知空间三点(023)(216)(115)A B C--，，，，，，，，，若=a a 分别与，AB AC都垂直，得2223230320x y zx y zx y z⎧++=⎪--+=⎨⎪-+=⎩，，，解得111xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，或111xyz=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，．(111)=，，∴a或(111)a=---，，．点评：准确掌握和应用向量的坐标求法，向量长度的坐标计算公式及向量垂直的充要条件的坐标表示是解题的关键．二、求解向量的平行问题例2已知四边形ABCD的顶点分别为(312)(121)(113)(353)A B C D-----，，，，，，，，，，，．试证明：它是一个梯形．证明：由已知，得(233)(466)AB CD=--=-，，，，，，(466)2(233)2CD AB=-=-⨯--=-，，，，∴，AB CD∴∥，且2CD AB=，CD AB≠∴．又(041)(212)AD BC=-=---，，，，，，AD∴与BC不平行．故四边形ABCD为梯形．点评：用向量证明四边形ABCD为梯形必须证明一组对边平行且另一组对边不平行．本题若仅证明AB CD∥且AB CD≠，并不能说明ABCD为梯形，因为可能会出现A B C D，，，四点共线的情况．三、求解向量的垂直问题例3试证以1110(120)2322A B C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，为顶点的ABC△为直角三角形．证明：由已知得31000322AB BC⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，130003022AB BC ⎛⎫=⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭∴·． AB BC ⊥∴，即ABC △为直角三角形．四、求解向量的夹角和长度例4 如图1，直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=°，棱12AA M N =，，分别是111A B A A ，的中点．（1） 求BN 的长；（2） 求11cos BA CB ，的值．解：如图1，建立空间直角坐标系O xyz -．（1）依题意，得(010)(101)B N ，，，，，，222(10)(01)(10)3BN =-+-+-=∴．（2）依题意，得11(102)(010)(000)(012)A B C B ，，，，，，，，，，，，11(112)(012)BA CB =-=，，，，，∴． 1111365BA CB BA CB ===，，∴·．11111130cos 10BA CB BA CB BA CB ==，·∴． 点评：本题主要考查了空间向量的概念及坐标运算的基本知识，考查了空间两向量的夹 角、长度的计算公式．解题的关键是恰当地建立空间直角坐标系和准确地表示点的坐标．五、求解综合问题例4 如图2，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，且10cos 10BD CD =，，求长 方体的体积．解：如图2，建立空间直角坐标系，则(220)(020)(000)B C D ，，，，，，，，．设1(00)(0)D h h >，，，则(220)(02)BD CD h =--=-，，，，，． 22BD =∴，214CD h =+，14BD CD =·． 12242cos 4224BD CD h h ==++，∴·． 2210410h =+∴，2164h h ==，∴∴．因此，长方体的体积为22416⨯⨯=．点评：本题以向量的工具，利用空间向量的坐标表示、数量的计算、向量长度的计算等知识解决问题．。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习54 空间向量及其线性运算
高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题54 空间向量及其线性运算题型一 空间向量共线的判定1．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对 【答案】A【解析】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以(1)OP n OA nOB =-+，即()OP OA n OB OA -=-， 即AP nAB =，所以AP 与AB 共线． 又AP ，AB 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 故选：A.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A ．AB BC AC +=B ．AB BC AC -= C ．AB BC =D ．AB BC = 【答案】C【解析】对于空间中的任意向量，都有 AB BC AC +=，说法A 错误；若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，选项B错误；AB BC=，则A、B、C三点共线，选项C正确；AB BC=，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；本题选择C选项.3．AB与CD共线是直线AB∥CD的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线的定义，可知若AB与CD共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则AB与CD共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB与CD共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断EF与AD BC+是否共线.【答案】证明见解析.【解析】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AB、CD的中点.∴11,22GF AD EG BC ==.又∵E、F、G三点共面，∴1()2EF GF EG AD BC=+=+，即EF与AD BC+共线.5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】证明见解析.【解析】设1,,AB a AD b AA c ===， ∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F AC =，而11A D AD b == ∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-. ∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--, ∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线. 题型二 由空间向量共线求参数值6．已知非零向量324a m n p =--，(1)82b x m n y p =+++，且m 、n 、p 不共面．若//a b ，则x y +=（ ）．A ．13-B ．5-C ．8D ．13 【答案】 B【解析】//a b 且0a ≠，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=--，又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得13x =-，8y =，5x y +=-.故选：B .7．在四面体ABCD 中,E,F 分别是棱BC,AD 的中点,设AB =a,AC =b,AD =c,且EF =xa+yb+zc,则x,y,z 的值分别为( ) A ．-12,-11,22B ．-11,22,-12C ．11,22,-12D ．12,-11,22【答案】A【解析】根据题意，画出图形如下图所示：由图可知1122EF EC CD DFBC CD AD =++=+- ()1122111222AC AB AD AC AD AB AC AD =-+--=-+111222a b c =--+ 所以111,,222x y z =-=-= 所以选A8．设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e ke =-，1233CB e e =+，12CD ke e =+，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为_______．【答案】4或-1【解析】因为,,A B D 三点共线，所以存在实数λ使得12 2AB BD AB e ke λ==-，()1232BD CD CB k e e =-=--，()232k k λλ⎧=-⎨-=-⎩所以2340k k --=，解得1k =-或4. 题型三 空间向量共面的判定9．A ，B ，C 不共线，对空间内任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面 【答案】B【解析】因为311488OP OA OB OC =++， 所以()()()6OP OA OB OP OC OP -=-+-，86OP OA OB OC =++， 6AP PB PC=+，即1166AP PB PC =+， 故P ，A ，B ，C 四点共面， 故选：B10．已知空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，下列能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．111333OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =-++D ．以上都不对 【答案】B【解析】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-，则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面； 对于B 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=，P 、A 、B 、C 四点共面； 对于C 选项，1122OP OA OB OC =-++，1110122-++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面. 故选：B.11．,,,A B C D 是空间四点，有以下条件： ①11OD OA OB OC 23=++； ②111234OD OA OB OC =++；③111OD OA OB OC 235=++； ④111OD OA OB 236OC =++， 能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______ 【答案】④【解析】对于④111OD OA OB 236OC =++，1111236++=，由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件. 故答案为：④12．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++.（1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； （2）判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】（1）,,MA MB MC 共面；（2）点M 在平面ABC 内. 【解析】（1）由题意，知：3OM OA OB OC =++，∴()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，即MA BM CM MB MC =+=--， 故,,MA MB MC 共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC 共面且过同一点M . 所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.13．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM=13BD ，AN=13AE.求证:向量MN CD DE ，，共面.【答案】证明见解析【解析】因为M 在BD 上，且13BM BD =，所以111333MB DB DA AB ==+. 同理1133AN AD DE =+. 所以MN MB BA AN =++ =1133DA AB ++BA +1133AD DE +=21213333BA DE CD DE +=+.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN CD DE ，，共面. 题型四 由空间向量共面求参数值14．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有1133OM xOA OB OC =++，则x 的值是A ．1B ．0C ．3D ．13【答案】D【解析】因为1133OM xOA OB OC =++，且,,,M A B C 四点共面，所以必有11133x ++=，解得13x =，故选D ． 15．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =. 故答案为: 1816．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA x P DB PB C →→→=-+，则实数x 的值为_________.【答案】13【解析】414131()363626PA PC PC P PB x DB PB x PB PD P P C B x D →→→→→→→→→→→=-+=-+-=--，又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴31126x --=，解得 x =13，故答案为：13题型五 空间共线向量定理的推论及应用17．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP =m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（ ）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线 【答案】ACD【解析】解:因为1m n +=，所以1m n =-，所以OP =()1OA B n n O -⋅+⋅， 即OP OA -=n (OB OA -)， 即AP =n AB ，所以AP AB 与共线.又AP AB ，有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB. 因为OP =m OA +n OB ，故O ，A ，B ，P 四点共面. 故答案为：ACD18．已知M ，N 分别是四面体OABC 的校OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OB b =，OC c =，则OP =______(用{},,a b c 表示)【答案】111633OP a b c =++【解析】OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =．∴OP ON NP =+13ON NM =+1()3ON OM ON =+-2133ON OM =+2111()3232OB OC OA =⨯++⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++． 故答案为：111633OP a b c =++19．已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP =2OA OB OC λ++，则λ＝________.【答案】－2【解析】由四点共面的充分必要条件可得：211λ++=，解得：2λ=-.故答案为2-．20．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值.【答案】13,8x y =-=【解析】∵//a b ∴()324182m n p x m n yp λ⎡⎤--=+++⎣⎦，∴()13,82,24x y λλλ+==-=-，∴13,8x y =-=.题型六 空间共面向量定理的推论及应用21．已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B【解析】由空间向量共面定理的推论若aOA bOB cOC OP =++，满足1a b c ++=，则,,,A B C P 四点共面，311488OP OA OB OC =++，而3111488++=，故,,,A B C P 四点共面.故选：B.22．如图，正四面体ABCD 的棱长为1，BCD △的中心为O ，过点O 的平面a 与棱AB ，AC ，AD ，BD ，CD 所在的直线分别交于P ，Q ，R ，S ，T ，则111AP AQ AR ++=（）A ．52B ．3C ．133D ．4 【答案】B 【解析】因为O 为BCD △的中心，所以()13AO AB AC AD =++，设AP x =，AQ y =，AR z =，所以111333AO AP AQ AR x y z=++．因为O ，P ，Q ，R 四点共面，所以1111333x y z ++=，即1113x y z++=，1113AP AQ AR ++=. 故选：B.23．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++【答案】D【解析】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=， 只有选项D 满足.故选：D.24．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A。
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解练习26 空间向量在空间几何中的运用
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解练习 考点26 空间向量在空间几何中的运用一．设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为1n ，2n ，则有如下结论：1n ，2n1n ∥2n ⇔1n ＝k 2n (k ∈R)1n ⊥2n ⇔1n ·2n ＝0的方向向量为n ，平mn ⊥m ⇔n ·m ＝0n ∥m ⇔n ＝k m (k ∈R)的法向量分别为n ，mn ∥m ⇔n ＝k m (k ∈R)n ⊥m ⇔n ·m ＝0二．点面距已知AB 为平面α的一条斜线段(A 在平面α内)，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|||cos ,|||||||||AB d AB AB AB AB ⋅===<>n n n ||||AB ⋅n n 注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题．三．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ=cos a b a bθ=，其中a b 、分别是直线a 、b 的方向向量四．直线与平面所成角l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则||a n sin cos a n a nϕ＝〈，〉＝(直线与平面所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2)五．二面角 平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，〈1n ，2n 〉＝θ，设二面角大小为φ，则1212||cos =|cos |=||||n n n n ϕθ考点题型分析考点题型一 空间向量证平行垂直【例1】(2022·全国高三专题练习)如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.求证：(1)PB//平面EFG；(2)平面EFG//平面PBC.【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)如图所示，在直二面角D AB E--中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE EB=，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：平面⊥BDF平面ABCD.2．(2022·全国高三专题练习)如图，在多面体ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC，B1C1=12BC，二面角A1ABC是直二面角.求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .考点题型二 空间向量求线线角【例2】(2022·西安市航天城第一中学)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB =BC =CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．-12C ．2D ．【举一反三】1．(2022·广西河池市)如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA AB=，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为( )．A．5B C．5D2．(2022·陕西西安市·西安中学)如图，四面体ABCD中，4CD=，2AB=，E，F分别是,AC BD 的中点，若EF AB⊥，则EF与CD所成的角的大小是( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3．(2022·安徽高三期末)已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，E ，F ，G 分别为1CC ，CD ，1D D ，11A B 的中点，则异面直线GF 与PE 所成角的余弦值为( )A ．13B ．3C D考点题型三 空间向量求线面角【例3】(2022·北海市北海中学高三月考)在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)求证：BE ⊥DC ；(2)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值．【举一反三】1．(2022·浙江高三期中)如图，已知三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，,,2AC BC PA AC BC DB AD⊥===，M、E分别为PB、PC的中点，N为AE的中点．(Ⅰ)求证：MN CD⊥；(Ⅱ)求直线PB和平面PCD所成角的正弦值．2．(2022·浙江绍兴市·绍兴一中高三期末)在三棱锥A BCD-中，2AB AD BD===，BC DC==，2AC=.(1)求证：BD AC ⊥； (2)若P 为AC 上一点，且34AP AC =，求直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值.3．(2022·浙江绍兴市·高三期末)已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，11AA AC CA BC ===，1AB =．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面11ACC A ；(Ⅱ)求直线1AB 与平面1A BC 所成角的大小．考点题型四 空间向量求二面角【例4】(2022·盐城市伍佑中学高三期末)在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，E 是11A C 的中点.(1)求证：AB CE ；(2)求二面角B CE A --的余弦值.【举一反三】1．(2022·湖北高三月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面1,//,,2ABCD AB CD AB AD CD PD AD AB ⊥===.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若2AP DC ==，求二面角D PC B --的正弦值.2．(2022·山西吕梁市·高三一模)如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SCD 为等边三角形， 4AB BC ==，2CD =，SB =(1)求证：BC SD ⊥；(2)求二面角B AS D --的余弦值.3．(2022·江西赣州市·高三期末)在如图所示的几何体中，ABC ，ACE △，BCD △均为等边三角形，且平面ACE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC .(1)证明：//DE AB ；(2)若4AB =，求二面角B CE D --的余弦值.考点题型五 空间向量求空间距【例5】(2022·上海浦东新区·华师大二附中高三月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点，3,4,5AD PD PC ===.(1)证明：直线//PA 平面BDE ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.【举一反三】 1．(2022·吉林长春外国语学校)如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，,E F 分别为,AD BC 的中点.以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =.）建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点）求解出AB 和平面的法向量n ；AB n n ⋅=即可求解出点A 到平面(1)求证：平面AFN ⊥平面NEB ；(2)若BE =F 到平面BEM 的距离.2．(2022·全国高三专题练习)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且11AB BC BB ===.(1)求证：1//AB 平面1BC D ；(2)求直线1AB 到平面1BC D 的距离.。
2021年高考数学总复习第43讲：空间向量的运算及应用练习题及答案解析
2021年高考数学总复习第43讲：空间向量的运算及应用1．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3B [由题意知存在实数x ，y 使c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2 C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.]3．已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A ．32B ．－2C ．0D ．32或－2B [当m ＝0时，a ＝(1,3，－1)，b ＝(2,0,0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2.] 4．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．3－2D [∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED→＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2.]5．如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .] 6．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ＝________. －66[ OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12， 得λ＝±66. 经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66.] 7．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________. 2 [|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.]8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离．图1 图2解 ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD →＝0. 同理AC →·BA →＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°.又∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4； 当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2.。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间向量及空间位置关系
C )
A. (－1，1，1)
3
3
3
3
B. (1，－1，1)
3
3
C. (－ ，－ ，－ )
3
3
3
3
3
3
D. ( ， ，－ )
3. 在空间直角坐标系中， A (1，1，－2)， B (1，2，－3)， C (－1，3，0)， D ( x ，
y ， z )( x ， y ， z ∈R)，若 A ， B ， C ， D 四点共面，则(
2，3)是平面α的法向量.若 l ∥α，则 a 与 b 的关系式为
则a＋b＝
5 a － b ＋3＝0 ；若 l ⊥α，
6 .
[解析] 由题意可知，若 l ∥α，则 u ·n ＝0，即3＋2( a ＋ b )＋3( a － b )＝0，
；
a 1＝λ b 1， a 2＝λ b 2， a 3＝λ b 3(λ∈R)
(4) a ∥ b ⇔ a ＝λ b ( b ≠0)⇔⑥
(5) a ⊥ b ⇔ a ·b ＝0⇔⑦ a 1 b 1＋ a 2 b 2＋ a 3 b 3＝0
；
(6)｜ a ｜＝ · ＝ 12 ＋22 ＋32 ；
(7) cos ＜ a ， b ＞＝
4. 空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R，λ≠0)
n1，n2.
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α
l∥α
的法向量为m.
l⊥α
n∥m⇔n＝λm(λ∈R，λ≠0)
平面α，β的法向量分别为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间向量及其应用一．【课标要求】（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量；②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用二．【命题走向】本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离预测2010年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度三．【要点精讲】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b的充要条件是存在实数λ使b ＝λa注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b（若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）。
⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量⑶若直线l ∥a，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式=a t+ ①其中向量a叫做直线l 的方向向量 在l 上取a=，则①式可化为 .)1(t t +-= ②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21+= ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。
⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,y x +=④或对空间任一定点O ，有.y x ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式又∵.,OM OA MA -=.OM -=代入⑤，整理得.)1(y x y x ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使.c z b y a x p++=说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。
与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.OC z OB y OA x OP ++=6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a OA=，b =，则角∠AOB 叫做向量a与b的夹角，记作〉〈b a，说明：⑴规定0≤〉〈b a ，≤π,因而〉〈b a，=〉〈a b ，； ⑵如果〉〈b a ，=2π，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中∠AOB =〉〈OB OA ,， 图（4）中∠AOB =-π〉〈,,从而有〉〈-,=〉-〈,=-π〉〈,.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
ABO（3）ababABO （1）O ababAB（2）（3）向量的数量积：〉〈b a b a ,cos 叫做向量a 、b的数量积，记作b a ⋅。
即b a ⋅=〉〈b a b a ,cos ，向量AB 方向上的正射影在e:B A e a e a ''=〉〈=⋅,cos ||（4）性质与运算率⑴〉〈=⋅e a e a,cos 。
⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a ⊥b ⇔b a ⋅=0 ⑵b a⋅=b a ⋅⑶2||.a a a =⋅ ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅四．【典例解析】题型1：空间向量的概念及性质例1．有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是（ ）()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③解析：对于①“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系一定共线”；所以①错误。
②③正确。
点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系例2．下列命题正确的是（ ）()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向；()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；解析：A 中向量b 为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D 中需保证不为零向量答案C 。
点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。
像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 题型2：空间向量的基本运算例3．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与相等的向量是（ ）()A 1122a b c -++ ()B 1122a b c ++()C 1122a b c --+ ()D c b a +-2121解析：显然=+-=+=111)(21AA B BB 1122a b c -++； 答案为A 。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。
用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力例4．已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a∥b,求y x ,的值.解： a ∥b,,且,,0a b a λ=∴≠即.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++又p n m,,不共面,.8,13,422831=-=∴-=-=+∴y x yx 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
题型3：空间向量的坐标例5．（1）已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A. a ：|a |=b ：|b |B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使=k（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ） A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5) B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1) C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1) D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况 例6．已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。