机械系统动力学答案2011版啊

机械系统动力学2011版

1．如图所示的扭转摆，弹簧杆的刚度系数为K，圆盘的转动惯量为J，试求系统的固有圆频率。(15分)

图1

解：如图建立坐标系

设定坐标轴Z与摆线重合，初始时在重力作用下平衡，给圆盘一个相对于Z 轴的微小扭转角Ф,使之做自由扭转震动,该系统的扭转振动的微分方程为:

将上式化简后得：

系统的固有频率：

2．系统如图所示，其滑轮质量为M。忽略绳的弹性和M的转动（只考虑M 的上下振动），试利用能量法确定系统的固有频率。(15分)

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图2

解：如图建立坐标系：

方法一：通过微分方程求出固有频率 物体平衡时，弹簧变形为：

以物体平衡位置为原点，建立图示X 坐标系，物块分力如图所示，其运动微分方程：

对于m 物块

对于M 物块

整理可得：

系统的固有频率：

方法二：利用能量法确定系统的固有频率 以系统平衡时重物的位置为原点。

δ x

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系统的动能

系统的势能

由于d(U+T)/dt=0

所以可得：

其中

可得系统的固有频率：

或可表示为：

设系统运动方程为

若以平衡位置为势能零点，则系统势能

系统的动能

由于机械能守恒定律，即T+U=常数，则

得

可得系统的固有频率：

3. 某振动系统如图3所示，试用拉个朗日法写出系统的动能、势能和能量散失函数。（10分）

图3

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系统有两个质量块，设各质量块的位移x 1(t), x 2(t)为广义坐标，并设x 1(t)>x 2(t)，系统地动能为

系统的势能

4. 图4所示的系统，物体质量为1m ，滑轮质量为2m ，半径为R ，试求系统的振动微分方程。（15分）

图4

以平衡位置为坐标原点，设小车偏离平衡位置x ，弹簧K1对小车力为F K1，弹簧K2 对滑轮力为F K2，小车对滑轮的力为F 12，滑轮对小车的反作用力为F 21 对于小车可列微分方程

对于滑块可列微分方程

其中

整理方程组可得系统振动微分方程：

方法二: 利用能量法确定系统的振动微分方程

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以系统平衡时重物的位置为原点, 设小车偏离平衡位置x ，滑轮偏转 系统的动能

系统的势能

由于d(U+T)/dt=0 所以可得：

整理方程组可得系统振动微分方程：

5. 如图5所示的单摆，其质量为m ，摆杆是无质量的刚性杆，长为l 。它在粘性阻尼系数为r 的液体中摆动，悬挂点O 的运动为t A t x ωsin )(=。试写出单摆微幅摆动的微分方程式。（15分）

图5

根据动力学方程可得:

整理可得动力学方程

6. 如图6所示的提升机，通过刚度系数m N K /1057823⨯=的钢丝绳和天轮

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（定滑轮）提升货载。货载重量N

.0

=的速度等速下降。

025

m

W147000

=，以s

v/

求提升机突然制动时的钢丝绳最大张力。（15分）

解：物体等速度下降时，弹簧的变形为

以平衡点为原点建立x坐标，建立其微分方程是

代入化简后可得

系统的固有频率

当重物突然停止时刻，取时间t=0，作为振动的起点。则运动的初始条件为：

初位移

初始速度

代入公式可得起振幅及初相位

则物体的运动方程

其最大张力= 294 186N