电工学第8章正弦量与相量

除法：模相除，角相减。

例1.
547 10 25 ?

5 47 10 25 ( 3 . 41 j 3 . 657 ) ( 9 . 063 j 4 . 226 ) 解
12.47 j 0.569 12.48 2.61
例2.
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
无物理意义
j( wt Y )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt Y ) j 2Isin( wt Ψ )
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
例
100 50
i
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解 i ( t ) 100 cos(103 t y )
0
t 0 50 100 cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i ( t ) 100 cos(103 t
A | A | e
j
A | A | e j
| A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
复数也是矢量 直角坐标表示 极坐标表示
Im b
0
A |A|
A=a+jb A=|A|ej =|A|

a
Re
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。
将这个旋转矢量与 正弦量对应起来
Im
i( A)
(wt Y i )
Im

6 2
当正弦曲线上的一点沿着 的正方向向前运动时，左 边对应的矢量将会逆时针 旋转。
wt (rad )
向量图
P205图8-5给出示例
波形图
8.2 正弦量的相量表示
1. 问题的提出： 相量法是分析正弦电路稳态状态的 一种简单易行的方法。 正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应具有同一频率。 电路方程是微分方程：
当 10 t1 3 有最大值
3

3
y 3 y
3
) t1＝
3
10
3
＝1.047ms
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 等于初相位之差
几种不同值时的旋转因子
Im

e
j

2
jI
0
I
,

2
cos

2
j sin
2

2
Re
jIj I , e 2j
cos( ) j sin( ) j 2 2
, e j cos( ) j sin( ) 1
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )
单位： rad/s ，弧度 / 秒
T O
(3) 初相位(initial phase angle) y 正弦量在t=0时刻的相位。
一般规定：|y | 。 i
Y>0
y/w
返 回
Im wt t 2
上 页 下 页
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
t
y =/2
y =±
y =0 y =－/2
0
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )
复数运算
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
规定： |j | (180°)。
j >0， u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；

j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
u, i u i O
yu yi j
wt
特殊相位关系：
j = (180 ) ，反相：
u, i
i ( t ) 2 I cos( w t Ψ ) I IΨ
相量的模表示正弦量的有效值

相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos( w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(3 14t 60o )V

180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子： 复数
Im
A• ej

A Re
ej =cos
+jsin =1∠
0
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值 指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按 最大值考虑。 （2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。
i , Im , I
U=380V，
Um537V。
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
u
o
j ＝ 0， 同相：
u, i u i
0
u, i u
iw t
0 j= /2：
wt
i 0
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
Im 2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kwt k )
单位：Hz(赫兹)
周期T 、频率f 与角频率ω 交流电的角频率ω就是角位移与所用的时间 之比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交 流电变化一周，就相当于变化了２π弧度。角频 率的单位是弧度／秒，它与周期、频率的关系为
w =2 / T 2 f
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路 或交流电路。
5. 正弦量的叠加
多个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
n
n
i (t ) 0 u (t ) 0
k 1 k
k 1 k
但当正弦量较多时， 计算复杂
解决的思路
可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢量的模 表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的 相位角，如图所示。
Im (wt Y i )
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2Icos(w t Ψ) A(t ) 2Ie
A(t)还可以写成