平面任意力系平衡方程的应用教案
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平面一般力系的平衡方程及其应用
MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。
平面任意力系平衡方程讲解课件
01
02
03
04
仅适用于小变形的情况
对于大变形或复杂的结构，需 要使用更高级的力学理论
仅适用于线性弹性材料
对于非线性弹性材料或塑性材 料，需要使用更高级的材料模
型
04
平面任意力系平衡方 程的优化与改进
优化求解算法
线性化求解
将平衡方程转化为线性方程，降 低求解难度，提高求解速度。
迭代法优化
采用更高效的迭代算法，如牛顿法 、拟牛顿法等，加快收敛速度。
03
平面任意力系平衡方 程的适用范围
适用场景与条件
适用于平面任意力系 的平衡问题
力的作用点可以不在 物体的重心上
物体处于平衡状态， 即没有加速度或速度
不适用场景与原因
不适用于空间力系的平衡问题
不适用于具有加速度或速度的 物体
力的作用点不在物体的重心上 时，需要考虑科氏力等因素
限制因素与局限性
平衡状态
物体在受到一组的力作用后，如果处 于静止或匀速直线运动状态，则称该 物体处于平衡状态。
平衡方程
对于平面任意力系，其平衡方程为合 力为零，即合力在x轴和y轴上的投影 分别为零。
02
平面任意力系的平衡 方程
平衡方程的推导
1 2 3
静力平衡
在无外力作用下，物体处于静止状态，此时物体 内部各部分之间无相对运动趋势，处于平衡状态 。
并行计算
利用多核CPU或分布式计算资源， 实现并行计算，大幅缩短求解时间 。
提高计算精度
精细化建模
采用更高精度的物理模型，提高 方程的准确性和精度。
高阶有限元方法
采用高阶有限元方法，降低误差 ，提高计算精度。
自适应步长控制
根据误差大小自动调整步长，确 保计算的稳定性和精度。
平面一般力系的平衡方程
-
-
-专业资料-
-
-
-
课时
教 学 容、方 法、步 骤
附
分配
记
(2)空载时 W＝0，Q＝Qmax，机架可能绕 A 点左翻，在临界平衡状态， B 处悬空，NB＝0，受力图如图 3-10c 所示。则
故 平衡锤的范围应满足不等式
例 4-5 一简易起重机如图 4-11 所示。横梁 AB 的 A 端为固定铰支座，B 端用 拉杆 BC 与立柱相连。已知梁的重力 G1＝4kN,载荷 G2＝12kN，横梁长 L＝6m， α＝30°，求当载荷距 A 端距离 x＝4m 时，拉杆 BC 的受力和铰支座 A 的约束 反力。
其中 A、B、C 三点不能在一条直线上。
20 二. 平面平行力系的平衡方程
-
-
-专业资料-
-
-
-
课时
教 学 容、方 法、步 骤
附
分配
记
在基本式中，坐标轴是任选的。现取 y 轴平行各力，则平面平行力系中 各力在 x 轴上的投影均为零，即∑Fx ≡0。于是平面平行力系只有两独立的平 衡方程，即
∑Fy＝0 ∑MO(F)＝0
和投影轴，合理的选用方程组的形式，尽量避免联立解方程组
的麻烦。另外，平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。
复习思考题、 作业题
1、思考平面汇交力系的平衡方程中，可否取两个力矩方程，或 一个力矩方程和一个投影方程？这时，其矩心和投影轴的选 择有什么限制？
2、课本习题 4-7、4-6。
-
-
-专、方 法、步 骤
附
分配
记
40
§4.3 平面任意力系的平衡方程
一. 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式
平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
Fy 0
FW 2 G FW1 FRA FRB 0
解得： FRB 870kN
FRA 210kN
17
3、平面力偶系旳平衡方程
因为平面力偶系合成旳成果为一合力偶，M=Σm，而力偶
在任一轴上投影旳代数和均为零。即平面一般力系旳平衡方
程旳基本形式旳两个投影方程均变成恒等式，故平面力偶系
旳平衡方程为：
G 10 FP 4 FRB 20sin 600 0
mB (F) 0
FRAy 20 FP 4 G 10 0
Fx 0 FRAx FRB cos 600 FP 0
解得：FRB 62.4kN
FRAy 46kN
FRAx
11.2kN 9
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面 一般力系旳特殊力系，它们旳平衡方程皆可由平面一般力系 旳平衡方程导出。
1.平衡方程旳基本形式
FR' ( Fx )2 ( Fy )2
M o mo (F )
Fx 0 Fy 0
mo
(
F
)
0
2
由此可得结论，平面一般力系平衡旳解析条件是：全部各 力在两个任选旳坐标轴上旳投影旳代数和都等于零；力系 中全部各力对任一点旳力矩旳代数和等于零。
需要指出旳是，上述平衡方程是相互独立旳，用来求 解平面一般力系旳平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了防止求解联立方程，应使所选旳坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力旳交点（可在 研究对象之外）上。另外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一种未知量，以便简化计算。
在研究对象上画出它受到旳全部主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力旳指向未定时，能够先假设其指 向。假如计算成果为正，则表达假设指向正确；假如计算成果为 负，则表达实际旳指向与假设旳相反。
FW 2 G FW1 FRA FRB 0
解得： FRB 870kN
FRA 210kN
17
3、平面力偶系旳平衡方程
因为平面力偶系合成旳成果为一合力偶，M=Σm，而力偶
在任一轴上投影旳代数和均为零。即平面一般力系旳平衡方
程旳基本形式旳两个投影方程均变成恒等式，故平面力偶系
旳平衡方程为：
G 10 FP 4 FRB 20sin 600 0
mB (F) 0
FRAy 20 FP 4 G 10 0
Fx 0 FRAx FRB cos 600 FP 0
解得：FRB 62.4kN
FRAy 46kN
FRAx
11.2kN 9
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面 一般力系旳特殊力系，它们旳平衡方程皆可由平面一般力系 旳平衡方程导出。
1.平衡方程旳基本形式
FR' ( Fx )2 ( Fy )2
M o mo (F )
Fx 0 Fy 0
mo
(
F
)
0
2
由此可得结论，平面一般力系平衡旳解析条件是：全部各 力在两个任选旳坐标轴上旳投影旳代数和都等于零；力系 中全部各力对任一点旳力矩旳代数和等于零。
需要指出旳是，上述平衡方程是相互独立旳，用来求 解平面一般力系旳平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了防止求解联立方程，应使所选旳坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力旳交点（可在 研究对象之外）上。另外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一种未知量，以便简化计算。
在研究对象上画出它受到旳全部主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力旳指向未定时，能够先假设其指 向。假如计算成果为正，则表达假设指向正确；假如计算成果为 负，则表达实际旳指向与假设旳相反。
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）按图示坐标列平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程 解方程，求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
二、关于平面任意力系 的例题
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-2 起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴AB转动；
起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物， 如图 3-6 所示。
起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m， 其他尺寸如图所示。
求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。
c．如果再加上
，那么力系如
有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q，
重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支
座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程 取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
平面任意力系的平衡方程及应用
FCDl
s in
G1
l 2
G2a
0
(a)
Fx 0 FAx FCD cos 0
(b)
Fy 0 FAy G1 G2 FCD sin 0
(c)
第2章 平面力系的平衡
C
A
D
C
l
2a
G 1
l
G2 (a)
y FAy A
FAx
图2.5
FCD
B x
G1
G2
(b)
FR'
Fx 2 Fy 2 0, MO MO (Fi ) 0
第2章 平面力系的平衡
由此可得平面任意力系的平衡方程为
Fx 0
Fy 0
Байду номын сангаас
MO (F ) 0
式（2.6）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一 力矩式方程。它说明平面任意力系平衡的解析条件是: 力系中各 力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，以及 各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。这三个方程是 各自独立的三个平衡方程，只能求解三个未知量。
解（1） 选圆球为研究对象，取分离体画受力图。 主动力: 重力G。 约束反力: 绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。 受力图如图2.6（b）所示。
第2章 平面力系的平衡
（2） 建立直角坐标系Oxy
∑Fx=0
FT-Gsin30°=0
FT=50N( ∑Fy=0
FN-G cos30°=0
FN=86.6N
解 （1）以横梁AB为研究对象，取分离体画受力图。
作用在横梁上的主动力: 在横梁中点的自重G1、起吊重量 G2。作用在横梁上的约束反力: 拉杆CD的拉力FCD、铰链A点的 约束反力FAx、FAy，如图2.5（b）所示。
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
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平面任意力系平衡方程的应用教案
目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方程基本形式求解平衡问题。
教学重点：平衡方程的正确运用。
教学难点：对平衡方程的理解。
教学内容：
平面任意力系的简化
一、平面任意力系向任一点（简化中心）平移。
1、力系的简化依据－力的平移定理
2、力系的简化过程：如图(a)所示平面任意力系
根据力的平移定理，力平移后要附加一个力偶，其力偶的大小等于该力对简化中心之矩。
这样，平移到简化中心的力组成一个平面汇交力系，所有附加的力偶组成一个平面力偶系。
3、平面汇交力系组成一个合力——主矢。
根据平面汇交力系求合力的公式可得主矢的大小和方向为
二、平面任意力系平衡方程的应用
1、平面任意力系的平衡方程：
当平面任意力系作用于物体上，并处于平衡时，平面任意力系向任一点简化所得的主矢和主矩都应该等于零，于是得到下列平衡方程的基本形式：
2、解题步骤和方法：
（1）确定研究对象，画受力图。
（2）选择座标轴和矩心，列平衡方程。
（3）解平衡方程，求出未知约束反力。
三、例题：
例1:如图所示悬臂梁，已知L＝2m，F=100N,求固定端A处的约束反力。
解（1）、取梁AB为研
究对象。
（2）、画出AB梁的受
力图。
（3）、建立直角坐标系
Axy。
（4）、列出平衡方程：
∑F x=0 F AX-Fcos30˚＝0
∑M A(F)=0 M A-FLsin30˚
＝0
(5)、解平衡方程，求出
未知量。
联立求解平衡方程得
F Ax=86.6 N
F Ay=50 N
M A=100 N.m
说明：计算结果为正，
说明各未知力的实际方
向均与假设方向相同。
若计算结果为负，则未知力的实际方向与假设方向相反。