2017-2018学年陕西省高三(上)12月月考数学联考试卷(理科)Word版(解析版)
2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考联考试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），则“a=2”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件2．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，则||=（）A．5 B． C．D．3．（5分）用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角4．（5分）若a＞b，则下列正确的是（）①a2＞b2②ac＞bc③ac2＞bc2④a﹣c＞b﹣c．A．④B．②③C．①④D．①②③④5．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z6．（5分）若等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则等于（）A．B．C．D．17．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜18．（5分）一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/时B．20（﹣）海里/时C．20（+）海里/时D．20（﹣）海里/时9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（）A．πB．πC．πD．π10．（5分）已知a＞1，b＞1，且，则a+4b的最小值为（）A．13 B．14 C．15 D．1611．（5分）一线性规划问题的可行域为坐标平面上的正八边形ABCDEFGH及其内部（如图），已知目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，如果目标函数变成z=3﹣bx﹣ay 时，最大值只在顶点（）A．A B．B C．C D．D12．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）曲线与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为．14．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．15．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块16．（5分）如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE 于点M，设=x+y，则x+y= ．三、解答题（本大题共5小题，60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边中点，若a=4，AD=2，求△ABC的面积．18．设数列{an }满足前n项和Sn=1﹣an（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log an，求证：+…+＜．19．（12分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I ）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x 个，高中班y 个）（II ）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？ 20．（12分）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求f （x ）+f （1﹣x ），x ∈R 的值；（Ⅱ）若数列{a n }满足a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）（n ∈N *），求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足b n =2n+1•a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．21．（12分）已知函数f （x ）=x 2+（1﹣x ）e x（e 为自然对数的底数），g （x ）=x ﹣（1+a ）lnx ﹣，a ＜1．（1）求曲线f （x ）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数g （x ）的极小值；（3）若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[e ，3]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x=﹣2，圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ=（ρ∈R ），设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c∈R*且a+b+c=1，证明：a2+b2+c2≥（2）当x≥4时，证明：+＜+．2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）已知复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），则“a=2”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【分析】复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），z为纯虚数，可得a﹣4=0，a+2≠0，解得a=4．即可判断出结论．【解答】解：复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），z为纯虚数，∴a﹣4=0，a+2≠0，解得a=4．则“a=2”是“z为纯虚数”的既不充分也不必要条件．故选：C．【点评】本题考查了复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）已知向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，则||=（）A．5 B． C．D．【分析】首先根据向量垂直得到数量积为0，求出m的值，然后计算模长．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，所以•=2﹣2m=0，解得m=1，所以||=；故选C．【点评】本题考查了平面向量垂直的性质以及模长的计算；属于基础题．3．（5分）（2016秋•陕西期末）用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选C．【点评】本题考查命题的否定，命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少，注意积累这一类量词的对应．4．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）若a＞b，则下列正确的是（）①a2＞b2②ac＞bc③ac2＞bc2④a﹣c＞b﹣c．A．④B．②③C．①④D．①②③④【分析】举出反例a=1，b=﹣1，可判断①；举出反例c≤0，可判断②；举出反例c=0，可判断③；根据不等式的基本性质，可判断④．【解答】解：若a=1，b=﹣1，则a＞b，a2＞b2不成立，故①错误；若c≤0，则ac≤bc，故②错误；若c=0，则ac2=bc2，故③错误；a﹣c＞b﹣c一定成立，故④正确；故选：A【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度中档．5．（5分）（2014•成都模拟）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，根据题意求得周期，进而求得ω，函数的解析式可得，最后利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．【解答】解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），依题意知函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故选A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数图象与性质．求得函数的解析式是解决问题的基础．6．（5分）（2016秋•连城县校级期中）若等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则等于（）A．B．C．D．1【分析】由等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，知（a1+2d）2=a1（a1+6d），解得a1=2d，由此能求出的值．【解答】解：∵等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，∴（a1+2d）2=a1（a1+6d），解得a1=2d，∴===．故选A．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．7．（5分）（2015•上海模拟）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．8．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/时B．20（﹣）海里/时C．20（+）海里/时D．20（﹣）海里/时【分析】根据题意画出相应的图形，在三角形PMN中，根据sin∠MPN与sin∠PNM的值，以及PM的长，利用正弦定理求出MN的长，除以时间即可确定出速度．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得：MN==10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v=20（﹣）海里/小时．故选B．【点评】此题考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．9．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（）A．πB．πC．πD．π【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球，求出相应的体积，可得结论．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球，四棱锥的外接球的半径为r=a．∴该几何体外接球的体积==，∴这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为=故选：A．【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱锥与正方体的性质、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015秋•宁德校级期中）已知a＞1，b＞1，且，则a+4b的最小值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】换元可化问题为s＞0，t＞0且+=1，代入可得a+4b=10++，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞1，b＞1，且，令a﹣1=s，b﹣1=t，则a=s+1，b=t+1，则s＞0，t＞0且+=1，a+4b=（s+1）+4（t+1）=s+4t+5=（s+4t）（+）+5=10++≥10+2=14，当且仅当=即s=3且t=时取等号，解得a=s+1=4，b=t+1=，故选：B．【点评】本题考查基本不等式求最值，换元并变形为可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一线性规划问题的可行域为坐标平面上的正八边形ABCDEFGH及其内部（如图），已知目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，如果目标函数变成z=3﹣bx﹣ay时，最大值只在顶点（）A．A B．B C．C D．D【分析】目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）可化为：y=由目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，得，且b＜0，a＞0．从而得到目标函数变成z=3﹣bx﹣ay的最大值只在顶点A处，【解答】解：目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）可化为：y=∵目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，∴，且b＜0，a＞0．目标函数变成z=3﹣bx﹣ay可化为y=，∵，∴目标函数变成z=3﹣bx﹣ay时，最大值只在顶点A处，故选：A【点评】本题考查了线性规划问题，依据直线斜率、纵截距、最优解的范围，确定参数a、b 的取值是解题关键，属于中档题12．（5分）（2016秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln （x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【分析】由题意可得，存在x＜0使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C【点评】本题考查了函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（2016•银川校级一模）曲线与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为4﹣2ln2 ．【分析】先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．【解答】解：由曲线与直线y=x﹣1联立，解得，x=﹣1，x=2，故所求图形的面积为S===4﹣2ln2．故答案为：4﹣2ln2．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．14．（5分）（2016春•厦门校级期中）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm ．【分析】如图，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长．【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=cm，对应原图形平行四边形的高为：2cm，所以原图形中，OA=BC=1cm，AB=OC==3cm，故原图形的周长为：2×（1+3）=8cm，故答案为：8cm【点评】本题考查斜二测直观图，熟练掌握斜二测画不中原图与直观图对应边长之间的关系，是解答的关键．15．（5分）（2015春•蠡县校级期末）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2 块【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{an }表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{an }是以6为首项，4为公差的等差数列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．【点评】由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．16．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设=x+y，则x+y= ．【分析】分别在△AEM、△AFM中，由向量的加法法则利用算两次的方法，代入已知条件计算，即可得出结论．【解答】解：由图及向量的加法和减法可知：=+，由与共线，可设=m，∴=（1﹣m）+3m；同理可得=（1﹣n）+2n；又=x+y，则，解得x=，y=．∴x﹣y=．故答案为．【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，充分理解向量的运算法则及共线的意义是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2016秋•湖北月考）已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边中点，若a=4，AD=2，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得=0，求得sin（2A﹣）=1，可得A的值．（2）由题意可得 2=+，化简可得：b2+c2+bc=48 …①．又=﹣，化简可得b2+c2﹣bc=16 …②，由①、②求得bc=16，由此可得△ABC的面积S=bc•sinA 的值．【解答】解：（1）△ABC中，∵⊥，∴=（2sinA，1）•（sinA+cosA，﹣3）=2sinA•（sinA+cosA）﹣3=2sin2A+2sinAcosA﹣3=sin2A﹣cos2A﹣2=0，即：sin（2A﹣）=1，∴A=．（2）因为D为BC边中点，∴2=+，平方得：42=+2+2，即：b2+c2+bc=48 …①．又=﹣，∴=+2﹣2，即：：b2+c2﹣bc=16 …②，由①﹣②可得：2bc=32，故△ABC的面积S=bc•sinA==4．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．18．（2016秋•平罗县校级月考）设数列{an }满足前n项和Sn=1﹣an（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log an，求证：+…+＜．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）bn =log an=n．可得=＜=，n≥3时．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）解：∵Sn =1﹣an（n∈N*），∴n=1时，a1=1﹣a1，解得a1=．n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=1﹣an﹣（1﹣an﹣1），解得．∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为．∴an=．（2）证明：bn =log an=n．∴=＜=，n≥3时．∴+…+≤1++++…+=﹣（n=1，2时也成立）．∴+…+＜．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•湛江校级期中）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？【分析】设初中x个班，高中y个班，年利润为z，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为…（1分）…（5分）（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y…（6分）由（I）作出可行域如图．…（9分）由方程组得交点M（20，10）…（11分）作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．…（13分）∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．…（14分）【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．20．（12分）（2016秋•平罗县校级月考）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求f （x ）+f （1﹣x ），x ∈R 的值；（Ⅱ）若数列{a n }满足a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）（n ∈N *），求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足b n =2n+1•a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． 【分析】（Ⅰ）由已知条件得f （x ）+f （1﹣x ）==+=+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）推导出a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）=．（Ⅲ）由b n =2n+1•a n =（n+1）•2n ，利用错位相减法能求出数列{b n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=，∴f （x ）+f （1﹣x ）==+=+=+=1．（Ⅱ）∵f（x）+f（1﹣x）=1，f（）==，∴an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…=，∴．（Ⅲ）∵bn =2n+1•an=（n+1）•2n，∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①2Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，②①﹣②，得：﹣Sn=4+22+23+24+…+2n﹣（n+1）•2n+1=4+﹣（n+1）•2n+1=﹣n•2n+1，∴Sn=n•2n+1．【点评】本题考查函数值的求法，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21．（12分）（2016•运城校级一模）已知函数f（x）=x2+（1﹣x）e x（e为自然对数的底数），g（x）=x﹣（1+a）lnx﹣，a＜1．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g（x）的极小值；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）问题等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，分别求出f（x），g（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=x（1﹣e x），∴f′（1）=1﹣e，即切线的斜率是1﹣e，又f（1）=，则切点坐标是（1，），故f（x）在x=1处的切线方程是y﹣=（1﹣e）（x﹣1），即2（e﹣1）x+2y﹣2e+1=0；（2）∵g′（x）==，a＜1，函数g（x）的定义域是{x|x＞0}，∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）的极小值为g（1）=1﹣a，a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）的极小值是g（1）=1﹣a，综上，函数g（x）的极小值是1﹣a；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，x∈[﹣1，0]时，f′（x）=x（1﹣e x）≤0，当且仅当x=0时不等式取“=”，∴f（x）在[﹣1，0]上单调递减，∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是f（0）=1，由（2）得，g（x）在[e，3]递减，∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e﹣（a+1）﹣，故1＞e﹣（a+1）﹣，解得：a＞，又a＜1，故a∈（，1）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C 2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•平罗县校级月考）（1）已知a，b，c∈R*且a+b+c=1，证明：a2+b2+c2≥（2）当x≥4时，证明：+＜+．【分析】（1）利用条件，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论；（2）分析使不等式+＜+成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．【解答】证明：∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．（2）当x≥4时，要证+＜+，两边平方只需证，只需证x2﹣5x+6＞x2﹣5x+4，即证6＞4，显然上式成立，所以原不等式成立，即+＜+．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．。
陕西省西安市长安区高三数学上学期第五次质量检测试题 理
2017---2018学年度第一学期第五次模考高三理科数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1．函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是( ) A ．2πB ．4πC ．D ．2．马大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3.设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34.．设x ，y 满足约束条件23-1+1x x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2，则ab 的最大值是A ．1B ．12 C ．14 D ．165．下列命题正确的个数有( )（1）命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件.(2)命题“R x ∈∃,使得210x x ++<”的否定是:“对x R ∀∈, 均有210x x ++>”.(3)经过两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程4π2π121()()y y x x --=12()(x x y -1)y -来表示.(4）在数列{}n a 中, 11=a ,n S 是其前n 项和,且满足则{}n a 是等比数列.（5）若函数223-)(a bx ax x x f ++=在1=x 处有极值10，则114==b a ，.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1, ∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．5B ．25 C.41 D ．5 27．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x ).当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2.当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝( )A ．336B ．337C ．1 678D ．2 0148.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．2019．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln5D ．4＋50ln210.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9tt t v ++=1253-7)(11．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（ ）A ． 4B ．12C ．2D ． 1412.设函数()f x =(21)xe x ax a --+，其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）A ．[-32e ，1）B ．[-32e ，34）C ．[32e ，34）D ．[32e，1）第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
陕西省西安一中2017-2018学年高三(上)第三次月考数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题包括15小题，每小题5分，共75分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）2．（5分）下列各组函数中，表示相同函数的是（）A．f（x）=x与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=|x|与g（x）=D．f（x）=x0与g（x）=13．（5分）若条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”5．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=|x+1|C．f（x）=ln D．f（x）=（a x+a﹣x）6．（5分）若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x））+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上，F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣47．（5分）若f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．08．（5分）已知函数y=f（x）的定义域是（1，5），则等于y=的定义域是（）A．（1，5） B．（2，9） C．（2，3） D．（1，3）9．（5分）函数f（x）=log2（4x﹣x2）的单调递减区间是（）A．（0，4） B．（0，2） C．（2，4） D．（2，+∞）10．（5分）已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4] 11．（5分）函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．012．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1 C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 13．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）14．（5分）已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在（﹣∞，1]上是减函数，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数．若“（¬p）∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题（本大题包括5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.16．（5分）已知f（1﹣2x）=，那么f（x）等于．17．（5分）函数f（x）=2x2+（a﹣1）x+1﹣2a在上为减函数，则f（1）的取值范围是．18．（5分）命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是．19．（5分）函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是．20．（5分）已知下列命题：①命题：∃m∈（﹣∞，1），方程x2﹣x+m=0有实根的逆否命题．②命题“若x+y＞2，则x＞1且y＞1”的否命题．③命题“∀x∈（﹣2，4），|x﹣2|＜3”的否定．④m＞1是方程x2﹣2x﹣m=0有一正根和一负根的必要条件．其中是真命题的有．三、解答题（本大题包括5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.21．（10分）计算：（1）0.027﹣（﹣）﹣2+256﹣3﹣1+（﹣1）0（2）．22．（10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值．23．（10分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），（1）求f（1）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．24．（10分）已知定义在实数集R上的奇函数，f（x）有最小正周期2，且当x ∈（0，1]时，f（x）=（1）求函数f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）当λ取何值时，方程f（x）=λ在[﹣1，1]上有实数解？25．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的范围．2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括15小题，每小题5分，共75分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【分析】先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．【解答】解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|x≥1}，则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，所以，集合{x|x≤0}=C U（A∪B）．故选D．【点评】本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题．2．（5分）下列各组函数中，表示相同函数的是（）A．f（x）=x与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=|x|与g（x）=D．f（x）=x0与g（x）=1【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是相同函数．【解答】解：对于A，f（x）=x的定义域为R，g（x）==x的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是相同函数；对于B，f（x）=（x≤﹣1或x≥1），g（x）==（x≥1），两函数的定义域不同，不是相同函数；对于C，f（x）=|x|（x∈R），g（x）==|x|（x∈R），两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，f（x）=x0（x≠0），g（x）=1（x∈R），两函数的定义域不同，不是相同函数．故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为相同函数的应用问题，是基础题．3．（5分）若条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【分析】求出：|x+1|＞2，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得出q⊊p，再运用集合关系求解．【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴p：x＞1或x＜﹣3，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p充分不必要条件，∴p定义为集合P，q定义为集合q，∵q：x＞a，p：x＞1或x＜﹣3，∴a≥1故选：A【点评】本题综合考察了充分必要条件，与命题之间的关系，结合不等式求解，属于中档题．4．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，先写出原命题的逆命题，然后判断出其真假；由命题p⇒q，则p是q的充分条件，q是p必要条件，可判断出B错误；当命题p或q中有一个为真命题时，则命题“p∨q”为真命题，据此可知C错误；命题“∃x∈R，结论p成立”的否定是“∀x∈R，结论p的反面成立”，因此D正确．【解答】解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，∵m=0时，am2=bm2，故其逆命题是假命题．B．我们知道：当x∈R时，由“x＞2”⇒“x＞1”；而由“x＞1”不一定得到“x＞2”，故“x＞1”是“x＞2”的必要而不充分条件．C．我们知道：当命题p或q中有一个为真命题时，则命题“p∨q”为真命题，故C错误．D．由命题“∃x∈R，结论p成立”的否定是“∀x∈R，结论p的反面成立”，据此可知D正确．故选D．【点评】此题综合考查了命题的逆命题、充要条件、“或”命题及命题的否定的真假．准确把握上述有关知识是解决好本题的关键．5．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=|x+1|C．f（x）=ln D．f（x）=（a x+a﹣x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、f（x）=sinx为正弦函数，为奇函数，但在区间[﹣1，1]上为增函数，不符合题意；对于B、f（x）=|x+1|=，是非奇非偶函数，不符合题意；对于C、f（x）=ln，f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），函数f（x）为奇函数；对于y=ln，令t=，则y=lnt，分析可得t=在区间[﹣1，1]上为减函数，而y=lnt为增函数，则f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，符合题意；对于D、f（x）=（a x+a﹣x），f（﹣x）=（a﹣x+a x）=﹣（a x+a﹣x）=﹣f（x），函数f（x）为奇函数；f（x）=（a x+a﹣x），不能确定a的取值范围，则不能确定函数f（x）=（a x+a﹣x）在区间[﹣1，1]上的单调性，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意掌握常见函数的奇偶性与单调性．6．（5分）若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x））+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上，F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣4【分析】由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令h（x）=f（g（x）），可得h（x）也为R上的奇函数，由题意可得h（x）在（0，+∞）上有最大值6，则h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，即可得到答案．【解答】解：f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令h（x）=f（g（x）），h（﹣x）=f（g（﹣x））=f（﹣g（x））=﹣f（g（x））=﹣h（x），即h（x）为R上的奇函数．由F（x）在（0，+∞）上有最大值8，即h（x）在（0，+∞）上有最大值6，则h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，则F（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6+2=﹣4．故选D．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）若f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解即可．【解答】解：f（x）=，则f（f（﹣1））=f（|﹣1﹣1|）=f（2）=log22=1．故选：C．【点评】本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．（5分）已知函数y=f（x）的定义域是（1，5），则等于y=的定义域是（）A．（1，5） B．（2，9） C．（2，3） D．（1，3）【分析】由y=f（x）的定义域求出f（2x﹣1）的定义域，再由x﹣2＞0求出x的范围，取交集得答案．【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是（1，5），∴由1＜2x﹣1＜5，解得1＜x＜3，即函数f（2x﹣1）的定义域为（1，3），由，得2＜x＜3．∴y=的定义域是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．9．（5分）函数f（x）=log2（4x﹣x2）的单调递减区间是（）A．（0，4） B．（0，2） C．（2，4） D．（2，+∞）【分析】先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=log2g（x）、g （x）=4x﹣x2，因为y=log2z单调递增，要求原函数的单调递减区间即要求g（x）=4x﹣x2的减区间（根据同增异减的性质），再由定义域即可得到答案．【解答】解：∵函数y=log2（4x﹣x2）有意义∴4x﹣x2＞0即x（x﹣4）＜0则0＜x＜4∵2＞1∴函数y=log2（4x﹣x2）的单调递减区间就是g（x）=4x﹣x2的单调递减区间．对于y=g（x）=4x﹣x2，开口向下，对称轴为x=2∴g（x）=4x﹣x2的单调递减区间是（2，4）．∴函数y=log2（4x﹣x2）的单调递减区间是（2，4）故选C【点评】本题主要考查复合函数单调性的问题．求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可．但一定不要漏掉对函数的定义域的考虑10．（5分）已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]【分析】先求出函数的对称轴，根据函数的对称性，求出函数的单调区间，从而求出a的范围．【解答】解：∵f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴对称轴是x=2，又f（x）在[0，2]上是增函数，则抛物线的开口向下，且f（x）在[2，4]上是减函数，∵f（a）≥f（0），则f（a）≥f（4），所以根据二次函数的单调性并结合图象可得：0≤a≤4．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，对称性，是一道基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．0【分析】由f（x﹣1）是奇函数、f（x）是偶函数，可得f（x）=f（x﹣4），从而求得f（8.5）=f（0.5），即可得到答案．【解答】解：∵f（x﹣1）是奇函数，故有f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（﹣x）=﹣f（x﹣2）．又∵f（x）是偶函数，得f（x）=﹣f（x﹣2），f（x﹣4）=f（x）对任意x∈R恒成立，可得f（x）的最小正周期为4，∴f（0.5）=f（8.5）=9．故选：B．【点评】本题综合考查抽象的函数奇偶性、周期性的应用，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1 C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1【分析】利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的（0，﹣1）点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系．【解答】解：∵函数f（x）=log a（2x+b﹣1）是增函数，令t=2x+b﹣1，必有t=2x+b﹣1＞0，t=2x+b﹣1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞﹣1=log a，∴b＞，∴0＜a﹣1＜b＜1．故选A．【点评】本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力．考查学生的数形结合能力和等价转化思想．13．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【分析】求出函数值，利用分段函数求解不等式的解集即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（1）=3，不等式f（x）＞f（1）等价于：或，解得：x∈（﹣3，1）∪（3，+∞）．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，不等式组的解法，考查计算能力．14．（5分）已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在（﹣∞，1]上是减函数，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数．若“（¬p）∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】首先利用二次函数在（﹣∞，1]上是减函数，求出a的范围，进一步利用指数函数的单调性求出a的范围，最后利用“（¬p）∧q”为真命题，求出a的范围．【解答】解：命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在（﹣∞，1]上是减函数，则：解得：a．命题q：y=（2a﹣1）x为减函数．则：0＜2a﹣1＜1，解得：，若“（¬p）∧q”为真命题，则：p为假命题且q为真命题，所以：，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：二次函数对称轴的应用，指数函数的性质应用，复合命题的判定及相关的运算问题．15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以得到函数是周期函数，然后将方程转化为两个函数，利用数形结合以及两个函数图象的交点个数，求得，由此求得a的范围．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x﹣2）=f（x+2）=f（2﹣x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4．当x∈[0，2]时，﹣x∈[﹣2，0]，此时f（﹣x）=（）﹣x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1．分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和y=log a（x+2）（图中红色曲线）图象如图：由在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，可得函数f（x）和y=log a（x+2）图象有3个交点，故有，求得＜a＜2，故选：D．【点评】本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数的奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．二、填空题（本大题包括5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.16．（5分）已知f（1﹣2x）=，那么f（x）等于f（x）=（x≠1）．【分析】令1﹣2x=t，由x≠0得t≠1，利用换元法，可得f（x）的解析式．【解答】解：令1﹣2x=t，x≠0，t≠1，则x=，∵f（1﹣2x）=（x≠0），∴f（t）==（t≠1），故答案为：f（x）=（x≠1）【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，难度不大，属于基础题17．（5分）函数f（x）=2x2+（a﹣1）x+1﹣2a在上为减函数，则f（1）的取值范围是[3，+∞）．【分析】利用二次函数的开口方向以及对称轴，结合已知条件列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=2x2+（a﹣1）x+1﹣2a的开口向上，对称轴为：x=，函数在上为减函数，可得：解得﹣a≥1，f（1）=2+（a﹣1）+1﹣2a=2﹣a≥3．则f（1）的取值范围是：[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．18．（5分）命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【分析】写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出﹣m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．【解答】解：∵命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，∴命题“∀x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4＜0”是真命题，∴在（1，2）上恒成立令x∈（1，2）∵∴﹣m≥5，∴m≤﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5]【点评】将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．19．（5分）函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是[1，2）．【分析】复合函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）中，对数函数y=lgx为单调递增，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a如图所示：由图象可知当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a ＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故答案为：[1，2）【点评】y=f[g（x）]型函数可以看作由两个函数y=f（u）和u=g（x）复合而成，一般称其为复合函数．其中y=f（u）为外层函数，u=g（x）为内层函数．若内、外层函数的增减性相同，则复合函数为增函数；若内、外层函数的增减性相反，则复合函数为减函数．即复合函数单调性遵从同增异减的原则．20．（5分）已知下列命题：①命题：∃m∈（﹣∞，1），方程x2﹣x+m=0有实根的逆否命题．②命题“若x+y＞2，则x＞1且y＞1”的否命题．③命题“∀x∈（﹣2，4），|x﹣2|＜3”的否定．④m＞1是方程x2﹣2x﹣m=0有一正根和一负根的必要条件．其中是真命题的有①②③．【分析】①判断原命题的真假，可得逆否命题的真假；②判断逆命题的真假，可得否命题的真假；③判断原命题的真假，可得否定命题的真假；④根据充要条件的定义，可判断真假【解答】解：①命题：∃m∈（﹣∞，1），方程x2﹣x+m=0有实根为真命题，故其逆否命题也是真命题．②命题“若x+y＞2，则x＞1且y＞1”的逆命题为“若x＞1且y＞1，则x+y＞2”为真命题，故其否命题也是真命题．③命题“∀x∈（﹣2，4），|x﹣2|＜3”是假命题，故其否定为真命题．④方程x2﹣2x﹣m=0有一正根和一负根⇔，即m＞0，故m＞1是方程x2﹣2x﹣m=0有一正根和一负根的充分不必要条件．故错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题，充要条件，难度中档．三、解答题（本大题包括5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.21．（10分）计算：（1）0.027﹣（﹣）﹣2+256﹣3﹣1+（﹣1）0（2）．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式=（0.3）﹣49+﹣+1=﹣49+64﹣+1=19，（2）原式===﹣4．【点评】本题考查了指数幂的运算和对数的运算性质，属于基础题．22．（10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，先将二次函数进行配方，然后求出对称轴，结合函数的图象可求出函数的值域．（2）根据二次函数的性质可知二次项的系数为正数，函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3的对称轴是：x=﹣a．进行分类讨论：当=﹣a＞1时，当=﹣a＞1时，分别函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值，再根据最值在定点处取得建立等式关系，解之即可【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2+3x﹣3=（x+）2﹣，对称轴为x=﹣＜3，∴函数在[﹣2，﹣]上单调递减函数，在[﹣，3]上单调递增函数，∴f（）≤y≤f（3）f（3）=15，f（）=﹣∴该函数的值域为：[﹣，15]．（2）函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3的对称轴是：x=﹣a．当﹣a＞1时，函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为f（﹣1）=﹣2a﹣1=1∴a=﹣1；当﹣a≤1时，函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为f（3）=6a+3=1∴a=﹣；∴实数a的值a=﹣．或a=﹣1【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．23．（10分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），（1）求f（1）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．【分析】（1）令x=y=1即可得出f（1）；（2）利用函数的性质和单调性列出不等式组得出x的范围．【解答】解：（1）f（1）=f（1•1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．（2）∵f（1）=f（2）+f（）=0，∴f（2）=﹣f（）=﹣1，∴f（4）=f（2）+f（2）=﹣2，∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，∴f（x2﹣3x）≥f（4），∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，解得﹣1≤x＜0．∴不等式的解集为[﹣1，0）．【点评】本题考查了抽象函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．24．（10分）已知定义在实数集R上的奇函数，f（x）有最小正周期2，且当x ∈（0，1]时，f（x）=（1）求函数f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）当λ取何值时，方程f（x）=λ在[﹣1，1]上有实数解？【分析】（1）由已知可得f（0）=0，设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，代入x ∈（0，1]时的解析式即可求得x∈[﹣1，0）时的解析式，则分段函数解析式可求；（2）利用函数单调性定义证得f（x）在（0，1]上为减函数．求其值域，同理求得当x∈[﹣1，0）时的值域，结合f（0）=0，即可求得方程f（x）=λ在[﹣1，1]上有实数解的实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣，∴f（x）=；（2）设0＜x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）==，∵0＜x1＜x2≤1，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x）在（0，1]上为减函数．∴，即f（x）∈[，）；同理当x∈[﹣1，0）时，f（x）∈（﹣，]．又f（0）=0，∴当λ∈（﹣，]∪[，）∪{0}时，方程f（x）=λ在[﹣1，1]上有实数解．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查利用定义证明函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的值域，是中档题．25．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的范围．【分析】（1）根据f（x）是定义域为R奇函数，可得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x）即可求解a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，利用f（x）是奇函数以及单调即可将不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为二次函数问题求解．【解答】解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数．∴f（0）=0，即，可得b=1．那么f（x）=∵f（﹣x）=﹣f（x），即=可得：a=1∴a，b的值均为：1．（2）由f（x）===∵y=是R上的减函数，∴f（x）在R上为减函数，对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，则f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）为奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（﹣2t2+k），即不等式等价为f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），∵f（x）在R上为减函数，∴3t2﹣2t﹣k＞0，即3t2﹣2t＞k．∵3t2﹣2t=3（t﹣）2．当t=时，可得3t2﹣2t取得最小值为．∴k故得k的范围是（﹣∞，）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键。
陕西省西安高级中学2017-2018学年高二上学期月考数学(理科)试卷 Word版含解析
2017-2018学年陕西省西安高级中学高二（上）月考数学（理科）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n+1=0（n∈N+），则此数列的通项a n等于（）+1A．n2+1 B．n+1 C．1﹣n D．3﹣n2．已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）A． B． C．D．3．已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．84．已知等比数列{a n}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．25．已知数列{a n}的通项为a n=26﹣2n，若要使此数列的前n项和最大，则n的值为（）A．12 B．13 C．12或13 D．146．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=（）A．2 B．4 C．8 D．167．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项8．已知x≠1，0，则1+3x+5x 2+…+（2n﹣1）x n﹣1=（）A．B．C．D．9．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项10．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中第100项的值是（）A．10 B．13 C．14 D．100二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若a2，a3，a4，a5成等比数列，其公比为2，则=．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=1，S5=10，则S7=．13．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是．14．各项均为实数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=70，则S40等于．15．若数列{a n}满足﹣=k（k为常数），则称{a n}为等比差数列，k叫公比差．已知{a n}是以2为公比差的等比差数列，其中a1=1，a2=2，则a5=．三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．17．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；＜C n．（2）设C n=（n∈N*），求证C n+118．数列{a n}首项a1=1，前n项和S n与a n之间满足（1）求证：数列是等差数列（2）求数列{a n}的通项公式．19．已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式及a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），且b1=3，求数列的前n项和T n．+12017-2018学年陕西省西安高级中学高二（上）月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n+1=0（n∈N+），则此数列的通项a n等于（）+1A．n2+1 B．n+1 C．1﹣n D．3﹣n【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可得，此等差数列是以2为首项，以﹣1为公差的等差数列，由此求得此数列的通项a n．【解答】解：由题意可得，a n﹣a n =﹣1，此等差数列是以2为首项，以﹣1为公差的等差+1数列，则此数列的通项a n =2+（n﹣1）d=3﹣n，故选D．2．已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）A． B． C．D．【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．【解答】解：∵已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得a=5，故此等比数列的首项为4，公比为=，故通项公式为，故选C．3．已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式建立方程即可．【解答】解：由题意知S4=240，a2+a4=180，即a1+a3=240﹣180=60，则（a1+a3）q=a2+a4，即60q=180，解得q=3，则a1+q2a1=10a1=60，解得a1=6，故选：C．4．已知等比数列{a n}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于（）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．2【考点】等比数列；等差数列的性质．【分析】由已知4a 1，2a 2，a 3成等差数列可得4a 2=4a 1+a 3，结合等比数列的通项公式可求公比q 的值．【解答】解：∵4a 1，2a 2，a 3成等差数列， ∴4a 2=4a 1+a 3，设数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q ，a 3=a 1q 2， ∴4a 1q=4a 1+a 1q 2．∵a 1≠0，∴4q ﹣q 2﹣4=0， ∴q=2． 故选D ．5．已知数列{a n }的通项为a n =26﹣2n ，若要使此数列的前n 项和最大，则n 的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．12或13 D ．14【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】由题意可得数列为递减的等差数列，且前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负数，由此可得结论． 【解答】解：∵a n =26﹣2n ，∴a n +1﹣a n =（24﹣2n ）﹣（26﹣2n ）=﹣2，∴数列{a n }是公差为﹣2的等差数列，首项a 1=24， 令a n =26﹣2n ≤0，可得n ≥13∴数列{a n }的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负数， ∴数列的前12项，或前13项和最大， 故选：C 6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3﹣a 72+2a 11=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6b 8=（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由2a 3﹣a 72+2a 11=0结合性质求得a 7，再求得b 7，由等比数列的性质求得b 6b 8． 【解答】解：由等差数列的性质：2a 3﹣a 72+2a 11=0得： ∵a 72=2（a 3+a 11）=4a 7， ∴a 7=4或a 7=0， ∴b 7=4，∴b 6b 8=b 72=16， 故选：D ．7．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A ．13项 B ．12项 C ．11项 D ．10项 【考点】等差数列的性质．【分析】先根据题意求出a 1+a n 的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n ． 【解答】解：依题意a 1+a 2+a 3=34，a n +a n ﹣1+a n ﹣2=146 ∴a 1+a 2+a 3+a n +a n ﹣1+a n ﹣2=34+146=180 又∵a 1+a n =a 2+a n ﹣1=a 3+a n ﹣2∴a1+a n==60∴S n===390∴n=13故选A8．已知x≠1，0，则1+3x+5x 2+…+（2n﹣1）x n﹣1=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：x≠1，0，设S n=1+3x+5x 2+…+（2n﹣1）x n﹣1，则xS n=x+3x2+…+（2n﹣3）x n﹣1+（2n﹣1）•x n，相减可得：（1﹣x）S n=1+2（x+x2+…+x n﹣1）﹣（2n﹣1）•x n，=2×﹣1﹣（2n﹣1）•x n，∴S n=．故选：A．9．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【考点】等差数列的前n项和；数列的应用．【分析】由等差数列的性质可得a6+a7＞0，a7＜0，进而得出|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，可得答案．【解答】解：∵S13===13a7＜0，S12===6（a6+a7）＞0∴a6+a7＞0，a7＜0，∴|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，∴|a6|＞|a7|∴数列{a n}中绝对值最小的项是a7故选C．10．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中第100项的值是（）A．10 B．13 C．14 D．100【考点】归纳推理；等差数列的通项公式．【分析】易见数列规律：值为k的项共有k项．由1+2+…+n=，可得n=13时，=91，n=14时，=105，即可得出结论．【解答】解：易见数列规律：值为k的项共有k项．由1+2+…+n=，可得n=13时，=91，n=14时，=105，∴数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中第100项的值是14．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若a2，a3，a4，a5成等比数列，其公比为2，则．【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a2，a3，a4，a5成等比数列，其公比为2，∴==．故答案为：．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=1，S5=10，则S7=21．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的公差d及首项a1表示a2，S5，联立方程可求公差d及首项a1，再代入等差数列的前n项和公式可求【解答】解：∵a2=1，S5=10∴解可得，a1=0，d=1所以，S7=21故答案为：2113．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是192．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设底层所点灯的盏数为a7，由题意得S7=a7+a7+（）2×a7+…+（）6×a7=381，由此求出a7=192．【解答】解：设底层所点灯的盏数为a7，则a6=a7，a5=（）2a7，…，a1=（）6a7．∴S7=a7+a7+（）2×a7+…+（）6×a7=381，解得a7=192，故答案为：192．14．各项均为实数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=70，则S40等于150．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意易得公比q≠1，由求和公式可得和q10的方程组，解得代入求和公式可得S40．【解答】解：若公比q=1，由S10=10可得S30=30≠70，故公比q≠1，∴S10==10，①S30==70，②可得=1+q10+q20=7，解得q10=2，或q10=﹣3，∵等比数列{a n}的各项均为实数，∴q10=2，代回①式可得=﹣10∴S40==﹣10×（1﹣24）=150故答案为：150．15．若数列{a n}满足﹣=k（k为常数），则称{a n}为等比差数列，k叫公比差．已知{a n}是以2为公比差的等比差数列，其中a1=1，a2=2，则a5=384．【考点】数列递推式．【分析】由n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，a4，a5【解答】解：根据定义，得，∴a3=8，又，∴a4=48，又﹣=2，∴a5=384，故答案为：384．三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，然后根据第三项为﹣6，第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据b2=a1+a2+a3和a n的通项公式求出b2，因为{b n}为等比数列，可用求出公比，然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．17．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；＜C n．（2）设C n=（n∈N*），求证C n+1【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）①利用，及等比数列的通项公式即可得出a n；②利用等差数列的通项公式即可得出b n；（2）由即可得到c n+1＜c n；利用二项式定理可得3n=（1+2）n≥3n，即可证明．【解答】解：（1）①当n≥2时，由a n+1=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n．由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列．∴．②等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则，解得．∴b n=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6．（2）由（1）可得=．∴=c n．∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，∴．18．数列{a n}首项a1=1，前n项和S n与a n之间满足（1）求证：数列是等差数列（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】数列递推式；等差关系的确定．【分析】（1）根据等差数列的定义，将条件求进行转化即可证明数列是等差数列（2）根据是等差数列即可求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）∵当n≥2时，，整理得：S n﹣1﹣S n=2S n⋅S n﹣1，由题意知S n≠0，∴，即是以为首项，公差d=2的等差数列．（2）∵是以为首项，公差d=2的等差数列．∴，∴．，当n ≥2时，，当n=1时，a 1=S 1=1不满足a n ，∴．19．已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60，且a 6为a 1与a 21的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式及a n 及前n 项和S n ；（2）若数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），且b 1=3，求数列的前n 项和T n ．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和． 【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意建立方程组，求得d 和a 1，根据等差数列的通项公式和求和公式，分别求得a n 及前n 项和S n ；（2）由（1）中的a n 和S n ，根据迭代法得：b n =（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…（b 2﹣b 1）+b 1，结合条件化简后求得b n ，再利用裂项法求得，代入前n 项和T n 再相消后化简即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则，解得…∴a n =2n +3……（2）由（1）得，a n =2n +3，且S n =n （n +4），∵b n +1﹣b n =a n ，∴b n ﹣b n ﹣1=a n ﹣1=2n +1（n ≥2，n ∈N*）当n ≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =a n ﹣1+a n ﹣2+…+a 1+b 1=S n ﹣1+b 1 =（n ﹣1）（n ﹣1+4）+3=n （n +2）， 对b 1=3也适合，∴b n =n （n +2）（n ∈N*），∴…则==…2018年11月4日。
陕西省延安中学2017-2018学年高三上学期第五次月考数学试卷(理科) Word版含解析
陕西省延安中学2017-2018学年高三上学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的（每小题5分，共60分）1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A⊆B，则a的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：本题的关键是集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A⊆B，根据集合元素的互异性与唯一性，求出a的值解答：解：∵A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，且A⊆B∴a+2=1∴a=﹣1故选：B点评：题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．2．“若x＞﹣3，则x＞﹣6”以及它的逆、否、逆否中，真有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：四种间的逆否关系；的真假判断与应用．专题：规律型．分析：根据四种的关系以及互为逆否的等价性进行判断即可．解答：解：根据互为逆否的等价性只需判断原和逆的真假性即可．原：若x＞﹣3，x＞﹣6成立，∴原正确，逆否也正确．逆：若x＞﹣6，则x＞﹣3，不成立，∴逆错误，否也错误．故四个中，真的个数为2．故选：B．点评：本题主要考查四种之间的关系以及真假的判断，利用互为逆否的等价性是解决本题的捷径．3．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值为( ) A．260 B．168 C．156 D．130考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用a5+a9﹣a7=10求出a7的值，把S13的13项中项数相加为14的项结合在一起，根据等差数列的性质化简后，将a7的值代入即可求出值．解答：解：根据等差数列的性质可知a5+a9=2a7，根据a5+a9﹣a7=10，得到a7=10，而S13=a1+a2+…+a13=（a1+a13）+（a2+a12）+（a3+a11）+（a4+a10）+（a5+a9）+（a6+a8）+a7=13a7=130 故选D点评：考查学生灵活运用等差数列性质的能力．本题的突破点是项数相加为14的结合在一起．4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：函数的性质及应用．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．5．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则( )A．ω=1，φ=B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；综合题．分析：通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．解答：解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．6．若函数f（x）=x3﹣bx，（b∈R）在区间（1，2）上有零点，则b的取值范围是( ) A．（4，+∞）B．（1，4）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣∞，1）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由根的存在性定理，令f（1）•f（2）＜0，解不等式，求出b的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣bx在区间（1，2）上有零点，∴f（1）•f（2）＜0，即（1﹣b）（8﹣2b）＜0；∴（b﹣1）（b﹣4）＜0，解得1＜b＜4，∴b的取值范围是（1，4）．故选：B．点评：本题考查了函数零点的应用问题，解题的关键是由根的存在性定理列出不等式，是基础题目．7．设O为坐标原点，点M的坐标为（1，1），若点N（x，y）的坐标满足，则的最大值为( )A．B．2 C．3 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据向量的数量积关系结合线性规划的内容进行求解即可．解答：解：∵M的坐标为（1，1），∴•=x+y，设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（3，0）或B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=x+y得z=3+0=3．即的最大值为3．故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用平面向量的数量积结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．8．若f（x）为奇函数且在（0，+∞）上递增，又f（2）=0，则的解集是( )A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，得到当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0．再结合函数为奇函数证出：当x≤﹣2时，f（x）≤0且﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，最后利用这个结论，将原不等式变形，讨论可得所求解集．解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，∴当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0又∵f（x）是奇函数∴当x≤﹣2时，﹣x≥2，可得f（﹣x）≥0，从而f（x）=﹣f（﹣x）＜0．即x≤﹣2时f（x）≤0；同理，可得当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．不等式可化为：，即∴或，解之可得x＞2或x＜﹣2所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：D．点评：本题以抽象函数为例，在已知f（x）的单调性和奇偶性的基础之上求解关于x的不等式，着重考查了函数的单调性与奇偶性的知识点，属于中档题．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=2×=，故该几何体的体积V=Sh=×4×=，故选：D点评：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是2015届高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．10．已知双曲线和椭圆的离心率之积大于1，那么以a，b，m为边的三角形是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形考点：圆锥曲线的共同特征；三角形的形状判断．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线、椭圆的离心率之积大于1，建立不等式，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意，∴﹣a2b2+b2m2﹣b4＞0∴a2+b2﹣m2＜0∴∴m所对的角为钝角∴以a，b，m为边的三角形是钝角三角形故选B．点评：本题考查双曲线、椭圆的离心率，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．11．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则sinB+sinC的最大值为( )A．0 B．1 C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，进而确定出A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出sinB+sinC的最大值即可．解答：解：把2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，利用正弦定理化简得：2a2=b（2b+c）+c（2c+b），整理得：b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，∴A=120°，即B+C=60°，∴C=60°﹣B，∴sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=sinB+cosB﹣sinB=sinB+cosB=sin（B+60°），∵0＜B＜60°，∴60°＜B+60°＜120°，∴＜sin（B+60°）≤1，即＜sinB+sinC≤1，则sinB+sinC的最大值为1，故选：B．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．12．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是( )A．4 B．2C．2 D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论．解答：解：函数的f（x）的导数f′（x）=，在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，∵切线与圆x2+y2=1相切，∴圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，∵a＞0，b＞0，∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，则a+b=sinx+cosx=sin（x），∵0＜x＜，∴＜x＜，即当x=时，a+b取得最大值为，故选：D点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，综合考查了换元法的应用，综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|=2，则到准线的距离也为2，根据图形AFKA1是正方形．则易得AB⊥x轴，即可得答案．解答：解：由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|=2，则到准线的距离也为2．根据图形AFKA1，是正方形．可知|AF|=|AA1|=|KF|=2∴AB⊥x轴故|AF|=|BF|=2．故填|BF|=2．点评：活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化到准线的距离求解．14．已知点A（a，1）和曲线C：x2+y2﹣x﹣y=0，若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则实数a的取值范围是[0，1]．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：求出圆的圆心，利用直线和圆的位置关系进行判断．解答：解：∵圆的标准方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，∴圆心坐标为（，），半径r=．当y=1时，方程x2+y2﹣x﹣y=0为x2+1﹣x﹣1=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=1，要使过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则点A应该在圆上或者在圆内，则a满足0≤a≤1，故答案为：[0，1]．点评：本题主要考查直线和圆位置关系的判断，根据条件判断出点A在圆上或者在圆内是解决本题的关键．15．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为3．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．解答：解：∵二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），∴a＞0，△=16﹣4ac=0，∴ac=4，则c＞0，∴≥2=2=3，当且仅当，=时取到等号，∴的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是求出a与c的关系，属于基础题．16．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有24种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，首先分析甲，易得甲可以放在B、C班，有2种情况，再分两种情况讨论其他三名同学，即①A、B、C每班一人，②、B、C中一个班1人，另一个班2人，分别求出其情况数目，由加法原理可得其他三人的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：甲同学不能分配到A班，则甲可以放在B、C班，有A21种方法，另外三个同学有2种情况，①、三人中，有1个人与A共同分配一个班，即A、B、C每班一人，即在三个班级全排列A33，②三人中，没有人与甲共同参加一个班，这三人都被分配到甲没有分配的2个班，则这三中一个班1人，另一个班2人，可以从3人中选2个为一组，与另一人对应2个班，进行全排列，有C32A22种情况，另外三个同学有A33+C32A22种安排方法，∴不同的分配方案有A21（A33+C32A22）=24，故答案为24．点评：本题考查计数原理的应用，解题注意优先分析排约束条件多的元素，即先分析甲，再分析其他三人．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共5小题，共70分）17．已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（0，），求f（2θ﹣）．考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由已知及正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．（Ⅱ）由已知即可求得sinθ，sin2θ，cos2θ的值，代入=即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为所以函数f（x）的值域为[﹣2，2]（Ⅱ）因为所以，所以，所以=====点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由{a n}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{a n}的通项公式（Ⅱ）由{b n}是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a n+b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）∵设{a n}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{a n}的通项公式为a n=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{b n}是首项为1，公差为2的等差数列∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{a n+b n}的前n项和S n=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．解答：解：（I）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）∴设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于找到线面之间的平行、垂直关系，并且对建立坐标系也有一定的帮助，利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．21．已知向量=（lnx，1﹣alnx），=（x，f（x）），∥，f′（x）为函数f（x）的导函数（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的最小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算；平行向量与共线向量．专题：导数的综合应用；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）由∥得f（x）=﹣ax，然后求导数，再由函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得f′（x）=≤0对x＞1恒成立，转化为求最值，（Ⅱ）“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）﹣a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max ﹣a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（lnx，1﹣alnx），=（x，f（x）），∥，∴lnx•f（x）=x（1﹣alnx）（x＞0），∴f（x）==﹣ax，∴f′（x）=，∵函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=≤0对x＞1恒成立，即a≥对x＞1恒成立，令g（x）==﹣，令=t，x＞1，lnx＞0，t∈（0，+∞），g（t）=﹣t2+t，为二次函数，图象开口向下，对称轴为t=，则t=时，g（t）取得最大值，所以a≥，∴实数a的最小值为，（Ⅱ）“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）═﹣﹣a=﹣（﹣）2+﹣a≤﹣a，f′（x）max+a=，则问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，①当a≤﹣时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2≤，∴a≥﹣，与a≤﹣矛盾，②a＞﹣时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，∵f′（x）=，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0，要使f（x）min≤，∴a≥﹣＜﹣=，∴此时a≥，综上，实数a的取值范围为[，+∞）．点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，则按所做的第一题计分．选修1-4：几何证明选讲22．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接EA交⊙O于点F．求证：（Ⅰ）DE是⊙O的切线；（Ⅱ）BE•CE=EF•EA．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）连结OD，由已知得∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠C，从而∠ODA=∠C，进而DO∥BC，由此能证明DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接BD，由已知得∠BDA=90°，∠BDC=90°，DE2=BE•CE，由此利用切割线定理能证明BE•CE=EF•BA．解答：证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，又∵AB=BC，∴∠OAD=∠C，∴∠ODA=∠C，∴DO∥BC，又∵DE⊥BC，∴DO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴∠BDC=90°，∵DE⊥BC，∴DE2=BE•CE，又∵DE切⊙O于点D，EFA是⊙O的割线．∴DE2=EF•BA，∴BE•CE=EF•BA．点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．解答：解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．点评：本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3，即可求m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证．解答：（Ⅰ）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即m=3（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，所以a2+b2+c2≥3点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．。
陕西省黄陵中学2017届高三(普通班)上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含答案
导数及其应用 （120分钟 150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）1.在物体自由落体运动中，如果0(1)(1)lim t s t s v t∆→+∆-==∆9.8（/m s ），那么下列说法正确的是（ ）A ．9.8/m s 是在0～1s 这段时间内的速率B ．9.8/m s 是从1s 到(1)t s +∆这段时间内的速率C ．9.8/m s 是在物体在1t s =这一时刻的速率D ．9.8/m s 是物体从1s 到(1)t s +∆这段时间内的平均速率 2.函数2ln(1)y x =+的导函数是（ ）A ．22'1x y x =+ B ．21'1y x =+C ．2ln 2'1y x =+D ．22ln 2'1y x =+3.曲线2sin xy xπ=在x π=处切线的斜率为（ ）A ．-1B ．1C ．22π-D ． 22π4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）A ．13万件B ．11万件 C.9万件 D ．7万件5.若函数32()f x ax bx cx d =+++有极值，则导函数'()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C. D ．6.已知函数'()12f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示，则函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．(),0-∞和()2,+∞ C. (1,2) D ．(),-∞+∞7.已知1()x f x xe x =+，且1()'()n n f x f x -=（n N ∈，且2n ≥），则2015(1)f =（ ） A ．2015 B ．2015e C.2016 D ．2016e 8.若函数()f x 在R 上可导，且满足()'()f x xf x <，则（ ） A ．2(1)(2)f f < B ．2(1)(2)f f > C.2(1)(2)f f = D ．(1)(2)f f =9.曲边梯形由曲线21y x =+，0y =，1x =，2x =所围成，过曲线21y x =+（[1,2]x ∈）上一点P 作此曲线切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为（ ）A ．3(,2)2B ．313(,)24 C.513(,)24 D ．5(,2)210.已知函数()f x 的定义域为R ，且'()1()f x f x >-，(0)2f =，则不等式()1x f x e ->+解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(,)e +∞ C.(1,)+∞ D ．(0,)+∞ 11.已知函数()f x 及其导数'()f x ，若存在0x ，使得00()'()f x f x =，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ）①2()f x x =；②()x f x e -=；③()ln f x x =；④()tan f x x =；⑤1()f x x x=+. A ．①③⑤ B ．③④ C.②③④ D ．②⑤ 12.若函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(1,1]-上，()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦选择题答题栏第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上）13.已知()cos 2cos f x x π=+，则'()12f π= ．14.如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是3y kx =+，则(4)'(4)f f += ．15.设()f x =()y f x =的图象，x 轴，直线1x =和直线4x =所围成的封闭图形的面积为 ．16.（16全国丙卷）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x =. （1）当0x <时，求()f x 的表达式；（2）令()ln g x x =，问是否存在0x ，使得()f x ，()g x 在0x x =处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由. 18. （本小题满分12分）已知函数()(2)ln 1f x a x =--，2()ln g x x ax x =++（a R ∈），令()()'()x f x g x ϕ=+.（1）当0a =时，求()x ϕ的极值； （2）当2a <-时，求()x ϕ的单调区间. 19. （本小题满分12分） 已知二次函数2()f x ax bx c =++. （1）设(1)0f =，a b c >>.①求证：()f x 的图象与x 轴有两个交点；②设函数()f x 图象与x 轴交于A ，B 两点，求线段AB 长的取值范围. （2）若存在实数1x ，2x ，且12x x <，12()()f x f x ≠，试说明方程12()()()2f x f x f x +=必有一根在区间12(,)x x 内. 20. （本小题满分12分）请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好构成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设()AE FB x cm ==. （1）若广告商要求包装盒侧面积2()S cm 最大，x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积3()V cm 最大，x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.21. （本小题满分12分）已知函数21()2x f x e ax =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，函数221()()()4x g x x m f x e x x =--++在区间(0,)+∞上为增函数，求整数m 的最大值. 22. （本小题满分12分） 已知()ln 1af x x x=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+. （1）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（2）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：111111ln[(1)(2)]ln 234!n n k e k k k n n n =⎛⎫⎛⎫++++⋅++>-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ （*n N ∈）.试卷答案一、选择题1-5:CACCD 6-10:BBABD 11、12：AD 二、填空题 13.-1 14.112 15.14316.21y x =-- 三、解答题17.解：（1）当0x <时，0x ->，22()()2()2f x f x x x =--=--=-. 所以当0x <时，2()2f x x =-. ………………………………………………………………………………4分18.解：（1）因为1'()21g x ax x=++，………………………………………………………………………1分所以1()(2)ln 2x a x ax xϕ=-++，(0,)x ∈+∞.……………………………………………………………2分当0a =时，1()2ln x x xϕ=+，(0,)x ∈+∞，222121'()x x x x x ϕ-=-=.………………………………3分 令'()0x ϕ=，得12x =，且当102x <<时，'()0x ϕ<，当12x >时，'()0x ϕ>，……………………4分所以函数()x ϕ在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞单调递增，………………………………………………5分所以函数()x ϕ在12x =处取得极小值1()22ln 22ϕ=-，无极大值.………………………………………6分（2）2222112()()212(2)12'()2a x x a ax a x a x a x x x xϕ-+-+--=-+==，(0,)x ∈+∞.………………8分当2a <-时，1102a <-<，分析知当11(,)2x a ∈-时，'()0x ϕ>；当11(0,)(,)2x a ∈-+∞ 时，'()0x ϕ<.11分所以函数()x ϕ的单调增区间是11(,)2a -，单调递减区间是11(0,)(,)2a -+∞ .…………………………12分19.（1）①证明：由(1)0f =，得0a b c ++=，即b a c =--. 又因为a b c >>，所以2224()4()0b ac a c ac a c -=---=->. 所以()f x 的图象与x 轴有两个交点.…………………………………………………………………………3分 ②解：由①得，0a >，0c <.所以||1a c c AB a a-===-.又∵0a b c ++=，a b c >>，∴a a c c >-->，0a >，0c <，∴122ca<-<，3132ca <-<，即线段AB 长取值范围是3(,3)2，……………………………………………………………………………………6分（2）证明：引入12()()()()2f x f x G x f x +=-，∴121211()()()()()()22f x f x f x f x G x f x +-=-=，122122()()()()()()22f x f x f x f x G x f x +-=-=，∴[]21212()()()()4f x f x G x G x -⋅=-，又∵曲线()y G x =在区间12(,)x x 上不间断，∴函数12()()()()2f x f x G x f x +=-在区间12(,)x x 上存在零点. 故方程12()()()2f x f x f x +=必有一根在区间12(,)x x 内.…………………………………………………12分20.解：（1）设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），则a =，)h x -，030x <<.………………………………………………………………3分248(30)8(15)1800S ah x x x ==-=--+， 所以当15x cm =时，S 取最大值.……………………………………………………………………………6分（2）23230)V a h x x ==-+，且(0,30)x ∈，则2'20)V x x =--. 设'0V =，得10x =（舍），220x =.………………………………………………………………………7分 当(0,20)x ∈时，'0V >；当(20,30)x ∈，'0V <，……………………………………………………9分所以当20x cm =时，包装盒容积3()V cm 最大，此时12h a =. 即此时包装盒的高与底面边长的比值是12.…………………………………………………………………12分 21.解：（1）函数21()2x f x e ax =-的定义域为R ，2'()x f x e a =-.……………………………………1分 当0a ≤时，'()0f x >，所以()f x 在R 上单调递增；………………………………………………………3分 当0a >时，令'()0f x =，得ln 2a x =，且当ln ,2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，'()0f x <；当ln ,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，'()0f x >，所以()f x 在ln ,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.…………………………5分（2）当1a =时，22211()()()24x x g x x m e x e x x =---++.若()g x 在区间(0,)+∞上为增函数，则2'()()(1)10x g x x m e x =--++≥对(0,)x ∀∈+∞上恒成立，即211x x m x e +<+-在(0,)+∞上恒成立.………………………………………………………………………6分令21()1x x h x x e +=+-，(0,)x ∈+∞，则()2222(23)'()1x x x e e x h x e --=-，(0,)x ∈+∞.………………………7分令2()23x L x e x =--，可知1()402L e =-<，2(1)50L e =->.又当(0,)x ∈+∞时，2'()220x L x e =->，所以函数2()23x L x e x =--在(0,)+∞上只有一个零点，设为ϕ，即223e ϕϕ=+，且1(,1)2ϕ∈.……9分由上可知，当(0,)x ϕ∈时，()0L x <，即'()0h x <；当(,)x ϕ∈+∞时，()0L x >，即'()0h x >，所以21()1x x h x x e +=+-，(0,)x ∈+∞有最小值21()1h e ϕϕϕϕ+=+-. 把223e ϕϕ=+代入上式可得1()2h ϕϕ=+，又因为1(,1)2ϕ∈，所以3()(1,)2h ϕ∈.又()m h x ≤恒成立，所以()m h ϕ≤.…………………………………………………………………………11分因为m 为整数，所以1m ≤. 所以整数m 的最大值为1 (12)分22.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.因为()ln 1af x x x =+-，所以2'()x af x x -=.………………………………………………………………1分令2'()0x af x x-==，则x a =.………………………………………………………………………………2分 ①若0a ≤，则'()0f x >，()f x 在区间(0,]e 上单调递增，此时()f x 无最小值；……………………3分②0a e <<，则当(0,)x a ∈时，'()0f x <；当[,]x a e ∈时，'()0f x >， 所以()f x 在区间(0,]a 上单调递减，在区间(,]a e 上单调递增. 所以当x a =时，()f x 有最小值ln a ；………………………………………………………………………4分③若a e ≥，则'()0f x ≤，()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 所以当x e =时，()f x 有最小值ae.……………………………………………………………………………5分 综上，min,0,()ln ,0,,.a f x a a e aa e e⎧⎪≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩不存在………………………………………………………………………………6分（2）因为()(ln 1)x g x x e x =-+，所以1'()(ln 1)1x g x x e x=+-+.由（1）可知，当1a =时，1()ln 1f x x x =+-在区间(0,]e 上有最小值ln10=，………………………7分所以1()ln 10f x x x=+-≥.11 所以当0(0,]x e ∈时，00001'()(ln 1)10x g x x e x =+-+>. 因为曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0'()0g x =有实数解，而0'()0g x >，即方程0'()0g x =无实数解.故不存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直.…………………………8分（3）由（1）可知，当1a =时，1()ln 10f x x x =+-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 即当1x ≥时，恒有11ln x x≥-.（*） 取x n =（n n N ∈），11ln n n ≥-. 所以1111(ln1ln 2ln 3ln )ln(!)ln 23!n e n n n n n n ++++≥-++++=-= .…………………………9分又在（*）式中，取(1)(2)x k k k =++（*k N ∈），得 1111ln[(1)(2)]11(1)(2)(1)(1)(2)2k k k k k k k k k k ⎡⎤++≥-=--⋅⎢⎥+++++⎣⎦， 所以11111ln[(1)(2)]22(1)(2)4nk k k k n n n n =⎡⎤++≥-->-⎢⎥++⎣⎦∑.………………………………………11分 故111111ln[(1)(2)]ln 234!n n k e k k k n n n =⎛⎫⎛⎫++++⋅++>-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ （*n N ∈）.…………………………12分。
《首发》陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考(一)数学(理)试题Word版含答案
2018届高三质量检测同一大联考数学（理）联考试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合22{|40},{|log 1}A x x x B x x =-<=>，则A B =A ．(2,4)B ．(0,2)C ．(1,4)D ．(0,4)2、若命题:2,2p k k Z πϕπ=+∈，命题():sin()(0)q f x wx w ϕ=+≠是偶函数，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、已知函数()24,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(1,2]- C ．[1,2]- D ．[2,5]4、已知()lg ,0,0x x x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且(0)2,(1)4f f =-=，则((2))f f -=A ．-1B ．2C ．3D ．-35、下列命题中，真命题是A ．220001,sin ()cos ()333x x x R ∃∈+= B ．(0,),sin cos x x x π∀∈> C ．2000,2x R x x ∃∈+=- D ．(0,),1x x e x ∀∈+∞>+6、若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11{1,0,,,2,3}23M =-的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是A ．31B ．7C ．3D ．17、若2)4n x dx π=+，则2()n y y+的展开式中常数项为 A ．8 B ．16 C ．24 D ．608、把函数sin()6y x π=+的图象上个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为A ．(,0)2π-B ．(,0)2πC ．(,0)8πD ．(,0)4π9、执行如图所示的程序框图，如果输入3,2a b ==，那么输出a 的值为A ．16B ．256C ．3log 626D ．656110、已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．11、设α为锐角，若1cos()63πα+=-，则sin(2)12πα+的值为A ．725B ．818C ．50-D ．5 12、已知定义在R 上的函数()f x 满足()(3)f x f x -=-，在区间3[0,]2上是增函数，且函数(3)y f x =-为奇函数，则A ．()31(84)(13)f f f -<<B ．()(84)(13)31f f f <<-C ．()13(84)(31)f f f <<-D ．()31(13)(84)f f f -<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、一个正方体消去一个角所得的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为3的正方形），则该几何体外接球的表面积为14、曲线12y x=+，直线1,x x e ==和x 轴所围成的区域的 面积是15、已知ABC ∆中角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点， 且1,CD DBM DMB CAB =∠=∠=∠ ，则MA =16、已知函数()2(24)23,3,a x a x t f x x x x t-+-≤⎧=⎨-+>⎩，无论t 去何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞上总是不单调，则a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题，共60分17、（本小题满分10分）设函数()2sin()2cos 366x x f x πππ=--. （1）试说明()y f x =的图象由函数3y x π=的图象经过怎样的变化得到？并求()f x 的单调区间；（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线2x =对称，当[0,1]x ∈时，求函数()y g x =的最值.18、（本小题满分12分）已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时，()0f x >.（1）求()1f 的值；（2）证明：()f x 为单调增函数；（3）若1()15f =-，求()f x 在1[,125]25上的最值.19、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112,420(2,)n n a S S n n N +-=--=≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log ,n n n b a T =为{}n b 前n 项和，求证：112nk n T =<∑.20、（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.（1）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄第1,2,3组人数分别是多少？（2）在（1）的条件下，从这6中随机抽取2参加社区宣传交流活动，X 表示第3组中抽取的人数，求X 的分布列和期望值21、（本小题满分12分）已知函数()1xx e f x xe =+ . （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()21(0)1f x a ax >≥+，求a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程已知函数()32f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =在点1x =-处的切线为:550l x y +-=，若23x =时，()y f x =有极值. （1）求,,a b c 的值；（2）求()y f x =在[3,2]-上的最大值和最小值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 已知函数()f x x a =-.（1）若不等式()4f x ≤的解集为[1,7]-，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若0x R ∈，使得00()(5)4f x f x m ++<，求实数m 的取值范围.。
【月考试卷】陕西省咸阳市武功县2017-2018学年高二上学期第四次月考(12月)数学(理)试卷Word版含答案
2017-2018学年度第一学期普中高二第四次月考理科数学试题考试时间：120分钟；总分：150分命题人： 审题人：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 给出下列四个命题：（1）q p ∧ (2)p ⌝ (3)q p ∨ (4)()q p ∨⌝若这四个命题中只有一个是真命题，则这个真命题的序号是（ ） A.（1） B.（2） C. ( 3) D. ( 4) 2．下列命题中，真命题是( )A. 命题“若|a |＞b ，则a ＞b ”B. 命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C. 命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题D. 命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”3．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4．已知命题p ：∀x >0， 44x x+≥；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)， 0122x =，则下列判断正确的是( )A. p 是假命题B. q 是真命题C. p ∧(q ⌝)是真命题 D. (P ⌝)∧q 是真命题5．等比数列{a n }的前n 项之和为S n ， 公比为q ，若S 3=16且112819a q =- ，则S 6=（ ） A. 14 B. 18 C. 102 D. 1446．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3＝2a 1， 且a 4与2a 7的等差中项为 54，则S 5＝( ) A. 35 B. 33 C. 31 D. 29 7．下列函数中，y 的最小值为4的是 （ ） A. 4y x x=+B. 223y x x =-++C. 4sin (0)sin y x x xπ=+<< D. 4x x y e e -=+ 8．△ABC 的内角A,B,C 所对的边a,b,c 满足()224a b c +-= ，且C=60°，则ab 的值为（ ） A.43 B. 8- C. 1 D. 239．三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为35，该三角形的面积是14，那么这两边分别为（ ） A. 3,5 B. 4,6 C. 6,8 D. 5,710．设x,y 满足约束条件 0303320332≥+≥+-≤-+y y x y x 则y x z+=2的最小值是( )A. -15B. -9C. 1D. 911.设平面α的一个法向量是1n =（1,2，-2），平面β的一个法向量是2n=（-2，-4，k ）,若βα//，则k=( )A. 2B. -4C. -2D. 412．如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论错误．．的是（ ）. A. BD//平面CB 1D 1B. AC 1⊥BDC. AC 1⊥平面CB 1D 1D. 异面直线AD 与CB 1角为第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在答题卡的横线上) 13．已知命题02,:2≤++∈∃a ax x R x p ．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．14．如图，空间四边形OABC 中，ΟΑ=a ，ΟΒ=b ，ΟC =c ，点M 在OA 上，且23OM OA =，点N 为BC 中点，则MN 等于 ．（用向量,,a b c 表示）15．已知两个正实数y x ,使4=+y x ，则使不等yx 41+≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．16．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角B AD C --等于____________.时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形．三、解答题(本大题共6小题，共70分． 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题10分）命题p:任意两个等边三角形都是相似的。
陕西省榆林一中等四校联考2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
陕西省榆林一中等四校联考2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=2+i，是z的共轭复数，则对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：∵z=2+i，∴=2﹣i，∴====．因此对应的点位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2．已知R是实数集，，则N∩∁R M=( ) A．（1，2）B．[0，2]C．∅D．[1，2]考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先化简两个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出C R M，再按照交集的定义求出N∩C R M．解答：解：∵M={x|＜1}={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y=+1}={y|y≥1 }，C R M={x|0≤x≤2}，故有N∩C R M={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2}=[1，+∞）∩[0，2]=[1，2]，故选D．点评：本题考查函数的值域求法，不等式的解法，以及求集合的补集和交集的方法．3．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列中正确的是( )A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题；综合法．分析：A选项a∥b，a∥α，则b∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，a∥α，则a⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，a⊥β，则a∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；解答：解：A选项不正确，因为b⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，a∥α时，a∥β，a⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D点评：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力．4．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=a x（a＞1），则有( )A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（2）＜g（3）C．f（2）＜g （0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇偶性条件知，用﹣x换x，由f（x）﹣g（x）=e x再构造一个方程，求得f（x），g（x）比较即可．解答：解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=a x（a＞1），∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=a﹣x （a＞1），即﹣f（x）﹣g（x）=a﹣x （a＞1），两式联立解得f（x）=，g（x）=﹣，则g（0）=﹣1，f（2）=，f（3）=，则f（3）＞f（2）＞g（0），故选：D点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性求出函数f（x）和g（x）的表达式是解决本题的关键．5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A．12 B．18 C．24 D．48考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：分两大步：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得答案．解答：解：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：=24故选C点评：本题考查简单的排列组合问题，捆绑法和插空法结合是解决问题的关键，属中档题．6．已知函数f（x）=e|lnx|﹣|x﹣|，则函数y=f（x）的大致图象为( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用排除法，根据定义域排除A，B，根据f（1）=1排除D，问题得以解决解答：解：∵f（x）=e|lnx|﹣|x﹣|，∴函数的定义域为（0，+∞），故排除A，B，当x=1时，f（1）=1﹣0=1，故排除D故选：C点评：本题考查了函数图象的识别，排除法时做选择题的一种常用方法，属于基础题7．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为( )A．3 B．126 C．127 D．128考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，故输出的x值为127故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．8．数列{a n}的前n项和为s n，s n=an2+bn+c（a，b，c∈R，n∈N+）则“c=0”是{a n}为等差数列的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：等差数列与等比数列．分析：根据充分必要条件的定义结合等差数列的性质，从而得到答案．解答：解：当c=0时，a n=S n﹣S n﹣1=（an2+bn）﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=（a n2+b n）﹣（a n2﹣2a n+a+b n﹣b）=2an﹣a+b．∴a2﹣a1=（4a﹣a）﹣（2a﹣a）=2a，∴c=0时，数列{a n}为等差数列，是充分条件；若数列{a n}是等差数列，则s n=na1+=n2+（a1﹣）n=an2+bn+c，∴c=0，是必要条件，故选：B．点评：本题考查数列的性质和应用，解题要认真审题，仔细解答．9．如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A．4 B．C．12 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥．解答：解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，该四棱锥的体积为V四棱锥=S梯形h=××（2+4）×2×2=4．故选：A．点评：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出几何体是什么图形，是基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，，则使的x的值是( )A．2n（n∈Z）B．2n﹣1（n∈Z）C．4n+1（n∈Z）D．4n﹣1（n∈Z）考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f（x）求出函数的周期，以及﹣1≤x≤0时的解析式，然后求出在[﹣1，1]上满足方程f（x）=﹣的解，最后根据周期性即可选得答案．解答：解：∵f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）∴函数f（x）的周期T=4．∵当0≤x≤1时，f（x）=x，又f（x）是奇函数，∴当﹣1≤x≤0时，f（x）=x，令x=﹣解得：x=﹣1而函数f（x）是以4为周期的周期函数，∴方程f（x）=﹣的x的值是：x=4k﹣1，k∈Z．故选D．点评：本题主要考查函数的奇偶性和递推关系，利用函数的奇偶性和周期性结合来转化是关键，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是甲乙丙．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，即可得出结论．解答：解：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题意故答案为：甲乙丙．点评：本题考查进行简单的合情推理，比较基础．12．若函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则6的展开式中各项系数和为（用数字作答）．考点：二项式系数的性质；定积分．专题：计算题．分析：求解定积分得到a的值，把a的值代入二项式后，取x=1即可得到6的展开式中各项系数和．解答：解：函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，如图，∴a=+==．∴6=，取x=1，得．故答案为：．点评：本题考查了定积分，考查了二项式系数的性质，体现了数学转化思想方法，属中档题．13．已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为．考点：圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率．解答：解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，∴a2+1=4，∴a=∴e==故答案为：点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题．14．当实数x，y满足约束条件时，z=x﹣y的最大值为m，则对于正数a，b，若=m，则a+b的最小值是．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，z=x﹣y在x取最大，y取最小时有最大值，即（6，1）时有最大值，从而可得m=5；利用基本不等式求最值．解答：解：由题意作出其平面区域，z=x﹣y在x取最大，y取最小时有最大值，即（6，1）时有最大值，故m=5；故=5，（）（a+b）≥（2++）≥；当且仅当a=b时，等号成立，故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．三.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分.）A.（不等式选做题）.15．若|x+1|+|x﹣3|＞k对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（﹣∞，4）．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：|x+1|+|x﹣3|＞k对任意的x∈R恒成立，等价于（|x+1|+|x﹣3|）min＞k，利用不等式的性质即可求得最小值．解答：解：|x+1|+|x﹣3|＞k对任意的x∈R恒成立，等价于（|x+1|+|x﹣3|）min＞k，∵|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，∴k＜4，即实数k的取值范围是（﹣∞，4），故答案为：（﹣∞，4）．点评：该题考查函数恒成立问题、绝对值不等式的性质，考查转化思想，属基础题．B.（几何证明选做题）16．如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．解答：解：∵PC是圆O的切线，∴由切割线定理得：PC2=PA×PB，∵PC=4，PB=8，∴PA=2，∴OA=OB=3，连接OC，OC=3，在直角三角形POC中，利用面积法有，∴CE==．故填：．点评：此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段以及切割线定理，属于基础题．C.（坐标系与参数方程选做题）17．在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线ρsin（θ+）=2的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=4cosθ和化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合点到直线的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，其圆心是A（2，0），由得：，化为直角坐标方程为x+y﹣4=0，由点到直线的距离公式，得．故答案为：．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量=（a，b）为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量的伴随函数．（Ⅰ）设函数g（x）=sin（+x）+2cos（﹣x），试求g（x）的伴随向量的模；（Ⅱ）记=（1，）的伴随函数为h（x），求使得关于x的方程h（x）﹣t=0在[0，]内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简函数g（x），结合已知的新定义求得伴随向量的坐标，再由模的计算公式求模；（Ⅱ）根据给出的=（1，），求得其伴随函数h（x），由给出的x的范围求得h（x）的值域，再结合函数的单调性求使得关于x的方程h（x）﹣t=0在[0，]内恒有两个不相等实数解的实数t的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵=2sinx+cosx，∴．故；（Ⅱ）∵=（1，），∴=（1，）的伴随函数=，∵，∴，故h（x）∈[1，2]．∵当时，函数h（x）单调递增，且；当时，函数h（x）单调递减，且h（x）∈[1，2）．∴使得关于x的方程h（x）﹣t=0在内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为．点评：本题考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数的诱导公式，训练了利用三角函数的单调性求函数的值域，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（I）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设数列{b n﹣a n}是等比数列，且b2=7，b5=91，求数列{b n}的前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）由于b2﹣a2=7﹣4=3，b5﹣a5=91﹣10=81，设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，可得81=3q3，解得q=3．可得b n﹣a n=．解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a2，a4，a8成等比数列，∴，∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），化为d2﹣2d=0，d≠0．解得d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（II）b2﹣a2=7﹣4=3，b5﹣a5=91﹣10=81，设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则81=3q3，解得q=3．∴b n﹣a n==3×3n﹣2=3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点．（I）在棱AB上找一点Q，使QP∥平面AMD，并给出证明；（Ⅱ）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）设Q为AB上的一点，满足BQ=AB．由线面平行的性质证出MD∥NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在△MAB中得到QP∥AM．最后利用线面平行判定定理，证出QP∥平面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；（II）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标．利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出=（1，﹣2，﹣2）为平面CMN的一个法向量．根据线面垂直的判定定理证出DC⊥平面BNC，从而得到=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量，最后用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．解答：解：（I）当AB上的点满足BQ=AB时，满足QP∥平面AMD，∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，且，∴，在△MAB中，可得QP∥AM．又∵QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．∴QP∥平面AMD，即存在棱AB上找一点Q，当BQ=AB时，有QP∥平面AMD；（II）以DA、DC、DM所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系可得D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2），N（2，2，1）∴=（0，﹣2，2），=（2，0，1），=（0，2，0）设平面CMN的一个法向量为=（x，y，z）∴，取z=﹣2，得x=1，y=﹣2由此可得=（1，﹣2，﹣2）为平面CMN的一个法向量∵NB⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴NB⊥CD又∵BC⊥CD，BC∩NB=B∴DC⊥平面BNC，可得=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量∵cos＜，＞===∴平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值等于．点评：本题在特殊多面体中，探索线面平行并求二面角的余弦值，着重考查了线面平行、垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．21．今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知条件能求出图中各组的纵坐标，由此能完成被调查人员的频率分布直方图．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，分别求出p（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．…所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．…∴被调查人员的频率分布直方图如右图：…（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3…p（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=•+•=，P（ξ=3）=•=，…∴ξ的分布列是：ξ0 1 2 3P…∴ξ的数学期望Eξ=+1×+2×+3×=．…点评：本题考查频率直方图的作法，考查随机变量ξ的分布列和数学期望，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合思想的合理运用．22．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．解答：解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．点评：此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．23．已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意可知．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈（0，π），可以得到θ的值．（2）由题设条件知．mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知，由此可知m的取值范围．（3）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．由此入手可以得到m的取值范围是．解答：解：（1）由题意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即．∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1﹣1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得．（2）由（1），得f（x）﹣g（x）=．∴．∵f（x）﹣g（x）在其定义域内为单调函数，∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2﹣2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即，而，（）max=1，∴m≥1．mx2﹣2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即在[1，+∞）恒成立，而∈（0，1]，m≤0．综上，m的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．（3）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．当m≤0时，x∈[1，e]，，，所以在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立．当m＞0时，．因为x∈[1，e]，所以2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]上单调递增，，只要，解得．故m的取值范围是．点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．。
2017-2018学年陕西省高三(上)12月月考数学试卷(文科)Word版(解析版)
2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}2．=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x3+x＜0 D．∃x∈[0，+∞），x3+x≥04．若=，则tan2α的值为（）A．B．C．﹣D．35．已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．6．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和07．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（）A．8 cm B．6 cm C．2（1+） cm D．2（1+2） cm8．当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]9．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120 cm3 B．80 cm3C．100 cm3 D．60 cm310．等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C． D．11．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+），且f（1）=1，则f（2017）等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣212．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知曲线y=x n在点（1，0）处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数n= ．14．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，则（+）•= ．15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5或a≥716．已知正数x，y满足3x+4y=xy，则x+3y的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20．（12分）在等差数列{an }中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设数列{cn }满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．21．（12分）已知函数f（x）=3ax﹣2x2+lnx，a为常数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．[选修4-4直角坐标系及参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣3|+（x+4）（1）将f（x）用分段函数表示；（2）解不等式f（x）＜11．2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（2013•新课标Ⅰ）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．【解答】解：====﹣1+i．故选 B．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力．3．（2014•福建）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x3+x＜0 D．∃x∈[0，+∞），x3+x≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x3+x＜0故选C．【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．4．（2016秋•洛阳期中）若=，则tan2α的值为（）A．B．C．﹣D．3【分析】由条件求得tanα=3，再根据tan2α=，计算求得结果．【解答】解：∵==，∴tanα=3，则tan2α===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．5．（2016秋•平罗县校级月考）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵=3+2=5，==，==．∴===，∴与的夹角为，故选：B．【点评】本题考查了向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2013•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选B．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7．（2014秋•五华区校级期中）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（）A．8 cm B．6 cm C．2（1+） cm D．2（1+2） cm【分析】判断水平放置的平面图形的直观图的圆图形，求出边长即可求解周长．【解答】解：正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图是平行四边形，相邻边长为：1和=3，原图的周长是：8．故选：A．【点评】本题考查平面图形的直观图的画法，边长的求法，考查计算能力．（2013•宣武区校级模拟）当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）8．A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]【分析】由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．【解答】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选D．【点评】本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．9．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120 cm3 B．80 cm3C．100 cm3 D．60 cm3【分析】由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，画出图形，明确对应数据，计算体积即可．【解答】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为5×4×6=100cm3；故选C．【点评】本题考查了由几何体的三视图求对应几何体的体积；正确还原几何体是解答的关键．10．（2014•新课标Ⅱ）等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C． D．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn =na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．11．（2016秋•平罗县校级月考）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+），且f（1）=1，则f（2017）等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】求出函数的周期，然后化简求解即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+），可得f（x+3）=f（（x+）+）=﹣f（x+）=f（x），函数的周期为3．f（2017）=f（672×3+1）=f（1）=1．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．12．（2017•玉林一模）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】由偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，可得f（x）在{0，+∞）上单调递增，比较三个自变量的大小，可得答案．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴f（x）在{0，+∞）上单调递增，∵2＞log23=log49＞log45，2＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（2），∴b＜a＜c，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2016秋•平罗县校级月考）已知曲线y=x n在点（1，0）处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数n= 2 ．【分析】先求曲线的导数，求出切点处的斜率，然后解n即可．【解答】解：直线2x﹣y+1=0的斜率为2，曲线y=x n﹣1在点（1，0）处的切线的斜率也是2；而y′=nx n﹣1，所以f′（1）=n=2故答案为：2．【点评】本题考查曲线的导数，和直线的斜率的关系，直线的平行，是基础题．14．（2016秋•平罗县校级月考）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，则（+）•= 15 ．【分析】根据且⊥，∥，建立方程关系，即可求出x，y的值，然后根据数量积的坐标公式进行计算即可．【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，∴3x﹣6=0且﹣6﹣3y=0，即x=2，y=﹣2，∴（+）•=•+•=3x﹣6+3﹣6y=0+3+6×2=15．故答案为；15．【点评】本题只要考查向量的坐标公式，要求熟练掌握向量垂直和向量平行的坐标公式的应用，以及向量数量积的坐标公式，比较基础．15．（2007•北京）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5或a≥7【分析】先画出另外两个不等式表示的区域，再调整a的大小，使得不等式组表示的平面区域是一个三角形即可．【解答】解：由图可知5≤a＜7，故选C．【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查作图能力和对图形的分析能力．16．（2015•山东一模）已知正数x，y满足3x+4y=xy，则x+3y的最小值为25 ．【分析】由正数x，y满足3x+4y=xy，可得．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由正数x，y满足3x+4y=xy，∴．∴x+3y==13+≥13+2=25，当且仅当x=2y=10时，取等号．∴x+3y的最小值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016春•延安校级期末）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．【分析】（1）由不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}，利用根与系数关系列式求出a的值，把a代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0后直接利用因式分解法求解；（2）代入a得值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于0列式求解b的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，是基础的运算题．18．（12分）（2016秋•平罗县校级月考）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，即可求周期和对称中心．（2）x∈[﹣，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1，化简可得：f（x）=cos2x﹣1+sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T=，由2x+=kπ（k∈Z）可得对称中心的横坐标为x=kπ∴对称中心（kπ，0），（k∈Z）．（2）当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]当2x+=时，函数f（x）取得最小值为．当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2×1=2．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．19．（12分）（2016秋•平罗县校级月考）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．【分析】画出四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体，然后求出圆台的底面积、圆台的侧面积及圆锥的侧面积作和得答案；由圆台的体积减去圆锥的体积求得几何体的体积．【解答】解：如图，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，又CD=2，∴DE=CE=2，又AB=5，AD=2，∴BC=5．则圆台上底面半径r1=2，下底面半径r2=5，高h=4，母线长l=5，圆锥底面半径r1=2，高h′=2．∴S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π×52+π×（2+5）×5+π×2×2=（4+60）π；V=V圆台﹣V圆锥=π（25+10+4）×4﹣π×4×2=．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，面积和体积计算，属于中档题．20．（12分）（2016•佛山模拟）在等差数列{an }中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设数列{cn }满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，建立方程组，求出d，q，即可求an 与bn；（Ⅱ）确定数列{cn }的通项，利用裂项法，可求{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，因为所以…（2分）解得 q=3或q=﹣4（舍），d=3．…（4分）故an=3+3（n﹣1）=3n，．…（6分）（Ⅱ）∵Sn=，∴cn===（﹣），∴Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，属于中档题．21．（12分）（2014•七里河区校级一模）已知函数f（x）=3ax﹣2x2+lnx，a为常数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间（2）先求函数的导函数f′（x），将函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数问题转化为则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立问题，进而将不等式参变分离，转化为求函数最值问题即可【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=3x﹣2x2+lnx，则f（x）的定义域是（0，+∞）∵．∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（2）∵．若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．∴，或在区间[1，2]上恒成立．即，或在区间[1，2]上恒成立．设h（x）=，∵h′（x）=4+＞0∴h（x）=在区间[1，2]上是增函数．h（x）max =h（2）=，h（x）min=h（1）=3∴只需3a≥，或3a≤3．∴a≥，或a≤1．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，已知函数的单调区间求参数范围的方法，体现了导数在函数单调性中的重要应用；不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法[选修4-4直角坐标系及参数方程]22．（10分）（2016•锦州二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．【分析】（Ⅰ）首先把直线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把点的极坐标转化为直角坐标，进一步判断点和直线的关系．（Ⅱ）利用点到直线的距离直接求出最值，主要考虑三角函数的最值问题．【解答】解：（ I）将点P（4，）化为直角坐标，得到：P（2，2），将直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：y=，因为≠2，所以点P坐标不满足直线l的方程，所以点P不在直线l上．（ II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q（cosθ，2+sinθ）点Q到直线l：的距离为：d==，所以当时，，当时，，故点Q到直线l的距离的最小值为，最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角函数的最值得应用．主要考查学生的应用能力．[选修4-5不等式选讲]23．（2015•张掖校级模拟）设函数f（x）=|x﹣3|+（x+4）（1）将f（x）用分段函数表示；（2）解不等式f（x）＜11．【分析】（1）分x＜3与x≥3讨论，去掉绝对值符号，即可将f（x）用分段函数表示；（2）利用（1）的结果，解相应的不等式，最后取并即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣3|+（x+4），∴当x＜3时，f（x）=3﹣x+（x+4）=7；当x≥3时，f（x）=x﹣3+（x+4）=2x+1；∴；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）；（2）当x＜3时，f（x）=7＜11，恒成立；当x≥3时，f（x）=2x+1＜11，解得：3≤x＜5；综上所述，不等式f（x）＜11的解集为：{x|x＜5}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对自变量范围的分类讨论，去掉绝对值符号是解决问题的关键，属于基础题．。
陕西省数学高三上学期理数12月月考试卷
陕西省数学高三上学期理数12月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数z满足：z+|z|=1+2i，则z的虚部为（）A . 2iB . 1C . 2D . i2. （2分） (2017高二下·运城期末) 已知集合A={x|（x﹣1）（3﹣x）＜0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A . [﹣2，1）B . （1，2]C . [﹣2，﹣1）D . （﹣1，2]3. （2分）(2020高一下·宁波期末) 已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 对于非零向量、，下列命题中正确的是（）A . ⇒ =0或 =0B . ∥ ⇒在上的投影为C . ⇒ 2D . ⇒5. （2分） (2019高二上·菏泽期中) 己知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·长春期中) 在△ABC中，已知c= ，b=1，B=30°，则A等于（）A . 30°B . 90°C . 30°或90°D . 60°或120°7. （2分） (2016高一下·长春期中) 等差数列{an}的前n项和Sn ，若S5=35，a3﹣a5=4，则Sn的最大值为（）A . 35B . 36C . 6D . 78. （2分） (2019高二上·南充期中) 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A . 8B . 9C . 10D . 129. （2分） (2016高三上·定州期中) △ABC中，若sinC=（ cosA+sinA）cosB，则（）A . B=B . 2b=a+cC . △ABC是直角三角形D . a2=b2+c2或2B=A+C10. （2分） (2019高一上·赣榆期中) 方程的解为，若，则（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·宜宾模拟) 已知函数只有一个零点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·郏县月考) 若函数满足，有成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·凉州期中) 曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________14. （1分） (2017高一下·汽开区期末) 如图，在中，，点D在线段AC 上，且，，则 ________．15. （1分） (2019高一上·郑州期中) 已知函数，则关于的不等式的解集是________.16. （1分）(2019·鞍山模拟) 三棱锥中，底面满足，，点在底面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，到底面的距离为________.三、解答题 (共7题；共85分)17. （15分） (2016高二上·弋阳期中) 设不等式组所表示的平面区域为Dn ，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表达式；（2）设bn=2nf（n），Sn为{bn}的前n项和，求Sn；（3）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．18. （10分）(2019·吉林模拟) 已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为( ,0),( ,0),圆E是△ABC 的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2 ,动点C的轨迹为曲线G.（1）求曲线G的方程;（2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上, 是坐标原点 ,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.19. （15分）某福彩中心准备发行一种面值为2元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖概率为0.2；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，10元和100元三种；③顾客购买一张彩票，获得10元奖金的概率为0.08，获得100元奖金的概率为p．（1）若某顾客每天都买一张该类型的福利彩票，求其在第3天才中奖的概率；（2）福彩中心为了能够筹得资金资助福利事业持续发展，应如何设定P的取值．20. （15分）(2020·吴江模拟) 如图, 在三棱锥中，平面，，且，，E为的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值．21. （10分） (2019高二下·鹤岗月考) 已知．（1）求函数在定义域上的最小值；（2）求函数在上的最小值；（3）证明：对一切，都成立.22. （10分）(2020·新沂模拟) 如图，已知是圆柱底面圆O的直径，底面半径，圆柱的表面积为，点在底面圆上，且直线与下底面所成的角的大小为 .（1）求的长；（2）求二面角的大小的余弦值.23. （10分）(2020·陕西模拟) 设椭圆C的方程为，O为坐标原点，A为椭团的上顶点，为其右焦点，D是线段的中点，且 .（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P ， Q两点，分别作轴，轴，垂足分别为E ， F ，连接，并延长交椭圆C于点M ， N两点.（ⅰ）判断的形状；（ⅱ）求四边形面积的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共85分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。