24一元一次方程的解法知识讲解
一元一次方程解法知识点总结
一元一次方程解法知识点总结一元一次方程是数学中最基础的方程之一，也是解决实际问题的常用工具。
在解一元一次方程时，有几种常见的方法可以使用，本文将对这些解法进行总结。
1. 直接运用方程性质解法：对于形如ax + b = 0的一元一次方程，可以直接运用方程性质进行解答。
将方程中的常数项b移到等号右侧，得到ax = -b，然后将方程两边同除以系数a，即可得到x的解。
2. 倍数迭代法解法：倍数迭代法是解一元一次方程的常用方法之一。
该方法的原理是通过倍数迭代来逼近方程的解。
具体步骤如下：- 将方程中的常数项移到等号右侧，得到ax = -b。
- 初始值设为x0，可以是任意一个实数。
- 迭代公式为：xi+1 = xi - b/a。
根据公式，计算xi+1的值，并代入下一次迭代计算。
- 重复以上步骤，直到计算得到的xi+1与xi非常接近，即可得到方程的解。
3. 代入法解法：代入法是求解一元一次方程的另一种常见方法。
通过将已知的变量代入方程中，从而求解未知变量的值。
具体步骤如下：- 将方程中的已知变量用代入的方法表示出来，设为y。
- 将y代入方程中，得到一个只含有未知变量x的方程。
- 解这个只含有未知变量x的方程，求得x的解。
- 利用已知变量y和未知变量x之间的关系得到方程的解。
4. 图解法解法：对于一元一次方程，可以通过图形的方式来解答。
截取x轴和y轴的某个特定区间，将方程绘制成直线，然后通过该直线与x轴相交的点来确定方程的解。
具体步骤如下：- 将方程转化为y = ax + b的形式，其中a和b分别为方程的系数。
- 根据a的正负值和零的情况，绘制出直线的大致趋势。
- 确定直线与x轴相交的点，即为方程的解。
本文介绍了一元一次方程的四种常见解法：直接运用方程性质解法、倍数迭代法解法、代入法解法和图解法解法。
通过掌握这些解法，相信读者可以轻松解答一元一次方程的问题，并在实际应用中灵活运用。
一元一次方程的解法 知识方法总结
等式的性质 2
分数线有括号的作用，分子是整体，所以去分 母时需添上括号；不要漏乘不含分母的项
一般先去小括号，再去中括号，最后
去括号法则 括号前是负号的注意要全变号，不要漏乘括号
去大括号
（分配律） 内的任何一项
通常把含有未知数的项移到等号的左
移项时注意改变项的符号，不移动的项不改变
边，把常数项移到等号的右边（分离 含有未知数的项与常数项）
类型 分母中含有小 数 某些项含有分 母
有括号 方程两边均含 有未知数或常 数项
有同类项
ax b
步骤 小数化 为整数 去分母
去括号
移项
合并同 类项 系数化法
依据
注意事项
分子分母同乘一个不为零的数
分数的基本性质 可约分的进行约分
（商不变性质）
方程两边同乘各分母的最小公倍数
得x b a
等式的性质 2 纸上进行检验
等式的性质 1
符号；若移项后含有未知数的项的系数和常数 项均为负数，不妨改变移项的方向，方便运算，
注意最后写成“ x a ”的形式
得到 ax b
合并同类项法则 把同类项的系数相加，未知数和未知数的指数
（分配律的逆用） 均不变
方程两边同除以未知数的系数 a ，解
解的分子分母不要颠倒位置，最后记得在草稿
一元一次方程的解法(公开课)资料讲解
如果 a b , 那么 ac bc
如果a b(c 0) ,那么ac cb
知识回顾
什么是解方程？
解方程就是将方程转化为 形如x=a(a为常数）的过 程
x=a(a为常数）：1、它仍然是方程. 2、未知数在等号一
边，常数项在等号另一边. 3、x的系数为1.
3) 3(x 1) x 1
5
5
变形名称 去分母
去括号
移项
解一元一次方程的一般步骤:
具体的做法 每一项乘所有的分母的最小公倍数. 依据是等式性质二 先去小括号,再去中括号,最后去大括号 依据是去括号法则和乘法分配律 把含有未知数的项移到一边,常数项移到另 一边.“过桥变号”依据是等式性质一
合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加。 依据是乘法分配律
约公元825年，中亚细亚 数学家阿尔—花拉子米写 了一本代数书，重点论述 怎样解方程。这本书的拉 丁译本为《对消与还原》。 “对消”与“还原”是什 么意思呢？
一元一次方程的解法
执教者：曾杨烨
知识回顾 等式的基本性质
等式的性质1： 等式两边加(或减)同一个 数(或式子),结果仍相等。
如果 a b, 那么 a c b c
程的另一边，对方程进行移项变形。
(1) 2x-3= 6
2x = 6 + 3
(2) 5x=3x-1
5x -3x = -1
(3) 2.4y+2= -2y
2.4y+2y = -2
⑷ 8- 5x=x+2
-5x-x=2-8
你能解以下一元一次方程吗？
1)3x 3 x 1
有括号
2024七年级数学上册第3章3.2一元一次方程及其解法第2课时用去分母法解一元一次方程课件新版沪科版
C
6，其错误的原因是(
)
A. 分母的最小公倍数找错
B. 去分母时，漏乘了分母为1的项
C. 去分母时分子部分的多项式未添括号，导致符号错误
D. 去分母时，分子未乘相应的数
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知识点2
用去分母法解一元一次方程
4. [2024·合肥四十五中月考]根据下列解方程
.+.
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【解】将2 x ＋3， x －2分别看成一个整体，移项、合并
同类项，得
(2 x ＋3)＝ ( x －2)，
即 (2 x ＋3)＝ ( x －2).
去分母，得2(2 x ＋3)＝ x －2.
去括号，得4 x ＋6＝ x －2.
移项、合并同类项，得3 x ＝－8.
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6. [母题 教材P100例3]解下列方程：
+
−
+
－1＝
－
.
【解】去分母，得10(3 x ＋2)－20＝5(2 x －1)－4(2 x ＋1).
去括号，得30 x ＋20－20＝10 x －5－8 x －4.移项、合并
同类项，得28 x ＝－9.系数化为1，得 x ＝－ .
系数化为1，得 x ＝－ .
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是数学中的基础知识，求解一元一次方程是我们学习数学的起点。
本文将介绍一元一次方程的解法，帮助读者理解和掌握求解一元一次方程的方法。
一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常可以写为ax+b=0的形式，其中a、b为已知常数，x为未知数。
解一元一次方程的关键是找到方程的根，即使得方程成立的未知数的值。
解法一：等式两边同时加减法则我们可以通过对方程等式两边进行加减操作，将未知数所在的项移至方程的另一边，从而得到未知数的值。
举例说明：假设有方程3x-5=7，我们希望求解x的值。
首先，我们将方程等式两边加上5，得到3x-5+5=7+5，化简得到3x=12。
接下来，我们再将方程等式两边除以3，得到(3x)/3=12/3，化简得到x=4。
因此，方程3x-5=7的解为x=4。
解法二：移项法移项法是求解一元一次方程的另一种常见方法，通过将等式两边的项进行移位，使得方程的形式更加简化。
举例说明：假设有方程2x+4=10，我们希望求解x的值。
首先，我们将方程中的常数项4移至等式的另一边，得到2x=10-4，化简得到2x=6。
接下来，我们再将方程中的系数项2移至等式的另一边，得到x=(6/2)，化简得到x=3。
因此，方程2x+4=10的解为x=3。
解法三：代入法代入法是求解一元一次方程的一种简便方法，通常适用于方程中含有多个未知数的情况。
举例说明：假设有方程3x+y=9，2x-y=1，我们希望求解方程的解。
首先，我们可以选择其中一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数。
假设我们选取第二个方程2x-y=1，将y表示成x的函数，得到y=2x-1。
接下来，我们将y的表达式代入第一个方程中，得到3x+2x-1=9，化简得到5x=10。
最后，我们将方程5x=10化简，得到x=2。
将x的值代入到第二个方程2x-y=1中，得到2(2)-y=1，化简得到y=3。
因此，方程3x+y=9和2x-y=1的解为x=2，y=3。
2024年北师大七年级数学上册 第2节 一元一次方程的解法第3课时 利用去括号解一元一次方程(课件)
思考 观察例2两种解方程的方法，说出它们的区别.
针对练习
解方程
【选自教材P143 随堂练习】
(1)5(x-1)=1
解：
去括号，得 移项，得 化简，得
5x – 5 = 1 5x = 1 + 5 5x = 6
方程两边都除以 5，得
x
=
6 5
(2)2-(1-x)=-2
解：
去括号，得 2-1+x=-2
移项，得
x=-2-2+1
化简，得 x = -3
（3）11x + 1= 5（2x + 1）
解：
去括号，得 11x + 1 = 10x + 5
移项，得 11x – 10x = 5 – 1
化简，得
x=4
（4）4x – 3(20 – x)= 3；
解：去括号，得 1+6x=6-2x
移项，得
6x+2x=6-1
合并同类项，得 8x=5
方程的两边都除以8，得
x=58
例2 解方程： -2(x-1)=4
解法一：
解法二：
去括号，得 -2x+2=4 移项，得 -2x=4-2 化简，得 -2x=2 方程的两边都除以-2，得x=-1.
直接去括号求解
方程的两边都除以-2，得
活动引入，合作探究
探究点 利用去括号解一元一次方程
问题1 小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水，她付给售货员20元，售货员 找回3元. 已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元，你能算出1袋牛奶多少钱吗？
一元一次方程的解法
（2） 调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系， 常见是“和、 差、 倍、 分”关系， 要注意调配对象流动的方向和数量。
例 1 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人 数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？
例 2 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲 处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 3 人，应调往甲、乙两处各多少人？
5
表或画图来帮助理解题意。
例 1 .一项工程，甲、单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，如果先由甲单独做 8 天，再由乙单独 做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？
例 2. .一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天， 丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？
一元一次方程的解法 知识点和方法概述 1、等式 等式：用“=”表示相等关系的式子。 等式的性质： 1） 等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， 则 A±C=B±C。 2） 等式两边都乘以 （或除以） 同一个数 （除数不为 0） ， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， A B C ≠ 0 ，则 A⋅C=B⋅C， = 。 C C 3)等式的对称性：若 A=B，则 B=A。 4）等式的传递性：若 A=B，B=C，则 A=C。 等式的类型： 1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样 的等式叫做恒等式。如 0 ⋅ x = 0 。 2）矛盾等式：如 2=0， 2 x = 2 x + 1 3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如 3 x − 4 = 3 2、方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 （注：用等式的 两条性质所得的方程与原方程是同解方程。 ） 方程的同解原理： 1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式。 不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。 检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和 右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。 含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时 也简称绝对值方程。 解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方 式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对
一元一次方程知识点及经典例题
一、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念 1、 一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x 是未知数，a,b 是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是1次； （3） 整式方程． 2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为： －=1.6。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形步骤 具 体 方 法 变 形 根 据注 意 事 项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21．不能漏乘不含分母的项；2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 1．分配律应满足分配到每一项 2．注意符号，特别是去掉括号移 项 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质11．移项要变号；2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同 类 项 把方程中的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a ，得a b x = 等式性质2 分子、分母不能颠倒要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。
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元一次方程的解法(基础)知识讲解【学习目标】
1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据;
2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想;
3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
要点诠释:
(1 )解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化.
(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再
去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆.
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义.
要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c的形式，再分类讨论：
(1)当C 0时，无解；⑵当C可化为：ax b c或且x b
2.含字母的一元一次方程
方程无解.
【典型例题】
类型一、解较简单的元一次方程0时，原方程化为：且x b 0
C.
(3)当C 0时，原方程
此类方程一般先化为最简形式(1 )当aZO 时，X »
ax = b,再分三种情况分类讨论:
当a = 0, b= 0时，x为任意有理数；(3)当a二0, bP时,
举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是（）
A 由2x-3 二- ■x-4,得2x+x = -4-3
B 由x+3= 2-4x,得5x= 5
C 由
2 3
2X2, 得三”
由3二x-2, 得-x = -2~3
D
1 2 2x 1 10x 7 2 3 2 x 1 2 x
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为【答案与
解析】（1）去括号得：4x 2 10x 7
移项合并得：6x 5
解得：X 5
6
（2）去括号得：3 2x 2 2x 6
移项合并得：4x 7
7
解得：X
4
【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“是“-”，各项均变号.
举一反三：
【变式】解方程：5（x-5） +2x = -4 .
【答案】解：去括号得：5X-25+2X = -4 .移项合
并得：7x = 21.
解得：x = 3.
类型三、解含分母的一元一次方程（常数项）
ax= b（a羊0）的形式.
（3）系数化为1:即根据等式性质2:方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解x -
a
3
1,从而解出方程.
号，不变号；括号前面
a,曲春?新乡期末)解方程筈I/'弩
【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把X系数化为1的步骤，即可求
出解.
【答案与解析】
解：去分母得：2 (2x- 1) - 12=3 (3x+2),
去括号得：4x- 2 - 12二9x+6,
移项合并得：5x=- 20,
解得：x= - 4.
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1,求出解. 举一反三：
【变式】(2015?岳池县模拟)解方程：X注少-2 -上二？
2 3 4
【答案】解：去分母得：12x+30=24x - 8 - 3X+24,
移项合并得：-9x=- 14,解得：x=2\
9
类型四、解较复杂的一元一次方程
0^
.解方程：△—0^ 1
0. 7 0. 03
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误.
10x
【答案与解析】原方程可以化成：竺3 1.
7
去分母，得：30x-7 (17-20x) = 21.
去括号、移项、合并同类项，得：170x= 140.
14
系数化成1,得：x —.
17
【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开.
(x 1)【答案与解析】
解法1：先去小括号得:
17 20
x
分子同时扩大相同的倍数，以使
-x
1
) 2 1) 2 -X
3
Z
3 1
再去中括号得：-X
2
4’
移项，合并得：
5 一X
12
11
系数化为1,得：X —
5
解法2:两边均乘以2,去中括号得： 1 4
x 2(x 1) -(X 1) 3 去小括号，并移项合并得：
11 11 X
1
-[(x n —,解得：
6 詼
解法3:原方程可化为： 1 1)
■ 2 (x 1)]
2 (X 1)
1 1
去中括号，得丄八1）丄
11
解得X
5
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号, 构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便•例如本题的方法
左、右两边都含（X-1）,因此将方程左边括号内的一项X变为（X-1）后，把体运算.
举一反三：
3 2
s
【变式】汀2（- 1）2]
2 3 4
【答案】
解：去中括号得：（兰1）2x2
4
3
去小括号，移项合并得：°
—X 6,解得x= -8
类型五、解含绝对值的方程
—6 .解方程凶-2 = 0
【答案与解析】
解：原方程可化为：
但有时根据方程的结
3:方程（X-1）视为一个整
当x > 0时，得x=2 ,
当x〈0时，得-x=2,即，所以原
x= -2 . 方程的解是x = 2或x二-
【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意不要漏解.。